演算法藝術與分析論文

『貳』 《計算機程序設計藝術（第1卷）基本演算法》pdf下載在線閱讀，求百度網盤雲資源

《計算機程序設計藝術（第1卷）》（[美國] Donald Knuth）電子書網盤下載免費在線閱讀

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書名：計算機程序設計藝術（第1卷）

作者：[美國] Donald Knuth

豆瓣評分：9.4

出版社：清華大學出版社

出版年份：2002-9

頁數：650

內容簡介：

第1卷首先介紹編程的基本概念和技術，然後詳細講解信息結構方面的內容，包括信息在計算機內部的表示方法、數據元素之間的結構關系，以及有效的信息處理方法。此外，書中還描述了編程在模擬、數值方法、符號計算、軟體與系統設計等方面的初級應用。此第3版增加了數十項簡單但重要的演算法和技術，並根據當前研究發展趨勢在數學預備知識方面做了大量修改。

作者簡介：

作者：(美國)Dald E. Kuh

Donald.E.Knuth(唐納德.E.克努特，中文名高德納)是演算法和程序設計技術的先驅者，是計算機排版系統TEX和METAFONT的發明者，他因這些成就和大量創造性的影響深遠的著作(19部書和160篇論文)而譽滿全球。作為斯坦福大學計算機程序設計藝術的榮譽退休教授，他當前正全神貫注於完成其關於計算機科學的史詩性的七卷集。這一偉大工程在1962年他還是加利福尼亞理工學院的研究生時就開始了。Knuth教授獲得了許多獎項和榮譽，包括美國計算機協會圖靈獎(ACM Turing Award)，美國前總統卡特授予的科學金獎(Medal of Science)，美國數學學會斯蒂爾獎(AMS Steele Prize)，以及1996年11月由於發明先進技術而榮獲的備受推崇的京都獎(Kyoto Prize)。Knuth教授現與其妻Jill生活於斯坦福校園內。

訪問Knuth教授的個人主頁，可以獲得有關本書及本系列其他未出版圖書的更多信息：

www-cs-faculty.stanford.e/knuth

『叄』 計算機導論論文

大學計算機科學導論論文
計算機科學與技術這一門科學深深的吸引著我們這些同學們，原先不管是國內還是國外都喜歡把這個系分為計算機軟體理論、計算機系統、計算機技術與應用。後來又合到一起，變成了現在的計算機科學與技術。我一直認為計算機科學與技術這門專業，在本科階段是不可能切分成計算機科學和計算機技術的，因為計算機科學需要相當多的實踐，而實踐需要技術；每一個人(包括非計算機專業)，掌握簡單的計算機技術都很容易（包括原先Major們自以為得意的程序設計），但計算機專業的優勢是：我們掌握許多其他專業並不"深究"的東西，例如，演算法，體系結構，等等。非計算機專業的人可以很容易地做一個晶元，寫一段程序，但他們做不出計算機專業能夠做出來的大型系統。今天我想專門談一談計算機科學，並將重點放在計算理論上。

1)計算機語言
隨著20世紀40年代第一台存儲程序式通用電子計算機的研製成功，進入20世紀50年代後，計算機的發展步入了實用化的階段。然而，在最初的應用中，人們普遍感到使用機器指令編製程序不僅效率低下，而且十分別扭，也不利於交流和軟體維護，復雜程序查找錯誤尤其困難，因此，軟體開發急需一種高級的類似於自然語言那樣的程序設計語言。1952年，第一個程序設計語言Short Code出現。兩年後，Fortran問世。作為一種面向科學計算的高級程序設計語言，Fortran的最大功績在於牢固地樹立了高級語言的地位，並使之成為世界通用的程序設計語言。Algol60的誕生是計算機語言的研究成為一門科學的標志。該語言的文本中提出了一整套的新概念，如變數的類型說明和作用域規則、過程的遞歸性及參數傳遞機制等。而且，它是第一個用嚴格的語法規則——巴科斯範式（BNF）定義語言文法的高級語言。程序設計語言的研究與發展在產生了一批成功的高級語言之後，其進一步的發展開始受到程序設計思想、方法和技術的影響，也開始受到程序理論、軟體工程、人工智慧等許多方面特別是實用化方面的影響。在「軟體危機」的爭論日漸平息的同時，一些設計准則開始為大多數人所接受，並在後續出現的各種高級語言中得到體現。例如，用於支持結構化程序設計的PASCAL語言，適合於軍隊各方面應用的大型通用程序設計語言ADA，支持並發程序設計的MODULA-2，支持邏輯程序設計的PROLOG語言，支持人工智慧程序設計的LISP語言，支持面積對象程序變換的SMALLTALK、C等。而且，伴隨著這些語言的出現和發展，產生了一大批為解決語言的編譯和應用中所出現的問題而發展的理論、方法和技術。有大量的學術論文可以證明，由高級語言的發展派生的各種思想、方法、理論和技術觸及到了計算機科學的大多數學科方向，但內容上仍相對集中在語言、計算模型和軟體開發方法學方面。

