開平方演算法數學

『壹』 筆算開平方怎麼算

先求高位，再用求解的方式，求得低位。

根據兩數和的平方公式，可以得到：

1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，

所以 1156－30^2=2×30a+a^2，

即 256=(30×2+a)a，

這就是說， a是這樣一個正整數，它與30×2的和，再乘以它本身，等於256。

為便於求得a，可用下面的豎式來進行計算：

根號上面的數3是平方根的十位數．將 256試除以30×2，得4(如果未除盡則取整數位).由於4與30×2

的和64，與4的積等於256，4就是所求的個位數a。

豎式中的余數是0，表示開方正好開盡。

於是得到 1156=34^2， 或√1156=34。它的計算步驟如下。

開方的計算步驟：

1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開（豎式中的11』56），分

成幾段，表示所求平方根是幾位數。

2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）。

3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數（豎式中的256）。

4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商（3×20除256，所得的

最大整數是 4，即試商是4）。

5．用商的最高位數的2倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方

根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小再試（豎式中（3×20+4）×4=256，說明試

商4就是平方根的第二位數）。

6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數。

如遇開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值．例如求 的近似值（精確到0.01），可

列出上面右邊的豎式，並根據這個豎式得到。

筆算開平方運算較繁，在實際中直接應用較少，但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精

確度的近似值。

(1)開平方演算法數學擴展閱讀：

開立方運算：

設A = X^3,求X稱為開立方。 開立方有一個標準的公式：

例如，A=5，,即求

5介於1的3次方;至2的3次方;之間（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們取X0 = 1.9按照公式：

第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+

(-0.1716528)=1.7。即取2位數值,，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多

取一位數。

第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709

第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099

『貳』 開方怎麼算

舉個例子，1156是四位數，所以它的算術平方根的整數部分是兩位數，且易觀察出其中的十位數是3。於是問題的關鍵在於：如何求出它的個位數a？為此，我們從a所滿足的關系式來入手。

根據兩數和的平方公式，可以得到

1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，

所以1156－30^2=2×30a+a^2，

即256=(30×2+a)a，

也就是說， a是這樣一個正整數，它與30×2的和，再乘以它本身，等於256。

為便於求得a，可用下面的豎式來進行計算：

根號上面的數3是平方根的十位數。將 256試除以30×2，得4(如果未除盡則取整數位).由於4與30×2的和64，與4的積等於256，4就是所求的個位數a。豎式中的余數是0，表示開方正好開盡。於是得到 1156=34^2， 或√1156=34.上述求平方根的方法，稱為筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根，它的計算步驟如下：

開方的計算步驟

1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用「 ' 」這個符號分開（豎式中的11』56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；

3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數（豎式中的256）；

4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，所以試商是4）；

5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商，如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小之後再試（豎式中（20×3+4）×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數）；

6．用相同的方法，繼續求平方根的其餘各位上的數。

如碰到開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值。例如求其近似值（精確到0.01），可列出上面右邊的豎式，並根據這個豎式得到。

筆算開平方運算較復雜，在實際中直接應用較少，但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值。

『叄』 開平方的計算公式

開平方的計算方法是這樣的，從後往前數，每隔2位打一個分隔記號。
800記作8』00
從第一個數8開始，最大且接近8的平方數為4（2的平方），所以更號的第一位為2.
8-4餘4向下落，補充分隔號後面的2位，得400

