線性規劃單純形演算法

Ⅰ 圖解法和單純形法的優缺點，分別適用於哪些類型的線性規劃問題

一、單純形法：

1、優點：把線性規劃問題的約束方程組表達成典範型方程組，找出基本可行解作為初始基本可行解。用於優化多維無約束問題的一種數值方法，屬於更普遍的搜索演算法的類別。

2、缺點：約束條件中存在大於或等於約束：將約束兩邊取負。

二、圖解法：

1、優點：原理簡單，易掌握，會數格子就可以用。

2、缺點：精度有限，要精確確計算用求積儀或者高數裡面的積分最好，圖解法適合在一些精度要求不高的場合使用。

(1)線性規劃單純形演算法擴展閱讀：

注意事項：

平常的線性規劃的裡面，當線性方程組的數量大於這個方程的個數，就會有不定數量的解。

在單純形法要是基本可行，那麼解不存在的話，就是這個約束的條件有矛盾了。

單純形法是要把表達成典範型方程組是要變數的轉換，還有就是目標的轉換，是要找出可行解作為初始基可。如果單純形法是能讓解存在，是從初始作起點，找到目標函數值就是更好的一個基本可行解。

Ⅱ 250分懸賞線性規劃問題（單純形法）

一、線性規劃單純形法的概念

（一）線性規劃單純形解法的基本思路

若一個凸集僅包含有限個極點，則稱此凸集為單純形。
線性規劃的可行域是單純形（證明略，但可以從上節圖解法的例子得到認同），進而線性規劃的基可行解又與線性規劃問題可行域的極點1-1對應（定理2.2.2）， 線性規劃單純形法就是基於線性規劃可行域的這樣的幾何特徵設計產生的。這個方法最初是在20世紀40年代由George Dantzig研究出來的。這個線性規劃單純形解法的基本思路是：先求得一個初始基可行解，以這個初始基可行解在可行域中對應的極點為出發點，根據最優准則判斷這個基可行解是否是最優解，如果不是轉換到相鄰的一個極點，即得到一個新的基可行解，並使目標函數值下降，這樣重復進行有限次後，可找到最解或判斷問題無最優解。

（二）單純形法的最優准則

設：線性規劃（LP）為：

min cx
s.t. Ax=b
x≥0

A為（LP）的約束方程組的m*n階系數矩陣（設n≥m），A的秩為m；B是線性規劃的一個基，不失普遍性，記

定義

則：稱λ，或者λj,(j=1,2,…,n)為檢驗數。

若：λ≤0，即全部λi非正，
則：由B確定的基可行解是（LP）的最優解。
（參看附錄2.3.1）

二、線性規劃單純形法的表格解法

較簡單的線性規劃可以採用單純形法的表格形式，這樣利用計算器就可求解。單純形法的表格解法的基本思路是，對基可行解建立單純形表，依據此表作最優解判斷，以及從原基可行解向目標值更小的新可行解轉換的計算。

對於由基陣B確定的基可行解，其單純形表為表2.3.1形式。對於初始基可行解，其單純形表的構建方法為：先建立表2.3.2形式的表格，然後應用「行變換」將表2.3.2中的前m列，即基變數對應的列

轉換為

其中0是m元0向量：0=(0,0,…,0), 是m階單位方陣。在這樣的行變換下，表2.3.2將轉換為表2.3.1

表2.3.1

檢驗數

基變數
cBB-1A-c cBB-1b
xB B-1A B-1b

表2.3.2

檢驗數

基變數
-cB -cN o
xB B N B-1b

（參看附錄2.3.2）

（一）直接求解
對如下形式的較簡單的線性規劃可直接採用單純形法的表格形式求解：

min cx
s.t. Ax≤b
x≥0

這種形式的線性規劃標准化後，為

min cx+ox'
s.t. Ax+lx'=b
x≥0,x'≥0

其中x'=(x1',x2',…,xm')為松馳變數，而o=(0,0,…,0)T 。現在新的約束矩陣為

因為I是m*n的單位矩陣。所以我們就可用這個矩陣作基陣，松馳變數是基變數，立即得到一個初始基可行解，其目標函數值為0，而相應的初始單純形表如表2.3.3所示。表中

