分形维数计算法

❶ 分形维数表达的是一个什么概念

表达了有一些看上去不规则的事物实际上可以用内在的规律表征，这个表征就是分形（fractal），表征的程度就是分形维数（fractal dimension），分形更是一种认知自然世界的世界观、方法论，你需要去看书，多看相关的东西，才能有深刻的了解，我只是编制过分形维数计算程序，有一些了解，好久都没看了，加油好好学。。。

❷ 迭代、分形和混沌

地球物理场能量很小，除天然地震震源物理研究外，场正演问题都归结为线性偏微分方程。但是，反问题都是非线性的。

5.1.1 牛顿迭代与分形

非线性迭代的最基本方法是牛顿迭代法。也就是说，将函数展成台劳级数，略去高次项，从一次项中提出修改增量和Jacobian矩阵，构成线性方程组。牛顿迭代法收敛很快，但是收敛取决于初始猜测。

1988年，Petigen与Saupe的论文集中发表了一个有趣的试验结果，他考虑以下简单的非线性方程

z³-1=0 （5.1.1）

此方程的一个实根为z=1，两个复根为

z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）

用牛顿迭代格式

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来逼近，得到的是实根还是哪一个复根？

当然，初值z₀可以是复平面z=x+iy中的任一点。可以猜测，z₀在复平面上可以分为若干个区域，z₀在某个区域用式（5.1.3）作迭代后收敛，在另外的区域收敛于复根。习惯于线性思维的人会认为这些区域是有清晰边界分开的几块，如z₀等于1的邻域牛顿迭代将收敛于实根z=1，它的面积大约占z平面的1/3左右，而其他区域收敛于复根。事实并非如此，初值z₀的收敛域是分形的，如图5.1所示。从图5.1 可见，黑色区域的面积的确是选初值区域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的边界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。为什么像式（5.1.1）那么简单的迭代格式会导致这么复杂的分形图像？为什么初值在这种边界上的微小变化会使迭代收敛到完全不同的根？

图5.1 实虚轴在（-2，2）范围内的复平面z黑色区域经牛顿迭代后收敛于实根z=1初值区，白色为收敛于复根的区域

问题归结为方程（5.1.1）的非线性，而非线性是系统走向混沌的必要条件。对于非线性系统，初值的微小变化会使系统状态在几个“吸引子”之间回弹，其几何表现就是分形。

5.1.2 分形地球模型

本书把地球参数看成是实函数集，即Hilbert空间的元，这是确定性模型。确定性模型隐含着地球物质有序分布的假定，而随机模型隐含着地球物质随机分布的假定。我们现在进一步假定地球物质分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的层次结构，这就导致地球的分形模型。

从分形的观点描述地球的根据是：地球是无标度的复杂对象，其尺度可由几毫米的微裂缝到上万公里的地球直径，而不同尺度之间的现象具有相似性。

人有特征尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的东西也有特征尺度，如火车的高度在2m上下，轮船和高楼平均为几十米，这种特征尺度称为标度。

自然现象一般具有多尺度的特征，没有特征尺度。分形几何学把不同尺度的现象用标度律联系起来

p（λt）=λ^αp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）

式中p（t）为某种层次的尺度，p（λt）为它放大λ倍之后的尺度，α为标度指数。而

D₀=2-α （5.1.5）

等于Mandelbrot分维数。

维数指的是几何对象中的一个点所置的独立坐标的个数，如地球表面的一个点用经纬度表示，它的维数是2。在分形几何学中，维数可以为分数，分数的维数称为分维数。

对二维情况，一个正方形每边都放大3倍（尺度放大），则变为9个原正方形，有

2=l n9/l n3

对整数维为d的几何对象，每个方向都放大L倍，结果得到N个原来的对象，有

d=lnN/lnL

每个方向放大L倍等效于此方向测量尺度（或度量的单位）缩小为原来的ε=1/L倍。因此，在一般情况下，用很小的度量单位ε研究对象的尺度变化时，可定义

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这就是Mandelbrot分形维。

1992年Korvin编了一本名为《地学中的分形模型》的书，书中列举了与地球科学有关的许多分形模型。其中谈到，1984年美国地调所出动数十辆消防车对内华达岩石出露区进行冲洗，然后对其裂隙作详细填图，得出该区裂隙系统的平均分维数为1.744。用大尺度的区域断裂构造图计算此区断裂系统的分维数为1.773，证实了不同层次的地球断裂系统之间具有自相似性。陈颙与特科特等人的专着对此也有精彩的描述。

关于分形几何学与其他分维数（如相关维D₂、信息维D₁等）的讨论详见有关专着。以下只介绍对时间序列计算分形维D₀的方法。传统的介绍D₀分维数的方法多用时间系列的功率谱计算。由于地球物理资料的功率谱在高频段含有大量噪音，这种计算方法几乎不能用。我们只研究以下算法，在反射地震资料处理上取得良好效果。

