分形與混沌pdf

『壹』 什麼 是分形和混沌，他們的基本特徵

分形的誕生:
分形的創立也是基於一個巧合，頗似當年哥倫布發現美洲新大陸的意外收獲。分形的創立者曼得勃羅特原先是為了解決電話電路的雜訊等實際問題，結果卻發現了幾何學的一個新領域。海岸線具有自相似性，曼得勃羅特』就是在研究海岸線時創立了分形幾何學。幾何對象的一個局部放大後與其整體相似，這種性質就叫做自相似性。部分以某種形式與整體相似的形狀就叫做分形。
分形幾何主要研究吸引子在空間上的結構，它和混沌有共同的數學祖先-動力系統。如果把非線性動力系統看成是一個不穩定的發散過程，那麼由迭代法生成分形吸引子正好是一個穩定的收斂過程。有的混沌學家說，混沌是時間上的分形，而分形是時間上的混沌。
分形具有五個基本特徵或性質:⑴形態的不規則性;⑵結構的精細性;⑶局部與整體的自相似性;⑷維數的非整數性;⑸生成的迭代性。

『貳』 蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌

本書通過三個物理例子簡要闡述了混沌學;從牛頓力學的限制性三體問題到19世紀末龐加萊創立的利用拓撲學定性研究微分方程（P69：李雅諾普理論：動力學系統混沌的充分必要條件就是它有足夠多的具有正李雅諾普夫指數的有界軌道，使得它們在相空間中的維數大於一）；從經典動力系統中吸引子理論（不動點，極限環，麵包圈（准周期）到混沌學的建立標志典型例子之一的1963年洛倫茨用數值方法研究大氣熱對流模型時發現的的奇異吸引子（P44;吸引子類似蝴蝶樣子同時也就是書名的《蝴蝶效應之謎》的原因)；甚至從高中學過的線性近似條件下的計時工具的單擺實驗到非線性單擺實驗的演變條件，書中利用圖形完備展示了有序到混沌的理論的本質,P115）。其實關於混沌的歷史：早在一百多前，波爾茲曼推導他的著名的H定理，就曾經提出分子混沌假設，但是那時候混沌的意義僅僅是與宏觀系統統計相關的無序特徵。 關於相對論和量子力學的教科書及科普書汗牛充棟，而介紹混沌的，則顯的小眾化了，不僅是混沌學建立的時間較晚，更是因為混沌學對於數學和計算機要求較高。不同於其他科普書排斥數學公式，本書最小的程度的使用公式並輔助圖形揭示了混沌的本質:分形中的曼德勃羅集（非線性迭代公式P26，分形是混沌的幾何形式），氣象學中著名的洛倫茨微分方程組（P41),對於迭代方程添加的非線性項修正的生態學邏輯斯蒂方程（P60）等等，這樣引導初學者順利進入混沌學的數學思考

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書名：混沌與分形：郝柏林科普與博客文集

作者：郝柏林

出版社：上海世紀出版股份有限公司

出版年份：2015-10-1

頁數：407

『肆』 迭代、分形和混沌

地球物理場能量很小，除天然地震震源物理研究外，場正演問題都歸結為線性偏微分方程。但是，反問題都是非線性的。

5.1.1 牛頓迭代與分形

非線性迭代的最基本方法是牛頓迭代法。也就是說，將函數展成台勞級數，略去高次項，從一次項中提出修改增量和Jacobian矩陣，構成線性方程組。牛頓迭代法收斂很快，但是收斂取決於初始猜測。

1988年，Petigen與Saupe的論文集中發表了一個有趣的試驗結果，他考慮以下簡單的非線性方程

z³-1=0 （5.1.1）

此方程的一個實根為z=1，兩個復根為

z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）

用牛頓迭代格式

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來逼近，得到的是實根還是哪一個復根？

當然，初值z₀可以是復平面z=x+iy中的任一點。可以猜測，z₀在復平面上可以分為若干個區域，z₀在某個區域用式（5.1.3）作迭代後收斂，在另外的區域收斂於復根。習慣於線性思維的人會認為這些區域是有清晰邊界分開的幾塊，如z₀等於1的鄰域牛頓迭代將收斂於實根z=1，它的面積大約佔z平面的1/3左右，而其他區域收斂於復根。事實並非如此，初值z₀的收斂域是分形的，如圖5.1所示。從圖5.1 可見，黑色區域的面積的確是選初值區域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的邊界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。為什麼像式（5.1.1）那麼簡單的迭代格式會導致這么復雜的分形圖像？為什麼初值在這種邊界上的微小變化會使迭代收斂到完全不同的根？