(2)計算機模型與軟體開發方法
20世紀80年代是計算機網路、分布式處理和多媒體大發展的時期。在各種高級程序設計語言中增加並發機構以支持分布式程序設計，在語言中通過擴展繪圖子程序以支持計算機圖形學程序設計成為當時程序設計語言的一種時尚。之後，在模數/數模轉換等介面技術和資料庫技術的支持下，通過擴展高級語言的程序庫又實現了多媒體程序設計的構想。進入20世紀90年代之後，並行計算機和分布式大規模異質計算機網路的發展又將並行程序設計語言、並行編譯程序、並行操作系統、並行與分布式資料庫系統等試行軟體的開發的關鍵技術依然與高級語言和計算模型密切相關，如各種並行、並發程序設計語言，進程代數，PETRI網等，它們正是軟體開發方法和技術的研究中支持不同階段軟體開發的程序設計語言和支持這些軟體開發方法和技術的理論基礎——計算模型。
(3)計算機應用

用計算機來代替人進行計算，就得首先研究計算方法和相應的計算機演算法，進而編制計算機程序。由於早期計算機的應用主要集中在科學計算領域，因此，數值計算方法就成為最早的應用數學分支與計算機應用建立了聯系。最初的時候，由於計算機的存儲器容量很小，速度也不快，為了計算一些稍稍大一點的題目，人們常常要挖空心思研究怎樣節省存儲單元，怎樣減少不需要的操作。為此，發展了像稀疏矩陣計算理論來進行方程組的求解；發展了雜湊函數來動態地存儲、訪問數據；發展了虛擬程序設計思想和程序覆蓋技術在內存較小的計算機上運行較大的程序；在子程序和程序包的概念提出之後，許多人開始將數學中的一些通用計算公式和計算方法寫成子程序，並進一步開發成程序包，通過簡潔的調用命令向用戶開放。子程序的提出是今日軟體重用思想的開端。

在計算機應用領域，科學計算是一個長久不衰的方向。該方向主要依賴於應用數學中的數值計算的發展，而數值計算的發展也受到來自計算機系統結構的影響。早期，科學計算主要在單機上進行，經歷了從小規模數值分析到中大規模數值分析的階段。隨著並行計算機和分布式並行計算機的出現，並行數值計算開始成為科學計算的熱點，處理的問題也從中大規模數值分析進入到中大規模復雜問題的計算。所謂中大規模復雜問題並不是由於數據的增大而使計算變得困難，使問題變得復雜，而主要是由於計算中考慮的因素太多，特別是一些因素具有不確定性而使計算變得困難，使問題變得復雜，其結果往往是在演算法的研究中精度與復雜性的矛盾難於克服。

幾何是數學的一個分支，它實現了人類思維方式中的數形結合。在計算機發明之後，人們自然很容易聯想到了用計算機來處理圖形的問題，由此產生了計算機圖形學。計算機圖形學是使用計算機輔助產生圖形並對圖形進行處理的科學。並由此推動了計算機輔助設計（CAD）、計算機輔助教學（CAI）、計算機輔助信息處理、計算機輔助測試（CAT）等方向的發展。

在各種實際應用系統的開發中，有一個重要的方向值得注意，即實時系統的開發。

利用計算機證明數學定理被認為是人工智慧的一個方向。人工智慧的另一個方向是研究一種不依賴於任何領域的通用解題程序或通用解題系統，稱為GPS。特別值得一提的是在專家系統的開發中發展了一批新的技術，如知識表示方法、不精確性推理技術等，積累了經驗，加深了對人工智慧的認識。20世紀70年代末期，一部分學者認識到了人工智慧過去研究工作基礎的薄弱，開始轉而重視人工智慧的邏輯基礎研究，試圖從總結和研究人類推理思維的一般規律出發去研究機器思維，並於1980年在《Artificial Intelligence》發表了一組非單調邏輯的研究論文。他們的工作立即得到一大批計算機科學家的響應，非單調邏輯的研究很快熱火朝天地開展起來，人工智慧的邏輯基礎成為人工智慧方向發展的主流。

資料庫技術、多媒體技術、圖形學技術等的發展產生了兩個新方向，即計算可視化技術與虛擬現實技術。
隨著計算機網路的發展，分布在全世界的各種計算機正在以驚人的速度相互連接起來。網路上每天都在進行著大量政治、經濟、軍事、外交、商貿、科學研究與藝術信息的交換與交流。網路上大量信息的頻繁交換，雖然縮短了地域之間的距離，然而同時也使各種上網的信息資源處在一種很難設防的狀態之中。於是，計算機信息安全受到各國政府的高度重視。除了下大力氣研究對付計算機病毒的軟硬體技術外，由於各種工作中保密的需要，計算機密碼學的研究更多地受到各國政府的重視。
實際上，在計算機科學中計算機模型和計算機理論與實現技術同樣重要。但現在許多學生往往只注重某些計算機操作技術，而忽略了基礎理論的學習，並因為自己是「操作高手」而沾沾自喜，這不僅限制了自己將研究工作不斷推向深入，而且有可能使自己在學科發展中處於被動地位。例如，在20世紀50年代和20世紀60年代，我國隨著計算機研製工作和軟體開發工作的發展，陸續培養了在計算機製造和維護中對計算機某一方面設備十分精通的專家，他們能准確地弄清楚磁芯存儲器、磁鼓、運算器、控制器，以及整機線路中哪一部分有問題並進行修理和故障排除，能夠編制出使用最少存儲單元而運算速度很快的程序，對機器代碼相當熟悉。但是，當容量小的磁芯存儲器、磁鼓、速度慢的運算器械、控制器很快被集成電路替代時，當程序設計和軟體開發廣泛使用高級語言、軟體開發工具和新型軟體開發方法後，這批技術精湛的專家，除少量具有堅實的數學基礎、在工作中已有針對性地將研究工作轉向其他方向的人之外，相當一部分專家伴隨著新技術的出現，在替代原有技術的發展過程中而被淘汰。因此，在計算機科學中，計算比實現計算的技術更重要。只有打下堅實的理論基礎，特別是數學基礎，學習計算機科學技術才能事半功倍，只有建立在高起點理論基礎之上的計算機科學技術，才有巨大的潛力和發展前景。

