基本初等函數的導數公式及導數的運演算法則

Ⅰ 導數公式和求導法則總結，對嗎

一、導數的定義
導數表示函數在某一點的瞬時變化率，即極限狀態下的變化率。對於可導函數 \( y = f(x) \)，其在點 \( (a, b) \) 處的導數記為 \( f'(a) \)，表示當 \( x \) 接近 \( a \) 時，函數值 \( y \) 的變化率。
二、基本初等函數的導數公式
高中數學涉及的基本初等函數及其導數公式如下：
- 常數函數 \( y = c \) 的導數為 \( 0 \)
- 冪函數 \( y = x^n \) 的導數為 \( nx^{n-1} \)
- 正弦函數 \( y = \sin(x) \) 的導數為 \( \cos(x) \)
- 餘弦函數 \( y = \cos(x) \) 的導數為 \( -\sin(x) \)
- 指數函數 \( y = a^x \) 的導數為 \( a^x \ln(a) \)
- 對數函數 \( y = \log_a(x) \) 的導數為 \( \frac{1}{x \ln(a)} \)
三、導數的四則運演算法則
導數的四則運演算法則如下：
1. 加減法：\( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \)
2. 乘法：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)
3. 除法：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)【注】分母 \( g(x) \neq 0 \)。
四、復合函數求導法則（鏈式法則）
復合函數 \( y = f(g(x)) \) 的導數使用鏈式法則，即 \( y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。
五、導數的物理意義和幾何意義
- 物理意義：函數在某一點處的瞬時變化率，即速度或加速度。
- 幾何意義：函數在該點處的切線斜率。
【例】求 \( y = \sin(2x) \) 的導數。
解：將 \( y = \sin(2x) \) 視為 \( y = \sin(u) \) 與 \( u = 2x \) 的復合函數。因為 \( (\sin(u))' = \cos(u) \)，\( (2x)' = 2 \)，所以 \( [\sin(2x)]' = (\sin(u))' \cdot (2x)' = \cos(u) \cdot 2 = 2\cos(u) = 2\cos(2x) \)。
總結：導數是數學分析中的基本概念，掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運演算法則、復合函數求導法則及其物理和幾何意義，對於深入學習微積分至關重要。

Ⅱ 求導數的公式

一、什麼是導數？

導數就是「平均變化率「△y/△x」，當△x→0時的極限值」。可導函數y=f(x)在點(a,b)處的導數值為f'(a)。

二、基本初等函數的導數公式

高中數學里基本初等函數的導數公式里涉及到的函數類型有：常函數、冪函數、正弦函數、餘弦函數、指數函數、對數函數。它們的導數公式如下圖所示：

復合函數導數公式

（2）根據「復合函數求導公式」可知，「y對x的導數，等於y對u的導數與u對x的導數的乘積」。

【例】求y=sin(2x)的導數。

解：y=sin(2x)可看成y=sinu與u=2x的復合函數。

因為(sinu)'=cosu，(2x)'=2，

所以，[sin(2x)]'=(sinu)'×(2x)'

=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。

五、可導函數在一點處的導數值的物理意義和幾何意義

（1）物理意義：可導函數在該點處的瞬時變化率。

（2）幾何意義：可導函數在該點處的切線斜率值。

【注】一次函數「kx+b(k≠0)」的導數都等於斜率「k」，即(kx+b)'=k。