组合设计模型与算法设计

‘壹’ 组合数学在生活中的应用

组合数学

有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。

组合数学中的着名问题
地图着色问题：对世界地图着色，每一种国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。
四色定理指出每个可以画出来的地图都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相接的区域会是相同的颜色。被称为相接的两个区域是指他们共有一段边界，而不是一个点。

这一定理最初是由Francis Guthrie在1853年提出的猜想。很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余。但是，直到1977年四色猜想才最终由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken证明。他们得到了J. Koch在算法工作上的支持。

证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。

四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。参见实验数学。

缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”

船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问题。
中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。
任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？这是线性规划的问题。

这些你都可以在生活中找到实际应用。具体内容查参考资料啦。

‘贰’ 数学建模建模分为几种类型，分别用什么法求解

数学建模应当掌握的十类算法
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算 法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要 处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题 属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉 及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计 中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是 用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实 现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛 题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好 使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只 认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非 常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常 用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调 用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该 要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）

‘叁’ 数学建模的几种方法

1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算
法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要
处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题
属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、
Lingo软件实现）
4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉
及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计
中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是
用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实
现比较困难，需慎重使用）
7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛
题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好
使用一些高级语言作为编程工具）
8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只
认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）
9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常
用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）
10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。

‘肆’ 对数据科学家来说最重要的算法和统计模型

对数据科学家来说最重要的算法和统计模型
作为一个在这个行业已经好几年的数据科学家，在LinkedIn和QuoLa上，我经常接触一些学生或者想转行的人，帮助他们进行机器学习的职业建议或指导方面相关的课程选择。一些问题围绕教育途径和程序的选择，但许多问题的焦点是今天在数据科学领域什么样的算法或模型是常见的。
由于可供选择的算法太多了，很难知道从哪里开始学起。课程可能包括在当今工业中使用的不是很典型的算法，而课程可能没有包含目前不是很流行的但特别有用的方法。基于软件的程序可以排除重要的统计概念，并且基于数学的程序可以跳过算法设计中的一些关键主题。

我为一些有追求的数据专家整理了一个简短的指南，特别是关注统计模型和机器学习模型(有监督学习和无监督学习);这些主题包括教科书、毕业生水平的统计学课程、数据科学训练营和其它培训资源。(其中有些包含在文章的参考部分)。由于机器学习是统计学的一个分支，机器学习算法在技术上归类于统计学知识，还有数据挖掘和更多的基于计算机科学的方法。然而，由于一些算法与计算机科学课程的内容相重叠，并且因为许多人把传统的统计方法从新方法中分离出来，所以我将把列表中的两个分支也分开了。

