鄰近插值演算法

A. matlab如何實現最近鄰近點法插值

matlab如何實現最近鄰近點法插值
Programming

重構

這本"重構"是當年石破天驚的經典著作，講解如何持續改進和讓代碼優雅干凈，擁有直到現在還依然適用的價值，尤其為Ruby On Rails社區廣泛接受，這本書有將其中的Java語言換成Ruby後的[版本](重構(Ruby版) (豆瓣))

UNIX編程藝術

由公認的黑客領袖之一Eric S.Raymond撰寫的這本書總結了長久以來的Unix領域中的設計和開發哲學，思想乃至文化體系，是了解Ruby和Rails誕生於其中的Unix黑客文化必不可少的讀物

Ruby

深入理解Ruby，除了上邊提到的Programming Ruby 1.9以及重構等通用編程書之外，還有以下幾個選擇

B. 如何用MATLAB 求出插值後的具體函數

看看這個能不能幫到你：

Matlab中插值函數匯總和使用說明 :

MATLAB中的插值函數為interp1，其調用格式為：

yi= interp1(x,y,xi,'method')

其中x，y為插值點，yi為在被插值點xi處的插值結果；x,y為向量， 'method'表示採用的插值方法，

MATLAB提供的插值方法有幾種：

'nearest'是最鄰近插值， 'linear'線性插值； 'spline'三次樣條插值； 'cubic'立方插值．預設時表示線性插值。

注意：所有的插值方法都要求x是單調的，並且xi不能夠超過x的范圍。

例如：在一 天24小時內，從零點開始每間隔2小時測得的環境溫度數據分別為

12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，

推測中午12點（即13點）時的溫度．

x=0:2:24;
y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18
15 13];

a=13;
y1=interp1(x,y,a,'spline')

結果為： 27.8725

若要得到一天24小時的溫度曲線，則：

xi=0:1/3600:24;

yi=interp1(x,y,xi, 'spline');

plot(x,y,'o' ,xi,yi)

命令1
interp1
功能
一維數據插值（表格查找）。該命令對數據點之間計算內插值。它找出一元函數f(x)在中間點的數值。其中函數f(x)由所給數據決定。
x：原始數據點
Y：原始數據點
xi：插值點
Yi：插值點
格式
(1)yi = interp1(x,Y,xi)
返回插值向量yi，每一元素對應於參量xi，同時由向量x
與Y 的內插值決定。參量x 指定數據Y 的點。
若Y
為一矩陣，則按Y 的每列計算。yi 是階數為length(xi)*size(Y,2)的輸出矩陣。
(2)yi = interp1(Y,xi)
假定x=1:N，其中N
為向量Y 的長度，或者為矩陣Y 的行數。
(3)yi = interp1(x,Y,xi,method)
用指定的演算法計算插值：
』nearest』：最近鄰點插值，直接完成計算；
』linear』：線性插值（預設方式），直接完成計算；
』spline』：三次樣條函數插值。對於該方法，命令interp1
調用函數spline、ppval、mkpp、umkpp。這些命令生成一系列用於分段多項式操作的函數。命令spline
用它們執行三次樣條函數插值；
』pchip』：分段三次Hermite
插值。對於該方法，命令interp1 調用函數pchip，用於對向量x 與y 執行分段三次內插值。該方法保留單調性與數據的外形；
』cubic』：與』pchip』操作相同；
』v5cubic』：在MATLAB
5.0 中的三次插值。
對於超出x
范圍的xi 的分量，使用方法』nearest』、』linear』、』v5cubic』的插值演算法，相應地將返回NaN。對其他的方法，interp1
將對超出的分量執行外插值演算法。
(4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap')
對於超出x
范圍的xi 中的分量將執行特殊的外插值法extrap。
(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval)
確定超出x
范圍的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。
例1

>>x = 0:10; y =
x.*sin(x);
>>xx = 0:.25:10; yy =
interp1(x,y,xx);
>>plot(x,y,'kd',xx,yy)

例2

>> year =
1900:10:2010;
>> proct = [75.995
91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505
249.633 256.344 267.893
];
>>p1995 =
interp1(year,proct,1995)
>>x =
1900:1:2010;
>>y =
interp1(year,proct,x,'pchip');
>>plot(year,proct,'o',x,y)