对平面曲线，其总长度为

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式中：ε为度量单位（尺子）；N为量得的尺数；f为尺子量完后的剩余长度（f＜ε）；D₀为Mandelbrot分形维数。将式（5.1.7）两边取对数，有

ln（N+f/ε）=-D₀lny+lnL （5.1.8）

设时间序列为 ｛s₁，s₂，…，s_m｝，取样率为Δt，则用ε₁=Δt为尺子量出它对应的曲线长度为

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再令ε₂=2Δt为尺子量出，有

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取ε₃=4Δt，有

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将式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程

ln（N_j+f_j/ε_j）=-D₀lnε_j+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）

用最小二乘法易求出方程组（5.1.12）中的两个未知数D₀和L。当然，还可取ε₄=8Δt等，以提高求分形维D₀的准确度。下节还要提到，反演迭代输出序列的分形维是指示迭代状态的一种有用参数。

5.1.3 非线性迭代与混沌

设x_n为第n步的迭代输出，x_n+1为下一步的迭代输出，二次方程

x_n+1=rx_n（1-x_n） （5.1.13）

虽然很简单，但迭代过程（演化）却是很复杂的。这个方程称为May生态方程。将x_n+1及x_n视为若干年后池塘中大鱼的产量，由于x_n越大繁殖就越多，所以x_n+1与它成正比；又因大鱼越多吃的小鱼也越多，x_n+1又与（1-x_n）成正比。这就是生态方程的含义，系数r与饲料总量有关。

将x_n及x_n+1视为若干年后你的一笔银行存款的总值，当年存款x_n越多次年本利就越多，所以x_n+1与x_n成比例。但是，存款越多银行利率下降越多，x_n+1又与（1-x_n）成比例。系数r为控制参数，与银行存款总量有关。可见，生态方程反映许多自然与人文发展的规律。

将（5.1.13）式中的x_n+1视为常数，则它是一个关于x_n的二次方程，有两个根。这意味着演化问题存在两种选择（线性问题只有一种选择）。x_n有两种选择将造成迭代输出不稳定，在两种选择中跳来跳去。例如，池塘鱼的产量和水果产量常出现大年与小年的区别，这种演化成为二齿分叉（Pitchfork bifurcation）。

分叉取决于控制参数r，二齿分叉可能不断进行下去，即由两叉变四叉，四叉变八叉。具体地说，随r从很小变到r=r₁=1.0时，开始第一次分叉。当r=r₂=3时，再次分四叉等等。此后，迭代变得非常不稳定，并很快变得没有规律和不可预测（即混沌）。

图5.2示出二次映射的迭代输出随控制系数的分叉过程，以及相应的Lyapunov指数。由图可见，二次映射迭代随外部控制参数r的增大导致有规律的分叉，直至走向混沌。

图5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代输出x_n随r的变化，黑色区表示混沌区（a），以及Lyapunov指数的变化（b）

在非线性动力学中，混沌指的是非线性系统演化的一种不确定和无规则状态。分叉、间歇、突变（如相变）都是典型的不规则状态。在地球科学中，火山爆发是典型的间歇，地震发生是能量的突然释放，其形成的断裂裂隙具有分形结构。

混沌发生的必要条件是系统为非线性。多层次的复杂非线性系统（如人类社会）由于其自组织的困难，较易演化为混沌运动（如战争）。开放的耗散（Dissipative）系统由于固有的非线性性质，也经常出现混沌。但是，非线性只是混沌运动发生的必要条件，而不是充分条件。混沌运动的特征如下。

（1）不可预测性，指初始条件有微小的差别将导致最终结果迥然不同。设迭代映射方程为x_n+1=f（x_n），例如当f为二次函数时，它变成（5.1.13）的May生态方程。f在一般情况下指任何导致混沌结果的函数。如果初始条件x₀带有微小的误差ε₀，经过N次迭代后其误差被指数放大，记f_N（x₀+ε）为带误差的迭代输出，有

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因此定义

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为Lyapunov指数。还可将式（5.1.15）写为

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可见Lyapunov指数表示经N次迭代后系统演化轨道加速偏离的指数。设|ΔI|为经过一次迭代后系统信息的平均损失，有

λ（x₀）=ln2|ΔI| （5.1.17）

说明λ与|ΔI|成正比。根据Shannon信息论，系统信息量等于该系统作完备描述编码所需的最小bit数目。当λ＞0时，每次迭代的信息损失都大于零，系统的熵不断增大以导致混沌的发生。图5.2（b）示出了二次迭代的λ随r的变化并将它与系统的分叉和混沌作对比。由图可见，λ＜0时对应的系统稳定，在λ=0的点系统发生分叉，而λ＞0的点对应混沌。因此，Lyapunov是指示状态的重要标量参数。

（2）整体行为的有规律性。虽然系统在未来的具体状态具有不确定性和不可预测，但是“表面上看起来疯狂杂乱，其实自有规矩”（莎士比亚）。所有系统演化的轨迹形成的相空间的图形中，存在若干个吸引轨迹的若干个很小的空间（成为吸引子），使轨迹不断收缩到其中，或者突跳到另一个吸引子附近。这种现象表示整体行为仍具有整体性。

整体行为的规律性还表现在不同层次的运动的相似性（分形）上。Feigenbaum证明，无论是哪种形如x_n+1=f（x_n）的混沌运动，其转化为混沌的尺度特征都由两个普适常数控制，更说明混沌理论具有整体规律性。