計算機理論的一個核心問題

我國計算機科學系裡的傳統是培養做學術研究，尤其是理論研究的人（方向不見得有多大的問題，但是做得不是那麼盡如人意）。而計算機的理論研究，說到底了，如網路安全學，圖形圖像學，視頻音頻處理，哪個方向都與數學有著很大的關系，雖然也許是正統數學家眼裡非主流的數學。這里我還想闡明我的一個觀點：我們都知道，數學是從實際生活當中抽象出來的理論，人們之所以要將實際抽象成理論，目的就在於想用抽象出來的理論去更好的指導實踐，有些數學研究工作者喜歡用一些現存的理論知識去推導若干條推論，殊不知其一：問題考慮不全很可能是個錯誤的推論，其二：他的推論在現實生活中找不到原型，不能指導實踐。嚴格的說，我並不是一個理想主義者，政治課上學的理論聯系實際一直是指導我學習科學文化知識的航標（至少我認為搞計算機科學與技術的應當本著這個方向）。
我個人的淺見是：計算機系的學生，對數學的要求固然跟數學系不同，跟物理類差別則更大。通常非數學專業的所?高等數學"，無非是把數學分析中較困難的理論部分刪去，強調套用公式計算而已。而對計算機系來說，數學分析里用處最大的恰恰是被刪去的理論部分。記上一堆曲面積分的公式，難道就能算懂了數學？那倒不如現用現查，何必費事記呢？再不然直接用Mathematica或是Matlab好了。退一萬步。華羅庚在數學上的造詣不用我去多說，但是他這光輝的一生做得我認為對我們來說，最重要的幾件事情：首先是它籌建了中國科學院計算技術研究所，這是我們國家計算機科學的搖籃。在有就是他把很多的高等數學理論都交給了做工業生產的技術人員，推動了中國工業的進步。第三件就是他一生寫過很多書，但是對高校師生價值更大的就是他在病期間在病床上和他的愛徒王元寫了《高等數學引論》（王元與其說是他的愛徒不如說是他的同事，是中科院數學所的老一輩研究員，對歌德巴赫猜想的貢獻全世界僅次於陳景潤）這書在我們的圖書館里居然找得到，說實話，當時那個書上已經長了蟲子，別人走到那裡都會閃開，但我卻格外感興趣，上下兩冊看了個遍，我的最大收獲並不在於理論的闡述，而是在於他的理論完全的實例化，在生活中去找模型。這也是我為什麼比較喜歡具體數學的原因，正如我在上文中提到的，理論脫離了實踐就失去了它存在的意義。正因為理論是從實踐當中抽象出來的，所以理論的研究才能夠更好的指導實踐，不用於指導實踐的理論可以說是毫無價值的。

正如上面所論述的，計算機系的學生學習高等數學：知其然更要知其所以然。你學習的目的應該是：將抽象的理論再應用於實踐，不但要掌握題目的解題方法，更要掌握解題思想，對於定理的學習：不是簡單的應用，而是掌握證明過程即掌握定理的由來，訓練自己的推理能力。只有這樣才達到了學習這門科學的目的，同時也縮小了我們與數學系的同學之間思維上的差距。

關於計算機技術的學習我想是這樣的：學校開設的任何一門科學都有其滯後性，不要總認為自己掌握的某門技術就已經是天下無敵手了，雖然現在Java,VB,C,C++用的都很多，怎能保證沒有被淘汰的一天，我想.NET平台的誕生和X#語言的初見端倪完全可以說明問題。換言之，在我們掌握一門新技術的同時就又有更新的技術產生，身為當代的大學生應當有緊跟科學發展的素質。舉個例子，就像有些同學總說，我做網頁設計就喜歡直接寫html，不願意用什麼Frontpage,Dreamweaver。能用語言寫網頁固然很好，但有高效的手段你為什麼不使呢？僅僅是為了顯示自己的水平高，unique? 我看真正水平高的是能夠以最快的速度接受新事物的人。高級程序設計語言的發展日新月異，今後的程序設計就像人們在說話一樣，我想大家從xml中應是有所體會了。難道我們真就寫個什麼都要用匯編，以顯示自己的水平高，真是這樣倒不如直接用機器語言寫算了。反過來說，想要以最快的速度接受並利用新技術關鍵還是在於你對計算機科學地把握程度。

總的來說，從教育角度來講，國內高校的課程安排不是很合理，強調理論，又不願意在理論上深入教育，無力接受新技術，想避開新技術又無法避得一干二凈。我覺得關鍵問題就是國內的高校難於突破現狀，條條框框限制著怎麼求發展。我們雖然認識得到國外教育的優越性，但為什麼遲遲不能採取行動？哪怕是去粗取精的取那麼一點點。

『肆』 明年准備參加ACM了，請大家推薦幾本書

最近鐵道出版社出版了兩本ACM的書，你可以看看。《世界大學生程序設計競賽(ACM/ICPC)高級教程第一冊
程序設計中常用的計算機思維方式》
作者：吳文虎 王建德
書號：10134-3
定 價：42.00元
出版日期：2009年7月

