曼哈頓演算法大白話

❶ "最短路徑優先演算法"的優缺點

所謂的最短路徑問題有很多種意思，
在這里啟發式指的是一個在一個搜尋樹的節點上定義的函數h(n)，用於評估從此節點到目標節點最便宜的路徑。啟發式通常用於資訊充分的搜尋演算法，例如最好優先貪婪演算法與a*。最好優先貪婪演算法會為啟發式函數選擇最低代價的節點；a*則會為g(n)
+
h(n)選擇最低代價的節點，此g(n)是從起始節點到目前節點的路徑的確實代價。如果h(n)是可接受的（admissible）意即h(n)未曾付出超過達到目標的代價，則a*一定會找出最佳解。
最能感受到啟發式演算法好處的經典問題是n-puzzle。此問題在計算錯誤的拼圖圖形，與計算任兩塊拼圖的曼哈頓距離的總和以及它距離目的有多遠時，使用了本演算法。注意，上述兩條件都必須在可接受的范圍內。

❷ lua語言a星尋路演算法路徑怎麼平滑

在項目中遇到了自動尋路的需求，於是決定開始學習一下A星，對於A星我也沒有深究，只能說是勉強搞定了需求，在這和大家分享一下，相互進步，

A星有個公式 f(x) = g(x) + h(x)
,搞清楚這個公式就好辦了，f(x)就是當前位置到下一個位置的總價值，g(x)表示實際價，這是說這一部分代價是確定的，h(x)表示估價值，就是說我
從下一個位置到到終點的代價是未知的，所以叫估價值，如圖中所示，黑色格子表示當前位置，綠色格子表示下一步可能到達的位置，即上、下、左、右這幾個方
向，紅色格子表示終點，褐色表示障礙物，現在要從黑色格子到達紅色格子，那麼黑色格子的下一步肯定是綠色格子當中的一個，黑色格子到綠色格子之間是相挨著
的，所以我們可以很明確的知道它的實際代價為1（移動一步的代價）即g(x)，綠色格子到紅色格子之間隔著很長的距離，中間還有障礙物，所以這個代價是未
知的，即h(x)，所以總的代價就為f(x) = g(x) +
h(x)，我們看到周圍有4個綠色的格子，到底走那一步比較好呢，所以我們要把這4個格子的f(x)值都求出來，然後進行排序，選擇f(x)值最小的，即
總代價最少的那個格子，以此方法繼續下去，直到到達終點 或者 地圖上沒有綠色格子了

下面來看一下這個工具類，g(x)和h(x)要選的比較合適，一般就是採用的曼哈頓演算法，即兩點在x方向和y方向的距離之和，
-- Filename: PathUtil.lua
-- Author: bzx
-- Date: 2014-07-01
-- Purpose: 尋路

mole("PathUtil", package.seeall)

local _map_data -- 地圖數據
local _open_list -- 開放節點
local _open_map -- 開放節點，為了提高性能而加
local _close_map -- 關閉節點
local _deleget -- 代理
local _dest_point -- 目標點
local _start_point -- 起點
local _path -- 路徑

-- 尋找路徑
--[[
deleget = {
g = function(point1, point2)
-- add your code
-- 返回點point1到點point2的實際代價
end
h = function(point1, point2)
-- add your code
-- 返回點point1到點point2的估算代價
end
getValue = function(j, i)
-- 返回地圖中第i行，第j列的數據 1為障礙物，0為非障礙物
end
width -- 地圖寬度
height -- 地圖高度
}
--]]
function findPath(deleget, start_point, dest_point)
_deleget = deleget
_dest_point = dest_point
_start_point = start_point
init()
while not table.isEmpty(_open_list) do
local cur_point = _open_list[1]
table.remove(_open_list, 1)
_open_map[cur_point.key] = nil
if isEqual(cur_point, dest_point) then
return makePath(cur_point)
else
_close_map[cur_point.key] = cur_point
local next_points = getNextPoints(cur_point)
for i = 1, #next_points do
local next_point = next_points[i]
if _open_map[next_point.key] == nil and _close_map[next_point.key] == nil and isObstacle(next_point) == false then
_open_map[next_point.key] = next_point
table.insert(_open_list, next_point)
end
end
table.sort(_open_list, compareF)
end
end
return nil
end

function init()
_open_list = {}
_open_map = {}
_close_map = {}
_path = {}
_map_data = {}
for i = 1, _deleget.height do
_map_data[i] = {}
for j = 1, _deleget.width do
local value = _deleget.getValue(j, i)
_map_data[i][j] = value
end
end
_open_map[getKey(_start_point)] = _start_point
table.insert(_open_list, _start_point)
end

function createPoint(x, y)
local point = {
["x"] = x,
["y"] = y,
["last"] = nil,
["g_value"] = 0,
["h_value"] = 0,
["f_value"] = 0
}
point["key"] = getKey(point)
return point
end