统计学的方法包括在bootcamps和证书程序中概述的一些更常见的方法，还有一些通常在研究生统计学程序中所教授的不太常见的方法(但在实践中可以有很大的优势)。所有建议的工具都是我经常使用的工具:
1)广义线性模型，它构成了大多数监督机器学习方法的基础(包括逻辑回归和Tweedie回归，它概括了在工业中遇到的大多数计数或连续结果……)
2) 时间序列方法(ARIMA, SSA, 基于机器学习的方法)
3) 结构方程建模 (模拟和测试介导途径)
4) 因子分析法(调查设计与验证的探索和验证)
5) 功率分析/试验设计 (特别是基于仿真的试验设计，以免分析过度)
6) 非参数检验(从零开始的推导, 尤其通过模拟)/MCMC
7) K均值聚类
8) 贝叶斯方法(Na?ve Bayes, 贝叶斯模型求平均值, 贝叶斯自适应试验...)
9) 惩罚回归模型 (elastic net, LASSO, LARS...) ，通常给模型增加惩罚因素(SVM, XGBoost...), 这对于预测值超过观测值的数据集是有用的(常见于基因组学与社会科学研究)
10) 样条模型(MARS...) 用于灵活性建模过程
11)马尔可夫链和随机过程 (时间序列建模与预测建模的另一种方法)
12)缺失数据填补方案及其假设(missForest, MICE...)
13) 生存分析(非常有助于制造建模和消耗过程)
14) 混合建模
15) 统计推断与分组测试(A/B测试和在许多交易活动中实施更复杂的设计)
机器学习扩展了许多这样框架，特别是K均值聚类和广义线性建模。在许多行业中一些有用的常见技术(还有一些更模糊的算法，在bootcamps或证书程序中出人意料的有用，但学校里很少教) 包括:
1)回归/分类树(用于高精度、可解释性好、计算费用低的广义线性模型的早期推广)
2)维数约简(PCA和多样学习方法如MDS和tSNE)
3)经典前馈神经网络
4)装袋组合(构成了随机森林和KNN回归整合等算法的基础)
7)加速整合(这是梯度提升和XGBoost算法的基础)
8)参数优化或设计项目的优化算法(遗传算法，量子启发进化算法，模拟锻炼，粒子群优化)
9)拓扑数据分析工具，特别适合于小样本大小的无监督学习(持久同调, Morse-Smale聚类, Mapper...)
10)深度学习架构(一般的深度架构)
11) KNN局部建模方法(回归, 分类)
12)基于梯度的优化方法
13)网络度量与算法(中央度量法、中间性、多样性、熵、拉普拉斯算子、流行病扩散、谱聚类)
14)深度体系架构中的卷积和汇聚层(专门适用于计算机视觉和图像分类模型)
15)层次聚类 (聚类和拓扑数据分析工具相关)
16)贝叶斯网络(路径挖掘)
17)复杂性与动态系统(与微分方程有关，但通常用于模拟没有已知驱动程序的系统)
依靠所选择的行业，可能需要与自然语言处理(NLP)或计算机视觉相关的附加算法。然而，这些是数据科学和机器学习的专门领域，进入这些领域的人通常已经是那个特定领域的专家。

‘伍’ 怎么制作简单机械组合模型

第一步是先设计角色立体图稿，有时还必须发挥想象力，补足动漫或游戏“看不到”的部分。 第二个步骤是制作原型土模。塑胶模型分为“实心”和“空心”两种，实心模型的土模通常使用木节土或精雕油土，做好土模之后再开出空心的钢模，因为实心模型是以上百吨的压力将塑胶粒子打入模型中，因此一定需要较硬的钢材才能承受，而接下来将调好色的塑胶粒子射入，即完成素胚。 将模型初步整修过后，就可以开始上色。一般是采用之前提过的“套模上色”法，先制作上色需要的片状模具`，再进行喷色来表现色泽材质。如果需要表现较精致的图腾、LOGO，则有另一种“球体印刷机”，可将这些较细致的图形印在模型上。上完色进行组装、包装后即完成一个模型的制作。 这些程序基本上都是半机械半人工，需要人力去进行对位，虽然比较花时间，但上色的准确度会较高。 除了实心模型所需的“钢模”外，另有一种常见的模型制作方式称为“搪胶技术”，先用蜡雕作出原型，电镀上一层铜材制成铜模后，让蜡融掉流出，再把铜模分各零组件开出生产模，这种技术可制作出如“大同宝宝”之类的空心塑胶公仔来。 ◆少量生产、个人创作 “玻利”最实用 上述两种模型开模成本大，通常用于大量生产。另有一种材质叫“玻利(POLY)”，完全是纯手工制作，所需要的模种是矽胶模。这种模型好处是手工灌模，速度快，可以小量制作。缺点是因为玻利类似陶瓷类的材质，硬度高、易碎，不耐碰撞，所以只能作静态的物品。

‘陆’ 组合数学

组合数学（combinatorial mathematics）
广义
有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。

狭义
狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。

离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。

内容包含：数理逻辑、集合论、代数结构、图论、组合学、数论等。

由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系， 因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。

离散数学课程主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。这些概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。

离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、关系论、函数论、代数系统与图论。
以上回答你满意么？

