A. 歐幾里得演算法（輾轉相除法）
就是把上一輪有餘數的除法計算中， 除數變為下一輪計算的被除數， 余數變為下一輪計算的除數， 一直這樣計算下去， 直到最後一次計算余數為零， 在最後一輪計算中的被除數，即為所求的最大公約數。
舉例： 105和85的最大公約數
第一輪計算 105÷85=1...20
第二輪計算 85÷20=4...5
第三輪計算 20÷5=4
第三輪沒有餘數， 因此 105和85的最大公約數就是第三輪計算的被除數 5.
至於C語言編程，下邊是我自己寫的G函數(思想就是輾轉相除法求最大公約數)
int G(int x,int y)
{ int t;
while(y!=0)
{ t=x%y ;
x=y;
y=t;
}
return x;
}
B. 急 歐幾里得演算法是什麼原理啊
在求兩個整數的最大公約數要用到歐幾里得演算法,簡單的說就是：
設A,B(A>B)最大公約數為k,則
A = k*A1
B = k*B1
所以
C = A-B*t = k*(A1-B1*t) (C<B)
得到
(A,B) == (C,B)
歐幾里德演算法
歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證
歐幾里德演算法就是根據這個原理來做的，其演算法用C++語言描述為：
void swap(int & a, int & b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(0 == a )
{
return b;
}
if( 0 == b)
{
return a;
}
if(a > b)
{
swap(a,b);
}
int c;
for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b)
{
a = b;
b = c;
}
return b;
}
模P乘法逆元
對於整數a、p，如果存在整數b，滿足ab mod p =1，則說，b是a的模p乘法逆元。
定理：a存在模p的乘法逆元的充要條件是gcd(a,p) = 1
證明：
首先證明充分性
如果gcd(a,p) = 1，根據歐拉定理，aφ(p) ≡ 1 mod p，因此
顯然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。
再證明必要性
假設存在a模p的乘法逆元為b
ab ≡ 1 mod p
則ab = kp +1 ，所以1 = ab - kp
因為gcd(a,p) = d
所以d | 1
所以d只能為1
擴展歐幾里德演算法
擴展歐幾里德演算法不但能計算(a,b)的最大公約數，而且能計算a模b及b模a的乘法逆元，用C語言描述如下：
int gcd(int a, int b , int& ar,int & br)
{
int x1,x2,x3;
int y1,y2,y3;
int t1,t2,t3;
if(0 == a)
{//有一個數為0，就不存在乘法逆元
ar = 0;
br = 0 ;
return b;
}
if(0 == b)
{
ar = 0;
br = 0 ;
return a;
}
x1 = 1;
x2 = 0;
x3 = a;
y1 = 0;
y2 = 1;
y3 = b;
int k;
for( t3 = x3 % y3 ; t3 != 0 ; t3 = x3 % y3)
{
k = x3 / y3;
t2 = x2 - k * y2;
t1 = x1 - k * y1;
x1 = y1;
x1 = y2;
x3 = y3;
y1 = t1;
y2 = t2;
y3 = t3;
}
if( y3 == 1)
{
//有乘法逆元
ar = y2;
br = x1;
return 1;
}else{
//公約數不為1，無乘法逆元
ar = 0;
br = 0;
return y3;
}
}
擴展歐幾里德演算法對於最大公約數的計算和普通歐幾里德演算法是一致的。計算乘法逆元則顯得很難明白。我想了半個小時才想出證明他的方法。
首先重復拙作整除中的一個論斷：
如果gcd(a,b)=d，則存在m,n，使得d = ma + nb，稱呼這種關系為a、b組合整數d，m，n稱為組合系數。當d=1時，有 ma + nb = 1 ，此時可以看出m是a模b的乘法逆元，n是b模a的乘法逆元。
為了證明上面的結論，我們把上述計算中xi、yi看成ti的迭代初始值，考察一組數(t1,t2,t3)，用歸納法證明：當通過擴展歐幾里德演算法計算後，每一行都滿足a×t1 + b×t2 = t3
第一行：1 × a + 0 × b = a成立
第二行：0 × a + 1 × b = b成立
假設前k行都成立，考察第k+1行
對於k-1行和k行有
t1(k-1) t2(k-1) t3(k-1)
t1(k) t2(k) t3(k)
分別滿足：
t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