-- 得到下一個可以移動的點
-- @param point 當前所在點
function getNextPoints(point)
local next_points = {}
for i = 1, #_deleget.directions do
local offset = _deleget.directions[i]
local next_point = createPoint(point.x + offset[1], point.y + offset[2])
next_point["last"] = point
if next_point.x >= 1 and next_point.x <= _deleget.width and next_point.y >= 1 and next_point.y <= _deleget.height then
next_point["g_value"] = _deleget.g(point, next_point)
next_point["h_value"] = _deleget.h(point, _dest_point)--math.abs(next_points.x - _dest_point.x) + math.abs(next_points.y - _dest_point.y)
next_point["f_value"] = next_point.g_value + next_point.h_value
table.insert(next_points, next_point)
end
end
return next_points
end

-- 得到路徑
-- @param end_point 目標點
function makePath(end_point)
_path = {}
local point = end_point
while point.last ~= nil do
table.insert(_path, createPoint(point.x, point.y))
point = point.last
end
local start_point = point
table.insert(_path, start_point)
return _path
end

-- 兩個點的代價比較器
function compareF(point1, point2)
return point1.f_value < point2.f_value
end

-- 是否是障礙物
function isObstacle(point)
local value = _map_data[point.y][point.x]
if value == 1 then
return true
end
return false
end

-- 兩個點是否是同一個點
function isEqual(point1, point2)
return point1.key == point2.key
end

-- 根據點得到點的key
function getKey(point)
local key = string.format("%d,%d", point.x, point.y)
return key
end

下面是工具類PathUtil的用法
local deleget = {}
deleget.g = function(point1, point2)
return math.abs(point1.x - point2.x) + math.abs(point1.y - point2.y)
end
deleget.h = deleget.g
deleget.getValue = function(j, i)
local index = FindTreasureUtil.getIndex(j, i)
local map_info = _map_info.map[index]
if map_info.display == 0 and map_info.eid ~= 1 then
return 0
end
return 1
end
deleget.directions = {{-1, 0}, {0, -1}, {0, 1}, {1, 0}} -- 左，上，下，右
deleget.width = _cols
deleget.height = _rows

local dest_row, dest_col = FindTreasureUtil.getMapPosition(tag)
local dest_point = PathUtil.createPoint(dest_col, dest_row)
local start_row, start_col = FindTreasureUtil.getMapPosition(_player_index)
local start_point = PathUtil.createPoint(start_col, start_row)
_path = PathUtil.findPath(deleget, start_point, dest_point)

_path就是我們找到的路徑，起點為最後一個元素，終點為第一個元素

❸ 用什麼計演算法曼哈頓演算法能算嗎

是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創詞彙，是種使用在幾何度量空間的幾何學用語，用以標明兩個點在標准坐標繫上的絕對軸距總和。曼哈頓距離——兩點在南北方向上的距離加上在東西方向上的距離，即d（i，j）=|xi-xj|+|yi-yj|。對於一個具有正南正北、正東正西方向規則布局的城鎮街道，從一點到達另一點的距離正是在南北方向上旅行的距離加上在東西方向上旅行的距離因此曼哈頓距離又稱為計程車距離，曼哈頓距離不是距離不變數，當坐標軸變動時，點間的距離就會不同。

❹ 蒙特卡羅演算法是什麼

蒙特卡羅（MonteCarlo）方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基於「隨機數」的計算方法。這一方法源於美國在第二次世界大戰進行研製原子彈的「曼哈頓計劃」。

該計劃的主持人之一、數學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。

主要是：

使用隨機數（ 或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。 將所求解的問題同一定的概率模型相聯系， 用電子計算機實現統計模擬或 抽樣 ，以獲得問題的近似解。 為象徵性地表明這一方法的概率統計特徵， 故借用賭城蒙特卡羅命名。

❺ A*演算法介紹

姓名：車文揚 學號：16020199006

【嵌牛導讀】：A*演算法的逐步詳解

【嵌牛鼻子】：啟發式演算法

【嵌牛提問】：A*演算法的原理是什麼？

【嵌牛正文】：

A*演算法

路徑規劃是指的是機器人的最優路徑規劃問題，即依據某個或某些優化准則（如工作代價最小、行走路徑最短、行走時間最短等），在工作空間中找到一個從起始狀態到目標狀態能避開障礙物的最優路徑。機器人的路徑規劃應用場景極豐富，最常見如游戲中NPC及控制角色的位置移動，網路地圖等導航問題，小到家庭掃地機器人、無人機大到各公司正爭相開拓的無人駕駛汽車等。

目前路徑規劃演算法分為：

A*演算法原理：

在計算機科學中，A*演算法作為Dijkstra演算法的擴展，因其高效性而被廣泛應用於尋路及圖的遍歷，如星際爭霸等游戲中就大量使用。在理解演算法前，我們需要知道幾個概念：