將更號的第一位乘以20（即2*20）得40,
設一個x（這個x就是第二位）令(40+x)*x最接近400，x得8，更號的第二位為8

餘400-48*8=16
16繼續往下落，接下來是小數點後面補2個0上來，得1600

前面的28乘以20得560
設一個x（這個x就是第三位，已經在小數點後面了）令(560+x)*x最接近1600，得x=2

至此已得出28.2

以此類推。

有不清楚的歡迎追問

『肆』 開方的簡便演算法

一、開平方的手動演算法
此方法是在高一學萬有引力和航天時，因需要大量開平方運算又不能用計算器，而被逼無奈研發的。
開平方的整個過程分為以下幾步：
（一）分位
分位，意即將一個較長的被開方數分成幾段。具體法則是：
1、分位的方向是從低位到高位；
2、每兩個數字為一段；
3、分到最後，最高位上可以不滿兩個數字，但不能沒有數字。
如：43046721分位後是43｜04｜67｜21
12321分位後是1｜23｜21
其中，每段中間的豎線在熟練了以後可不必寫。
分位以後，其實就能看出開方後的結果是幾位數了，如43046721分位後是四段，那麼開方結果就是四位數。
（二）開方
開方的運算過程其實與做除法很類似，都有一個相乘以後再相減的過程。
這里以43046721為例。
分位後是43｜04｜67｜21
運算時從高位到低位，先看前兩位43，由於62最接近43而不超過43，因而商（這里找不到合適的字眼，因而沿用除法時的字眼）6，然後做減法（如下圖）：
6
———————————————
4
3｜0
4｜6
7｜2
1
3
6
————————
7
0
4
這里一次落兩位，與除法不同。
下面的過程是整個演算法中最復雜的部分，稱為造數，之所以用這個詞是因為算出最後要減掉的數的過程較為麻煩。
首先，將已商數6乘以2：6×2=12
這里的12不是真正的12，實際上是120，個位上的0之所以空出來是為了寫下一個要商的數。
我們不妨假設下一個要商的數為A，我們下面要考慮的問題就是：從0-9中找一個A，使得：
12A×A最接近但不超過上面餘下的數704。注意，A在這里代表一個數位，若A=6，那麼12A的含義不是12×6，而是126。
以上過程與除法中的試商的過程很類似。
經驗證，125×5=625符合要求，因此下一個要商的數就是5。（如下圖）
往下依此類推：
65
×2
———
130
1306
×
6
————
7836
656
×2
———
1312
13121
×
1
————
13121
所以，43046721的算術平方根為6561
從開方的過程中我們可以看出，越到後面，計算量越大，因此，憑我們的計算量，再算一些開不盡的數時，如7的算術平方根，其精確程度是非常有限的。
以上就是開平方的一般方法，請列位指教。
二、開立方的手動演算法
此方法是昨天剛剛研發成功的，為了應付在由體積求分子半徑時產生的開立方的運算。
開立方的方法與開平方的方法很類似，但要復雜很多，如果不能熟練掌握，倒不如按大臉貓說的方法：湊！當然，熟練掌握以後，比湊的方法是快多了。
開立方的過程分以下幾步：
（一）分位
與開平方基本一致，只有一點：這次是每三位為一段
（二）開方
這里以41063625為例
第一個要商的數的確定與開平方是類似，只是變成了要找一個數的立方（如下圖）：
3
——————————————
4
1｜0
6
3｜6
2
5
2
7
————————
1
4
0
6
3
一次落三位！
下面的造數過程是最麻煩的，流程如下：
1、將已商數乘以3。3×3=9
2、將要商的數乘以3後，向後錯一位加在第1步算出的數上：
4×3=12
9
+
12
———
102
3、將第2步得出的數乘以已商數：102×3=306
4、將要商的數平方以後，向後錯一位加在第3步算出的數上
42=16
306
+
16
————
3076
5、將第4步中算出的數乘以要商的數，使它最接近又不超過餘下來的數：
3076×4=12304
12304就是我們要造的數，將這個數代回原來的開方式減掉就可以了。
3
4
——————————————
4
1｜0
6
3｜6
2
5
2
7
————————
1
4
0
6
3
1
2
3
0
4
—————————————
1
7
5
9
6
2
5
有人肯定會問，你怎麼知道要商的數就是4？的確，我一開始也不知道，確定要商的數的過程實際上就是類似開平方中的試商的過程，但這個過程比開平方是要繁瑣得多。
當做完造數過程的第1步以後，得出了9這個數，由於不知道應該商幾，所以，我們可以先假設商0，那麼依據第2步，90×3=270。270錯位加一個數，等於擴大了10倍還多，由於我們假設商0，由第3步，270變成了2700。這是我們就要看一看2700乘以一個什麼數最接近且不超過14063，這個數可能（這里說「可能」的原因從下文可以看到）就是我們要商的數。乍一看5非常合適，但你要考慮到我們在假設商0時少加了多少東西，所以商5可能就超了。經驗告訴我們，4和5都有可能，此時我們可先取5為要商的數，然後進行1-5各步，結果發現的數已經超過了14063，因此4就是我們要商的數。
註：這個試商的過程在熟練了以後是一眼就能看出來的。
下面的步驟可依此類推：
34
×3
————
102
+
15
（3×5）
————
1035
×
34
————
4140
3105
————
35190
+
25
52
————
351925
×
5
————
1759625
這里的5是怎麼商出來的不用我再說一遍了吧？
整個流程相當繁瑣，丟其中任何一步都可能導致前功盡棄，因此必須要求計算準確。熟練了以後，速度是可以保證的。我曾經把手動開方法和湊數法比較過，前者比後者至少快一倍。
另外，值得注意的是：如果已知結果是整數，那麼結果最後一位的確定可不必用以上方式，直接根據立方數末位的特異性就可確定，但前提是對1-9的立方表非常熟悉。1-5的立方表同志們應該都很熟悉，以下幾個是不常用的：
63=216
73=343
83=512
93=729
結語：這兩種方法可用來准確地進行開平方及開立方的運算，只要有耐心，想算幾位就算幾位。但開立方的過程實在是很復雜，很可能還存在優化方案，但由於時間緊迫，我沒有再考慮其他的方法。同志們誰要是有興趣，可以使這優化這兩個演算法，我的方法僅供參考。