t1(k) × a + t2(k) × b = t3(k)
根據擴展歐幾里德演算法，假設t3(k-1) = j t3(k) + r
則：
t3(k+1) = r
t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)
則
t1(k+1) × a + t2(k+1) × b
=t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
= t3(k-1) - j t3(k) = r
= t3(k+1)
得證
因此，當最終t3迭代計算到1時，有t1× a + t2 × b = 1，顯然，t1是a模b的乘法逆元，t2是b模a的乘法逆元。
參考資料：
http://ke..com/view/795549.htm
C. 歐幾里得演算法
計算過程一模一樣，只是最後對1001取模：
1 = 167 - 166
= 167 - (834 - 4 * 167)
= 5 * 167 - 834
= 5 *(1001 - 834) - 834
= 5 * 1001 - 6 *834
= 5 * 1001 - 6 * (3837 -3 *1001)
= 23 * 1001 - 6 *3837
然後對等式兩端同時除以模1001得
6 * 3837 = 1 (mod 1001)
於是 x ＝ 6
D. 什麼是歐幾里得演算法，它有什麼意義
歐幾里得演算法即輾轉相除法，用以求兩個數的最大公約數（或者最小公倍數）
證明如下
假設x,y的最大公約數為d
且設x=k1*d，y=k2*d;
則有z=x-y=(k1-k2)*d;
也必定能被d整除，所以通過兩個數不斷輾轉，直到其中一個變為0為止，以此最終快速得出兩個數的最大公約數。
在演算法的應用上是用求余以加速運算的速度。
總的來說，歐幾里得演算法的意義就是快速求得兩個數的最大公約數。
E. 輾轉相除法為什麼叫歐幾里得演算法
在數學中，輾轉相除法，又稱歐幾里得演算法，是求最大公約數的演算法。輾轉相除法首次出現於歐幾里得的《幾何原本》（第VII卷，命題i和ii）中，而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》。
這可能是叫歐幾里得演算法的原因吧。
F. 關於歐幾里得演算法的疑問
這個證明是想通過驗證 {a和b的公約數} 和 {b和a mod b的公約數} 這兩個集合相等來得到兩個集合的最大元素相同, 既然要證明集合相等, 那麼要證兩個方向的包含關系
G. 歐幾里德演算法的簡單解釋
[編輯本段]歐幾里得演算法的概述 歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a，b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b 假設d是a,b的一個公約數，則有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公約數 假設d 是(b,a mod b)的公約數，則 d | b ， d |r ，但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公約數 因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證 [編輯本段]歐幾里得演算法原理 Lemma 1.3.1 若 a, b 且 a = bh + r, 其中 h, r , 則 gcd(a, b) = gcd(b, r). 證明. 假設 d1 = gcd(a, b) 且 d2 = gcd(b, r). 我們證明 d1| d2 且 d2| d1, 因而可利用 Proposition 1.1.3(2) 以及 d1, d2 皆為正數得證 d1 = d2. 因 d1| a 且 d1| b 利用 Corollary 1.1.2 我們知 d1| a - bh = r. 因為 d1| b, d1| r 且 d2 = gcd(b, r) 故由 Proposition 1.2.5 知 d1| d2. 另一方面, 因為 d2| b 且 d2| r 故 d2| bh + r = a. 因此可得 d2| d1. Lemma 1.3.1 告訴我們當 a > b > 0 時, 要求 a, b 的最大公因數我們可以先將 a 除以 b 所得餘數若為 r, 則 a, b 的最大公因數等於 b 和 r 的最大公因數. 因為 0r < b < a, 所以當然把計算簡化了. 接著我們就來看看輾轉相除法. 由於 gcd(a, b) = gcd(- a, b) 所以我們只要考慮 a, b 都是正整數的情況. Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm) 假設 a, b 且 a > b. 由除法原理我們知存在 h0, r0 使得 a = bh0 + r0, 其中 0r0 < b. 