θ=o=(0,0,…,0)T,

從而可開始單純形表上求解的過程。

表2.3.3

檢驗數

基變數
-c θ o
A I b

下面我們通過一個實例看單純形表解線性規劃問題的一般步驟

例2.3.1 用直接法求解（LP）

max z=40x1+45x2+24x3
s.t. 2x1+3x2+x3≤100
3x1+3x2+2x3≤120
x1,x2,x3≥0

解：
第一步 先將原問題化為標准形式

min -z=-40x1-45x2-24x3
s.t. 2x1+3x2+x3+x4=100
3x1+3x2+2x3+x5=120
x1,x2,x3,x4,x5≥0

第二步 列出初始單純形表

x1 x2 x3 x4 x5
40 45 24 0 0 0
x4 2 3 1 1 0 100
x5 3 3 2 0 1 120

此時，基可行解(0,0,0,100,120)T為，目標函數值為0.

第三步 檢查檢驗數

故

λ=(40,45,24,0,0)≥0

因此基可行解不是最優解，要進行基的轉換。

線性規劃檢驗數的定義和最優解的單純形法檢驗准則：
檢驗數定義為

若 基可行解對應的λ為檢驗數為非正向量，即

則 此可行解為最優解。
當大於零的檢驗數不止一個，理論上可任選一個正檢驗數對應非基變數為進基變數，一般情況選取最大正值的檢驗數對應的非基變數為進基變數，這樣迭代常常會快一些。為此，我們選x2進基，因為

因此，x4為離基變數，則新的基變數為x2，x5。

第四步 建立新的基相應的單純形表

建立單純形表的方法：
在計算過程中，只要將A中基變數對應的列組成的子矩陣
通過行變換化成單位陣，基變數對應的檢驗數化成零即可。

如何從原來的表轉到新的基相應的單純形表呢？只要把A中x2相應的列向量通過初等變換化成單位向量即可。因此在上表中只要把x2對應的列

化成

我們稱基變數x4所在行和非基變數x2所在列相交元素為變換軸心，用加＊表示，現在這數為3，將這行乘以（-1）加到第三行，乘以（-15）加到第一行，然後將這行行除以3，得一個新的單純行表

x1 x2 x3 x4 x5
10 0 9 -15 0 -1500
x2 2/3 1 1/3 1/3 0 100/3
x5 1* 0 1 -1 1 20

這樣我們作了一次轉換，新的基可行解為(0,100/3,0,0,20),目標函數值為-1500。

現在再回到第三步。現在λ1=10,λ3=9均大於零，仍不是最優解，取x1進基；

因為：

所以，x5離基。

x1 x2 x3 x4 x5
0 0 -1 -5 -10 -1700
x2 0 1 -1/3 1 -2/3 20
x1 1 0 1 -1 1 20

現在所有檢驗數均小於等於零，這個基可行解（20，20，0，0，0）是最優解，原問題最優值1700.以後。

實際在表上作業時，求λk與xr的過程可不寫，這些表可連在一起。

（二）單純形法求解的基本步驟

首先我們需要對單純形表作進一步的認識，注意到檢驗數：

可見，對應於基變數的λj=0(j=1,2,∧,m)，而且

再記

進而記

這樣單純形表2.3.1可呈現為表2.3.4的形式：

表2.3.4

x1 x2 … xm xm+1 … xn
檢驗數

基變數
0 0 … 0 λm+1 … λn f0
x1 1 0 … 0 y1m+1 … y1n
x2 0 1 … 0 y2m+1 … y2n
… … … … … … … … …
xm 0 0 … 1 ymm+1 … ymn