搜索區域（The Search Area）：圖中的搜索區域被劃分為了簡單的二維數組，數組每個元素對應一個小方格，當然我們也可以將區域等分成是五角星，矩形等，通常將一個單位的中心點稱之為搜索區域節點（Node）。

開放列表(Open List)：我們將路徑規劃過程中待檢測的節點存放於Open List中，而已檢測過的格子則存放於Close List中。

父節點（parent）：在路徑規劃中用於回溯的節點，開發時可考慮為雙向鏈表結構中的父結點指針。

路徑排序（Path Sorting）：具體往哪個節點移動由以下公式確定：F(n) = G + H 。G代表的是從初始位置A沿著已生成的路徑到指定待檢測格子的移動開銷。H指定待測格子到目標節點B的估計移動開銷。

啟發函數（Heuristics Function）：H為啟發函數，也被認為是一種試探，由於在找到唯一路徑前，我們不確定在前面會出現什麼障礙物，因此用了一種計算H的演算法，具體根據實際場景決定。在我們簡化的模型中，H採用的是傳統的曼哈頓距離（Manhattan Distance），也就是橫縱向走的距離之和。

如下圖所示，綠色方塊為機器人起始位置A，紅色方塊為目標位置B，藍色為障礙物。

我們把要搜尋的區域劃分成了正方形的格子。這是尋路的第一步，簡化搜索區域。這個特殊的方法把我們的搜索區域簡化為了2 維數組。數組的每一項代表一個格子，它的狀態就是可走(walkalbe)或不可走(unwalkable) 。現用A*演算法尋找出一條自A到B的最短路徑，每個方格的邊長為10，即垂直水平方向移動開銷為10。因此沿對角移動開銷約等於14。具體步驟如下：

從起點 A 開始，把它加入到一個由方格組成的open list(開放列表) 中，這個open list像是一個購物清單。Open list里的格子是可能會是沿途經過的，也有可能不經過。因此可以將其看成一個待檢查的列表。查看與A相鄰的8個方格 ，把其中可走的 (walkable) 或可到達的(reachable) 方格加入到open list中。並把起點 A 設置為這些方格的父節點 (parent node) 。然後把 A 從open list中移除，加入到close list(封閉列表) 中，close list中的每個方格都是不需要再關注的。

如下圖所示，深綠色的方格為起點A，它的外框是亮藍色，表示該方格被加入到了close list 。與它相鄰的黑色方格是需要被檢查的，他們的外框是亮綠色。每個黑方格都有一個灰色的指針指向他們的父節點A。

下一步，我們需要從open list中選一個與起點A相鄰的方格。但是到底選擇哪個方格好呢？選F值最小的那個。我們看看下圖中的一些方格。在標有字母的方格中G = 10 。這是因為水平方向從起點到那裡只有一個方格的距離。與起點直接相鄰的上方，下方，左方的方格的G 值都是10 ，對角線的方格G 值都是14 。H值通過估算起點到終點( 紅色方格) 的Manhattan 距離得到，僅作橫向和縱向移動，並且忽略沿途的障礙。使用這種方式，起點右邊的方格到終點有3 個方格的距離，因此H = 30 。這個方格上方的方格到終點有4 個方格的距離( 注意只計算橫向和縱向距離) ，因此H = 40 。

比較open list中節點的F值後，發現起點A右側節點的F=40，值最小。選作當前處理節點，並將這個點從Open List刪除，移到Close List中。

對這個節點周圍的8個格子進行判斷，若是不可通過（比如牆，水，或是其他非法地形）或已經在Close List中，則忽略。否則執行以下步驟：

若當前處理節點的相鄰格子已經在Open List中，則檢查這條路徑是否更優，即計算經由當前處理節點到達那個方格是否具有更小的 G值。如果沒有，不做任何操作。相反，如果G值更小，則把那個方格的父節點設為當前處理節點 ( 我們選中的方格 ) ，然後重新計算那個方格的 F 值和 G 值。

若當前處理節點的相鄰格子不在Open List中，那麼把它加入，並將它的父節點設置為該節點。

按照上述規則我們繼續搜索，選擇起點右邊的方格作為當前處理節點。它的外框用藍線打亮，被放入了close list 中。然後我們檢查與它相鄰的方格。它右側的3個方格是牆壁，我們忽略。它左邊的方格是起點，在close list 中，我們也忽略。其他4個相鄰的方格均在open list 中，我們需要檢查經由當前節點到達那裡的路徑是否更好。我們看看上面的方格，它現在的G值為14 ，如果經由當前方格到達那裡，G值將會為20( 其中10為從起點到達當前方格的G值，此外還要加上從當前方格縱向移動到上面方格的G值10) ，因此這不是最優的路徑。看圖就會明白直接從起點沿對角線移動到那個方格比先橫向移動再縱向移動要好。