若 r0 > 0, 則存在 h1, r1 使得 b = r0h1 + r1, 其中 0r1 < r0. 若 r1 > 0, 則存在 h2, r2 使得 r0 = r1h2 + r2, 其中 0r2 < r1. 如此繼續下去直到 rn = 0 為止. 若 n = 0 (即 r0 = 0), 則 gcd(a, b) = b. 若 n1, 則 gcd(a, b) = rn - 1. 證明. 首先注意若 r0 0, 由於 r0 > r1 > r2 > ... 是嚴格遞減的, 因為 r0 和 0 之間最多僅能插入 r0 - 1 個正整數, 所以我們知道一定會有 nr0 使得 rn = 0. 若 r0 = 0, 即 a = bh0, 故知 b 為 a 之因數, 得證 b 為 a, b 的最大公因數. 若 r0 > 0, 則由 Lemma 1.3.1 知 gcd(a, b) = gcd(b, r0) = gcd(r0, r1) = ... = gcd(rn - 1, rn) = gcd(rn - 1, 0) = rn - 1. 現在我們來看用輾轉相除法求最大公因數的例子 Example 1.3.3 我們求 a = 481 和 b = 221 的最大公因數. 首先由除法原理得 481 = 2 . 221 + 39, 知 r0 = 39. 因此再考慮 b = 221 除以 r0 = 39 得 221 = 5 . 39 + 26, 知 r1 = 26. 再以 r0 = 39 除以 r1 = 26 得 39 = 1 . 26 + 13, 知 r2 = 13. 最後因為 r2 = 13 整除 r1 = 26 知 r3 = 0, 故由 Theorem 1.3.2 知 gcd(481, 221) = r2 = 13. 在利用輾轉相除法求最大公因數時, 大家不必真的求到 rn = 0. 例如在上例中可看出 r0 = 39 和 r1 = 26 的最大公因數是 13, 利用 Lemma 1.3.1 馬上得知 gcd(a, b) = 13. 在上一節 Corollary 1.2.5 告訴我們若 gcd(a, b) = d, 則存在 m, n 使得 d = ma + nb. 當時我們沒有提到如何找到此 m, n. 現在我們利用輾轉相除法來介紹一個找到 m, n 的方法. 我們沿用 Theorem 1.3.2 的符號. 首先看 r0 = 0 的情形, 此時 d = gcd(a, b) = b 所以若令 m = 0, n = 1, 則我們有 d = b = ma + nb. 當 r0 0 但 r1 = 0 時, 我們知 d = gcd(a, b) = r0. 故利用 a = bh0 + r0 知, 若令 m = 1, n = - h0, 則 d = r0 = ma + nb. 同理若 r0 0, r1 0 但 r2 = 0, 則知 d = gcd(a, b) = r1. 故利用 a = bh0 + r0 以及 b = r0h1 + r1 知 r1 = b - r0h1 = b - (a - bh0)h1 = - h1a + (1 + h0h1)b. 因此若令 m = - h1 且 n = 1 + h0h1, 則 d = r1 = ma + nb. 依照此法, 當 r0, r1 和 r2 皆不為 0 時, 由於 d = gcd(a, b) = rn - 1 故由 rn - 3 = rn - 2hn - 1 + rn - 1 知 d = rn - 3 - hn - 1rn - 2. 利用前面推導方式我們知存在 m1, m2, n1, n2 使得 rn - 3 = m1a + n1b 且 rn - 2 = m2a + n2b 故代入得 d = (m1a + n1b) - hn - 1(m2a + n2b) = (m1 - hn - 1m2)a + (n1 - hn - 1n2)b. 因此若令 m = m1 - hn - 1m2 且 n = n1 - hn - 1n2, 則 d = ma + nb. 上面的說明看似好像當 r0 0 時對每一個 i {0, 1,..., n - 2} 要先將 ri 寫成 ri = mia + nib, 最後才可將 d = rn - 1 寫成 ma + nb 的形式. 其實這只是論證時的方便, 在實際操作時我們其實是將每個 ri 寫成 mi'ri - 2 + ni'ri - 1 的形式慢慢逆推回 d = ma + nb. 請看以下的例子. Example 1.3.4 我們試著利用 Example 1.3.3 所得結果找到 m, n 使得 13 = gcd(481, 221) = 481m + 221n. 首先我們有 13 = r2 = 39 - 26 = r0 - r1. 而 r1 = 221 - 5 . 39 = b - 5r0, 故得 13 = r0 - (b - 5r0) = 6r0 - b. 再由 r0 = 481 - 2 . 