圖5.1 實虛軸在（-2，2）范圍內的復平面z黑色區域經牛頓迭代後收斂於實根z=1初值區，白色為收斂於復根的區域

問題歸結為方程（5.1.1）的非線性，而非線性是系統走向混沌的必要條件。對於非線性系統，初值的微小變化會使系統狀態在幾個「吸引子」之間回彈，其幾何表現就是分形。

5.1.2 分形地球模型

本書把地球參數看成是實函數集，即Hilbert空間的元，這是確定性模型。確定性模型隱含著地球物質有序分布的假定，而隨機模型隱含著地球物質隨機分布的假定。我們現在進一步假定地球物質分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的層次結構，這就導致地球的分形模型。

從分形的觀點描述地球的根據是：地球是無標度的復雜對象，其尺度可由幾毫米的微裂縫到上萬公里的地球直徑，而不同尺度之間的現象具有相似性。

人有特徵尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的東西也有特徵尺度，如火車的高度在2m上下，輪船和高樓平均為幾十米，這種特徵尺度稱為標度。

自然現象一般具有多尺度的特徵，沒有特徵尺度。分形幾何學把不同尺度的現象用標度律聯系起來

p（λt）=λ^αp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）

式中p（t）為某種層次的尺度，p（λt）為它放大λ倍之後的尺度，α為標度指數。而

D₀=2-α （5.1.5）

等於Mandelbrot分維數。

維數指的是幾何對象中的一個點所置的獨立坐標的個數，如地球表面的一個點用經緯度表示，它的維數是2。在分形幾何學中，維數可以為分數，分數的維數稱為分維數。

對二維情況，一個正方形每邊都放大3倍（尺度放大），則變為9個原正方形，有

2=l n9/l n3

對整數維為d的幾何對象，每個方向都放大L倍，結果得到N個原來的對象，有

d=lnN/lnL

每個方向放大L倍等效於此方向測量尺度（或度量的單位）縮小為原來的ε=1/L倍。因此，在一般情況下，用很小的度量單位ε研究對象的尺度變化時，可定義

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這就是Mandelbrot分形維。

1992年Korvin編了一本名為《地學中的分形模型》的書，書中列舉了與地球科學有關的許多分形模型。其中談到，1984年美國地調所出動數十輛消防車對內華達岩石出露區進行沖洗，然後對其裂隙作詳細填圖，得出該區裂隙系統的平均分維數為1.744。用大尺度的區域斷裂構造圖計算此區斷裂系統的分維數為1.773，證實了不同層次的地球斷裂系統之間具有自相似性。陳顒與特科特等人的專著對此也有精彩的描述。

關於分形幾何學與其他分維數（如相關維D₂、信息維D₁等）的討論詳見有關專著。以下只介紹對時間序列計算分形維D₀的方法。傳統的介紹D₀分維數的方法多用時間系列的功率譜計算。由於地球物理資料的功率譜在高頻段含有大量噪音，這種計算方法幾乎不能用。我們只研究以下演算法，在反射地震資料處理上取得良好效果。

對平面曲線，其總長度為

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式中：ε為度量單位（尺子）；N為量得的尺數；f為尺子量完後的剩餘長度（f＜ε）；D₀為Mandelbrot分形維數。將式（5.1.7）兩邊取對數，有

ln（N+f/ε）=-D₀lny+lnL （5.1.8）

設時間序列為 ｛s₁，s₂，…，s_m｝，取樣率為Δt，則用ε₁=Δt為尺子量出它對應的曲線長度為

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再令ε₂=2Δt為尺子量出，有

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取ε₃=4Δt，有

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將式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程

ln（N_j+f_j/ε_j）=-D₀lnε_j+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）

用最小二乘法易求出方程組（5.1.12）中的兩個未知數D₀和L。當然，還可取ε₄=8Δt等，以提高求分形維D₀的准確度。下節還要提到，反演迭代輸出序列的分形維是指示迭代狀態的一種有用參數。