《ACM程序設計培訓教程》
作者：吳昊 蔣斌 廖波 朱寧波
書號：07651-1
定 價：28.00元
出版日期：2007年8月

『伍』 求3000字內的數學論文

you are 2-9-0

『陸』 高分求..計算機程序設計的藝術 某節讀後感或看法..一篇小論文....100到500字

卷1為基礎運演算法則，該書以基本的編程概念和技術為開始，然後講述信息結 構--計算 機內信息的表示法，數據元素間的結構關系以及處理它們的有效方法。主要應用於 模擬、 數字方法、符號計算、軟體和系統設計。許多簡單和重要的運演算法則和技術已添加 到前一 版本中，精確的初步計算部分已經修改，以適應當前趨勢。 《Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd Edit ion)》 第2卷對半數值演算法領域做了全面介紹，分"隨機數"和"算術"兩章。本卷總結 了主要算 法範例及這些演算法的基本理論，廣泛剖析了計算機程序設計與數值分析間的相互聯 系。第 3版中特別值得注意的是Knuth對隨機數生成程序的重新處理和對形式冪級數計算的 討論。 《Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching (2nd Edition )》 卷3為分揀和搜索，這是本書的第1個修訂版，它是對計算機分揀和搜索的一流 技術的 最全面的研究，它擴展了卷1中數據結構的處理方法，將大小資料庫以及內存和外 部存儲都 包含在內。本書包括對計算機方法仔細檢查的選擇方案，和其效率的大量分析。本 書該版 的獨特之處在於優化了的分揀，以及對通用散列法和排列法的新的理論論述。 作者簡介： Donald.E.Knuth(唐納德.E.克努特，中文名高德納)是演算法和程序設計技術的 先驅者 ，是計算機排版系統TEX和METAFONT的發明者，他因這些成就和大量創造性的影響 深遠的著 作(19部書和160篇論文)而譽滿全球。作為斯坦福大學計算機程序設計藝術的榮譽 退休教授 ，他當前正全神貫注於完成其關於計算機科學的史詩性的七卷集。這一偉大工程在 1962年 他還是加利福尼亞理工學院的研究生時就開始了。Knuth教授獲得了許多獎項和榮 譽，包括 美國計算機協會圖靈獎(ACM Turing Award)，美國前總統卡特授予的科學金獎 (Medal of Science)，美國數學學會斯蒂爾獎(AMS Steele Prize)，以及1996年11月由於發明 先進技 術榮獲的極受尊重的京都獎(KyotoPrize)。現與其妻Jill生活於斯坦福校園內。 評論１： 這套書作為計算機科學類的一流權威著作已經得到了廣泛認可。多年來，無論 在編程 理論上，還是作為學生、研究人員和實際應用者的實踐開發，它的前三卷書都提供 了無法 估量的寶貴資源。 這是一套集所有基礎運演算法則於一身的經典之作。它可以為當今軟體開發人員 提供他 們應該知道的計算機編程知識。 --Byte, 1995年9月 評論２： 無數的讀者都在談論Knuth的書所帶來的深遠影響。科學家驚嘆於分析邏輯之 透徹嚴謹 ，而普通的編程人員也已成功地將書中所列方案運用到他們的日常問題中。所有的 人都非 常贊賞Knuth在這套書中所表現的精確與風趣，並為其明確性與涉及面之廣而感到 欣喜。 我無法向你表達這套書在學習和創造性方面所帶給我的興奮與激動，我已經將 它們帶 入了我的生活，就像我的汽車、飯館、工作、家庭……無所不在。 --Charles Long 評論3： 無論你的背景怎樣，如果你正在進行復雜的計算機編程，你就應該閱讀本套書 中的每 本書，來補充你的專業知識。 當一個問題難以解決，而必須使用Knuth的這套書來解決時，總是一件令人愉 快的事情 。我發現在計算機方面使用它們會有驚人的效果。 文章由 http://www.shlunwen.com/jsjywlw/ 提供

『柒』 求3000字有關數學史的論文

從演算法教學管窺中國古代數學史
俞
昕
( 浙江湖州市第二中學
313000)