『伍』 開方的計算方法

開平方運算也即是開平方後所得的數的平方即原數，也就是說開平方是平方的逆運算。
例：求256的平方根

第一步：將被開方數的整數個位起向左每隔兩位劃為一段，用逗號分開，分成幾段，表示所求平方根是幾位數。
例，第一步：將256，分成兩段：
2，56
表示平方根是兩位數（XY，X表是平方根十位上數，Y表示個位數）。

第二步：根據左邊第一段里的數，取該數的平方根的整數部分，作為所要求的平方根求最高位上的數。
例：左邊第一段數值是2，2的平方根是大約等於1.414（這些盡量要記得，100以內的，尤其是能開整數的），由於2的平方根1.414大於1和小於2，所以取整數部分是1作為所要求的平方根求最高位上的數，即所要求的平方根最高位X是1。

第三步：從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數。
例：第一段數里的數是2.第二步計算出最高數是1
2減去1的平方=1
將1與第二段數（56）組成一個第一個余數：156

第四步：把第二步求得的最高位數（1）乘以20去試除第一個余數（156），取所得結果的整數部分作為第一個試商。
例： 156除以（1乘20）=7.8
第一個試商就是7

第五步：第二步求得的的最高位數（1）乘以20再加上第一個試商(7)再乘以第一個試商(7)。
（1*20+7）*7
如果：（1*20+7）*7小於等於156，則7就是平方根的第二位數.
如果：（1*20+7）*7大於156，將第一個試商7減1，即用6再計算。
由於：（1*20+6）*6=156所以，6就是第平方根的第二位數。

例：求55225的平方根
第一步：將被開方數的整數個位起向左每隔兩位劃為一段，用逗號分開，分成幾段，表示所求平方根是幾位數。
例，第一步：將55225，分成三段：
5，52，25
表示平方根是三位數（XYZ）。

第二步：根據左邊第一段里的數，取該數的平方根的整數部分，作為所要求的平方根求最高位上的數。
例：左邊第一段數值是5，5的平方根是（2點幾）大於2和小於3，所以取整數部分是2作為所要求的平方根求最高位上的數，即所要求的平方根最高位X是2。

第三步：從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數。
例：第一段數里的數是5.第二步計算出最高數是2
5減去2的平方=1
將1與第二段數（52）組成一個第一個余數：152
第四步：把第二步求得的最高位數（2）乘以20去試除第一個余數（152），取所得結果的整數部分作為第一個試商。
例： 152除以（2乘20）=3.8
第一個試商就是3

第五步：第二步求得的的最高位數（2）乘以20再加上第一個試商(3)再乘以第一個試商(3)。
（2*20+3）*3
如果：（2*20+3）*3小於等於152，則3就是平方根的第二位數.
如果：（2*20+3）*3大於152，將第一個試商3減1，即用2再計算。
由於：（2*20+3）*3小於152所以，3就是第平方根的第二位數。

第六步：用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數。用上一個余數減去上法中所求的積（即152－129＝23），與第三段數組成新的余數（即2325）。這時再求試商，要用前面所得到的平方根的前兩位數（即23）乘以20去試除新的余數（2325），所得的最大整數為新的試商。（2325/(23×20)的整數部分為5。）
7．對新試商的檢驗如前法。（右例中最後的余數為0，剛好開盡，則235為所求的平方根。）

『陸』 什麼是開平方

開方的定義：開方，指求一個數的方根的運算，為乘方的逆運算。

開方的理解：比如2的平方是4，3的平方是9，2的立方是8，3的立方是27。則逆運算，4開方是2（開二次方，取正數），9開方是3，8開立方是2，27開立方是3。

開方名稱的來歷：《周髀算經》卷上「勾股圓方圖」 漢趙君卿 註：「勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也。」譯文：直角三角形的兩邊各自平方相加，對它開方即得第三邊。