有了表2.3.4，單純形表上解法的一般步驟為：

步一：把線性規劃模型變成它的標准形式；

步二：確定初始基可行解，建立初始單純形表；

步三：檢查對應於非基變數的檢驗數λj,(j∈N)；若所有這些λj均小於零，則已得到最優解，停止計算，否則轉入下一步；

步四：在所有的λj>0中，若有一個λk在單純形表上對應的列向量的全部元素yik≤0(i=1,2,…,m)，則此問題無解，停止計算；否則轉入下一步；

步五：根據max{λj>0|j∈N}=λk, 即確定λk對應的非基變數λk為進基變數；再根據

確定基變數xr為離基變數；

步六：基可行解的轉換運算，即實施行變換，將單純形表上xk對應的列向量變換為單位向量，其中包括將λk變換為0，而原yrk變換為1，稱元素yrk為變換軸心。

（三）兩階段法

對一般的線性規劃，往往不會象用直接法求解形為Ax≤b的線性規劃那樣，能夠很容易找到初始基可行解，甚至連有無可行基都難以判定，這時就需要應用兩階段法來求解線性規劃。

二階段法就是把解線性規劃問題劃分為兩個階段，第一階段求出原問題的一個基可行解或判斷原問題可行域為空；第二階段在得到的基可行解基礎上求解原問題。方法如下：

第一階段
人為地在原約束矩陣中增加一些變數使得到單位矩陣，增加的變數稱為人工變數，目標函數是人工變數之和。具體而言，對於原線性規劃標准化後的Ax=b,(b≥0)的形式，若A中不包括單位矩陣，則我們在每個方程後面加一個「人工變數」得到一個新的線性規劃（LP）如下：

（當A中有一些單位向量時，人工變數可少於m個）

為書寫方便我們記（LP0）為：

其中Em=(1,1,K,1),分量全為1的m元橫向量，

這兒Im是可行基，又因為xa≥目標函數Emx有下界0，所以（LP0）一定有最優解。設最優解為：

則可能有三種情形：

(1)若：在最優解x0的基變數中，不存在人工變數，即人工變數xn+1,xn+2,…,xn+m都是非基變數。
則：x0的前n個分量(x10,x20,K,xn0)便是原線性規劃問題的一個基可行解。可進入第二階段。

(2)若：在最優解x0的基變數中，包括某些人工變數，並且最優值z>0。
則：原線性規劃可行域為空，原線性規劃無解。

這是因為，否則可設原規劃有可行解(x1*,x2*,…,xn*),
則(x1*,x2*,…,xn*,0,…,0)是（LP0的可行解，其目標函數值
為0，這與最優值大於零矛盾。

(3)若：在最優解x0的基變數中，包括某些人工變數，但最優值z=0，即，此時為基變數的人工變數都取值為0。
則：設xn+1是一個人工變數的基變數，其在最優解的單純形表中對應第S行，設J是非人工變數中非基變數的下標集。

① 如果單純形表的第S行中，所有的ysk=0,(k∈J)此示原約束Ax=b中第S行為其餘行的線性組合，即是個多餘的約束，應當刪去；

② 如果存在ysk≠0 (k∈J),
則無論ysk是正還是負，以它為變換軸心，xk進基，xn+1離基.如果新表中的基變數中還有人工變數，重復以上步驟，有限次可得到（1）的情形。

第二階段

步1：以第一階段最優解對應的單純形表為基礎，刪去人工變數對應的列，並且將原規劃（已標准化）的-c作為檢驗數，放在第一行，然後用用行變換將基變數對應的檢驗數消為零。