插值結果為：

p1995 =
252.9885

命令2
interp2
功能
二維數據內插值（表格查找）
格式
(1)ZI
= interp2(X,Y,Z,XI,YI)
返回矩陣ZI，其元素包含對應於參量XI
與YI（可以是向量、或同型矩陣） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用戶可以輸入行向量和列向量Xi 與Yi，此時，輸出向量Zi
與矩陣meshgrid(xi,yi)是同型的。同時取決於由輸入矩陣X、Y 與Z 確定的二維函數Z=f(X,Y)。參量X 與Y
必須是單調的，且相同的劃分格式，就像由命令meshgrid 生成的一樣。若Xi與Yi 中有在X 與Y范圍之外的點，則相應地返回nan（Not a
Number）。
(2)ZI
= interp2(Z,XI,YI)
預設地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一種情形進行計算。
(3)ZI
= interp2(Z,n)
作n
次遞歸計算，在Z 的每兩個元素之間插入它們的二維插值，這樣，Z 的階數將不斷增加。interp2(Z)等價於interp2(z,1)。
(4)ZI
= interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)
用指定的演算法method
計算二維插值：
』linear』：雙線性插值演算法（預設演算法）；
』nearest』：最臨近插值；
』spline』：三次樣條插值；
』cubic』：雙三次插值。

例3：

>>[X,Y] =
meshgrid(-3:.25:3);
>>Z = peaks(X,Y);
>>[XI,YI] =
meshgrid(-3:.125:3);
>>ZZ =
interp2(X,Y,Z,XI,YI);
>>surfl(X,Y,Z);hold
on;
>>surfl(XI,YI,ZZ+15)
>>axis([-3 3 -3 3 -5
20]);shading flat
>>hold
off

例4：

>>years =
1950:10:1990;
>>service =
10:10:30;
>>wage = [150.697
199.592 187.625
179.323 195.072 250.287
203.212 179.092 322.767
226.505 153.706 426.730
249.633 120.281
598.243];
>>w =
interp2(service,years,wage,15,1975)

插值結果為：

w =
190.6288

命令3
interp3
功能
三維數據插值（查表）
格式
(1)VI
= interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)
找出由參量X,Y,Z決定的三元函數V=V(X,Y,Z)在點（XI,YI,ZI）的值。參量XI,YI,ZI
是同型陣列或向量。若向量參量XI,YI,ZI 是不同長度，不同方向（行或列）的向量，這時輸出參量VI 與Y1,Y2,Y3 為同型矩陣。其中Y1,Y2,Y3
為用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型陣列。若插值點(XI,YI,ZI)中有位於點(X,Y,Z)之外的點，則相應地返回特殊變數值NaN。
(2)VI
= interp3(V,XI,YI,ZI)
預設地，
X=1:N ，Y=1:M， Z=1：P ，其中，[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形計算。
(3)VI
= interp3(V,n)
作n
次遞歸計算，在V 的每兩個元素之間插入它們的三維插值。這樣，V 的階數將不斷增加。interp3(V)等價於interp3(V,1)。
(4)VI
= interp3(......,method) %用指定的演算法method 作插值計算：
『linear』：線性插值（預設演算法）；
『cubic』：三次插值；
『spline』：三次樣條插值；
『nearest』：最鄰近插值。
說明
在所有的演算法中，都要求X,Y,Z 是單調且有相同的格點形式。當X,Y,Z
是等距且單調時，用演算法』*linear』，』*cubic』，』*nearest』，可得到快速插值。

例5

>>[x,y,z,v] =
flow(20);
>>[xx,yy,zz] =
meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);
>>vv =
interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz);
>>slice(xx,yy,zz,vv,[6
9.5],[1 2],[-2 .2]); shading interp;colormap
cool

命令4
interpft
功能
用快速Fourier 演算法作一維插值
格式
(1)y
= interpft(x,n)
返回包含周期函數x
在重采樣的n 個等距的點的插值y。若length(x)=m，且x 有采樣間隔dx，則新的y 的采樣間隔dy=dx*m/n。注意的是必須n≥m。若x
為一矩陣，則按x 的列進行計算。返回的矩陣y 有與x 相同的列數，但有n 行。
(2)y
= interpft(x,n,dim)
沿著指定的方向dim
進行計算