形式周期性，混沌状态的发生有时会重复出现，但这种重复是不确定的。例如，大地震的发生时多时少，既包括高频度的重复出现，又没有准确的周期。

非线性科学研究的全面展开，还是20世纪90年代的事。19世纪建立了线性科学的理论框架，它在20世纪发展为完整的体系。但是非线性科学理论框架的建立，将是21世纪的事。对正问题的研究尚且如此，对非线性问题的研究更加零星。接下来介绍根据混沌理论进行非线性反演的一些实例。

❸ 分形的盒维数的定义是什么

就是一种测量距离空间(X, d)（特别是豪斯多夫空间）比如欧氏空间 Rn 中分形维数的计算方法

❹ 分形维数的计算方法有那些能具体说一下吗

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部着作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新着《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。三动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（！）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。 动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，着名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。 复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。 M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。 巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生着名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。 一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。 多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。四分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。

❺ 分形维数计算用什么软件

采用MATLAB，编写过分形维数计算程序，发过册厅历两篇文章州搜，《压头作用下岩石破碎过程分形特性研究》及《非均质岩石单轴压缩试验破坏伏枝过程细观模拟及分形特性》，已经成功运行，如需要，可联系。

❻ 煤的孔隙非均质性对甲烷吸附的影响

煤的孔隙非均质性对煤吸附甲烷的影响主要体现在孔径小于100nm的吸附孔上。虽然以往的研究已经认识到煤的微孔和小孔具有异乎寻常的内表面积，是决定煤吸附甲烷巨大潜力的主要因素。然而很少有关于煤的微小孔结构和孔表面对煤的吸附能力和吸附特征影响的深入报道。笔者将借助于分形数学手段来探索煤的吸附孔的孔表面和孔结构的非均质性特征，并进一步探测煤对甲烷的吸附行为，研究其吸附机理。

研究煤的吸附孔的分形特征时，采用传统的液氮比表面和孔径测试法进行（详细方法参见前节内容）。研究样品选自华北地区9个典型矿区，样品具有很强的代表性。所选样品的镜质组反射率为0.79％～4.24％，碳含量为51.96％～82.30％，灰分产率为4.96％～37.16％，水分含量除两个样品较高（4.04％和6.58％）外，其余均为0.62％～1.68％。煤岩显微组分中镜质组为7％～84％，惰质组为12％～73％（表2.11）。

表2.11 研究煤样的煤岩和煤化学特征

根据液氮测试结果，所有样品的BET比表面积为0.3～4.7m²/g，平均孔径为1.9～11.4nm，BJH总孔容为（1.3～14.39）×10^-3mL/g，孔隙结构中以微孔和小孔对总孔容和总比表面积的贡献最大（表2.11）。据甲烷等温吸附结果，样品收到基的兰氏吸附体积在4.11～20.83m³/t，兰氏压力为0.16～3.4MPa（表2.12）。

表2.12 研究煤样的液氮吸附分析实验结果

①孔径范围为1.7nm到300nm；②通过BJH法计算获得；③通过BET法计算获得；④孔径范围为小于10nm；⑤孔径范围为10～100nm；⑥孔径范围为大于100nm。

2.6.1.1 煤的吸附孔分形维数计算

采用煤的液氮吸附实验中相对压力和吸附量的数据可计算煤的吸附孔的分形维数，计算方法主要有分形BET模型（Brunauer-Emmett-TellerModel）、分形FHH（Frenkel-Halsey-Hill）模型和热力学模型等方法（Xuet al.，1997；Garbacz，1998；Nakagawaet al.，2000；Gaudenet al.，2001；Huet al.，2004a，2004b）。在这些方法中分形FHH模型方法是应用较多的一种计算模型（Qiet al.，2002；Pyunet al.，2004；Shafeiet al.，2004；Rigby，2005；Leeet al.，2005；2006；Wee，2006）。分形FHH方法的来源和计算原理已在国内外众多文献中进行过报道，如Pfeifer等（1983，1989），Avnir等（1989），Yin（1991），Drake等（1994），Ismail等（1994）和Wu（1996）。因此，这里仅对这种方法作简要综述。

根据FHH模型原理，利用吸附压力和吸附量的数据，可根据如下方程计算煤的吸附孔分形维数：

煤储层精细定量表征与综合评价模型

式中：V为平衡压力P下吸附的气体分子体积；V₀为单分子层吸附气体的体积；P₀为气体吸附的饱和蒸汽压；A为取决于煤的微小孔分形维数D及煤的吸附机制的一个幂指数常数；a为常数。其中，A值可通过吸附体积和相对压力倒数的对数线性关系（lnV和ln（ln（P₀/P）））的斜率求得。获得A值后，可进一步计算煤的吸附孔分形维数。值得指出的是，在通过A计算D时，不同的学者基于不同的吸附理论提出了两种不同的计算方法，且至今未达成共识（Qiet al.，2002；Pyunet al.，2004；Rigby，2005）。

