分形与混沌pdf

‘壹’ 什么 是分形和混沌，他们的基本特征

分形的诞生:
分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。海岸线具有自相似性，曼得勃罗特’就是在研究海岸线时创立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质就叫做自相似性。部分以某种形式与整体相似的形状就叫做分形。
分形几何主要研究吸引子在空间上的结构，它和混沌有共同的数学祖先-动力系统。如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那么由迭代法生成分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程。有的混沌学家说，混沌是时间上的分形，而分形是时间上的混沌。
分形具有五个基本特征或性质:⑴形态的不规则性;⑵结构的精细性;⑶局部与整体的自相似性;⑷维数的非整数性;⑸生成的迭代性。

‘贰’ 蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌

本书通过三个物理例子简要阐述了混沌学;从牛顿力学的限制性三体问题到19世纪末庞加莱创立的利用拓扑学定性研究微分方程（P69：李雅诺普理论：动力学系统混沌的充分必要条件就是它有足够多的具有正李雅诺普夫指数的有界轨道，使得它们在相空间中的维数大于一）；从经典动力系统中吸引子理论（不动点，极限环，面包圈（准周期）到混沌学的建立标志典型例子之一的1963年洛伦茨用数值方法研究大气热对流模型时发现的的奇异吸引子（P44;吸引子类似蝴蝶样子同时也就是书名的《蝴蝶效应之谜》的原因)；甚至从高中学过的线性近似条件下的计时工具的单摆实验到非线性单摆实验的演变条件，书中利用图形完备展示了有序到混沌的理论的本质,P115）。其实关于混沌的历史：早在一百多前，波尔兹曼推导他的着名的H定理，就曾经提出分子混沌假设，但是那时候混沌的意义仅仅是与宏观系统统计相关的无序特征。 关于相对论和量子力学的教科书及科普书汗牛充栋，而介绍混沌的，则显的小众化了，不仅是混沌学建立的时间较晚，更是因为混沌学对于数学和计算机要求较高。不同于其他科普书排斥数学公式，本书最小的程度的使用公式并辅助图形揭示了混沌的本质:分形中的曼德勃罗集（非线性迭代公式P26，分形是混沌的几何形式），气象学中着名的洛伦茨微分方程组（P41),对于迭代方程添加的非线性项修正的生态学逻辑斯蒂方程（P60）等等，这样引导初学者顺利进入混沌学的数学思考

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书名：混沌与分形：郝柏林科普与博客文集

作者：郝柏林

出版社：上海世纪出版股份有限公司

出版年份：2015-10-1

页数：407

‘肆’ 迭代、分形和混沌

地球物理场能量很小，除天然地震震源物理研究外，场正演问题都归结为线性偏微分方程。但是，反问题都是非线性的。

5.1.1 牛顿迭代与分形

非线性迭代的最基本方法是牛顿迭代法。也就是说，将函数展成台劳级数，略去高次项，从一次项中提出修改增量和Jacobian矩阵，构成线性方程组。牛顿迭代法收敛很快，但是收敛取决于初始猜测。

1988年，Petigen与Saupe的论文集中发表了一个有趣的试验结果，他考虑以下简单的非线性方程

z³-1=0 （5.1.1）

此方程的一个实根为z=1，两个复根为

z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）

用牛顿迭代格式

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来逼近，得到的是实根还是哪一个复根？

当然，初值z₀可以是复平面z=x+iy中的任一点。可以猜测，z₀在复平面上可以分为若干个区域，z₀在某个区域用式（5.1.3）作迭代后收敛，在另外的区域收敛于复根。习惯于线性思维的人会认为这些区域是有清晰边界分开的几块，如z₀等于1的邻域牛顿迭代将收敛于实根z=1，它的面积大约占z平面的1/3左右，而其他区域收敛于复根。事实并非如此，初值z₀的收敛域是分形的，如图5.1所示。从图5.1 可见，黑色区域的面积的确是选初值区域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的边界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。为什么像式（5.1.1）那么简单的迭代格式会导致这么复杂的分形图像？为什么初值在这种边界上的微小变化会使迭代收敛到完全不同的根？

图5.1 实虚轴在（-2，2）范围内的复平面z黑色区域经牛顿迭代后收敛于实根z=1初值区，白色为收敛于复根的区域

问题归结为方程（5.1.1）的非线性，而非线性是系统走向混沌的必要条件。对于非线性系统，初值的微小变化会使系统状态在几个“吸引子”之间回弹，其几何表现就是分形。

5.1.2 分形地球模型

本书把地球参数看成是实函数集，即Hilbert空间的元，这是确定性模型。确定性模型隐含着地球物质有序分布的假定，而随机模型隐含着地球物质随机分布的假定。我们现在进一步假定地球物质分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的层次结构，这就导致地球的分形模型。

从分形的观点描述地球的根据是：地球是无标度的复杂对象，其尺度可由几毫米的微裂缝到上万公里的地球直径，而不同尺度之间的现象具有相似性。

人有特征尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的东西也有特征尺度，如火车的高度在2m上下，轮船和高楼平均为几十米，这种特征尺度称为标度。