命令5
griddata
功能
數據格點
格式
(1)ZI
= griddata(x,y,z,XI,YI)
用二元函數z=f(x,y)的曲面擬合有不規則的數據向量x,y,z。griddata
將返回曲面z 在點（XI,YI）處的插值。曲面總是經過這些數據點（x,y,z）的。輸入參量（XI,YI）通常是規則的格點（像用命令meshgrid
生成的一樣）。XI 可以是一行向量，這時XI 指定一有常數列向量的矩陣。類似地，YI 可以是一列向量，它指定一有常數行向量的矩陣。
(2)[XI,YI,ZI]
= griddata(x,y,z,xi,yi)
返回的矩陣ZI
含義同上，同時，返回的矩陣XI,YI 是由行向量xi 與列向量yi 用命令meshgrid 生成的。
(3)[XI,YI,ZI]
= griddata(.......,method)
用指定的演算法method
計算：
『linear』：基於三角形的線性插值（預設演算法）；
『cubic』：
基於三角形的三次插值；
『nearest』：最鄰近插值法；
『v4』：MATLAB
4 中的griddata 演算法。

命令6
spline
功能
三次樣條數據插值
格式
(1)yy
= spline(x,y,xx)
對於給定的離散的測量數據x,y（稱為斷點），要尋找一個三項多項式y
= p(x) ，以逼近每對數據(x,y)點間的曲線。過兩點(xi, yi) 和(xi+1, yi+1)
只能確定一條直線，而通過一點的三次多項式曲線有無窮多條。為使通過中間斷點的三次多項式曲線具有唯一性，要增加兩個條件（因為三次多項式有4
個系數）：
a．三次多項式在點(xi,
yi) 處有： p¢i(xi) = p¢i(xi) ；
b．三次多項式在點(xi+1,
yi+1) 處有： p¢i(xi+1) = pi¢(xi+1) ；
c．p(x)在點(xi,
yi) 處的斜率是連續的（為了使三次多項式具有良好的解析性，加上的條件）；
d．p(x)在點(xi,
yi) 處的曲率是連續的；
對於第一個和最後一個多項式，人為地規定如下條件：
①．
p¢1¢(x) = p¢2¢(x)
②．
p¢n¢(x) = p¢n¢-1(x)
上述兩個條件稱為非結點(not-a-knot)條件。綜合上述內容，可知對數據擬合的三次樣條函數p(x)是一個分段的三次多項式：
ï
ïî
ï
ïí
ì
£
£
£
£
£
£
=
n
n n+1
2
2 3
1
1 2
p
(x) x x x
p
(x) x x x
p
(x) x x x
p(x)
L
L L L
其中每段pi(x)
都是三次多項式。
該命令用三次樣條插值計算出由向量x
與y 確定的一元函數y=f(x)在點xx 處的值。若參量y 是一矩陣，則以y 的每一列和x 配對，再分別計算由它們確定的函數在點xx 處的值。則yy
是一階數為length(xx)*size(y,2)的矩陣。
(2)pp
= spline(x,y)
返回由向量x
與y 確定的分段樣條多項式的系數矩陣pp，它可用於命令ppval、unmkpp 的計算。

例6
對離散地分布在y=exp(x)sin(x)函數曲線上的數據點進行樣條插值計算：

>>x = [0 2 4 5 8 12 12.8
17.2 19.9 20]; y = exp(x).*sin(x);
>>xx = 0:.25:20;
>>yy =
spline(x,y,xx);
>>plot(x,y,'o',xx,yy)

命令7
interpn
功能
n 維數據插值（查表）
格式
(1)VI
= interpn(X1,X2,,,Xn,V,Y1,Y2,?,Yn) %返回由參量X1,X2,…,Xn,V 確定的n
元函數V=V(X1,X2,…,Xn)在點（Y1,Y2,…,Yn）處的插值。參量Y1,Y2,…,Yn 是同型的矩陣或向量。若Y1,Y2,…,Yn
是向量，則可以
是不同長度，不同方向（行或列）的向量。它們將通過命令ndgrid生成同型的矩陣，
再作計算。若點(Y1,Y2,…,Yn) 中有位於點（X1,X2,…,Xn）之外的點，則相應地返回特殊變數NaN。
VI
= interpn(V,Y1,Y2,?,Yn) %預設地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)，… ，
Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形計算。
VI
= interpn(V,ntimes) %作ntimes 次遞歸計算，在V 的每兩個元素之間插入它們的n 維插值。這樣，V
的階數將不斷增加。interpn(V)
等價於interpn(V,
1)。
VI
= interpn(?,method) %用指定的演算法method 計算：
『linear』：線性插值（預設演算法）；
『cubic』：三次插值；
『spline』：三次樣條插值法；
『nearest』：最鄰近插值演算法。