步2：以步1結束時建立單純形表為原線性規劃的初始單純形表，求解原線性規劃。

[例2.3.2] 用二階段法求解（LP）：

min x1-2x2
s.t. x1+x2≥2
-x1+x2≥1
x2≤3
x1,x2≥0

解：
先標准化：

min x1-2x2
s.t. x1+x2-x3=2
-x1+x2-x4=1
x2+x5=3
x1,x2,x3,x4,x5≥0

第一階段：
因為A中 對應單位向量

，故只要引進兩個人工變數x6,x7即可

min x6+x7
s.t. x1+x2-x3+x6=2
-1+x2-x4+x7=1
x2+x5=3
x1,x2,K,x7≥0

在第一行放入檢驗數：

這等價於在第一行放-c，再用行變換使基變數的檢驗數為零。

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 0 0 0 0 -1 -1 0
x6 1 1 -1 0 0 1 0 2
x7 -1 1 0 -1 0 0 1 1
x5 0 1 0 0 1 0 0 3
0 2 -1 -1 0 0 0 3
x6 1 1 -1 0 0 1 0 2
x7 -1 1 0 -1 0 0 1 1
x5 0 1 0 0 1 0 0 3
2 0 -1 1 0 0 -2 1
x6 2* 0 -1 1 0 1 -1 1
x2 -1 1 0 -1 0 0 1 1
x5 1 0 0 1 1 0 -1 2
0 0 0 0 0 0 -1 0
x1 1 0 -1/2 -1/2 0 1/2 -1/2 1/2
x2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 3/2
x5 0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2 3/2

得到第一階段最優解，人工變數不是基變數，最優值為0，則去掉x6,x7所在兩列就是原問題基可行解。

第二階段
仍將-c放在第一行，用行變換將基變數對應的檢驗數消為零。

x1 x2 x3 x4 x5
-1 2 0 0 0
x1 1 0 -1/2 1/2 0 1/2
x2 0 1 -1/2 -1/2 0 3/2
x5 0 0 1/2 1/2 1 3/2
0 0 1/2 3/2 0 -5/2
x1 1 0 -1/2 1/2* 0 1/2
x2 0 1 -1/2 -1/2 0 3/2
x5 0 0 1/2 1/2 1 3/2
-3 0 2 0 0 -4
x4 2 0 -2 2 0 1
x2 1 1 -1 0 0 2
x5 -1 0 1* 0 1 1
-1 0 0 0 -2 -6
x4 0 0 0 2 2 2
x2 0 1 0 0 1 3
x3 -1 0 1 0 1 1

現在檢驗數全小於等於零，得到原問題最優解x*=(0,3,1,2,0)T最優值-6。

[例2.3.1.3] 用二階段法求解（LP）：

min -3x1+4x2
s.t. x1+x2≤4
2x1+3x2≥18
x1,x2≥0

標准化：

min -3x1+4x2
s.t. x1+x2+x3=4
2x1+3x2-x4=18
x1,x2,x3,x4≥0

第一階段：

min x5
s.t. x1+x2+x3=4
2x1+3x2-x4+x5=18
x1,x2,x3,x4,x5≥0

為了少寫一張表，也可在表最上方一行放 ，然後再用行變換使基變數的檢驗數為零。

0 0 0 0 -1
x1 x2 x3 x4 x5
2 +3 0 -1 0 18
x3 1 1* 1 1 0 4
x5 2 +3 0 -1 1 18
-1 0 -3 -1 0 6
x2 1 1 1 0 0 4
x5 -1 0 0 -1 1 16

已得到第一階段最優解，但人工變數仍留在基里，並且最優值z=6>0故原問題可行域為空。原線性規劃無解。

Ⅲ 用單純形法求解線性規劃問題

1.
單純形法是解線性規劃問題的一個重要方法。 其原理的基本框架為: 第一步:將LP線性規劃變標准型,確定一個初始可行解(頂點)。 第二步:對初始基可行解最優性判別,若最優,停止;否則轉下一步。 第三步:從初...
2.
用程序進行運算前,要將目標函數及約束方程變成標准形式。 於非標准形式須作如下變換: a) 目標函數為極小值min z=CX時,轉...
3.
對於標准形式的線性規劃問題。用單純形法計算步驟的框圖。 線性規劃問題如下: max z=...

