大整數分治演算法

① 分治演算法幾個經典例子

分治法，字面意思是「分而治之」，就是把一個復雜的1問題分成兩個或多個相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題直到最後子問題可以簡單地直接求解，原問題的解即子問題的解的合並，這個思想是很多高效演算法的基礎。

圖二

大整數乘法

Strassen矩陣乘法

棋盤覆蓋

合並排序

快速排序

線性時間選擇

最接近點對問題

循環賽日程表

漢諾塔

② 分治法的步驟

分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；
合並：將各個子問題的解合並為原問題的解。
它的一般的演算法設計模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合並子問題
7. return(T)
其中|P|表示問題P的規模；n0為一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子演算法，用於直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用演算法ADHOC(P)求解。演算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合並子演算法，用於將P的子問題P1 ,P2 ,...,Pk的相應的解y1,y2,...,yk合並為P的解。
根據分治法的分割原則，原問題應該分為多少個子問題才較適宜？
各個子問題的規模應該怎樣才為適當？
答: 但人們從大量實踐中發現，在用分治法設計演算法時，最好使子問題的規模大致相同。換句話說，將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效的。許多問題可以取 k = 2。這種使子問題規模大致相等的做法是出自一種平衡(balancing)子問題的思想，它幾乎總是比子問題規模不等的做法要好。
出處：網路
實踐題目：
給定一個順序表，編寫一個求出其最大值和最小值的分治演算法。
分析：
由於順序表的結構沒有給出，作為演示分治法這里從簡順序表取一整形數組數組大小由用戶定義，數據隨機生成。我們知道如果數組大小為 1 則可以直接給出結果，如果大小為 2則一次比較即可得出結果，於是我們找到求解該問題的子問題即: 數組大小 <= 2。到此我們就可以進行分治運算了，只要求解的問題數組長度比 2 大就繼續分治，否則求解子問題的解並更新全局解
以下是代碼。
*/
/*** 編譯環境TC ***/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#define M 40
/* 分治法獲取最優解 */
void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min){
/* 參數:
* s 當前分治段的開始下標
* e 當前分治段的結束下標
* meter 表的地址
* max 存儲當前搜索到的最大值
* min 存儲當前搜索到的最小值
*/
int i;
if(e-s <= 1){ /* 獲取局部解，並更新全局解 */
if(meter[s] > meter[e]){
if(meter[s] > *max)
*max = meter[s];
if(meter[e] < *min)
*min = meter[e];
}
else{
if(meter[e] > *max)
*max = meter[e];
if(meter[s] < *min)
*min = meter[s];
}
return ;
}
i = s + (e-s)/2; /* 不是子問題繼續分治,這里使用了二分，也可以是其它 */
PartionGet(s,i,meter,max,min);
PartionGet(i+1,e,meter,max,min);
}
int main(){
int i,meter[M];
int max = INT_MIN; /* 用最小值初始化 */
int min = INT_MAX; /* 用最大值初始化 */
printf(The array's element as followed: );
rand(); /* 初始化隨機數發生器 */
for(i = 0; i < M; i ++){ /* 隨機數據填充數組 */
meter[i] = rand()%10000;
if(!((i+1)%10)) /* 輸出表的隨機數據 */
printf(%-6d ,meter[i]);
else
printf(%-6d,meter[i]);
}
PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法獲取最值 */
printf( Max : %d Min : %d ,max,min);
system(pause);
return 0;
}