命令8
meshgrid
功能
生成用於畫三維圖形的矩陣數據。
格式
[X,Y] = meshgrid(x,y) 將由向量x，y（可以是不同方向的）指定的區域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)]
用直線x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x)
，j=1,2,…,length(y)）進行劃分。這樣，得到了length(x)*length(y)個點，
這些點的橫坐標用矩陣X
表示，X 的每個行向量與向量x 相同；這些點的縱坐標用矩陣Y 表示，Y 的每個列向量與向量y 相同。其中X,Y可用於計算二元函數z=f(x,y)與三維圖形中xy
平面矩形定義域的劃分或
曲面作圖。
[X,Y]
= meshgrid(x) %等價於[X,Y]=meshgrid(x,x)。
[X,Y,Z]
= meshgrid(x,y,z) %生成三維陣列X,Y,Z，用於計算三元函數v=f(x,y,z)或三維容積圖。

例7

[X,Y] =
meshgrid(1:3,10:14)
計算結果為：

X =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Y =
10 10 10
11 11 11
12 12 12
13 13 13
14 14
14

命令9
ndgrid
功能
生成用於多維函數計算或多維插值用的陣列
格式
[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x1,x2,…,xn) %把通過向量x1,x2,x3…,xn 指定的區域轉換為數組x1,x2,x3,…,xn
。這樣， 得到了 length(x1)*length(x2)*…*length(xn)個點，這些點的第一維坐標用矩陣X1 表
示，X1
的每個第一維向量與向量x1 相同；這些點的第二維坐標用矩陣X2 表示，X2 的每個第二維向量與向量x2 相同；如此等等。
其中X1,X2,…,Xn
可用於計算多元函數y=f(x1,x2,…,xn)以及多維插值命令用到的陣列。
[X1,X2,…,Xn]
= ndgrid(x) %等價於[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x,x,…,x)

命令10
table1
功能
一維查表
格式
Y = table1(TAB,X0) %返回用表格矩陣TAB 中的行線性插值元素，對X0（TAB的第一列查找X0）進行線性插值得到的結果Y。矩陣TAB
是第一列包含
關鍵值，而其他列包含數據的矩陣。X0
中的每一元素將相應地返回一線性插值行向量。矩陣TAB 的第一列必須是單調的。

例8

>>tab = [(1:4)'
hilb(4)]
>>y = table1(tab,[1 2.3
3.6 4])
查表結果為：

>>tab = [(1:4)'
hilb(4)]
>>y = table1(tab,[1 2.3
3.6 4])

C. MATLAB中的meshgrid具體實例

meshgrid是MATLAB中用於生成網格采樣點的函數。在使用MATLAB進行3-D圖形繪制方面以及畫矢量圖方面有著廣泛的應用。下面就來介紹一下該命令。

D. 最近鄰插值法的介紹

將變換後的圖像中的原像素點最鄰近像素的灰度值賦給原像素點的方法。

E. matlab編程 數據擬合和插值。功能一:通過人機交互插入數據點坐標向量x,y 功能二:在圖形窗口

看看這個能不能幫到你：

Matlab中插值函數匯總和使用說明 :

MATLAB中的插值函數為interp1，其調用格式為：

yi= interp1(x,y,xi,'method')

其中x，y為插值點，yi為在被插值點xi處的插值結果；x,y為向量， 'method'表示採用的插值方法，

MATLAB提供的插值方法有幾種：

'nearest'是最鄰近插值， 'linear'線性插值； 'spline'三次樣條插值； 'cubic'立方插值．預設時表示線性插值。

注意：所有的插值方法都要求x是單調的，並且xi不能夠超過x的范圍。

例如：在一 天24小時內，從零點開始每間隔2小時測得的環境溫度數據分別為

12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，

推測中午12點（即13點）時的溫度．

x=0:2:24;
y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18
15 13];

a=13;
y1=interp1(x,y,a,'spline')