如果有興趣可以私聊我，我可以在線為您解答。

Ⅳ 有誰能告訴我線性規劃還有單純形法的定義

線性規劃
線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法.在經濟管理、交通運輸、工農業生產等經濟活動中，提高經濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經濟效果一般通過兩種途徑：一是技術方面的改進，例如改善生產工藝，使用新設備和新型原材料.二是生產組織與計劃的改進，即合理安排人力物力資源.線性規劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經濟效果達到最好.

單純形法
求解線性規劃問題的通用方法。單純形是美國數學家G.B.丹齊克於1947年首先提出來的。它的理論根據是：線性規劃問題的可行域是 n維向量空間Rn中的多面凸集，其最優值如果存在必在該凸集的某頂點處達到。頂點所對應的可行解稱為基本可行解。單純形法的基本思想是：先找出一個基本可行解，對它進行鑒別，看是否是最優解；若不是，則按照一定法則轉換到另一改進的基本可行解,再鑒別；若仍不是，則再轉換,按此重復進行。因基本可行解的個數有限，故經有限次轉換必能得出問題的最優解。如果問題無最優解也可用此法判別。單純形法的一般解題步驟可歸納如下：①把線性規劃問題的約束方程組表達成典範型方程組，找出基本可行解作為初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即約束條件有矛盾，則問題無解。③若基本可行解存在，從初始基本可行解作為起點，根據最優性條件和可行性條件，引入非基變數取代某一基變數，找出目標函數值更優的另一基本可行解。④按步驟3進行迭代,直到對應檢驗數滿足最優性條件（這時目標函數值不能再改善），即得到問題的最優解。⑤若迭代過程中發現問題的目標函數值無界，則終止迭代。
用單純形法求解線性規劃問題所需的迭代次數主要取決於約束條件的個數。現在一般的線性規劃問題都是應用單純形法標准軟體在計算機上求解，對於具有106個決策變數和104個約束條件的線性規劃問題已能在計算機上解得。
改進單純形法 原單純形法不是很經濟的演算法。1953年美國數學家G.B.丹齊克為了改進單純形法每次迭代中積累起來的進位誤差，提出改進單純形法。其基本步驟和單純形法大致相同，主要區別是在逐次迭代中不再以高斯消去法為基礎，而是由舊基陣的逆去直接計算新基陣的逆，再由此確定檢驗數。這樣做可以減少迭代中的累積誤差，提高計算精度，同時也減少了在計算機上的存儲量。
對偶單純形法 1954年美國數學家C.萊姆基提出對偶單純形法。單純形法是從原始問題的一個可行解通過迭代轉到另一個可行解，直到檢驗數滿足最優性條件為止。對偶單純形法則是從滿足對偶可行性條件出發通過迭代逐步搜索原始問題的最優解。在迭代過程中始終保持基解的對偶可行性，而使不可行性逐步消失。設原始問題為min{cx|Ax=b，x≥0}，則其對偶問題為 max{yb|yA≤c}。當原始問題的一個基解滿足最優性條件時,其檢驗數cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（稱為單純形運算元）為對偶問題的可行解。所謂滿足對偶可行性，即指其檢驗數滿足最優性條件。因此在保持對偶可行性的前提下，一當基解成為可行解時，便也就是最優解。
數學優化中，由George Dantzig發明的單純形法是線性規劃問題的數值求解的流行技術。有一個演算法與此無關，但名稱類似，它是Nelder-Mead法或稱下山單純形法，由Nelder和Mead發現（1965年），這是用於優化多維無約束問題的一種數值方法，屬於更一般的搜索演算法的類別。
這二者都使用了單純形的概念，它是N維中的N + 1個頂點的凸包，是一個多胞體：直線上的一個線段，平面上的一個三角形，三維空間中的一個四面體，等等。