‘柒’ 组合数学应用

学习组合数学需要的分析学知识主要是排列、组合以及概率。
学习组合数学主要是就离散的数据的分布进行研究，一般只需要分析学中基本的排列、组合以及概率等知识，分析学指数学分析，以微分学、积分学、级数论、实数理论为其基本内容，学习组合数学一般只需要比较基本的分析学知识。
广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是图论、代数结构、数理逻辑等的总称，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等。

‘捌’ 学习算法分析与设计需要那些基础(是否需要学习离散数学和线性代数)

算法分析与设计，目前国内本科生和硕士生的教材好像都是从国外翻译过来的。听起来挺复杂的样子，如果简单地掌握和运用还是不难的，大部分内容在数据结构中都涉及过，实际编程中也运用比较多，难的在于算法的理论研究，如21世纪的七大难题之一的NP问题就是算法问题（涉及逻辑可满足性问题）。

简单地讲需要的基础有以下几类：
1、基础类（相对一般本科生而言）：（1）把数据结构学好了算法就不难的，而数据结构其实就是图论的运用，如果是非数学专业的学生可以看离散数学中的图论部分。（2）算法分析设计时间和空间复杂度的计算，常用的还是毛泽东的战略思想——以空间换取时间。所以要学会简单的数量级运算，涉及部分代数式和数论的知识。只要简单掌握运算就可以了，不必深究。
2、提高型（研究生水平）：图论、组合数学、数理逻辑学要专门学习，可以采用数学系本科生的图论、组合数学、数理逻辑学等专业课的教材。其中组合数学中的组合设计在一定程度上和算法设计有异曲同工之处。
3、研究型（专业研究）：这主要看自己的研究方向了，如果研究能力强的话可以在很短时间内可以把需要遇到的数学知识搞懂，没有现成的固定模式。其中如研究NP问题，需要非常精深的逻辑学知识和数论基础。但不管哪个研究方向，数学的缜密思维和推理能力都是必备的，这不是一朝一夕可以练就的，需要长时间的锻炼。

以上仅个人一点点体会，仅供参考。

‘玖’ 结构化程序设计原则

结构化程序设计原则主要有四个原则：

1．自顶向下：程序设计时，应先考虑总体，后考虑细节；先考虑全局目标，后考虑局部目标。不要一开始就过多追求众多的细节，先从最上层总目标开始设计，逐步使问题具体化。

2．逐步求精：对复杂问题，应设计一些子目标作为过渡，逐步细化。

3．模块化：一个复杂问题，肯定是由若干稍简单的问题构成。模块化是把程序要解决的总目标分解为子目标，再进一步分解为具体的小目标，把每一个小目标称为一个模块。

4．限制使用goto语句
结构化程序设计方法的起源来自对GOTO语句的认识和争论。肯定的结论是：在块和进程的非正常出口处往往需要用GOTO语句，使用GOTO语句会使程序执行效率较高；在合成程序目标时，GOTO语句往往是有用的，如返回语句用GOTO。

否定的结论是：GOTO语句是有害的，是造成程序混乱的祸根，程序的质量与GOTO语句的数量呈反比，应该在所有高级程序设计语言中取消GOTO语句。取消GOTO语句后，程序易于理解、易于排错、容易维护，容易进行正确性证明。作为争论的结论，1974年Knuth发表了令人信服的总结，并取消了GOTO语句。

(9)组合设计模型与算法设计扩展阅读：

结构化程序，是以模块化设计为中心，将待开发的软件系统划分为若干个相互独立的模块。

结构化程序设计由迪克斯特拉(E.W.dijkstra)在1969年提出，是以模块化设计为中心，将待开发的软件系统划分为若干个相互独立的模块，这样使完成每一个模块的工作变单纯而明确，为设计一些较大的软件打下了良好的基础。

由于模块相互独立，因此在设计其中一个模块时，不会受到其它模块的牵连，因而可将原来较为复杂的问题化简为一系列简单模块的设计。模块的独立性还为扩充已有的系统、建立新系统带来了不少的方便，因为我们可以充分利用现有的模块作积木式的扩展。