結果為： 27.8725

若要得到一天24小時的溫度曲線，則：

xi=0:1/3600:24;

yi=interp1(x,y,xi, 'spline');

plot(x,y,'o' ,xi,yi)

命令1
interp1
功能
一維數據插值（表格查找）。該命令對數據點之間計算內插值。它找出一元函數f(x)在中間點的數值。其中函數f(x)由所給數據決定。
x：原始數據點
Y：原始數據點
xi：插值點
Yi：插值點
格式
(1)yi = interp1(x,Y,xi)
返回插值向量yi，每一元素對應於參量xi，同時由向量x
與Y 的內插值決定。參量x 指定數據Y 的點。
若Y
為一矩陣，則按Y 的每列計算。yi 是階數為length(xi)*size(Y,2)的輸出矩陣。
(2)yi = interp1(Y,xi)
假定x=1:N，其中N
為向量Y 的長度，或者為矩陣Y 的行數。
(3)yi = interp1(x,Y,xi,method)
用指定的演算法計算插值：
』nearest』：最近鄰點插值，直接完成計算；
』linear』：線性插值（預設方式），直接完成計算；
』spline』：三次樣條函數插值。對於該方法，命令interp1
調用函數spline、ppval、mkpp、umkpp。這些命令生成一系列用於分段多項式操作的函數。命令spline
用它們執行三次樣條函數插值；
』pchip』：分段三次Hermite
插值。對於該方法，命令interp1 調用函數pchip，用於對向量x 與y 執行分段三次內插值。該方法保留單調性與數據的外形；
』cubic』：與』pchip』操作相同；
』v5cubic』：在MATLAB
5.0 中的三次插值。
對於超出x
范圍的xi 的分量，使用方法』nearest』、』linear』、』v5cubic』的插值演算法，相應地將返回NaN。對其他的方法，interp1
將對超出的分量執行外插值演算法。
(4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap')
對於超出x
范圍的xi 中的分量將執行特殊的外插值法extrap。
(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval)
確定超出x
范圍的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。
例1

>>x = 0:10; y =
x.*sin(x);
>>xx = 0:.25:10; yy =
interp1(x,y,xx);
>>plot(x,y,'kd',xx,yy)

例2

>> year =
1900:10:2010;
>> proct = [75.995
91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505
249.633 256.344 267.893
];
>>p1995 =
interp1(year,proct,1995)
>>x =
1900:1:2010;
>>y =
interp1(year,proct,x,'pchip');
>>plot(year,proct,'o',x,y)

插值結果為：

p1995 =
252.9885

命令2
interp2
功能
二維數據內插值（表格查找）
格式
(1)ZI
= interp2(X,Y,Z,XI,YI)
返回矩陣ZI，其元素包含對應於參量XI
與YI（可以是向量、或同型矩陣） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用戶可以輸入行向量和列向量Xi 與Yi，此時，輸出向量Zi
與矩陣meshgrid(xi,yi)是同型的。同時取決於由輸入矩陣X、Y 與Z 確定的二維函數Z=f(X,Y)。參量X 與Y
必須是單調的，且相同的劃分格式，就像由命令meshgrid 生成的一樣。若Xi與Yi 中有在X 與Y范圍之外的點，則相應地返回nan（Not a
Number）。
(2)ZI
= interp2(Z,XI,YI)
預設地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一種情形進行計算。
(3)ZI
= interp2(Z,n)
作n
次遞歸計算，在Z 的每兩個元素之間插入它們的二維插值，這樣，Z 的階數將不斷增加。interp2(Z)等價於interp2(z,1)。
(4)ZI
= interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)
用指定的演算法method
計算二維插值：
』linear』：雙線性插值演算法（預設演算法）；
』nearest』：最臨近插值；
』spline』：三次樣條插值；
』cubic』：雙三次插值。

例3：

>>[X,Y] =
meshgrid(-3:.25:3);
>>Z = peaks(X,Y);
>>[XI,YI] =
meshgrid(-3:.125:3);
>>ZZ =
interp2(X,Y,Z,XI,YI);
>>surfl(X,Y,Z);hold
on;
>>surfl(XI,YI,ZZ+15)
>>axis([-3 3 -3 3 -5
20]);shading flat
>>hold
off