當把4個已經在open list 中的相鄰方格都檢查後，沒有發現經由當前節點的更好路徑，因此不做任何改變。接下來要選擇下一個待處理的節點。因此再次遍歷open list ，現在open list中只有7 個方格了，我們需要選擇F值最小的那個。這次有兩個方格的F值都是54，選哪個呢？沒什麼關系。從速度上考慮，選擇最後加入open list 的方格更快。因此選擇起點右下方的方格，如下圖所示。

接下來把起點右下角F值為54的方格作為當前處理節點，檢查其相鄰的方格。我們發現它右邊是牆（牆下面的一格也忽略掉，假定牆角不能直接穿越)，忽略之。這樣還剩下 5 個相鄰的方格。當前方格下面的 2 個方格還沒有加入 open list ，所以把它們加入，同時把當前方格設為他們的父親。在剩下的 3 個方格中，有 2 個已經在 close list 中 ( 一個是起點，一個是當前方格上面的方格，外框被加亮的 ) ，我們忽略它們。最後一個方格，也就是當前方格左邊的方格，檢查經由當前方格到達那裡是否具有更小的 G 值。沒有，因此我們准備從 open list 中選擇下一個待處理的方格。

不斷重復這個過程，直到把終點也加入到了open list 中，此時如下圖所示。注意在起點下方2 格處的方格的父親已經與前面不同了。之前它的G值是28並且指向它右上方的方格。現在它的G 值為20 ，並且指向它正上方的方格。這是由於在尋路過程中的某處使用新路徑時G值更小，因此父節點被重新設置，G和F值被重新計算。

那麼我們怎樣得到實際路徑呢？很簡單，如下圖所示，從終點開始，沿著箭頭向父節點移動，直至回到起點，這就是你的路徑。

A*演算法總結：

1. 把起點加入 open list 。

2. 重復如下過程：

a. 遍歷open list ，查找F值最小的節點，把它作為當前要處理的節點，然後移到close list中

b. 對當前方格的 8 個相鄰方格一一進行檢查，如果它是不可抵達的或者它在close list中，忽略它。否則，做如下操作：

□  如果它不在open list中，把它加入open list，並且把當前方格設置為它的父親

□  如果它已經在open list中，檢查這條路徑 ( 即經由當前方格到達它那裡 ) 是否更近。如果更近，把它的父親設置為當前方格，並重新計算它的G和F值。如果你的open list是按F值排序的話，改變後你可能需要重新排序。

c. 遇到下面情況停止搜索：

□  把終點加入到了 open list 中，此時路徑已經找到了，或者

□  查找終點失敗，並且open list 是空的，此時沒有路徑。

3. 從終點開始，每個方格沿著父節點移動直至起點，形成路徑。

❻ 最小曼哈頓網路問題的成就

在演算法研究領域，人們最重視的是那些長期懸而未決的問題。「曼哈頓網路問題」就是這樣一個不清楚它是否是P還是NP的問題。已經有近似度為2的近似演算法，但是復雜度為O(n^8)。而郭澤宇把演算法改造。使之加快到O(n^2)，是值得贊許的工作。所以被接受為國際會議大會報告，反映了同行對它的重視程度。
曼哈頓網路問題是計算機理論界研究的重要課題，郭澤宇對最小曼哈頓網路的演算法復雜性進行研究，有理論意義和應用價值。鑒於曼哈頓網路問題是否NP問題尚無明確的結論，對曼哈頓網路問題的研究都集中在近似演算法的研究。郭澤宇在導師指導下的前期工作對已有的2-近似演算法進行改進，使其時間復雜度達到O(n2)(原演算法為O(n8))，課題有很好的研究基礎，有望得到進一步的創新成果。
最小曼哈頓網路問題-郭澤宇怎麼解決最小曼哈頓網路問題？
2008年6月，郭澤宇申請了復旦大學本科生學術研究資助計劃的「莙政」項目。最小曼哈頓網路問題是計算機學院朱洪教授給自己指導的本科生們所開設的題目。
郭澤宇大膽地選擇了這一問題作為項目攻克對象。這既讓朱洪教授和博士研究生孫賀這兩位項目指導老師感到欣喜，也讓「莙政」學者評審專家們捏了一把汗。基於鼓勵本科生創新和支持年輕人闖勁的考慮，郭澤宇最終得到了資助。經過200多個日夜的思考和探索，這一難題終於被他找到突破口。
據悉，計算幾何國際會議是計算幾何領域最高級別的會議，這一會議，中國內地數學家已經闊別了整整十八年。
在郭澤宇的項目申請書中，中國科學院院士陸汝鈐作為推薦老師，對本科生學術研究資助計劃給予了充分的肯定，他認為通過這一方式使許多學生脫穎而出，走上了從事科學研究的道路。記者了解到，1998年，在李政道先生倡導和設立的「莙政基金」支持下，復旦大學開始開展資助優秀本科學生盡早接觸學術研究的計劃，並逐漸形成了一個層次分明、申請時間靈活、申請形式多樣的本科生學術研究資助平台，即復旦大學本科生學術研究資助計劃。
從1998年到2008年，共有1556位學生獲得資助開展研究，其項目學科涵蓋了醫學、工學、理學、文學、教育學等多個領域。另據不完全統計，在2008年，參加復旦大學本科生學術研究資助計劃資助項目的同學在國內外期刊發表論文30篇，其中第一作者文章20篇。