關於演算法的涵義, 人們有著不同的界定. 普
通高中數學課程標准( 實驗) 在學生演算法目標達
成度上,重在演算法思想的理解與應用,界定現代算
法的意義就是解決某一類問題的辦法. 確切地說,
就是對於某一類特定的問題,演算法給出了解決問
題的一系列(有窮) 操作, 即每一操作都有它的確
定性的意義( 使計算機能夠按照它的指令工作) ,
並在有限時間( 有窮步驟)內計算出結果.
普通高中數學課程標准( 實驗) 對! 演算法部
分∀進行說明時,突出強調! 需要特別指出的是, 中
國古代數學中蘊涵了豐富的演算法思想∀. 吳文俊
先生曾經說過! 我們崇拜中國傳統數學,決非泥古
迷古、 為古而古. 復古是沒有出路的. 我們的目的
不僅是要顯示中國古算的真實面貌, 也不僅是為
了破除對西算的盲從,端正對中算的認識,我們主
要的也是真正的目的, 是在於古為今用. ∀演算法教
學中蘊涵著豐富的數學史教育價值, 作為新時代
的高中數學教師是有必要了解這一點的.
1
中國古代數學的特點
古代數學思想分為兩大體系, 一個是以歐幾
里得的幾何原本 為代表的西方數學思想體系,
這個體系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封閉的
演繹體系為特色. 另一個則是以我國的九章算
術 為代表的東方數學思想體系,這個體系以演算法
化的思想、 構造性的方法、 開放的歸納體系為特
色.我國傳統數學在從問題出發,以解決問題為主
旨的發展過程中, 建立了以構造性與機械化為其
特色的演算法體系, 這與西方數學以歐幾里得幾何
原本 為代表的所謂公理化演繹體系正好遙遙
相對.
中國古代數學中的! 術∀相當於現代數學術語
中的! 公式∀,兩者雖有相同點(都可以用來解決一
類有關問題) , 其差異也非常之大. 主要表現在,
! 公式∀只提供了幾個有關的量之間的關系, 指明
通過哪些運算可由已知量求出未知量,但並沒有
列出具體的運算程序,一般地,認為這種程序是已
知的了. 但! 術∀則由怎樣運算的詳細程序構成的,
可以說它是為完成公式所指出的各種運算的具體
程序,即把! 公式∀展開為使用某種計算工具的具
體操作步驟. 從這點看, ! 術∀正是現代意義上的算
法, 是用一套! 程序語言∀所描寫的程序化演算法,可
以照搬到現代計算機上去. 我國古代數學包括了
今天初等數學中的算術、 代數、 集合和三角等多方
面的內容.由於受實用價值觀的影響, 中國傳統數
學的研究遵循著一種演算法化思想,這種思想從九
章算術 開始一直是中國古代數學著作大都沿襲
的模式:
實際問題# # # 歸類# # # 籌式模型化# # # 程序化演算法
即將社會生產生活中的問題,先編成應用問題,按
問題性質分類, 然後概括地近似地表述出一種數
學模型, 藉助於算籌, 得到這一類問題的一般解
法. 把演算法綜合起來, 得到一般原理, 分別隸屬於
各章,人們按照書中的方法、 原理和實例來解決各
種實際問題. 可以說,中國傳統數學以確定演算法為
基本內容,又以創造和改進演算法為其發展的方向.
受九章算術 的影響,在之後的幾個世紀,一
些數學家的著作都以演算法為主要特點,包括王孝
通的輯古算經 、 賈憲的黃帝九章演算法細草 、 劉
益的議古根源 、 秦九韶的數書九章 、 李冶的
測圓海鏡 和益古演段 、 楊輝的詳解九章算
法 、 日用演算法 和楊輝演算法 , 這些著作中包括
了增乘開方術、 賈憲三角、 高次方程數值解法、 內
插法、 一次同餘式組解法等一些著名的演算法,進一
步發展了中國古代數學演算法化的特點,使得演算法
的特點得到了進一步的強化和發展.
1
1
中國古代數學的演算法化思想
演算法化的思想是中國古代數學的重要特點,
並貫穿於中國古算整個發展過程之中.即使是與
24 數學通報







2010 年
第49 卷
第2 期圖形有關的幾何問題也不例外,中算家們將幾何
方法與演算法有機地結合起來,實現了幾何問題的
演算法化.這樣,從問題出發建立程序化的演算法一直
是古代中國數學研究的傳統,也是中算家們努力
的方向.這種演算法化的思想著重構造實踐,更強調
! 經驗∀、 ! 發現∀和構造性思維方式下從無到有的
發明,對今天的演算法教學與研究具有重要的啟迪
作用.
中國古代數學演算法化的思想具體表現如下:
第一步,把實際中提出的各種問題轉化為數學模
型;第二步,把各種數學模型轉化為代數方程; 第
三步,把代數方程轉化為一種程序化的演算法; 第四
步,設計( 並逐步改進)、 歸納、 推導(寓推理於演算法
之中)出各種演算法; 第五步,通過計算回溯逐步達
到解決原來的問題.
1
2
中國古代數學的構造性方法
所謂構造性方法是解決數學問題的一種方
法,是創造性思維方式直接作用的結果.按照現代
直覺主義者,特別是構造主義者的觀點,對於一個
數學對象,只有當它可以通過有限次的操作而獲
得,並且在每步操作之後都能有效地確定下一步
所需要採取的操作, 才能說它是存在的.按照這種
思維方式,可以使概念和方法按固定的方式在有
限步驟內進行定義或得以實施,或給出一個行之
有效的過程使之在有限步驟內將結果確定地構造
出來.換言之,就是能用有限的手段刻畫數學對象
並針對問題提出具體的解法.
中國古代數學的演算法化思想與構造性的方法
緊密相連.由於古代中算家所關心的大多是較為
實用的問題,他們在解決問題時首先考慮是如何
得到可以直接應用的、 可以方便操作的解,而不會
滿足於僅僅知道解在理論上的存在性. 因為這種
純粹的理論解對於受實用價值觀影響的中算家來
說是沒有多大意義的.從而我們推斷,構造性方法
的產生是演算法化思想直接作用的結果.
從我國許多經典算書中可以發現, 數學構造
性方法在演算法中有許多精彩的體現. 例如就! 方
程∀的籌算圖陣及其程序設計而言,首先, ! 群物總
雜,各列有數,總言其實∀,這是對每行中未知數的
系數和常數項的安排,其次, ! 令每行為率,二物者
再程,三物者三程,皆如物數程之∀,這是對諸行關
系的安排, ! 並列為行∀又說明了什麼叫! 方程∀. 這
為中國古代數學的構造性方法提供了一個具有說
服力的樣板.
由於構造性的方法特別強調運算的可操作程
度, 所以構造出的! 術∀可以通過一系列有限的運
算求出解來, 具有一般性.時至今日我國古算家所
設計的許多演算法幾乎都可以整套照搬到現代的電
子計算機上實現.這也是我國古算在演算法上長期
居於領先地位的一個重要原因.
2
中國古代數學中的優秀演算法案例
2. 1
中國古代的代數學
代數學是中國傳統數學中一個值得驕傲和自
豪的領域.中小學數學中的算術、 代數內容, 從記
數以至解聯立的線性方程組, 實質上都是中國古
代數學家的發明創造.結合新課程的演算法教學,筆
者選取我國古代著名演算法進行分析.
2. 1. 1
求最大公約數的演算法(更相減損術)
中國古代數學中,未曾出現素數、 因數分解等
概念,但是發明了求兩整數的最大公約數的方
法# # # 更相減損術: ! 可半者半之,不可半者,副置
分母子之數, 以少減多, 更相減損,求其等也.以等
數約之. ∀事實上此術中包含了三個步驟:
第一步, ! 可半者半之∀, 即進行觀察, 若分子、
分母都是偶數,可先取其半;
第二步, ! 不可半者, 副置分母、 子之數, 以少
減多,更相減損,求其等也∀;
第三步, ! 以等數約之∀.
其中第二步! 以少減多, 更相減損∀是關鍵,又
是典型的機械化程序.在中國古代數學中, 將最大
公約數稱作! 等∀.由於! 更相減損∀過程終可以在
有限步驟內實現, 所以它是一種構造性的方法.若
用現代語言翻譯即為:第一步,任意給定兩個正整
數, 判斷它們是否都是偶數. 若是,用2 約減,若不
是, 執行第二步. 第二步, 以較大的數減去較小的
數, 接著把所得的差與較小的數比較, 並以大數減
小數.繼續這個操作, 直到所得的數相等為止, 則
這個數( 等數)或這個數與約簡的數的乘積就是所
求的最大公約數.下面運用 QBA SIC 語言來編寫
相應的程序( 見程序1) .
25 2010 年
第49 卷
第2 期