例4：

>>years =
1950:10:1990;
>>service =
10:10:30;
>>wage = [150.697
199.592 187.625
179.323 195.072 250.287
203.212 179.092 322.767
226.505 153.706 426.730
249.633 120.281
598.243];
>>w =
interp2(service,years,wage,15,1975)

插值結果為：

w =
190.6288

命令3
interp3
功能
三維數據插值（查表）
格式
(1)VI
= interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)
找出由參量X,Y,Z決定的三元函數V=V(X,Y,Z)在點（XI,YI,ZI）的值。參量XI,YI,ZI
是同型陣列或向量。若向量參量XI,YI,ZI 是不同長度，不同方向（行或列）的向量，這時輸出參量VI 與Y1,Y2,Y3 為同型矩陣。其中Y1,Y2,Y3
為用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型陣列。若插值點(XI,YI,ZI)中有位於點(X,Y,Z)之外的點，則相應地返回特殊變數值NaN。
(2)VI
= interp3(V,XI,YI,ZI)
預設地，
X=1:N ，Y=1:M， Z=1：P ，其中，[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形計算。
(3)VI
= interp3(V,n)
作n
次遞歸計算，在V 的每兩個元素之間插入它們的三維插值。這樣，V 的階數將不斷增加。interp3(V)等價於interp3(V,1)。
(4)VI
= interp3(......,method) %用指定的演算法method 作插值計算：
『linear』：線性插值（預設演算法）；
『cubic』：三次插值；
『spline』：三次樣條插值；
『nearest』：最鄰近插值。
說明
在所有的演算法中，都要求X,Y,Z 是單調且有相同的格點形式。當X,Y,Z
是等距且單調時，用演算法』*linear』，』*cubic』，』*nearest』，可得到快速插值。

例5

>>[x,y,z,v] =
flow(20);
>>[xx,yy,zz] =
meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);
>>vv =
interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz);
>>slice(xx,yy,zz,vv,[6
9.5],[1 2],[-2 .2]); shading interp;colormap
cool

命令4
interpft
功能
用快速Fourier 演算法作一維插值
格式
(1)y
= interpft(x,n)
返回包含周期函數x
在重采樣的n 個等距的點的插值y。若length(x)=m，且x 有采樣間隔dx，則新的y 的采樣間隔dy=dx*m/n。注意的是必須n≥m。若x
為一矩陣，則按x 的列進行計算。返回的矩陣y 有與x 相同的列數，但有n 行。
(2)y
= interpft(x,n,dim)
沿著指定的方向dim
進行計算

命令5
griddata
功能
數據格點
格式
(1)ZI
= griddata(x,y,z,XI,YI)
用二元函數z=f(x,y)的曲面擬合有不規則的數據向量x,y,z。griddata
將返回曲面z 在點（XI,YI）處的插值。曲面總是經過這些數據點（x,y,z）的。輸入參量（XI,YI）通常是規則的格點（像用命令meshgrid
生成的一樣）。XI 可以是一行向量，這時XI 指定一有常數列向量的矩陣。類似地，YI 可以是一列向量，它指定一有常數行向量的矩陣。
(2)[XI,YI,ZI]
= griddata(x,y,z,xi,yi)
返回的矩陣ZI
含義同上，同時，返回的矩陣XI,YI 是由行向量xi 與列向量yi 用命令meshgrid 生成的。
(3)[XI,YI,ZI]
= griddata(.......,method)
用指定的演算法method
計算：
『linear』：基於三角形的線性插值（預設演算法）；
『cubic』：
基於三角形的三次插值；
『nearest』：最鄰近插值法；
『v4』：MATLAB
4 中的griddata 演算法。

