㈠ 卡爾曼濾波（KF）和擴展卡爾曼濾波（EKF）相應推導
卡爾曼濾波(KF)與擴展卡爾曼濾波(EKF)在控制論與資訊理論的連接上具有卓越的貢獻，用於在姿態解算、軌跡規劃等領域提供准確狀態估計。卡爾曼濾波本質上是參數化的貝葉斯模型，通過預測下一時刻系統狀態（先驗估計）與測量反饋相結合，獲得更為精確的後驗估計，核心思想是預測+測量反饋，通過卡爾曼增益實現權重關聯，最終逼近系統真實狀態。卡爾曼濾波在時域中直接預測狀態，避免了頻域變換步驟，適用於工程與金融等廣泛領域。
一、卡爾曼濾波的定義：
卡爾曼濾波是一種利用線性系統狀態方程，結合系統輸入輸出觀測數據，對系統狀態進行最優估計的演算法。其目的是通過觀測數據濾除雜訊與干擾，實現狀態的最優估計。
1.1 線性系統狀態方程：
線性系統狀態方程描述了系統內部狀態變數間或狀態變數與系統輸入變數間的關系。狀態方程是基於系統內部結構的完整描述。
1.2 觀測數據：
觀測數據是感測器採集的實際信息，可能包含誤差，如陀螺儀積分誤差。
1.3 最優估計：
最優估計是指KF演算法解算數據與真實值無限接近的過程，即後驗概率估計接近真實值。
二、卡爾曼濾波演算法流程：
卡爾曼濾波的核心是預測+測量反饋，包含兩部分：狀態預測與觀測反饋。
2.1 狀態預測方程：
預測方程由狀態轉移系數矩陣A、控制輸入增益矩陣B與過程激勵雜訊協方差矩陣Q組成。
2.2 觀測方程：
觀測方程由量測系數矩陣H與測量雜訊協方差矩陣R構成。
2.3 擴展卡爾曼濾波EKF流程：
EKF通過將非線性系統線性化，進行卡爾曼濾波，適用於非線性系統。EKF存在局限性，如在強非線性系統中可能發散，且計算過程繁瑣。
三、卡爾曼濾波模型：
卡爾曼濾波應用前提包括系統可觀測、線性系統與雜訊統計特性可獲知。應用中常假設雜訊為高斯白雜訊。模型包含預測與後驗估計，利用協方差矩陣描述誤差。最小均方差估計旨在最小化估計誤差。
四、卡爾曼濾波模型解析：
卡爾曼濾波器通過預測與測量反饋估計離散過程狀態變數。利用數學模型與感測器數據進行加權平均，以減小誤差。模型包括狀態預測、觀測反饋、最小均方差估計與卡爾曼增益計算。Kf演算法通過調整增益矩陣實現狀態估計的優化。
卡爾曼濾波器的基本流程包括狀態預測、測量更新與卡爾曼增益計算。在非線性系統中，EKF通過線性化過程進行卡爾曼濾波。濾波器的核心在於預測下一時刻的狀態，並結合測量反饋進行最優估計。
通過本文的分析，卡爾曼濾波及擴展卡爾曼濾波在狀態估計、控制論與資訊理論的應用中展現出卓越性能，為解決復雜系統狀態估計問題提供了有效工具。