一种观点认为煤对氮气的吸附是一种单分子层吸附行为，受吸附质和吸附剂（气—固）界面之间的范德华力所控制，此时分形维数的计算表达式为：

煤储层精细定量表征与综合评价模型

另一种观点认为气—固界面间的范德华力相对于气液界面之间的表面张力可以忽略不计，煤对氮气的吸附行为主要受毛管凝聚效应所控制，因此分形维数的计算表达式为：

煤储层精细定量表征与综合评价模型

为了确定比较科学的分形维数计算方法，下面对采自我国北方的13块煤岩样品的吸附和脱附曲线进行分析。

对实测的煤的吸/脱附曲线（图2.33）分析发现，煤的液氮吸、脱附曲线主要有类型A和类型B两种（表2.13）。其中类型A（图2.33a-g）的主要特点是，吸、脱附曲线分支在相对较低的压力时是可逆的，而在相对较高压力（P/P₀>0.5）时，吸、脱附分支存在明显的滞后环，各个样品的滞后环均出现在相对压力约为0.5。类型B（图2.33h-m）的主要特点是，在整个相对压力段，吸、脱附分支始终平行而不存在明显的滞后环。如前文所述，煤的吸、脱附曲线间存在滞后环的主要原因是由于煤在吸、脱附气体过程中，微、小孔间存在明显的孔径或孔喉差异而引起的（Khaliliet al.，2000；Qiet al.，2002；Sing，2004），滞后环尤其在以“细颈瓶”型孔发育的煤中较常见。

根据Kelvin方程，计算相对压力为0.11时所对应的产生毛细凝聚的最大孔半径为0.43nm。在如此小的毛细孔隙里，氮气分子（分子直径约为0.3nm）只能以单个排列的方式充填在里边，而不可能再进行多分子层吸附，所以当相对压力小于0.11时，发生的只是在超微孔中的毛细充填以及在较大孔壁上的单分子层吸附，此时分形维数应该按照方程（2.4）进行计算。当相对压力大于0.11时，半径小于0.43nm的超微孔都已被填满，随着相对压力增大，单分子层吸附便开始向多层吸附过渡。此时，当相对压力和某种孔的孔半径符合Kelvin方程时，便会在这种孔半径的孔里发生毛细凝聚，因此当相对压力大于0.11时毛细凝聚便开始起作用。这时，选择方程（2.4）还是方程（2.5）进行分形维数的计算取决于两种吸附机制中哪种起主导作用。

表2.13 基于分形FHH模型的微小孔分形维数的计算结果

①类型A为存在滞后环；类型B为不存在滞后环。

由于所有实验样品的A类吸/脱附曲线均在相对压力0.5左右产生滞后环，这也反映了在这个压力前后所测试的孔隙在大小和形态上存在较大差异，同时造成了在此压力前后存在不同的吸附行为（图2.33）。为此，这里以相对压力0.5为分界点，分别应用方程（2.4）和方程（2.5）两种方法来计算P/P₀<0.5和P/P₀>0.5两段的分形维数值（表2.13）。从计算的结果看，不论是A类还是B类吸/脱附曲线，在两个相对压力段（P/P₀<0.5和P/P₀>0.5），双对数曲线呈现不同的斜率，且两者均拟合较好（图2.34），这说明在这两个相对压力段确实存在两个不同的孔隙分形维数（D₁和D₂）。

对比表2.13中采用两种方法计算的分形维数值，发现无论是对于D₁还是D₂，通过方程式“A＝（D-3）”计算的分形维数值均在2和3之间，而通过表达式“A＝（D-3）/3”计算的结果偏小，大部分均小于2。由于孔表面或孔结构的分形维数一般都在2～3之间（Pfeiferet al.，1983；谢和平，1996），显然“A＝（D-3）/3”计算的结果已经脱离分形的意义。因此，采用“A＝（D-3）”的计算结果进行下一步分析。

图2.33 研究煤样的液氮吸、脱附曲线

图2.34 研究煤样的液氮吸附体积和相对压力的双对数曲线

从两种分形计算方法的对比看，方程（2.5）的计算结果相对可靠，也进一步说明无论在相对低压阶段还是在相对高压阶段，煤的氮气吸附机制中，均以气—液界面之间的表面张力（或毛管凝聚力）起主导作用。根据方程（2.5）分别计算了P/P₀<0.5和P/P₀>0.5两段的分形维数D₁和D₂（表2.13）。从计算结果看，D₁值相对较低，为2.346～2.73，而分形维数D₂值相对较高，为2.436～2.852，D₁和D₂没有明显的相关关系。对比两种类型的样品发现，存在滞后环的类型A的分形维数D₂均较不存在滞后环的类型B的D₂要高，而两种类型煤的D₁的规律不明显。这说明两种类型吸/脱附曲线所代表的样品的较小吸附孔（<1.38nm）的微孔结构差异不大，存在滞后回线的样品的较大吸附孔（>1.38nm）的孔隙结构明显要比不存在滞后环的样品复杂。

2.6.1.2 分形维数与吸附能力的关系

如前所述，煤的甲烷的吸附能力主要受煤的物理、化学特征（如煤级、煤岩组分、灰分、水分等）和温度、压力、原地应力等外界条件所控制，这种认识已经被大量的研究所证实。然而，关于煤的微小孔分形特征对煤的吸附甲烷能力的研究还未见报道。因此，笔者通过对两个分形维数与煤的最大甲烷吸附容量（兰氏体积，VL）的关系研究，来进一步探讨煤的吸附孔的孔径结构对煤的吸附能力的影响。