Ⅳ 所有的線性規劃問題是否都可以用單純形法求解

單純形法是一種求解線性規劃問題的有效演算法，可以解決任何線性規劃問題。
所有的線性規劃問題都可以轉化成標准型。

Ⅵ 用單純形法求解下列線性規劃問題

單純形法的基本想法是從線性規劃可行集的某一個頂點出發，沿著使目標函數值下降的方向尋求下一個頂點，面頂點個數是有限的，所以，只要這個線性規劃有最優解，那麼通過有限步選代後，必可求出最優解 。
為了用選代法求出線性規劃的最優解，需要解決以下三個問題  ：
(1)最優解判別准則，即迭代終止的判別標准  ；
(2)換基運算，即從一個基可行解迭代出另一個基可行解的方法 ；
(3)進基列的選擇，即選擇合適的列以進行換基運算，可以使目標函數值有較大下降

Ⅶ 線性規劃之單純形法

單純形法應用在線性規劃的標准模型上，任何一個線性規劃的一般形式都可以化為標准模型。
線性規劃模型的一般形式為：

把它轉換為標准型是要求所有的約束都是等式約束，且所有的決策變數非負。
如下面的形式：

舉個例子：

那麼很容易就可以寫出這個線性規劃問題的數學模型：

再重復一遍，線性規劃的標准型必為以下形式：

對於標准型我們有兩個基本假設：
1. 系數矩陣A的行向量線性無關。
2. 系數矩陣A的列數大於其行數，即n>m。因為如果n<m，那麼不滿足1, 如果n=m，那麼該線性規劃問題有唯一解，既然有唯一解，那就沒有優化的必要了。所以，必有n>m。

回到剛才那個例子，我們可以將找個標准型寫為如下形式：

這個例子m = 3, n = 5。那麼我們可以用三個變數表示所有的五個變數，這三個變數我們稱之為基變數。上圖中，x3, x4, x5的系數是一個單位陣。我們把這種形式的等式約束稱為典式。
觀察這個典式，我們可以很容易的看出其一個基本可行解：(0, 0, 15, 24, 5)T，即非基變數等於0，基變數等於等式右邊的常數。這個解，我們可以把它想像成基本可行解區域的一個頂點，我們知道最優解也在頂點上，那麼我們只要沿著邊界找這個最優頂點就可以了。

對於頂點(0, 0, 15, 24, 5)T，它的x3, x4, x5是基變數，那麼與該頂點相鄰的其他頂點的基變數有什麼關系呢？事實上，與之相鄰的頂點的所有基變數中只有一個基變數發生了變化。這是可以驗證的。所以，接下來的工作就是從x1, x2中選一個非基變數進基成為基變數，從x3, x4, x5中選一個基變數出基成為非基變數。

那麼問題來了，我們怎麼選擇進基變數和出基變數？

假設我們想要x2進基，那麼根據基本可行解的表示式，我們必須通過初等行變換的形式讓x2隻出現在一個等式約束中，就是把x2的系數變成(1,0,0)T或(0,1,0)T或(0,0,1)T的形式。
假設我們把x2變成(0,0,1)T的形式，初等行變換後得到：

現在對於例子

我們得到了兩個基本可行解X1 = (0,0,15,24,5)T, X2 = (0,3,0,18,2)T，記目標函數f(X) = 2x1 + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
則f(X1) = 0, f(X2) = 3
那麼我們怎麼找到最優解呢？
我們知道 X2 = (0,3,0,18,2)T 的約束的表示式為：

發現什麼沒有？

對於可行解X2 = (0,3,0,18,2)T，x1，x3是非基變數啊，非基變數是0啊。但是，我們下一步不是選擇進基變數嗎，進基變數不是從非基變數里選嗎，我們選x1啊，為啥？x1的系數是正數2啊！我們這個例子是求z的最大值，如果x1進基，那麼必然會讓f(X)增大，因為我們的決策變數都是正數，正數乘正數還是正數，增量肯定是大於0的。我們看到x3的系數是-0.2，如果讓x3進基的話，增量肯定是小於0的。

如果x1, x3的系數都大於0怎麼辦？那隨便選啊。
如果x1，x3的系數都小於0怎麼辦？哈哈，有人可能就意識到了，非基變數的系數都小於0，選誰進基都會造成f(X)變小，我們不是求最大嗎？那我們誰也不選啊，這個問題已經結束了，我們已經找到最優解了！