數學通報程序 1
INPUT! m, n= ∀ ; m, n
IF m< n T HEN

a= m

m= n

n= a
END IF
k= 0
WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0

m= m/ 2

n= n/ 2

k= k+ 1
WEND
d= m- n
WHILE d< > n


IF d> n TH EN



m= d


ELSE



m= n



n= d


END IF


d = m- n
WEND
d= 2 ∃ k * d
PRINT d
END
程序 2
INPUT A, B
WHILE A < > B

IF A> B T H EN

A = A- B

ELSE

B= B - A

END IF
WEND
PRINT B
END
程序 3
INPUT ! M, N (M> N )∀ ; M, N
DO
R= M- N

IF R> N
TH EN

M= R

ELSE

M= N

N= R

END IF
LOOP UNTIL R= 0
PRINT M
END
程序 4
INPUT ! n= ∀ ; n
INPUT! an= ∀; a
INPUT! x= ∀ ; x
v= a
i= n- 1
WH ILE i> = 0

PRINT ! i= ∀; i

INPUT! ai= ∀ ; a

v= v * x+ a

i= i- 1
WEND
PRINT v
END
程序 2和 3 是兩個簡化的參考程序, 是從不
同的角度來實現更相減損的過程.
! 更相減損術∀提供了一種求兩數最大公約數
的演算法, 這是九章算術 的一個重要成就, 與古希
臘歐幾里得的幾何原本 中用來求最大公約數的
! 歐幾里得演算法∀, 即輾轉相除法, 有異曲同工之
妙. 歐幾里得在幾何原本 中針對這個問題引入
了許多概念, 給出了冗長的邏輯證明. 盡管如此,
他還是暗用了一條未加說明的公理, 即如果 a, b
都被c 整除, 則a- mb也能被c 整除.中國古算采
用的! 更相減損∀方法,實際上也暗用了一條未加
說明的公理, 即若 a- b 可以被c 整除,則 a, b 都
能被c 整除. 正如劉徽在九章算術注 中! 其所以
相減者, 皆等數之重疊∀. 從形式上看! 更相減損
術∀比! 輾轉相除法∀更復雜, 循環次數要比輾轉相
除法多, 但對於計算機來說, 作乘除運算要比作加
減運算慢得多, 因此更相減損術在計算機上更為
好用.
26 數學通報







