⑴ 關於python浮點數的精度及其造成的問題
在解決學術問題的過程中，Python因為其易用性和語法的簡潔性而受到歡迎。然而，在某些實際問題中，由於Python默認的浮點數精度是雙精度（64位），直接用此精度會出現非常大的問題。例如，回代根到等式發現等式不成立（從而造成恐慌）。本文記錄了一種筆者找到的可能的解決方法用於解決Python精度不夠的問題。
Python的默認浮點數是雙精度。不過不論是什麼精度，浮點數在計算機中都是以二進制保存。這就導致了在有限精度下，電腦為自己把精度范圍外的小數「掐掉」，導致結果不準確。以下筆者展現一個經典的例子，0.1 + 0.2，其結果為0.30000000000000004，而不是0.3。
經過一些搜索，發現NumPy提供一個相對更高精度的數值類型numpy.float128()（或者numpy.longdouble(), numpy.longfloat()），它的精度比64位「稍高」。使用numpy.float128()之後，輸出的結果更加接近真實值0.3。
這會導致什麼問題？在大多數情況下（姑且如此說，畢竟我至今第一次遇到這個問題），不會有很大影響。但這不代表這個問題可以忽略。例如在使用SymPy求解方程時，如果直接使用默認浮點數，得到的結果並不能使等式兩邊成立。
我們首先嘗試將64位浮點數替換為128位浮點數，但不幸的是，這種方法得到的精度提升有限。方程兩邊仍然無法成立。
通過搜索和求助，我得知了使用decimal包的方法。使用十進制數，這樣應該就可以表示准確的小數了。但是如果直接使用SymPy去解方程，仍然不能得到精確結果！我推測SymPy仍然使用了浮點數。
在已知方程系數的情況下，求解方程的根有兩種方法。一種是直接使用求根公式，適用於四次及以下的多項式方程。另一種是數值法，可以得到一個自定精度的估計值。
由於Python的decimal包中的Decimal類型的特殊性，許多常用的運算方法並不適用此類數值。接下來記錄幾種我從官方文檔和Wikiversity中找到的常用運算方法。
來自Python官方文檔：
來自Wikiversity：
可能有讀者會好奇，為什麼要摘錄arctan()。原因是需要進行復數運算！在次數為2、3、4的一元方程中，非常容易出現復數。我針對自己的問題，對arctan()函數進行了一定的修改，並實現了能夠進行復數運算的幾種方法。此外，還定義了判斷兩個數是否相等的函數if_eq()。
到目前為止，我們已經能解決高達四次的一元方程。然而，對於大於或等於五次的多項式來說，現有方法似乎仍然顯得黔驢技窮。
在沒有求根公式的情況下，數值方法是一個解方程實根的很好途徑。我使用了牛頓法來解決問題。參考Kong等人的在線書籍，代碼實現如下，
到此為止，我們可以嘗試一下，能否使用現有知識求解本文最初設置的方程。首先使用求根公式法，成功得到了方程的解！通過觀察可得，僅僅是小數後被掐掉的部分不同，就會造成等式兩邊產生極大（絕對來說，非相對）的不同！
其次，嘗試牛頓數值法。
可以看到，數值法的缺陷是需要設置不同的初值，才能得到不同的實根。但優點是，在計算機性能支持的前提下，可以逼近任意方程的某個根。可能有些讀者會好奇，此處的「-10000000000000000000000」為何不需要將其進行「十進制化」？原因是在Python中，整數是精確的，不精確的只是浮點數。
本文討論了在某些特殊方程中因為Python浮點數不夠精確而導致的結果不精確的問題。當對結果的精度要求較高或者根的量級非常大時，推薦使用先求初值、再求精確值的方法進行求解。