所以，選擇進基變數的問題，以及判斷找到最優解的問題就都解決了。

我們一般使用單純形表來直觀表示這個過程。
還是可行解X2 = (0,3,0,18,2)T，它對應的單純形表如下：

最左邊一列是基變數，最右邊一列是約束右邊的常數項，中間一坨是決策變數的系數。最下邊一行是目標函數z = 2x1 + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5。最下面一行決策變數的系數我們稱之為檢驗數。
我們通過行變換將最後一行的基變數前面系數變成0，就得到下面的單純形表：

從這個表中我們可以得到以下信息：

然後通過剛才的方法讓x3進基，得到新的基本可行解的單純形表：

從這個表我們可以得知：

至此，我們已經得到該問題的最優解X4。

我們知道，對於一個基本可行解，一般情況下它的基變數是大於0，非基變數等於0。退化情況是，我們有一個基變數也等於0。那麼，這個基本可行解就會對應於多個可行基陣。
舉個例子：

X = （3，3，0，0，0）T是該問題的可行解
我們可以令x3,x4為非基變數， 也可以令x3,x5或x4,x5為非基變數。

退化情況存在的問題在於，經過一次進出基迭代後得到的是同一個基本可行解，因此有可能出現迭代演算法在一個基本可行解的幾個基矩陣之間循環不止的情況。

所以，保證單純形法收斂的充分條件是：在迭代過程中產生的每個基本可行解的基變數數值都嚴格大於0。

在迭代過程中，如果某一個決策變數的系數都小於0了，這代表什麼？
舉例：

如上圖，我們可以把x2放在等式右邊，看出什麼沒有？x2可以趨於無窮大。

如上圖， 非基變數x4的檢驗數為0了，根據最優性條件，讓其進基並不能繼續優化目標函數值。但是，x4進基後還是會得到一個基本可行解，且目標函數值與當前結果相同。這意味這什麼？
目標不能再優化，但是又有不同的基本可行解，啥意思？說明該問題有無窮多個最優解。

所以， 對於求max的線性規劃問題，如果所有檢驗數均滿足<=0，則說明已經得到了最優解，若此時某非基變數的檢驗數=0，則說明該優化問題有無窮多最優解。

單純形法是從一個初始的基本可行解開始的，出基入基，知道找到最優可行解。
問題是，我們怎麼得到那個初始的基本可行解啊？
最基本的方法是 添加人工變數
假設原問題的約束是這樣的：
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
2x + x3 = 2
那麼我們再加兩個變數x4, x5，把約束變成這樣：
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 1
2x + x3 + x5 = 2
我們就把約束變成了典式，可以直接得到一個基本可行解(0,0,0,1,2)T，找個基本可行解的基變數是x4, x5，那麼接下來的工作就是通過出基入基把x4,x5都變成非基變數，這樣它們的值就可以為0， 從而得到原問題的可行解。
現在有個問題，如果在最優表中，基變數中仍含有人工變數，這說明啥？