2010 年
第49 卷
第2 期2. 1. 2
求一元 n 次多項式值的演算法(秦九韶算
法)
秦九韶,南宋著名數學家,其學術思想充分體
現在數書九章 這一光輝名著中,該著作不僅繼
承了九章算術 的傳統模式, 對中算的固有特點
發揚光大,而且完全符合宋元社會的歷史背景, 是
中世紀世界數學史上的光輝篇章. 書中記載了! 正
負開方術∀、 ! 大衍求一術∀等著名演算法.
在數書九章 卷五第 17 個問題以! 尖田求
積∀為例的演算法程序中,可以看出秦九韶對於求一
元n 次多項式f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %+ a1x
+ a0 的值所提出的演算法.秦九韶演算法的特點在於
通過反復計算n 個一次多項式,逐步得到原多項
式的值. 在歐洲, 英國數學家霍納( Horner ) 在
1819 年才創造了類似的方法, 比秦九韶晚了572
年.秦九韶演算法把求f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %
+ a1x + a0 的 值 轉 化 為 求 遞 推 公 式
v0= an
vk= vk- 1x+ an- k k= 1, 2, %, n
中 v n 的值. 通
過這種轉化, 把運算的次數由至多( 1+ n) n
2
次乘
法運算和n 次加法運算,減少為至多 n 次乘法運
算和n 次加法運算,大大提高了運算效率.這種算
法的QBASIC 語言程序如程序 4 所示.演算法步驟
是如下的五步: 第一步, 輸入多項式次數 n、 最高
次項的系數an 和x 的值;第二步,將 v 的值初始
化為a v ,將i 的值初始化為n- 1; 第三步, 輸入 i
次項的系數ai ;第四步, v= v x+ ai , i= i- 1; 第五
步,判斷i 是否大於或等於 0, 若是, 則返回第三
步,否則輸出多項式的值v .
2. 2
中國古代的幾何學
中國古代的幾何學從田畝丈量等生產生活中
的一些實際問題中產生, 並為生產生活服務. 基於
傳統實用價值觀的影響, 中國古代的幾何學並沒
有發展成為像歐氏幾何那樣嚴密的公理化演繹體
系,所以中國古代幾何學在整個數學史上的地位
並不突出,但在許多幾何問題的處理上也突出了
演算法化這一特色. 下面以! 割圓術∀為例作簡要
分析.
中國古代數學家劉徽創立! 割圓術∀來求圓的
面積及其相關問題. 劉徽! 瓤而裁之∀,即對與圓周
合體的正多邊形進行無窮小分割,分成無窮多個
以正多邊形每邊為底、 圓心為頂點的小等腰三角
形, 這無窮多個小三角形的面積之和就是圓的面
積. 這樣通過對直線形的無窮小分割, 然後求其極
限狀態的和的方式證明了圓的面積公式.劉徽的
演算法! 割之彌細,所失彌少,割之又割, 以至於不可
割, 則與圓合體而無所失矣∀體現出程序化的過
程, 可以看出圓內接正多邊形逐漸逼近圓的變化
趨勢,並且劉徽依此開創了求圓周率精確近似值
的方法, 將這種極限思想用於近似計算.其中包含
有迭代過程和子程序,是一種典型的循環演算法,充
分體現了程序化的特點.
中算家的幾何學,並不追求邏輯論證的完美,
而是著重於實際計算問題的解決, ! 析理以辭, 解
體用圖∀, 以建立解決問題的一般方法和一般原
則. 但另一方面,這種幾何學又是以面積、 體積、 勾
股相似等為基本概念,以長方形面積演算法、 長方形
體積演算法、 相似勾股形的性質為出發點的, 整個幾
何理論建立在! 出入相補原理∀等基本原理之上.
例如,由勾股定理自然地引起平方根的計算問題,
而求平方根和立方根的方法, 其步驟就是以出入
相補原理為幾何背景逐步索驥而得.這方面內容
的介紹, 不僅可以豐富學生的演算法知識,而且可以
通過揭示蘊藏其中的數學背景和文化內涵, 激發
學生學習演算法的興趣,體會演算法在人類發展史中
的作用.
3
中國古代數學演算法的教學價值
3. 1
培養正確數學觀的良好平台
中國傳統演算法盡管與現代演算法在具體形式上
差別很大,但是重要的是形式後面的認識論發展
線索可以為現代演算法教學的體系、 教學層次提供
依據.它的具體數學知識載體也是現代演算法教學
的重要源泉. 各種演算法的創立就是創造性勞動的
產物,即是創造思維的一種! 凝固∀和! 外化∀. 其
次, 通過把一部分問題的求解歸結為對於現成算
法的! 機械應用∀, 這就為人們積極地去從事新的
創造性勞動提供了更大的可能性. 從而演算法化也
就意味著由一個平台向更高點的跳躍.
吳文俊先生的研究使中國傳統數學的演算法重
見天日, 開拓了數學機械化的新領域, 吳先生提出
! 數學教育的現代化就是機械化∀.他在研究中這
樣寫道: 數學問題的機械化, 就要求在運算和證明
過程中, 每前進一步之後,都有一個確定的必須選
27 2010 年
第49 卷
第2 期