乘法的計演算法則：

數位對齊，從右邊起，依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數，乘到哪一位，得數的末尾就和第二個因數的哪一位對齊。

兩位數的十位相同的，而個位的兩數則是相補的（相加等於10）。

（1）分別取兩個數的一位，而後一個的要加上一以後，相乘。

（2）兩個數的尾數相乘，（不滿十，十位添作0），口決：頭加1，頭乘頭，尾乘尾。

『柒』 如何手算開平方

例如：65536的手算開平方

Step1：將被開方數(為了形象，表述成「被除數」，此例中即為65536)從個位往高位每兩位一斷寫成6,55,35的形式，為了方便表述，以下每一個「,」稱為一步。

Step2：從高位開始計算開方。例如第一步為6，由於2^2=4<6<9=3^2，因此只能商2(這就是和除法不同的地方，「除數」和「商」的計算位必須相同)。於是將2寫在根號上方，計算開方余項。即高位余項加一步低位，此例中，即為高位余項2和低位一步55，余項即為255。

Step3：將Step2得到的第一步開方得數2乘以20(原理在後面證明)作為第二步除數的高位。即本步除數是4x(四十幾)。按照要求，本步的商必須是x。因為45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。

Step4：按照類似方法，繼續計算以後的各步。其中，每一步的除數高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除數高位就是25×20=500，所以第三步除數為50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最終計算結果。

(7)開平方演算法數學擴展閱讀：

整數開平方步驟：

（1）將被開方數從右向左每隔2位用撇號分開；

（2）從左邊第一段求得算數平方根的第一位數字；

（3）從第一段減去這個第一位數字的平方，再把被開方數的第二段寫下來，作為第一個余數；

（4）把所得的第一位數字乘以20，去除第一個余數，所得的商的整數部分作為試商（如果這個整數部分大於或等於10，就改用9左試商，如果第一個余數小於第一位數字乘以20的積，則得試商0）；

（5）把第一位數字的20倍加上試商的和，乘以這個試商，如果所得的積大於余數時，就要把試商減1再試，直到積小於或等於余數為止，這個試商就是算數平方根的第二位數字；

（6）用同樣方法繼續求算數平方根的其他各位數字。2、小數部分開平方法：求小數平方根，也可以用整數開平方的一般方法來計算，但是在用撇號分段的時候有所不同，分段時要從小數點向右每隔2段用撇號分開。

如果小數點後的最後一段只有一位，就填上一個0補成2位，然後用整數部分開平方的步驟計算。

任意數開立方根筆算步驟如下:

1、把所求數從右往左每3位分一段分成若干段,從左往右開始計算；

2、先從最左邊一段開始計算。用試演算法得出這段的得數（該得數要取其立方不溢出所求數第一段上的數時的最大數）設該得數為A；

3、把第一段所求數與A^3的差,在其後面按位補上第二段的數,為第二段要算的數（所求數），取一個試算數B,在計算紙的其它地方第一行寫上3A^2,第二行往右移一位寫上3AB,第三行往右移一位寫上B^2,用豎式加法算出這三行數的和(上面兩行數,相應空位補上0).用這個和乘以試算數B所得的積與該段所求數進行比較.試算出最大的B(積不溢出所求數),該數B即為第二段上的得數.把該得數寫在算式相應段的上方。

4、相同的方法進行下一段的計算，所不同的是A要取前面已算出的得數，（如前面兩位得數分別是1，3，A就取13，如算到第四段，前面三位數分別是1，3，5，A就取135，）試算出相應的B寫在該段上方。

5、算到最後一段，如最後試算出來的余數不為0，則說明所求數的立方根不是整數，此時，用與求開方相似的方法，在該數後面補一段000，再算出的得數就是小數點後的第一位數，還有餘數，再補三位0，只到余數為0或者至算至足夠的小數位即可。

『捌』 平方根計算方法

【平方根計算步驟】

1. 將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開（豎式中的11』56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

   

2. 根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；

3. 從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數（豎式中的256）；

4. 把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，即試商是4）；

5. 用所求的平方根的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小再試（豎式中（20×3+4）×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數）；

6. 用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．

如遇開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值．

【開平方】

求一個數a的平方根的運算，叫做開平方,其中a叫做被開方數。在實數范圍內a必須大於或等於零，即a為非負數；