命令6
spline
功能
三次樣條數據插值
格式
(1)yy
= spline(x,y,xx)
對於給定的離散的測量數據x,y（稱為斷點），要尋找一個三項多項式y
= p(x) ，以逼近每對數據(x,y)點間的曲線。過兩點(xi, yi) 和(xi+1, yi+1)
只能確定一條直線，而通過一點的三次多項式曲線有無窮多條。為使通過中間斷點的三次多項式曲線具有唯一性，要增加兩個條件（因為三次多項式有4
個系數）：
a．三次多項式在點(xi,
yi) 處有： p¢i(xi) = p¢i(xi) ；
b．三次多項式在點(xi+1,
yi+1) 處有： p¢i(xi+1) = pi¢(xi+1) ；
c．p(x)在點(xi,
yi) 處的斜率是連續的（為了使三次多項式具有良好的解析性，加上的條件）；
d．p(x)在點(xi,
yi) 處的曲率是連續的；
對於第一個和最後一個多項式，人為地規定如下條件：
①．
p¢1¢(x) = p¢2¢(x)
②．
p¢n¢(x) = p¢n¢-1(x)
上述兩個條件稱為非結點(not-a-knot)條件。綜合上述內容，可知對數據擬合的三次樣條函數p(x)是一個分段的三次多項式：
ï
ïî
ï
ïí
ì
£
£
£
£
£
£
=
n
n n+1
2
2 3
1
1 2
p
(x) x x x
p
(x) x x x
p
(x) x x x
p(x)
L
L L L
其中每段pi(x)
都是三次多項式。
該命令用三次樣條插值計算出由向量x
與y 確定的一元函數y=f(x)在點xx 處的值。若參量y 是一矩陣，則以y 的每一列和x 配對，再分別計算由它們確定的函數在點xx 處的值。則yy
是一階數為length(xx)*size(y,2)的矩陣。
(2)pp
= spline(x,y)
返回由向量x
與y 確定的分段樣條多項式的系數矩陣pp，它可用於命令ppval、unmkpp 的計算。

例6
對離散地分布在y=exp(x)sin(x)函數曲線上的數據點進行樣條插值計算：

>>x = [0 2 4 5 8 12 12.8
17.2 19.9 20]; y = exp(x).*sin(x);
>>xx = 0:.25:20;
>>yy =
spline(x,y,xx);
>>plot(x,y,'o',xx,yy)

命令7
interpn
功能
n 維數據插值（查表）
格式
(1)VI
= interpn(X1,X2,,,Xn,V,Y1,Y2,?,Yn) %返回由參量X1,X2,…,Xn,V 確定的n
元函數V=V(X1,X2,…,Xn)在點（Y1,Y2,…,Yn）處的插值。參量Y1,Y2,…,Yn 是同型的矩陣或向量。若Y1,Y2,…,Yn
是向量，則可以
是不同長度，不同方向（行或列）的向量。它們將通過命令ndgrid生成同型的矩陣，
再作計算。若點(Y1,Y2,…,Yn) 中有位於點（X1,X2,…,Xn）之外的點，則相應地返回特殊變數NaN。
VI
= interpn(V,Y1,Y2,?,Yn) %預設地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)，… ，
Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形計算。
VI
= interpn(V,ntimes) %作ntimes 次遞歸計算，在V 的每兩個元素之間插入它們的n 維插值。這樣，V
的階數將不斷增加。interpn(V)
等價於interpn(V,
1)。
VI
= interpn(?,method) %用指定的演算法method 計算：
『linear』：線性插值（預設演算法）；
『cubic』：三次插值；
『spline』：三次樣條插值法；
『nearest』：最鄰近插值演算法。

命令8
meshgrid
功能
生成用於畫三維圖形的矩陣數據。
格式
[X,Y] = meshgrid(x,y) 將由向量x，y（可以是不同方向的）指定的區域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)]
用直線x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x)
，j=1,2,…,length(y)）進行劃分。這樣，得到了length(x)*length(y)個點，
這些點的橫坐標用矩陣X
表示，X 的每個行向量與向量x 相同；這些點的縱坐標用矩陣Y 表示，Y 的每個列向量與向量y 相同。其中X,Y可用於計算二元函數z=f(x,y)與三維圖形中xy
平面矩形定義域的劃分或
曲面作圖。
[X,Y]
= meshgrid(x) %等價於[X,Y]=meshgrid(x,x)。
[X,Y,Z]
= meshgrid(x,y,z) %生成三維陣列X,Y,Z，用於計算三元函數v=f(x,y,z)或三維容積圖。

例7

[X,Y] =
meshgrid(1:3,10:14)
計算結果為：

X =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Y =
10 10 10
11 11 11
12 12 12
13 13 13
14 14
14