分形维数D₁与煤的吸附能力（收到基和干燥无灰基的兰氏体积）的关系如图2.35所示。分形维数D₁与煤的甲烷吸附的兰氏体积呈现显着的二项式的相关关系。在分形维数D₁<2.5时，分形维数较高的煤并不具有明显较强的甲烷吸附能力；而当D₁>2.5时，甲烷吸附能力随煤的分形维数增高而增强。相比较而言，分形维数D₂与煤的甲烷吸附能力呈弱的线性负相关关系，如图2.36所示。说明分形维数D₂越高的煤的甲烷吸附能力越低。同时，分形维数D₁对煤的吸附能力的影响较大，而D₂影响较小。主要原因是，煤对甲烷的吸附大部分为孔隙表面的吸附，仅有少部分为孔隙填充吸附，而分形维数D₁恰恰反映了煤的微孔表面的分形维数，而分形维数D₂恰恰反映了煤的微小孔的孔结构的分形维数。关于分形维数D₁和D₂的区别以及两者所代表的不同的分形维数，将在下文详细探讨。

图2.35 分形维数D₁和兰氏体积V_L的关系

图2.36

2.6.1.3 分形维数与煤的物质组成的关系

如前所述，分形维数D₁和D₂对煤的甲烷吸附能力具有完全不同的影响，为了进一步研究两者的差别，这里主要调查了两个分形维数与煤的物质特征参数，如煤级、组成等的关系，以及煤的孔隙特征参数，如微小孔比表面、平均孔径、微孔体积等的关系。

两个分形维数与煤的物质特征参数的关系如图2.37～图2.40所示。分形维数D₂与煤的水分含量呈“倒U”型的相关关系，即在水分含量小于2％时，随着煤中水分含量的增高，煤的吸附能力越强；而当水分含量大于2％时，两者关系恰好相反。相比较，分形维数D₁与煤的水分含量没有显着的相关关系。这说明，煤中的水分含量对煤的分形维数D₂具有显着影响，而对D₁没有显着影响。比较两个分形维数与煤的吸附能力的关系发现，D₂可能反映了煤的孔结构的分形维数。当煤吸附甲烷时，气/液相的水分子可能引起吸附分子在吸附表面的振动，形成气液表面张力而影响吸附。在煤的水分含量少于2％时，由于气液表面张力的存在煤表面并未完全被吸附质所覆盖，因此水分含量越高则分形维数越高；当煤的水分含量大于2％时，随着水分含量的增加，气液表面张力消失，孔隙结构因被水分子充填而变得均一，因此水分含量越高，其表面的分形维数越低。D₁则反映了煤的表面分形维数，对煤中的水分含量变化的关系不明显（图2.35）。

图2.37 分形维数（D₁和D₂）与煤的内在水分含量的关系

两个分形维数与煤的灰分产率的关系如图2.38所示。由图中可知，分形维数D₂与煤的灰分产率呈弱—中等的线性正相关关系，这是因为D₂代表了煤的孔结构的分形维数，因此对煤中的灰分变化规律较明显。煤中的灰分会充填煤的微孔，造成孔隙结构的非均质性增强，因此分形维数增高。相比较，D₁则代表了煤的孔表面分形维数，因此分形维数D₁与煤的灰分产率的关系并不明显。

图2.38 分形维数（D₁和D₂）与煤的灰分产率的关系

两个分形维数与煤的碳含量关系如图2.39所示。分形维数D₂与煤中碳含量呈“U型”关系，在碳含量为70％～80％时取得极小值，这个研究结果与徐龙君等（1996）研究中指出的煤的分形维数和H/C原子比的关系的研究可相互印证。当煤中碳含量少于75％时，随着碳含量增高，分形维数D₂迅速减少，这是由于煤热演化中的脱挥发分作用和去氢化作用使得煤的碳含量逐渐增高，灰分和水分等含量逐渐减低。因此高碳含量的煤一般具有较低的灰分和水分含量，同时也一般具有较低的分形维数。而当碳含量大于75％时，碳含量越高，分形维数D₂越高，主要是因为此时脱挥发分作用已不再起主导作用，而起主导作用定的是随着碳含量增高煤的微孔含量和微孔体积逐渐增高这个因素。较高的微孔含量导致了高碳含量的煤具有较高的分形维数。分形维数D₁与煤的碳含量的关系呈现微弱的负相关关系，这可能是由于碳含量较高的煤的基本结构单元中微晶结构排列越均一化，其孔表面的分形维数D₁也相应越小。

图2.39 分形维数（D₁和D₂）与煤的碳含量的关系

图2.40 分形维数（D₁和D₂）与煤的镜质组反射率的关系

分形维数D₁和D₂与煤的煤级、显微组成均没有显着的相关关系，是因为煤级和煤的显微组成与煤的灰分和水分等其他关系密切相关，而这些因素又与煤的分形维数（D₁和D₂）呈现不同的相关关系，所以导致分形维数和这些因素间的规律并不明显。

2.6.1.4 分形维数与煤的孔隙结构的关系

如前所述，分形维数D₁可能代表了煤的孔表面的分形维数，而分形维数D₂可能代表了煤的孔结构分形维数。进一步研究这两个分形维数与煤的孔隙结构的关系可以更好的证明两者各自所代表的物理意义。因此，这里研究了两个分形维数与煤的微小孔比表面积、平均孔直径及微孔能力的关系。