221 = a - 2b, 得知 13 = 6(a - 2b) - b = 6a - 13b. 故得 m = 6 且 n = - 13 會滿足 13 = 481m + 221n. 要注意這里找到的 m, n 並不會是唯一滿足 d = ma + nb 的一組解. 雖然上面的推演過程好像會只有一組解, 不過只能說是用上面的方法會得到一組解, 並不能擔保可找到所有的解. 比方說若令 m' = m + b, n' = n - a, 則 m'a + n'b = (m + b)a + (n - a)b = ma + nb = d. 所以 m', n' 也會是另一組解. 所以以後當要探討唯一性時, 若沒有充分的理由千萬不能說由前面的推導過程看出是唯一的就斷言是唯一. 一般的作法是假設你有兩組解, 再利用這兩組解所共同滿足的式子找到兩者之間的關系. 我們看看以下的作法. Proposition 1.3.5 假設 a, b 且 d = gcd(a, b). 若 x = m0, y = n0 是 d = ax + by 的一組整數解, 則對任意 t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆為 d = ax + by 的一組整數解, 而且 d = ax + by 的所有整數解必為 x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中 t 這樣的形式. 證明. 假設 x = m, y = n 是 d = ax + by 的一組解. 由於已假設 x = m0, y = n0 也是一組解, 故得 am + bn = am0 + bn0. 也就是說 a(m - m0) = b(n0 - n). 由於 d = gcd(a, b), 我們可以假設 a = a'd, b = b'd 其中 a', b' 且 gcd(a', b') = 1 (參見 Corollary 1.2.3). 因此得 a'(m - m0) = b'(n0 - n). 利用 b'| a'(m - m0), gcd(a', b') = 1 以及 Proposition 1.2.7(1) 得 b'| m - m0. 也就是說存在 t 使得 m - m0 = b't. 故知 m = m0 + b't = m0 + bt/d. 將 m = m0 + bt/d 代回 am + bn = am0 + bn0 可得 n = n0 - at/d, 因此得證 d = ax + by 的整數解都是 x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中 t 這樣的形式. 最後我們僅要確認對任意 t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆為 d = ax + by 的一組整數解. 然而將 x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 代入 ax + by 得 a(m0 + bt/d )+ b(n0 - at/d )= am0 + bn0 = d, 故得證本定理. 利用 Proposition 1.3.5 我們就可利用 Example 1.3.4 找到 13 = 481x + 221y 的一組整數解 x = 6, y = - 13 得到 x = 6 + 17t, y = - 13 - 37t 其中 t 是 13 = 481x + 221y 所有的整數解
希望採納
H. 擴展歐幾里得演算法
//歐幾米德演算法 //演算法描述：給定兩個正整數m和n,求他們的最大公因子。 //1.[求余數]用m除以n並令r為所得余數 //2.[余數為0]若r=0,則演算法結束，n即為所求答案 //3.[互換]置m←n,n←r,並返回步驟1。 #include <cstdlib> #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char *argv[]) { int n,m; int r; cout << "輸入兩個數（M，N）："; cin >> m >> n; cout << m << "和" << n << "的最大公約數為"; while(r!=0) { r=m %n; m=n; n=r; } cout << m<< endl; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; }
麻煩採納，謝謝!
I. 用歐幾里得演算法找x和y!!
就是8=144*1-1(1000-144*6)
=144*1-1000+144*6（分配律）
=144*（6+1）-1000（結合律）
J. 歐幾里得演算法求過程
就是把上一輪有餘數的除法計算中， 除數變為下一輪計算的被除數， 余數變為下一輪計算的除數， 一直這樣計算下去， 直到最後一次計算余數為零， 在最後一輪計算中的被除數，即為所求的最大公約數。