5.1.3 非線性迭代與混沌

設x_n為第n步的迭代輸出，x_n+1為下一步的迭代輸出，二次方程

x_n+1=rx_n（1-x_n） （5.1.13）

雖然很簡單，但迭代過程（演化）卻是很復雜的。這個方程稱為May生態方程。將x_n+1及x_n視為若干年後池塘中大魚的產量，由於x_n越大繁殖就越多，所以x_n+1與它成正比；又因大魚越多吃的小魚也越多，x_n+1又與（1-x_n）成正比。這就是生態方程的含義，系數r與飼料總量有關。

將x_n及x_n+1視為若干年後你的一筆銀行存款的總值，當年存款x_n越多次年本利就越多，所以x_n+1與x_n成比例。但是，存款越多銀行利率下降越多，x_n+1又與（1-x_n）成比例。系數r為控制參數，與銀行存款總量有關。可見，生態方程反映許多自然與人文發展的規律。

將（5.1.13）式中的x_n+1視為常數，則它是一個關於x_n的二次方程，有兩個根。這意味著演化問題存在兩種選擇（線性問題只有一種選擇）。x_n有兩種選擇將造成迭代輸出不穩定，在兩種選擇中跳來跳去。例如，池塘魚的產量和水果產量常出現大年與小年的區別，這種演化成為二齒分叉（Pitchfork bifurcation）。

分叉取決於控制參數r，二齒分叉可能不斷進行下去，即由兩叉變四叉，四叉變八叉。具體地說，隨r從很小變到r=r₁=1.0時，開始第一次分叉。當r=r₂=3時，再次分四叉等等。此後，迭代變得非常不穩定，並很快變得沒有規律和不可預測（即混沌）。

圖5.2示出二次映射的迭代輸出隨控制系數的分叉過程，以及相應的Lyapunov指數。由圖可見，二次映射迭代隨外部控制參數r的增大導致有規律的分叉，直至走向混沌。

圖5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代輸出x_n隨r的變化，黑色區表示混沌區（a），以及Lyapunov指數的變化（b）

在非線性動力學中，混沌指的是非線性系統演化的一種不確定和無規則狀態。分叉、間歇、突變（如相變）都是典型的不規則狀態。在地球科學中，火山爆發是典型的間歇，地震發生是能量的突然釋放，其形成的斷裂裂隙具有分形結構。

混沌發生的必要條件是系統為非線性。多層次的復雜非線性系統（如人類社會）由於其自組織的困難，較易演化為混沌運動（如戰爭）。開放的耗散（Dissipative）系統由於固有的非線性性質，也經常出現混沌。但是，非線性只是混沌運動發生的必要條件，而不是充分條件。混沌運動的特徵如下。

（1）不可預測性，指初始條件有微小的差別將導致最終結果迥然不同。設迭代映射方程為x_n+1=f（x_n），例如當f為二次函數時，它變成（5.1.13）的May生態方程。f在一般情況下指任何導致混沌結果的函數。如果初始條件x₀帶有微小的誤差ε₀，經過N次迭代後其誤差被指數放大，記f_N（x₀+ε）為帶誤差的迭代輸出，有

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因此定義

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為Lyapunov指數。還可將式（5.1.15）寫為

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可見Lyapunov指數表示經N次迭代後系統演化軌道加速偏離的指數。設|ΔI|為經過一次迭代後系統信息的平均損失，有

λ（x₀）=ln2|ΔI| （5.1.17）

說明λ與|ΔI|成正比。根據Shannon資訊理論，系統信息量等於該系統作完備描述編碼所需的最小bit數目。當λ＞0時，每次迭代的信息損失都大於零，系統的熵不斷增大以導致混沌的發生。圖5.2（b）示出了二次迭代的λ隨r的變化並將它與系統的分叉和混沌作對比。由圖可見，λ＜0時對應的系統穩定，在λ=0的點系統發生分叉，而λ＞0的點對應混沌。因此，Lyapunov是指示狀態的重要標量參數。