两个分形维数与煤的微小孔比表面积的关系如图2.41所示。由图中可知，分形维数D₁与煤的比表面积呈线性正相关的关系。煤的比表面积越高，其分形维数D₁越高。相比较，D₂与煤的比表面积呈典型的“倒U型”的关系，当煤的比表面积约为3m²/g时，煤的分形维数D₂取得极大值。

两个分形维数与煤的平均孔径的关系如图2.42所示。D₂与煤的平均孔径呈显着的线性负相关关系，其相关关系的拟合优度高达0.85，说明D₂主要与煤的孔径结构有关。分形维数D₂较高的煤一般具有复杂的孔隙结构（或者说孔喉发育异常复杂），这也证明了D₂主要表征了煤的孔结构的分形维数。因为分形维数D₁仅表征煤的孔表面的分形维数，因此与煤的平均孔径并没有显着的相关关系。

图2.41 分形维数（D₁和D₂）与煤微小孔比表面积的关系

图2.42 分形维数（D₁和D₂）与煤平均孔直径的关系

图2.43为两个分形维数与煤的微孔比例的关系。由图中可知，D₂与煤的微孔能力（包括微孔含量和比例）具有显着的正相关关系，而D₁与煤的微孔能力的关系并不明显。原因同样是因为D₁代表了煤的孔表面的分形维数，而D₂则代表了煤的孔结构分形维数。

图2.43 分形维数（D₁和D₂）与煤的微孔百分比的关系

2.6.1.5 孔隙非均质性对煤的吸附能力的影响

一般来说，描述多孔物质的分形特征主要有孔表面积分形维数和孔结构分形维数两种（Pyunet al.，2004）。孔表面积分形维数代表了煤表面的非均一性程度，分形维数越大，表面越不光滑。孔表面积分形维数等于2代表了非常平滑的孔隙表面，而分形维数等于3则代表了非常粗糙的孔隙表面。孔结构分形维数代表了煤的孔结构的非均一性，分形维数越大，孔径的孔喉越小，连通性越差。孔结构分形维数等于2时代表了非常均一的孔隙结构，而分形维数等于3时则代表了异常复杂的孔隙结构。因此，为了研究煤的吸附孔的分形特征，这两个分形维数都必须考虑。如前所述（图2.35～图2.43），分形维数D₁主要与煤的比表面积的相关性较大，因此分形维数D₁代表了孔表面积的分形维数；而D₂则主要与煤的微孔含量、平均孔径、灰分和水分含量等关系密切，它代表了煤的微小孔的孔结构的分形维数（Yaoet al.，2008b）。

在煤吸附甲烷的初始阶段，孔表面积分形维数起主导作用。随着相对压力的增高，单分子层吸附饱和后，进入多分子的微孔充填过程，这时孔结构的分形维数开始发挥作用（图2.44）。吸附的早期阶段以单分子层微孔表面吸附为主，分形维数D₁起主导作用；而随着吸附压力增高，吸附表面覆盖较高时，煤的微小孔填充开始发挥作用，即分形维数D₂开始发挥作用。总之，两者对煤的吸附能力均具有重要作用，然而由于煤的吸附以表面吸附为主，因此分形维数D₁对煤的吸附能力的影响较大，而分形维数D₂对煤的吸附能力的影响相对较小。

图2.44 煤吸附甲烷的过程和阶段示意

进一步比较两个分形维数发现，D₁和D₂与煤对甲烷的吸附过程密切相关。煤对甲烷的吸附过程可以总结为单分子层的吸附过程和多分子层的吸附过程（Khaliliet al.，2000）。在单分子层吸附阶段，微孔吸附起主导作用，吸附的能力主要来自于气—固界面间分子的范德华力，分形维数D₁也反映了煤分子和气体分子间的范德华力作用。在多层吸附充填阶段，微孔表面已经大部分覆盖饱和，此时微孔和小孔的充填作用开始发挥作用，吸附能力受气—液间的表面张力或分子凝聚现象所影响（Qiet al.，2002；Sing，2004），分形维数D₂表征了这种力学行为。

综上可知，在研究煤对甲烷的吸附特征时，分形维数D₁和D₂都必须考虑。这两个分形维数对煤的吸附甲烷能力产生了不同的影响。一方面，分形维数D₁越高，煤的微孔表面越粗糙，其提供的吸附位越多，煤的甲烷吸附能力越强。另一方面，分形维数D₂越高，煤的孔结构越复杂，毛管浓缩效应越强，煤的甲烷吸附能力降低。孔表面分形维数越高而孔结构分形维数越低的煤的甲烷吸附能力越强。