❼ 求曼哈頓距離 , 向量餘弦相似度的優缺點

曼哈頓距離

曼哈頓距離的正式意義為L1-距離或城市區塊距離，也就是在歐幾里得空間的固定直角坐標繫上兩點所形成的線段對軸產生的投影的距離總和。

例如在平面上，座標（x1,y1）的點P1與座標（x2,y2）的點P2的曼哈頓距離為：

要注意的是，曼哈頓距離依賴座標系統的轉度，而非系統在座標軸上的平移或映射。

曼哈頓距離的命名原因是從規劃為方型建築區塊的城市（如曼哈頓）間，最短的行車路徑而來（忽略曼哈頓的單向車道以及只存在於3、14大道的斜向車道）。任何往東三區塊、往北六區塊的的路徑一定最少要走九區塊，沒有其他捷徑。

計程車幾何學滿足除了SAS全等定理之外的希伯特定理，SAS全等指任兩個三角型兩個邊與它們的夾角相等，則這兩個三角型必全等。

在計程車幾何學中，一個圓是由從圓心向各個固定曼哈頓距離標示出來的點圍成的區域。因此這種圓其實就是旋轉了45度的正方形。如果有一群圓，任兩圓皆相交，則整群圓必在某點相交；因此曼哈頓距離會形成一個超凸度量空間（Injective metric space）。對一個半徑為r的圓來說，這個正方形的圓每邊長√2r。此'"圓"的半徑r對切比雪夫距離（L∞空間）的二維平面來說，也是一個對座標軸來說邊長為2r的正方形，因此二維切比雪夫距離可視為等同於旋轉且放大過的二維曼哈頓距離。然而這種介於L1與L∞的相等關系並不能延伸到更高的維度。

餘弦相似度
在向量空間模型中，文本泛指各種機器可讀的記錄。用D（Document）表示，特徵項（Term，用t表示）是指出現在文檔D中且能夠代表該文檔內容的基本語言單位，主要是由詞或者短語構成，文本可以用特徵項集表示為D(T1，T2，…，Tn)，其中Tk是特徵項，1<=k<=N。例如一篇文檔中有a、b、c、d四個特徵項，那麼這篇文檔就可以表示為D(a，b，c，d)。對含有n個特徵項的文本而言，通常會給每個特徵項賦予一定的權重表示其重要程度。即D＝D(T1，W1；T2，W2；…，Tn，Wn)，簡記為D＝D(W1，W2，…，Wn)，我們把它叫做文本D的向量表示。其中Wk是Tk的權重，1<=k<=N。在上面那個例子中，假設a、b、c、d的權重分別為30，20，20，10，那麼該文本的向量表示為D(30，20，20，10)。在向量空間模型中，兩個文本D1和D2之間的內容相關度Sim(D1，D2)常用向量之間夾角的餘弦值表示，公式為：

其中，W1k、W2k分別表示文本D1和D2第K個特徵項的權值，1<=k<=N。
在自動歸類中，我們可以利用類似的方法來計算待歸類文檔和某類目的相關度。例如文本D1的特徵項為a，b，c，d，權值分別為30，20，20，10，類目C1的特徵項為a，c，d，e，權值分別為40，30，20，10，則D1的向量表示為D1(30,20,20,10,0),C1的向量表示為C1（40，0，30，20，10），則根據上式計算出來的文本D1與類目C1相關度是0.86

那個相關度0.86是怎麼算出來的？

是這樣的，拋開你的前面的贅述

在數學當中，n維向量是 V{v1, v2, v3, ..., vn}
他的模： |v| = sqrt ( v1*v1 + v2*v2 + ... + vn*vn )
兩個向量的點擊 m*n = n1*m1 + n2*m2 + ...... + nn*mn
相似度 ＝ (m*n) /(|m|*|n|)
物理意義就是兩個向量的空間夾角的餘弦數值
對於你的例子
d1*c1 = 30*40 + 20*0 + 20*30 + 10*20 + 0*10 = 2000
|d1| = sqrt(30*30 +20*20 + 20*20 + 10*10 + 0*0) = sqrt(1800)
|c1| = sqrt(40*40 + 0*0 + 30*30 + 20*20 + 10*10) = sqrt(3000)
相似度 = d1*c1/(|d1|*|c1|)= 2000/sqrt(1800*3000)= 0.86066