數學通報擇的下一步, 這樣沿著一條有規律的, 刻板的道
路,一直達到結論.證明機械化的實質在於, 把通
常數學證明中所固有的質的困難,轉化為計算的
量的復雜性.計算的量的復雜性在過去是人力不
可能解決的,而計算機的出現解決了這種復雜性.
吳先生的理論和實踐已經表明,證明和計算是數
學的兩個方面, 且又是統一的,這在數學教育中具
有重要意義.我們應當引導學生了解古人對問題
思考的角度,學會站在巨人的肩膀上,比如按照中
國古代開方術的思路就可以編造程序在現代計算
機上實現開方.
培養學生在學習數學知識的同時更多地關心
所學知識的社會意義和歷史意義,力圖在面向未
來的同時,通過同傳統上的哲學、 歷史和社會學的
思想結合起來, 形成正確的數學觀.演算法教學就為
此搭建了一個良好的平台, 並且承載豐富的歷史
底蘊.
3. 2
滲透愛國主義教育的最佳契機
與西方相比, 中算理論具有高度概括與精練
的特徵, 中算家經常將其依據的算理蘊涵於演算
的步驟之中, 起到! 不言而喻, 不證自明∀的作用,
可以認為中國傳統數學乃是為建立那些在實際中
有直接應用的數學方法而構造的最為簡單, 精巧
的理論建築物. 因此, 中算理論可以說是一種! 綱
目結構∀:目是組成理論之網的眼孔;綱是聯結細
目的總繩.以術為目, 以率為綱,即是依演算法劃分
理論單元,而用基本的數量關系把它們連結成一
個整體. 綱舉目張,只有抓住貫串其中的基本理論
與原理, 才能看清演算法的來龍去脈.下面是吳文俊
先生總結的! 關於算術代數部分發明創造的一張
中外對照表∀.
從演算法教學管窺中國古代數學史
中國 外國
位值制十進位記 最遲在九章算術 成書時已十分成熟 印度最早在 6 世紀末才出現
分數運算 周髀算經 中已有, 在九章算術 成
書時已成熟 印度最早在 7 世紀才出現
十進位小數 劉徽注中引入, 宋秦九韶 1247年時已
通行 西歐 16 世紀時始有之, 印度無
開平方、 立方 周髀算經 中已有開平方, 九章算
術 中開平、 立方已成熟
西方在 4 世紀末始有開平方, 但還無開立方, 印度
最早在 7 世紀
算術應用 九章算術 中有各種類型的應用問題 印度 7 世紀後的數學書中有某些與中國類似的問
題與方法
正負數 九章算術 中已成熟 印度最早見於 7 世紀,西歐至 16 世紀始有之
聯立一次方程組 九章算術 中已成熟 印度 7 世紀後開始有一些特殊類型的方程組, 西
方遲至 16 世紀始有之
二次方程 九章算術 中已隱含了求數值解法,
三國時有一般解求法 印度在 7 世紀後,阿拉伯在 9世紀有一般解求法
三次方程 唐初( 公元 7 世紀初) 有列方程法, 求
數值解已成熟
西歐至 16 世紀有一般解求法, 阿拉伯 10 世紀有
幾何解
高次方程 宋時( 12 # 13 世紀)已有數值解法 西歐至 19 世紀初始有同樣方法
聯立高次方程組與消元法 元時( 14 世紀初) 已有之 西歐甚遲,估計在 19 世紀
28 數學通報







2010 年
第49 卷
第2 期3. 3
品位數學美學思想的美妙境界
中國古代數學不但具有實用性特徵, 還蘊涵
著豐富的美學思想. 比如九章算術 中列方程的
方式,相當於列出其增廣矩陣,其消元過程相當於
矩陣變換,而矩陣是數學美學方法中對稱最典型
的表現形式之一; 九章算術 中用幾何方法巧妙
地解決了很多代數問題, 這是數形結合的統一: 把
數學問題改編成歌訣,以便於掌握和傳授,這是文
學藝術與數學的統一. 總之, 在演算法教學中, 應努
力把握和利用自己文化傳統中的積極因素進行教
學,這對數學教育的發展具有重要的意義.
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(上接第23 頁) 實驗教師對課改實驗進行探索、 總
結、 反思、 調整, 推廣比較成熟的經驗,同時糾正實
驗過程中的偏頗與極端行為,教學過程逐步進入
新的穩定階段.教學過程逐步過渡到以問題為主
線、 以活動為主線的! 無環節∀模式.
( 2)受不同的教學理念影響, 教師角色、 學生
角色、 教學目標、 教學過程關注點等方面, 在教學
過程中有很大差異.
教師角色 學生角色 教學目標 教學過程關注
領導者
(權威)
接 受 者
(被動)
讓 學 生 掌
握 數 學 知
識技能
知識 引入, 講 解
本質, 鞏固練習
主導者
(決定)
觀 察 者
(協助)
讓 學 生 觀
摩 數 學 產
生過程
展示 過程, 注 重
建構, 強化訓練
引導者
(組織)
參 與 者
(主動)
讓 學 生 參
與 探 究 數
學 生 成 過
程
問題 情境, 提 出
問題, 學生活動
( 3) 2004 年高中數學課程改革後, 課堂教學
發生一定的變化,廣泛地進行! 創設情境∀! 提出問
題∀!引導學生探究探索∀, 出現了以! 問題主線∀、
! 活動主線∀為主的課堂, 出現了! 問題情境學生
活動建立數學運用數學同顧反思∀的整體課堂
構思.這些改變對於揭示數學的內在本質, 發展學
生的思維能力起到積極的作用.
( 4) 由於受多種因素制約(特別是高考) ,與初
中相比, 本次課改後高中數學課堂教學變化幅度
不大,近半數的課堂教學模式仍然以五環節為主.
對於課改倡導的教學理念, 只是滲透在傳統的教
學模式中,目前高中數學課堂教學改革的力度、 深
度與課改的預期目標還有一定的距離.我們看到
2008 年的賽課教案的創新、 探索力度, 遠沒有
1990 年的名師授課錄 大, 那時還沒有明確提出
課改理念,但他們卻進行積極的探索, 關注學生主
體. 而今天,課改的理念已經系統培訓 5 年, 許多
教師仍停留在形式層面,未能變成自覺的行為.
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2000 年全國首屆高中青年數學教師優秀課觀摩與評比的教
案(會議資料)
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2008 年全國第四屆高中青年數學教師優秀課觀摩與評比的
教案(會議資料)
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2008, 1
29 2010 年
第49 卷
第2 期







數學通報