（2）整體行為的有規律性。雖然系統在未來的具體狀態具有不確定性和不可預測，但是「表面上看起來瘋狂雜亂，其實自有規矩」（莎士比亞）。所有系統演化的軌跡形成的相空間的圖形中，存在若干個吸引軌跡的若干個很小的空間（成為吸引子），使軌跡不斷收縮到其中，或者突跳到另一個吸引子附近。這種現象表示整體行為仍具有整體性。

整體行為的規律性還表現在不同層次的運動的相似性（分形）上。Feigenbaum證明，無論是哪種形如x_n+1=f（x_n）的混沌運動，其轉化為混沌的尺度特徵都由兩個普適常數控制，更說明混沌理論具有整體規律性。

形式周期性，混沌狀態的發生有時會重復出現，但這種重復是不確定的。例如，大地震的發生時多時少，既包括高頻度的重復出現，又沒有準確的周期。

非線性科學研究的全面展開，還是20世紀90年代的事。19世紀建立了線性科學的理論框架，它在20世紀發展為完整的體系。但是非線性科學理論框架的建立，將是21世紀的事。對正問題的研究尚且如此，對非線性問題的研究更加零星。接下來介紹根據混沌理論進行非線性反演的一些實例。

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書名：蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌

作者：張天蓉

豆瓣評分：8.1

出版社：清華大學出版社

出版年份：2013-7-1

頁數：200

內容簡介：

「為什麼世界這么美麗，因為我眼睛看到的都是分形」有學者這么說。從漫長蜿蜒的海岸線，到人體大腦的結構，分形無處不在！在美得像天使一樣的分形中人類有什麼樣的驚人發現？

一棵馬蹄釘跌倒一個王子，一個王子輸掉了一場戰爭，一場戰爭失掉了一個王國，同時也改變了整個世界，差之毫釐，失之千里。看似「風馬牛不相及」的事物之間到底蘊涵著什麼樣的規律？

《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》從美妙動人的分形到神秘莫測的混沌，探究科學規律的內在之美，發現無序中之有序。

有人將分形和混沌理論譽為繼相對論和量子力學之後的20世紀物理學的第三次革命。本書首先描述了各種分形的基礎知識和特性，包括線性迭代產生的分形如分形龍、科和曲線等，以及非線性迭代產生的曼德勃羅集、朱利亞集等。通過這些例子，介紹了自相似性及分數維的概念。然後，遵循混沌現象發展的歷史，通過講述龐加萊的三體問題、洛倫茨的蝴蝶效應等等故事和趣聞，將讀者帶進神奇混沌理論的天地中。再進一步通過對一個簡單混沌系統--邏輯斯蒂映射的探討，詳細介紹分岔理論、穩定性、及費根鮑姆普適常數等概念。

本書後半部分，介紹了分形和混沌在各個領域的應用及前景、分形和混沌的關系、以及與分形混沌密切相關而發展起來的非線性科學。

俗話說：「授人以魚不如授人以漁」，作為科普書，介紹知識固然重要，傳授科學研究之方法更為重要，本書極力體現這個宗旨。作者不僅介紹科學，還煞費苦心地重點介紹科學家作出重大發現時的思路歷程，帶領讀者一起思考，從前人的經驗教訓中得到深刻啟示，從而激發讀者的好奇心和創造力。

一本老少皆宜、文理兼容的科普讀物。圖文並茂，用輕松有趣的語言，加之通俗生動的圖解，來講述深奧難懂的科學理論。為廣大讀者剝開理論的堅果，使不同領域的人士，都能領悟到數學及物理學的無窮魅力。

作者簡介：

張天蓉，女，四川成都人。美國得克薩斯州奧斯汀大學理論物理博士，現住美國芝加哥。研究過黑洞輻射、費曼路徑積分、毫微微秒激光、高頻及微波通訊的EDA集成電路軟體等。發表專業論文三十餘篇。2008年出版科普小說《新東方夜譚》；2010年11月出版懸疑小說《美國房客》。2012年開始，在科學網發表一系列科普博文，其文風深入淺出，趣味盎然，且保持科學的嚴謹性，深得讀者喜愛。

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