自然现象一般具有多尺度的特征，没有特征尺度。分形几何学把不同尺度的现象用标度律联系起来

p（λt）=λ^αp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）

式中p（t）为某种层次的尺度，p（λt）为它放大λ倍之后的尺度，α为标度指数。而

D₀=2-α （5.1.5）

等于Mandelbrot分维数。

维数指的是几何对象中的一个点所置的独立坐标的个数，如地球表面的一个点用经纬度表示，它的维数是2。在分形几何学中，维数可以为分数，分数的维数称为分维数。

对二维情况，一个正方形每边都放大3倍（尺度放大），则变为9个原正方形，有

2=l n9/l n3

对整数维为d的几何对象，每个方向都放大L倍，结果得到N个原来的对象，有

d=lnN/lnL

每个方向放大L倍等效于此方向测量尺度（或度量的单位）缩小为原来的ε=1/L倍。因此，在一般情况下，用很小的度量单位ε研究对象的尺度变化时，可定义

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这就是Mandelbrot分形维。

1992年Korvin编了一本名为《地学中的分形模型》的书，书中列举了与地球科学有关的许多分形模型。其中谈到，1984年美国地调所出动数十辆消防车对内华达岩石出露区进行冲洗，然后对其裂隙作详细填图，得出该区裂隙系统的平均分维数为1.744。用大尺度的区域断裂构造图计算此区断裂系统的分维数为1.773，证实了不同层次的地球断裂系统之间具有自相似性。陈颙与特科特等人的专着对此也有精彩的描述。

关于分形几何学与其他分维数（如相关维D₂、信息维D₁等）的讨论详见有关专着。以下只介绍对时间序列计算分形维D₀的方法。传统的介绍D₀分维数的方法多用时间系列的功率谱计算。由于地球物理资料的功率谱在高频段含有大量噪音，这种计算方法几乎不能用。我们只研究以下算法，在反射地震资料处理上取得良好效果。

对平面曲线，其总长度为

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式中：ε为度量单位（尺子）；N为量得的尺数；f为尺子量完后的剩余长度（f＜ε）；D₀为Mandelbrot分形维数。将式（5.1.7）两边取对数，有

ln（N+f/ε）=-D₀lny+lnL （5.1.8）

设时间序列为 ｛s₁，s₂，…，s_m｝，取样率为Δt，则用ε₁=Δt为尺子量出它对应的曲线长度为

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再令ε₂=2Δt为尺子量出，有

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取ε₃=4Δt，有

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将式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程

ln（N_j+f_j/ε_j）=-D₀lnε_j+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）

用最小二乘法易求出方程组（5.1.12）中的两个未知数D₀和L。当然，还可取ε₄=8Δt等，以提高求分形维D₀的准确度。下节还要提到，反演迭代输出序列的分形维是指示迭代状态的一种有用参数。

5.1.3 非线性迭代与混沌

设x_n为第n步的迭代输出，x_n+1为下一步的迭代输出，二次方程

x_n+1=rx_n（1-x_n） （5.1.13）

虽然很简单，但迭代过程（演化）却是很复杂的。这个方程称为May生态方程。将x_n+1及x_n视为若干年后池塘中大鱼的产量，由于x_n越大繁殖就越多，所以x_n+1与它成正比；又因大鱼越多吃的小鱼也越多，x_n+1又与（1-x_n）成正比。这就是生态方程的含义，系数r与饲料总量有关。

将x_n及x_n+1视为若干年后你的一笔银行存款的总值，当年存款x_n越多次年本利就越多，所以x_n+1与x_n成比例。但是，存款越多银行利率下降越多，x_n+1又与（1-x_n）成比例。系数r为控制参数，与银行存款总量有关。可见，生态方程反映许多自然与人文发展的规律。

将（5.1.13）式中的x_n+1视为常数，则它是一个关于x_n的二次方程，有两个根。这意味着演化问题存在两种选择（线性问题只有一种选择）。x_n有两种选择将造成迭代输出不稳定，在两种选择中跳来跳去。例如，池塘鱼的产量和水果产量常出现大年与小年的区别，这种演化成为二齿分叉（Pitchfork bifurcation）。

分叉取决于控制参数r，二齿分叉可能不断进行下去，即由两叉变四叉，四叉变八叉。具体地说，随r从很小变到r=r₁=1.0时，开始第一次分叉。当r=r₂=3时，再次分四叉等等。此后，迭代变得非常不稳定，并很快变得没有规律和不可预测（即混沌）。

图5.2示出二次映射的迭代输出随控制系数的分叉过程，以及相应的Lyapunov指数。由图可见，二次映射迭代随外部控制参数r的增大导致有规律的分叉，直至走向混沌。

图5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代输出x_n随r的变化，黑色区表示混沌区（a），以及Lyapunov指数的变化（b）