————希望可以幫到您！覺得好就請點採納答案吧，你的採納是我的動力，謝謝！————

❽ 已知兩點經緯度，怎麼求兩點的曼哈頓距離

假設地球半徑為R曼哈頓距離求的即是球面直角三角形兩條直角邊的距離之和。設點1(x1,y1)，點2(x2,y2)假設x2>x1以x2所在緯線(半徑為R2)為基準，d1=2 pi R2 |y2-y1|/360，東經為正，西經為負，若|y2-y1|>180，實際的d1*=2 pi R2-d1，若|y2-y1|<180，d1*=d1d2=2 pi R |x2-x1|/360，北緯為正，南緯為負d=d2+d1*

❾ 全面歸納距離和相似度計算方法

距離(distance，差異程度)、相似度(similarity，相似程度)方法可以看作是以某種的距離函數計算元素間的距離，這些方法作為機器學習的基礎概念，廣泛應用於如：Kmeans聚類、協同過濾推薦演算法、相似度演算法、MSE損失函數等等。本文對常用的距離計算方法進行歸納以及解析，分為以下幾類展開：

對於點x=(x1,x2...xn) 與點y=(y1,y2...yn) , 閔氏距離可以用下式表示：

閔氏距離是對多個距離度量公式的概括性的表述，p=1退化為曼哈頓距離；p=2退化為歐氏距離；切比雪夫距離是閔氏距離取極限的形式。

曼哈頓距離 公式：

歐幾里得距離公式：

如下圖藍線的距離即是曼哈頓距離（想像你在曼哈頓要從一個十字路口開車到另外一個十字路口實際駕駛距離就是這個「曼哈頓距離」，此即曼哈頓距離名稱的來源，也稱為城市街區距離），紅線為歐幾里得距離：

切比雪夫距離起源於國際象棋中國王的走法，國際象棋中國王每次只能往周圍的8格中走一步，那麼如果要從棋盤中A格(x1,y1)走到B格(x2,y2)最少需要走幾步？你會發現最少步數總是max(|x2-x1|,|y2-y1|)步。有一種類似的一種距離度量方法叫切比雪夫距離。

切比雪夫距離就是當p趨向於無窮大時的閔氏距離：

距離函數並不一定是距離度量，當距離函數要作為距離度量，需要滿足：

由此可見，閔氏距離可以作為距離度量，而大部分的相似度並不能作為距離度量。

閔氏距離也是Lp范數（如p==2為常用L2范數正則化）的一般化定義。
下圖給出了一個Lp球（ ||X||p = 1 ）的形狀隨著P的減少的可視化圖：

距離度量隨著空間的維度d的不斷增加，計算量復雜也逐增，另外在高維空間下，在維度越高的情況下，任意樣本之間的距離越趨於相等（樣本間最大與最小歐氏距離之間的相對差距就趨近於0），也就是維度災難的問題，如下式結論：

對於維度災難的問題，常用的有PCA方法進行降維計算。

假設各樣本有年齡，工資兩個變數，計算歐氏距離（p=2）的時候，(年齡1-年齡2)² 的值要遠小於(工資1-工資2)² ，這意味著在不使用特徵縮放的情況下，距離會被工資變數（大的數值）主導, 特別當p越大，單一維度的差值對整體的影響就越大。因此，我們需要使用特徵縮放來將全部的數值統一到一個量級上來解決此問題。基本的解決方法可以對數據進行「標准化」和「歸一化」。

另外可以使用馬氏距離（協方差距離），與歐式距離不同其考慮到各種特性之間的聯系是（量綱）尺度無關 (Scale Invariant) 的，可以排除變數之間的相關性的干擾，缺點是誇大了變化微小的變數的作用。馬氏距離定義為：

馬氏距離原理是使用矩陣對兩兩向量進行投影後，再通過常規的歐幾里得距離度量兩對象間的距離。當協方差矩陣為單位矩陣，馬氏距離就簡化為歐氏距離；如果協方差矩陣為對角陣，其也可稱為正規化的歐氏距離。

根據向量x,y的點積公式：

我們可以利用向量間夾角的cos值作為向量相似度[1]：

餘弦相似度的取值范圍為：-1~1，1 表示兩者完全正相關，-1 表示兩者完全負相關，0 表示兩者之間獨立。餘弦相似度與向量的長度無關，只與向量的方向有關，但餘弦相似度會受到向量平移的影響（上式如果將 x 平移到 x+1, 餘弦值就會改變）。

另外，歸一化後計算歐氏距離，等價於餘弦值：兩個向量x,y, 夾角為A，歐氏距離D=(x-y)^2 = x ^2+y 2-2|x||y|cosA = 2-2cosA

協方差是衡量多維數據集中，變數之間相關性的統計量。如下公式X，Y的協方差即是，X減去其均值 乘以 Y減去其均值，所得每一組數值的期望（平均值）。

如果兩個變數之間的協方差為正值，則這兩個變數之間存在正相關，若為負值，則為負相關。

皮爾遜相關系數數值范圍也是[-1，1]。皮爾遜相關系數可看作是在餘弦相似度或協方差基礎上做了優化（變數的協方差除以標准差）。它消除每個分量標准不同（分數膨脹）的影響，具有平移不變性和尺度不變性。

