㈠ 卡尔曼滤波（KF）和扩展卡尔曼滤波（EKF）相应推导
卡尔曼滤波(KF)与扩展卡尔曼滤波(EKF)在控制论与信息论的连接上具有卓越的贡献，用于在姿态解算、轨迹规划等领域提供准确状态估计。卡尔曼滤波本质上是参数化的贝叶斯模型，通过预测下一时刻系统状态（先验估计）与测量反馈相结合，获得更为精确的后验估计，核心思想是预测+测量反馈，通过卡尔曼增益实现权重关联，最终逼近系统真实状态。卡尔曼滤波在时域中直接预测状态，避免了频域变换步骤，适用于工程与金融等广泛领域。
一、卡尔曼滤波的定义：
卡尔曼滤波是一种利用线性系统状态方程，结合系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。其目的是通过观测数据滤除噪声与干扰，实现状态的最优估计。
1.1 线性系统状态方程：
线性系统状态方程描述了系统内部状态变量间或状态变量与系统输入变量间的关系。状态方程是基于系统内部结构的完整描述。
1.2 观测数据：
观测数据是传感器采集的实际信息，可能包含误差，如陀螺仪积分误差。
1.3 最优估计：
最优估计是指KF算法解算数据与真实值无限接近的过程，即后验概率估计接近真实值。
二、卡尔曼滤波算法流程：
卡尔曼滤波的核心是预测+测量反馈，包含两部分：状态预测与观测反馈。
2.1 状态预测方程：
预测方程由状态转移系数矩阵A、控制输入增益矩阵B与过程激励噪声协方差矩阵Q组成。
2.2 观测方程：
观测方程由量测系数矩阵H与测量噪声协方差矩阵R构成。
2.3 扩展卡尔曼滤波EKF流程：
EKF通过将非线性系统线性化，进行卡尔曼滤波，适用于非线性系统。EKF存在局限性，如在强非线性系统中可能发散，且计算过程繁琐。
三、卡尔曼滤波模型：
卡尔曼滤波应用前提包括系统可观测、线性系统与噪声统计特性可获知。应用中常假设噪声为高斯白噪声。模型包含预测与后验估计，利用协方差矩阵描述误差。最小均方差估计旨在最小化估计误差。
四、卡尔曼滤波模型解析：
卡尔曼滤波器通过预测与测量反馈估计离散过程状态变量。利用数学模型与传感器数据进行加权平均，以减小误差。模型包括状态预测、观测反馈、最小均方差估计与卡尔曼增益计算。Kf算法通过调整增益矩阵实现状态估计的优化。
卡尔曼滤波器的基本流程包括状态预测、测量更新与卡尔曼增益计算。在非线性系统中，EKF通过线性化过程进行卡尔曼滤波。滤波器的核心在于预测下一时刻的状态，并结合测量反馈进行最优估计。
通过本文的分析，卡尔曼滤波及扩展卡尔曼滤波在状态估计、控制论与信息论的应用中展现出卓越性能，为解决复杂系统状态估计问题提供了有效工具。