命令9
ndgrid
功能
生成用於多維函數計算或多維插值用的陣列
格式
[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x1,x2,…,xn) %把通過向量x1,x2,x3…,xn 指定的區域轉換為數組x1,x2,x3,…,xn
。這樣， 得到了 length(x1)*length(x2)*…*length(xn)個點，這些點的第一維坐標用矩陣X1 表
示，X1
的每個第一維向量與向量x1 相同；這些點的第二維坐標用矩陣X2 表示，X2 的每個第二維向量與向量x2 相同；如此等等。
其中X1,X2,…,Xn
可用於計算多元函數y=f(x1,x2,…,xn)以及多維插值命令用到的陣列。
[X1,X2,…,Xn]
= ndgrid(x) %等價於[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x,x,…,x)

命令10
table1
功能
一維查表
格式
Y = table1(TAB,X0) %返回用表格矩陣TAB 中的行線性插值元素，對X0（TAB的第一列查找X0）進行線性插值得到的結果Y。矩陣TAB
是第一列包含
關鍵值，而其他列包含數據的矩陣。X0
中的每一元素將相應地返回一線性插值行向量。矩陣TAB 的第一列必須是單調的。

例8

>>tab = [(1:4)'
hilb(4)]
>>y = table1(tab,[1 2.3
3.6 4])
查表結果為：

>>tab = [(1:4)'
hilb(4)]
>>y = table1(tab,[1 2.3
3.6 4])

F. 怎樣有相鄰兩張圖圖像插值出新的圖像

這是一種簡單的插值演算法：不需要計算，在待求象素的四鄰象素中，將距離待求象素最近的鄰象素灰度賦給待求象素
設i+u, j+v(i, j為正整數， u, v為大於零小於1的小數，下同)為待求象素坐標，則待求象素灰度的值 f(i+u, j+v)。
如果(i+u, j+v)落在A區，即u<0.5, v<0.5，則將左上角象素的灰度值賦給待求象素，同理，落在B區則賦予右上角的象素灰度值，落在C區則賦予左下角象素的灰度值，落在D區則賦予右下角象素的灰度值。
最鄰近元法計算量較小，但可能會造成插值生成的圖像灰度上的不連續，在灰度變化的地方可能出現明顯的鋸齒狀。
下面附上源代碼：
#include<opencv2\core\core.hpp>
#include<opencv2\highgui\highgui.hpp>
#include<opencv2\imgproc\imgproc.hpp>
#include<iostream>
using namespace cv;

G. 三種插值演算法的時間復雜度

時間復雜度一樣都是O(1)。時間復雜度指的是當問題規模增大時候，運算量以什麼規律增長。對於計算一個插值點這個問題，無論數據點怎麼增多，三個演算法都不會發生運算量增長，每次插值都只在局部取固定數量的幾個點而已，只不過有的簡單有的復雜。

H. 數學建模最鄰近插值法適用什麼問題的求解

人們在進行社會的、經濟的以及科學管理領域問題的系統分析中，面臨的常常是一個由相互關聯、相互制約的眾多因素構成的復雜而往往缺少定量數據的系統。
在這樣的系統中，人們感興趣的問題之一是：就 n 個不同事物所共有的某一性質而言，應該怎樣對任一事物的所給性質表現出來的程度（排序權重）賦值，使得這些數值能客觀地反映不同事物之間在該性質上的差異？
層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法。它把復雜問題分解成組成因素，並按支配關系形成層次結構，然後用兩兩比較的方法確定決策方案的相對重要性。
層次分析法在經濟、科技、文化、軍事、環境乃至社會發展等方面的管理決策中都有廣泛的應用。
常用來解決諸如綜合評價、選擇決策方案、估計和預測、投入量的分配等問題。
運用層次分析法解決問題，大體可以分為四個步驟：
1. 建立問題的遞階層次結構；(首先，將復雜問題分解為稱之為元素的各組成部分，把這些元素按屬性不同分成若干組，以形成不同層次。同一層次的元素作為准則，對下一層次的某些元素起支配作用，同時它又受上一層次元素的支配。這種從上至下的支配關系形成了一個遞階層次。處於最上面的的層次通常只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結果。中間層次一般是准則、子准則。最低一層包括決策的方案。層次之間元素的支配關系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它並不支配下一層次的所有元素。 )
2. 構造兩兩比較判斷矩陣；
3. 由判斷矩陣計算被比較元素相對權重；
4. 計算各層次元素的組合權重。