❼ 请问关联维数（分形维数）和分数维有什么联系与区别

关联维数实际上是分形维数的一种，因为有很成熟的G-P算法的存在，利于计算和应用。

分形维数除了用分形维数计算，还可以用盒子维数来计算，此外还有折线法等等。

关联维数（分形维数）等于二减去赫斯特指数，分数维是赫斯特指数的倒数，都是经验公式。很多情况下并不满足，理论上的分形维数应该是豪斯道夫维数，但这很难计算。

❽ 怎样用matlab计算分形盒维数呢！

根据计盒维数原理求一维曲线分形维数的matlab程序
function D=FractalDim(y,cellmax)
%求输入一维信号的计盒分形维数
%y是一维信号
%cellmax:方格子的最大边长,可以取2的偶数次幂次(1,2,4,8...),取大于数据长度的偶数 %D是y的计盒维数（一般情况下D>=1）,D=lim(log(N(e))/log(k/e)),
if cellmax<length(y)
error('cellmax must be larger than input signal!')
end
L=length(y);%输入样点的个数
y_min=min(y);
%移位操作，将y_min移到坐标0点
y_shift=y-y_min;
%重采样，使总点数等于cellmax+1
x_ord=[0:L-1]./(L-1);
xx_ord=[0:cellmax]./(cellmax);
y_interp=interp1(x_ord,y_shift,xx_ord);
%按比例缩放y，使最大值为2^^c
ys_max=max(y_interp);
factory=cellmax/ys_max;
yy=abs(y_interp*factory);
t=log2(cellmax)+1;%叠代次数
for e=1:t
Ne=0;%累积覆盖信号的格子的总数
cellsize=2^(e-1);%每次的格子大小
NumSeg(e)=cellmax/cellsize;%横轴划分成的段数
for j=1:NumSeg(e) %由横轴第一个段起通过计算纵轴跨越的格子数累积N(e) begin=cellsize*(j-1)+1;%每一段的起始
tail=cellsize*j+1;
seg=[begin:tail];%段坐标
yy_max=max(yy(seg));
yy_min=min(yy(seg));
up=ceil(yy_max/cellsize);
down=floor(yy_min/cellsize);
Ns=up-down;% 本段曲线占有的格子数
Ne=Ne+Ns;%累加每一段覆盖曲线的格子数
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。

❾ 分维数的定义与计算

分形（B.B.Mandelbrot，1982）是其组成部分以某种方式与整体相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）.它是以分维数、自相似性、统计自相似性和幂函数等为工具，研究不具有特征标度，极不规则和高度分割但具有自相似性的复杂现象（如地形起伏、云朵、水系、树的形态等），定量描述这种自相似性的参数称为“分维数”或简称“分维”，记为D，它可以是分数.

维数是一定时空的数值特征.普遍应用维数观，正是现代非线性科学获得的共识.低维与高维、有限维与无限维、整数维与分数维的转化，在探索复杂世界的物质机制中已充分显示了它的威力.

1919年数学家豪斯道夫引入豪斯枣册道夫维.他提出连续空间的概念，也就是空间维数不是跃变的，而是蔽扮连续变化的，即可以是整数，也可以是分数，通过具体计算来确定维，该维数称为豪斯道夫维，记为D_f.例如，对于三维图形，考虑一个棱长为单位长度的立方体，若令每个棱边长度放大两倍，则立方体体积放大8倍，其表达式为2³=8.例如，对于一个D_f维的几何对象，若每个棱边长度都放大L倍，则这个几何对象相应地放大K倍，其D_f、L和K三者关系应为.该式两边取对数后，则D_f=lnK/lnL.对具有奇异构形的分形，这里D_f一般是分数.豪斯道夫维数衍生的各种分形维数，如容量维、信息维、关联维、质量维、空隙维、相似维等等，可以从不同侧面描述客观世界的复杂现象.它们的一个共性，就是在双对数坐标系的尺度变换下，严格地或统计地保持不变.

在测量分维时，有一规律（通常称为zero-sets）是有用的.传统的欧氏几何体与一平面相交，形成图形的维数要减少一维；三维球变成二维圆；二维平面变成一维线；一凳并宏维线变成零维点.分形和传统的欧氏几何体一样，统计分形体的分维是D，在与其相交的平面上进行测量，分维是D-1，在与其相交的直线上测量，分维是D-2.它们与平面相交构成的图形要减少一维；它们与直线相交形成的点集要减少二维.

不同的分维数往往刻画不同的物理类型，划分不同成因，不同性质的群体.如某些相变的发生只有在二维及以上的空间中才会出现，在一维的情况下就不行.因此，在研究某一类事物的规律时，往往需要借助于分维数的差异来帮助判别和分析.例如，将具有不同面积的平面图形放到一维坐标系中，其测度（长度）都是无穷大；放到三维空间，其测度（长度）都是无穷小；只有在二维坐标系中，它们在面积方面的差异才能显现出来.另一方面，由点到线，由线到面和由面到体，随着维数的增加，它们所刻划的客体复杂程度也相应增加，且其占领空间的能力也随之增强.因此，维数的差异直观地反映了客体复杂程度的差异.

分形的定义：设集合A∈Eⁿ（Eⁿ是n维欧氏空间）的豪斯道夫维为D_f和拓扑维为D_t，如果公式D_f≥D_t成立，则称集合A是分形集（或分形）（A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension exceeds the topological dimension）.

例如康托尔集合，D_f=ln2/ln3≈0.6301，而D_t=0，有D_f＞D_t，故康托尔集合是一种分形.又如科曲折线，D_f=ln4/ln3≈1.2618，而D_t=1，有D_f＞D_t，故科曲折线也是一种分形.

由于研究的具体对象（分形）不同，其分维数计算的具体形式和名称也有多种.最常见的分维数有相似维（similarity dimension）或容量维（capacity dimension）D₀、信息维（information dimension）D₁、关联维（correlation dimension）D₂和广义维（generalized dimension）D_q.