這說明，原問題根本就無解。

Ⅷ 線性規劃單純型法

線性規劃線性規劃是運籌學中5研究較早、發展較快、應用廣p泛、方7法較成熟的一b個s重要分0支s,它是輔助人p們進行科學管理的一s種數學方8法。在經濟管理、交通運輸、工v農業生產等經濟活動中8，提高經濟效果是人o們不w可缺少2的要求，而提高經濟效果一b般通過兩種途徑：一w是技術方2面的改進，例如改善生產工t藝o，使用新設備和新型原材料。二n是生產組織與z計3劃的改進，即合理安排人i力z物力v資源。線性規劃所研究的是：在一j定條件下a，合理安排人w力v物力i等資源，使經濟效果達到最好。 單純形法求解線性規劃問題的通用方7法。單純形是美國數學家G。B。丹1齊克於y7110年首先提出來的。它的理論根據是：線性規劃問題的可行域是 n維向量空間Rn中1的多面凸集，其最優值如果存在必在該凸集的某頂點處達到。頂點所對應的可行解稱為2基本可行解。單純形法的基本思想是：先找出一g個a基本可行解，對它進行鑒別，看是否是最優解；若不x是，則按照一d定法則轉換到另一m改進的基本可行解,再鑒別；若仍1不i是，則再轉換,按此重復進行。因基本可行解的個t數有限，故經有限次轉換必能得出問題的最優解。如果問題無j最優解也g可用此法判別。單純形法的一g般解題步驟可歸納如下c：①把線性規劃問題的約束方2程組表達成典範型方5程組，找出基本可行解作為2初始基本可行解。②若基本可行解不g存在，即約束條件有矛盾，則問題無a解。③若基本可行解存在，從7初始基本可行解作為8起點，根據最優性條件和可行性條件，引3入h非基變數取代某一m基變數，找出目標函數值更優的另一j基本可行解。④按步驟8進行迭代,直到對應檢驗數滿足最優性條件（這時目標函數值不y能再改善），即得到問題的最優解。⑤若迭代過程中2發現問題的目標函數值無t界，則終止3迭代。 用單純形法求解線性規劃問題所需的迭代次數主要取決於p約束條件的個o數。現在一l般的線性規劃問題都是應用單純形法標准軟體在計8算機上p求解，對於t具有404個e決策變數和803個p約束條件的線性規劃問題已d能在計2算機上v解得。 改進單純形法 原單純形法不z是很經濟的演算法。8428年美國數學家G。B。丹2齊克為8了p改進單純形法每次迭代中5積累起來的進位誤差，提出改進單純形法。其基本步驟和單純形法大s致相同，主要區u別是在逐次迭代中7不h再以3高斯消去法為0基礎，而是由舊基陣的逆去直接計6算新基陣的逆，再由此確定檢驗數。這樣做可以0減少4迭代中6的累積誤差，提高計7算精度，同時也n減少8了a在計8算機上u的存儲量。 對偶單純形法 2560年美國數學家C。萊姆基提出對偶單純形法。單純形法是從2原始問題的一a個v可行解通過迭代轉到另一u個d可行解，直到檢驗數滿足最優性條件為3止6。對偶單純形法則是從3滿足對偶可行性條件出發通過迭代逐步搜索原始問題的最優解。在迭代過程中4始終保持基解的對偶可行性，而使不z可行性逐步消失。設原始問題為0min{cx|Ax=b，x≥0}，則其對偶問題為0 max{yb|yA≤c}。當原始問題的一p個b基解滿足最優性條件時,其檢驗數cBB-4A-c≤0。即知y＝cBB-1（稱為6單純形運算元j）為0對偶問題的可行解。所謂滿足對偶可行性，即指其檢驗數滿足最優性條件。因此在保持對偶可行性的前提下j，一y當基解成為0可行解時，便也r就是最優解。 數學優化2中5，由George Dantzig發明的單純形法是線性規劃問題的數值求解的流行技術。有一e個n演算法與v此無t關，但名稱類似，它是Nelder-Mead法或稱下s山w單純形法，由Nelder和Mead發現（0150年），這是用於k優化4多維無f約束問題的一g種數值方4法，屬於p更一i般的搜索演算法的類別。 這二i者都使用了f單純形的概念，它是N維中6的N + 0個n頂點的凸包，是一g個m多胞體：直線上s的一r個l線段，平面上a的一n個e三n角形，三a維空間中6的一o個r四面體，等等。 s↓k冤ㄅs↓q┷h胎dǐフnitz觥

Ⅸ 如何用單純形法求解線性規劃問題

單純形法計算線性規劃的步驟：（1）把線性規劃問題的約束方程組表達成典範型方程組，找出基本可行解作為初始基可行解。（2）若基本可行解不存在，即約束條件有矛盾，則問題無解。（3）若基本可行解存在，從初始基本可行解作為起點，根據最優