卡方檢驗X2，主要是比較兩個分類變數的關聯性、獨立性分析。如下公式，A代表實際頻數；E代表期望頻數：

Levenshtein 距離是 編輯距離 (Editor Distance) 的一種，指兩個字串之間，由一個轉成另一個所需的最少編輯操作次數。允許的編輯操作包括將一個字元替換成另一個字元，插入一個字元，刪除一個字元。
像hallo與hello兩個字元串編輯距離就是1，我們通過替換」a「 為 」e「，就可以完成轉換。

漢明距離為兩個等長字元串對應位置的不同字元的個數，也就是將一個字元串變換成另外一個字元串所需要替換的字元個數。例如：1011101 與 1001001 之間的漢明距離是 2，「toned」 與 「roses」 之間的漢明距離是 3

另外的，對於字元串距離來說，不同字元所佔的份量是不一樣的。比如」我樂了「 與【「我怒了」，」我樂了啊」 】的Levenshtein 距離都是1，但其實兩者差異還是很大的，因為像「啊」這種語氣詞的重要性明顯不如「樂」，考慮字元（特徵）權重的相似度方法有：TF-IDF、BM25、WMD演算法。

Jaccard 取值范圍為0~1，0 表示兩個集合沒有重合，1 表示兩個集合完全重合。

但Dice不滿足距離函數的三角不等式，不是一個合適的距離度量。

基礎地介紹下信息熵，用來衡量一個隨機變數的不確定性程度。對於一個隨機變數 X，其概率分布為：

互信息用於衡量兩個變數之間的關聯程度，衡量了知道這兩個變數其中一個，對另一個不確定度減少的程度。公式為：

如下圖，條件熵表示已知隨機變數X的情況下，隨機變數Y的信息熵，因此互信息實際上也代表了已知隨機變數X的情況下，隨機變數Y的(信息熵)不確定性的減少程度。

JS 散度解決了 KL 散度不對稱的問題，定義為：

群體穩定性指標（Population Stability Index，PSI）， 可以看做是解決KL散度非對稱性的一個對稱性度量指標，用於度量分布之間的差異（常用於風控領域的評估模型預測的穩定性）。

psi與JS散度的形式是非常類似的，如下公式：

PSI的含義等同P與Q，Q與P之間的KL散度之和。

DTW 距離用於衡量兩個序列之間的相似性，適用於不同長度、不同節奏的時間序列。DTW採用了動態規劃DP（dynamic programming）的方法來進行時間規整的計算，通過自動warping扭曲 時間序列（即在時間軸上進行局部的縮放），使得兩個序列的形態盡可能的一致，得到最大可能的相似度。(具體可參考[5])

圖結構間的相似度計算，有圖同構、最大共同子圖、圖編輯距離、Graph Kernel 、圖嵌入計算距離等方法（具體可參考[4][6]）。

度量學習的對象通常是樣本特徵向量的距離，度量學習的關鍵在於如何有效的度量樣本間的距離，目的是通過訓練和學習，減小或限制同類樣本之間的距離，同時增大不同類別樣本之間的距離，簡單歸類如下[2]：

最後，附上常用的距離和相似度度量方法[3]：

❿ 常見的相似度度量演算法

本文目錄：

  定義在兩個向量（兩個點）上：點x和點y的歐式距離為：

  常利用歐幾里得距離描述相似度時，需要取倒數歸一化，sim = 1.0/(1.0+distance)，利用numpy實現如下：

python實現歐式距離

  從名字就可以猜出這種距離的計算方法了。想像你在曼哈頓要從一個十字路口開車到另外一個十字路口，駕駛距離是兩點間的直線距離嗎？顯然不是，除非你能穿越大樓。實際駕駛距離就是這個「曼哈頓距離」。而這也是曼哈頓距離名稱的來源， 曼哈頓距離也稱為城市街區距離(City Block distance)。

  (1)二維平面兩點a(x1,y1)與b(x2,y2)間的曼哈頓距離

  (2)兩個n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的曼哈頓距離

   python實現曼哈頓距離：

  國際象棋玩過么？國王走一步能夠移動到相鄰的8個方格中的任意一個。那麼國王從格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走試試。你會發現最少步數總是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步 。有一種類似的一種距離度量方法叫切比雪夫距離。