1.相似维（similarity dimension）或容量维（capacity dimension）D₀

在测量地质体边界的长度时，设测量尺度为r，覆盖整个边界的最少次数为N（r），此时将容量维数定义为：

分形混沌与矿产预测

将这一定义推广到n维空间Eⁿ（Eⁿ为n维Euclide空间）中，上式中的r为覆盖Eⁿ中图形所需的立方体的边长或球体的直径，N（r）为所需的立方体或球体的最少数目.可以证明D₀=D_f（豪斯道夫维数）.

2.信息维（information dimension）D₁

容量维数D₀只考虑了覆盖图形所需的立方体或球体的数目与其边长或直径的关系.对于那些非确定性的事物，一般是用概率的形式表示出来的，为此引入信息维数的定义：

分形混沌与矿产预测

式中P_i是覆盖概率，当用边长为r的小盒子去覆盖分形结构时，P_i是分形结构中某些点落入小盒子的概率.如果P_i=1/N（r）时，则有D₁=D_f.

3.关联维（correlation dimension）D₂

P.Grassberger和J.Procaccia（1983）应用关联函数C（r）给出了关联维数的定义：

分形混沌与矿产预测

式中是相空间中两点之间距离小于r的概率，|X_i-X_j|为两点距离间的向量距离，r为指定的距离上限，，它是 Heavisideh函数.

4.广义维（generalized dimension）D_q

分形混沌与矿产预测

式中P_i是覆盖概率，当用边长为r的小盒子去覆盖分形结构时，P_i是分形结构中某些点落入小盒子的概率.当q取不同值时，D_q表示不同分维，如D_q=0=D₀，D_q=1=D₁，D_q=2=D₂.应当注意上述分维数之间的关系只是形式上（或定义上）的，但在实际问题计算中，上述关系不一定成立.

5.分维Brown函数

严格的自相似性在自然界并不多见，为了描述大量自然形状，需要用统计自相似性的概念来推广分维的定义，这就要用到分维Brown函数.

设x∈Eⁿ（Eⁿ为n维Euclide空间），f（x）是关于点x的随机实值函数，若存在常数H（0＜H＜1）使得函数：

分形混沌与矿产预测

是一个与x，Δx无关的分布函数，则称f（x）为分维Brown函数，其分维值为：D_B=n+1-H.

❿ 地表断裂构造展布及分维特征

本区表层断裂发育密集程度很高，构造以SN向展布为主要特征，在本区中部“蜂腰”部位紧密收缩并整体向东突出，SN两侧分别向NW、SE方向撒开，断裂构造极为发育，以下试图通过对本区不同尺度下断裂的分维特征进行统计，从而得出断裂在本区空间上的分形分布特征。

云南兰坪-维西地区成矿与岩石圈构造动力学

成立，则D就是F的分维数。这种用边长r不同的正方形格子覆盖分形图形的方法也称数格子法（box-counting meathod）。分形自创建并发展以来，在地学界，特别是在断裂的研究中得到了广泛的应用。

我们利用GIS系统分别对白秧坪成矿远景区以及其内部的河西-黑山铜银铅锌矿区和富隆厂矿段的断裂分布进行了分维统计，利用 GIS 系统的空间数据分析功能进行统计计算，具有数据计算高效、准确的特点，可利用现有空间数据资料直接进行计算。

根据现有矿区GIS数据资料，我们对整个兰坪、白秧坪成矿远景区分别用边长为25、10、5、2、1和0.5km的正方形建立网格图层（图5-13，表5-5），对断裂分布图层进行相交分析。在不同 r 值下获得不同的包含断层的网格数N（r），对ln r 和 ln N（r）进行线性拟合，得到回归直线，其分维值为 D=1.613，相关系数 R=0.992；回归平方和 U=16.897，残差平方和 Q=0.041。回归直线拟合程度很好，可见本区断裂分布在该标度下有明显的自相似性。

采取相同的携枣方法对河西-黑山铜银铅锌矿区和富隆厂矿段的断裂分布进行了分维统计，河西-黑山铜银铅锌矿区的分维值 D=1.241，相关系数 R=0.994；回归平方和 U=8.921，残差平方和 Q=0.016；白秧坪富隆厂矿段断裂的分维值 D=1.26，相关系数 R=0.995；回归平方和 U=16.81，残差平方和 Q=0.021。统计结果见辩枝拆图5-14a、b、图5-15a、b，表5-5。

图5-13 兰坪、白秧坪成矿远景区分维统计图

表5-5 研究区表层断裂构造分维值

断裂系统分维值的大小体现了断裂构造发育的复杂程度以及二维平面上断裂构造分布得均匀性，断裂越发育，断裂分布越均匀，断裂的拓扑维长度越大，其分维值就越大。其中整个成矿远景区断裂分维值高于局部矿区的分维值，大致与青藏地区的分维值相似（D=1.784）（李本亮，1999），而其内部矿区的分维值低，反映本区在反复的强烈挤压过程中，挤压变形主要发生在大型断裂带处，而远离边界断裂带的盆地内部岩石的破坏程度远低于前者。搭判而在盆地内部的河西-黑山铜银铅锌矿区与更小范围的白秧坪富隆厂矿段分维值有很好的一致性。反映在统一的边界断裂控制下的盆地内部断裂发育程度趋于一致，分维值有很大的无标度区。