在非线性动力学中，混沌指的是非线性系统演化的一种不确定和无规则状态。分叉、间歇、突变（如相变）都是典型的不规则状态。在地球科学中，火山爆发是典型的间歇，地震发生是能量的突然释放，其形成的断裂裂隙具有分形结构。

混沌发生的必要条件是系统为非线性。多层次的复杂非线性系统（如人类社会）由于其自组织的困难，较易演化为混沌运动（如战争）。开放的耗散（Dissipative）系统由于固有的非线性性质，也经常出现混沌。但是，非线性只是混沌运动发生的必要条件，而不是充分条件。混沌运动的特征如下。

（1）不可预测性，指初始条件有微小的差别将导致最终结果迥然不同。设迭代映射方程为x_n+1=f（x_n），例如当f为二次函数时，它变成（5.1.13）的May生态方程。f在一般情况下指任何导致混沌结果的函数。如果初始条件x₀带有微小的误差ε₀，经过N次迭代后其误差被指数放大，记f_N（x₀+ε）为带误差的迭代输出，有

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因此定义

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为Lyapunov指数。还可将式（5.1.15）写为

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可见Lyapunov指数表示经N次迭代后系统演化轨道加速偏离的指数。设|ΔI|为经过一次迭代后系统信息的平均损失，有

λ（x₀）=ln2|ΔI| （5.1.17）

说明λ与|ΔI|成正比。根据Shannon信息论，系统信息量等于该系统作完备描述编码所需的最小bit数目。当λ＞0时，每次迭代的信息损失都大于零，系统的熵不断增大以导致混沌的发生。图5.2（b）示出了二次迭代的λ随r的变化并将它与系统的分叉和混沌作对比。由图可见，λ＜0时对应的系统稳定，在λ=0的点系统发生分叉，而λ＞0的点对应混沌。因此，Lyapunov是指示状态的重要标量参数。

（2）整体行为的有规律性。虽然系统在未来的具体状态具有不确定性和不可预测，但是“表面上看起来疯狂杂乱，其实自有规矩”（莎士比亚）。所有系统演化的轨迹形成的相空间的图形中，存在若干个吸引轨迹的若干个很小的空间（成为吸引子），使轨迹不断收缩到其中，或者突跳到另一个吸引子附近。这种现象表示整体行为仍具有整体性。

整体行为的规律性还表现在不同层次的运动的相似性（分形）上。Feigenbaum证明，无论是哪种形如x_n+1=f（x_n）的混沌运动，其转化为混沌的尺度特征都由两个普适常数控制，更说明混沌理论具有整体规律性。

形式周期性，混沌状态的发生有时会重复出现，但这种重复是不确定的。例如，大地震的发生时多时少，既包括高频度的重复出现，又没有准确的周期。

非线性科学研究的全面展开，还是20世纪90年代的事。19世纪建立了线性科学的理论框架，它在20世纪发展为完整的体系。但是非线性科学理论框架的建立，将是21世纪的事。对正问题的研究尚且如此，对非线性问题的研究更加零星。接下来介绍根据混沌理论进行非线性反演的一些实例。

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书名：蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌

作者：张天蓉

豆瓣评分：8.1

出版社：清华大学出版社

出版年份：2013-7-1

页数：200

内容简介：

“为什么世界这么美丽，因为我眼睛看到的都是分形”有学者这么说。从漫长蜿蜒的海岸线，到人体大脑的结构，分形无处不在！在美得像天使一样的分形中人类有什么样的惊人发现？

一棵马蹄钉跌倒一个王子，一个王子输掉了一场战争，一场战争失掉了一个王国，同时也改变了整个世界，差之毫厘，失之千里。看似“风马牛不相及”的事物之间到底蕴涵着什么样的规律？

《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》从美妙动人的分形到神秘莫测的混沌，探究科学规律的内在之美，发现无序中之有序。

有人将分形和混沌理论誉为继相对论和量子力学之后的20世纪物理学的第三次革命。本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统--逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。

本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的非线性科学。

俗话说：“授人以鱼不如授人以渔”，作为科普书，介绍知识固然重要，传授科学研究之方法更为重要，本书极力体现这个宗旨。作者不仅介绍科学，还煞费苦心地重点介绍科学家作出重大发现时的思路历程，带领读者一起思考，从前人的经验教训中得到深刻启示，从而激发读者的好奇心和创造力。

一本老少皆宜、文理兼容的科普读物。图文并茂，用轻松有趣的语言，加之通俗生动的图解，来讲述深奥难懂的科学理论。为广大读者剥开理论的坚果，使不同领域的人士，都能领悟到数学及物理学的无穷魅力。

作者简介：

张天蓉，女，四川成都人。美国得克萨斯州奥斯汀大学理论物理博士，现住美国芝加哥。研究过黑洞辐射、费曼路径积分、毫微微秒激光、高频及微波通讯的EDA集成电路软件等。发表专业论文三十余篇。2008年出版科普小说《新东方夜谭》；2010年11月出版悬疑小说《美国房客》。2012年开始，在科学网发表一系列科普博文，其文风深入浅出，趣味盎然，且保持科学的严谨性，深得读者喜爱。

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