  (1)二維平面兩點a(x1,y1)與b(x2,y2)間的切比雪夫距離

  (2)兩個n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的切比雪夫距離

   python實現切比雪夫距離：

  閔氏距離不是一種距離，而是一組距離的定義。

  兩個n維變數a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的閔可夫斯基距離定義為：

  其中p是一個變參數。

  當p=1時，就是曼哈頓距離

  當p=2時，就是歐氏距離

  當p→∞時，就是切比雪夫距離

  根據變參數的不同，閔氏距離可以表示一類的距離。

  閔氏距離，包括曼哈頓距離、歐氏距離和切比雪夫距離都存在明顯的缺點。

  舉個例子：二維樣本(身高,體重)，其中身高范圍是150 190，體重范圍是50 60，有三個樣本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那麼a與b之間的閔氏距離（無論是曼哈頓距離、歐氏距離或切比雪夫距離）等於a與c之間的閔氏距離，但是身高的10cm真的等價於體重的10kg么？因此用閔氏距離來衡量這些樣本間的相似度很有問題。

  簡單說來，閔氏距離的缺點主要有兩個：

  (1)將各個分量的量綱(scale)，也就是「單位」當作相同的看待了。

  (2)沒有考慮各個分量的分布（期望，方差等)可能是不同的。

  標准歐氏距離的定義

  標准化歐氏距離是針對簡單歐氏距離的缺點而作的一種改進方案。標准歐氏距離的思路：既然數據各維分量的分布不一樣，好吧！那我先將各個分量都「標准化」到均值、方差相等吧。均值和方差標准化到多少呢？這里先復習點統計學知識吧，假設樣本集X的均值(mean)為m，標准差(standard deviation)為s，那麼X的「標准化變數」表示為：

  而且標准化變數的數學期望為0，方差為1。因此樣本集的標准化過程(standardization)用公式描述就是：

  標准化後的值 = ( 標准化前的值 － 分量的均值 ) /分量的標准差

  經過簡單的推導就可以得到兩個n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的標准化歐氏距離的公式：

  如果將方差的倒數看成是一個權重，這個公式可以看成是一種加權歐氏距離(Weighted Euclidean distance)。

  有M個樣本向量X1~Xm，協方差矩陣記為S，均值記為向量μ，則其中樣本向量X到u的馬氏距離表示為：

  而其中向量Xi與Xj之間的馬氏距離定義為：

  若協方差矩陣是單位矩陣（各個樣本向量之間獨立同分布）,則公式就成了：

  也就是歐氏距離了。

  若協方差矩陣是對角矩陣，公式變成了標准化歐氏距離。

  馬氏距離的優缺點：量綱無關，排除變數之間的相關性的干擾。

  幾何中夾角餘弦可用來衡量兩個向量方向的差異，機器學習中借用這一概念來衡量樣本向量之間的差異。

  在二維空間中向量A(x1,y1)與向量B(x2,y2)的夾角餘弦公式：

  兩個n維樣本點a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夾角餘弦

  類似的，對於兩個n維樣本點a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用類似於夾角餘弦的概念來衡量它們間的相似程度。

  即：

  夾角餘弦取值范圍為[-1,1]。夾角餘弦越大表示兩個向量的夾角越小，夾角餘弦越小表示兩向量的夾角越大。當兩個向量的方向重合時夾角餘弦取最大值1，當兩個向量的方向完全相反夾角餘弦取最小值-1。

python實現餘弦相似度：

  兩個等長字元串s1與s2之間的漢明距離定義為將其中一個變為另外一個所需要作的最小替換次數。例如字元串「1111」與「1001」之間的漢明距離為2。

  應用：信息編碼（為了增強容錯性，應使得編碼間的最小漢明距離盡可能大）。

python實現漢明距離：

  兩個集合A和B的交集元素在A，B的並集中所佔的比例，稱為兩個集合的傑卡德相似系數，用符號J(A,B)表示。

  傑卡德相似系數是衡量兩個集合的相似度一種指標。

  與傑卡德相似系數相反的概念是傑卡德距離(Jaccard distance)。傑卡德距離可用如下公式表示：

  傑卡德距離用兩個集合中不同元素占所有元素的比例來衡量兩個集合的區分度。

  可將傑卡德相似系數用在衡量樣本的相似度上。

  樣本A與樣本B是兩個n維向量，而且所有維度的取值都是0或1。例如：A(0111)和B(1011)。我們將樣本看成是一個集合，1表示集合包含該元素，0表示集合不包含該元素。

  p ：樣本A與B都是1的維度的個數

  q ：樣本A是1，樣本B是0的維度的個數

  r ：樣本A是0，樣本B是1的維度的個數

  s ：樣本A與B都是0的維度的個數

  這里p+q+r可理解為A與B的並集的元素個數，而p是A與B的交集的元素個數。

  而樣本A與B的傑卡德距離表示為：

  皮爾遜相關系數即為相關系數 ( Correlation coefficient )與相關距離(Correlation distance)

  相關系數的定義

  相關系數是衡量隨機變數X與Y相關程度的一種方法，相關系數的取值范圍是[-1,1]。相關系數的絕對值越大，則表明X與Y相關度越高。當X與Y線性相關時，相關系數取值為1（正線性相關）或-1（負線性相關）。

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