雷德算法的原理

㈠ 求高斯勒让德公式及原理！

勒让德恒等式
对于满足\varphi+\theta={1 \over 2}\pi\!的\varphi\!与\theta\!，勒让德证明了以下恒等式：
K(\sin \varphi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \varphi) - K(\sin \varphi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!

高斯-勒让德原理
\varphi=\theta={\pi\over 4}\!的值可以代入到勒让德恒等式，且K，E的近似值可通过a_0=1\!与b_0=\sin{\pi \over 4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\!的算术-几何平均数的序列项得到
高斯-勒让德算法是一种用于计算π的算法。它的收敛速度是显着的，只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过，内存密集是它的缺点，因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。
该方法基于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß，1777–1855）和法国数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）的个人成果与乘法和平方根运算的现代算法的结合。该算法反复替换两个数值的算术平均数和几何平均数，以接近它们的算术-几何平均数。

㈡ 机器语言是怎么被人类发明出来的

现在我们所说的计算机，其全称是通用电子数字计算机，“通用”是指计算机可服务于多种用途，“电子”是指计算机是一种电子设备，“数字”是指在计算机内部一切信息均用0和1的编码来表示。计算机的出现是20世纪最卓越的成就之一，计算机的广泛应用极大地促进了生产力的发展。 一、计算工具的发展简史 自古以来，人类就在不断地发明和改进计算工具，从古老的“结绳记事”，到算盘、计算尺、差分机，直到1946年第一台电子计算机诞生，计算工具经历了从简单到复杂、从低级到高级、从手动到自动的发展过程，而且还在不断发展。回顾计算工具的发展历史，从中可以得到许多有益的启示。 1. 手动式计算工具 人类最初用手指进行计算。人有两只手，十个手指头，所以，自然而然地习惯用手指记数并采用十进制记数法。用手指进行计算虽然很方便，但计算范围有限，计算结果也无法存储。于是人们用绳子、石子等作为工具来延长手指的计算能力，如中国古书中记载的“上古结绳而治”，拉丁文中“Calculus”的本意是用于计算的小石子。 最原始的人造计算工具是算筹，我国古代劳动人民最先创造和使用了这种简单的计算工具。算筹最早出现在何时，现在已经无法考证，但在春秋战国时期，算筹使用的已经非常普遍了。根据史书的记载，算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13～14cm，径粗0.2～0.3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的。算筹采用十进制记数法，有纵式和横式两种摆法，这两种摆法都可以表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，数字0用空位表示。算筹的记数方法为：个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，……，这样从右到左，纵横相间，就可以表示任意大的自然数了。 计算工具发展史上的第一次重大改革是算盘，也是我国古代劳动人民首先创造和使用的。算盘由算筹演变而来，并且和算筹并存竞争了一个时期，终于在元代后期取代了算筹。算盘轻巧灵活、携带方便，应用极为广泛，先后流传到日本、朝鲜和东南亚等国家，后来又传入西方。算盘采用十进制记数法并有一整套计算口诀，例如“三下五除二”、“七上八下”等，这是最早的体系化算法。算盘能够进行基本的算术运算，是公认的最早使用的计算工具。 1617年，英国数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发明了Napier乘除器，也称Napier算筹。Napier算筹由十根长条状的木棍组成，每根木棍的表面雕刻着一位数字的乘法表，右边第一根木棍是固定的，其余木棍可以根据计算的需要进行拼合和调换位置。Napier算筹可以用加法和一位数乘法代替多位数乘法，也可以用除数为一位数的除法和减法代替多位数除法，从而大大简化了数值计算过程。 1621年，英国数学家威廉·奥特雷德（William Oughtred）根据对数原理发明了圆形计算尺，也称对数计算尺。对数计算尺在两个圆盘的边缘标注对数刻度，然后让它们相对转动，就可以基于对数原理用加减运算来实现乘除运算。17世纪中期，对数计算尺改进为尺座和在尺座内部移动的滑尺。18世纪末，发明蒸汽机的瓦特独具匠心，在尺座上添置了一个滑标，用来存储计算的中间结果。对数计算尺不仅能进行加、减、乘、除、乘方、开方运算，甚至可以计算三角函数、指数函数和对数函数，它一直使用到袖珍电子计算器面世。即使在20世纪60年代，对数计算尺仍然是理工科大学生必须掌握的基本功，是工程师身份的一种象征。 2. 机械式计算工具 17世纪，欧洲出现了利用齿轮技术的计算工具。1642年，法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal）发明了帕斯卡加法器，这是人类历史上第一台机械式计算工具，其原理对后来的计算工具产生了持久的影响。帕斯卡加法器是由齿轮组成、以发条为动力、通过转动齿轮来实现加减运算、用连杆实现进位的计算装置。帕斯卡从加法器的成功中得出结论：人的某些思维过程与机械过程没有差别，因此可以设想用机械来模拟人的思维活动。 德国数学家莱布尼茨（G .W .Leibnitz）发现了帕斯卡一篇关于“帕斯卡加法器”的论文，激发了他强烈的发明欲望，决心把这种机器的功能扩大为乘除运算。1673年，莱布尼茨研制了一台能进行四则运算的机械式计算器，称为莱布尼兹四则运算器。这台机器在进行乘法运算时采用进位-加（shift-add）的方法，后来演化为二进制，被现代计算机采用。 莱布尼茨四则运算器在计算工具的发展史上是一个小高潮，此后的一百多年中，虽有不少类似的计算工具出现，但除了在灵活性上有所改进外，都没有突破手动机械的框架，使用齿轮、连杆组装起来的计算设备限制了它的功能、速度以及可靠性。 1804年，法国机械师约瑟夫·雅各（Joseph Jacquard）发明了可编程织布机，通过读取穿孔卡片上的编码信息来自动控制织布机的编织图案，引起法国纺织工业革命。雅各织布机虽然不是计算工具，但是它第一次使用了穿孔卡片这种输入方式。如果找不到输入信息和控制操作的机械方法，那么真正意义上的机械式计算工具是不可能出现的。直到20世纪70年代，穿孔卡片这种输入方式还在普遍使用。 19世纪初，英国数学家查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）取得了突破性进展。巴贝奇在剑桥大学求学期间，正是英国工业革命兴起之时，为了解决航海、工业生产和科学研究中的复杂计算，许多数学表（如对数表、函数表）应运而生。这些数学表虽然带来了一定的方便，但由于采用人工计算，其中的错误很多。巴贝奇决心研制新的计算工具，用机器取代人工来计算这些实用价值很高的数学表。 1822年，巴贝奇开始研制差分机，专门用于航海和天文计算，在英国政府的支持下，差分机历时10年研制成功，这是最早采用寄存器来存储数据的计算工具，体现了早期程序设计思想的萌芽，使计算工具从手动机械跃入自动机械的新时代。 1832年，巴贝奇开始进行分析机的研究。在分析机的设计中，巴贝奇采用了三个具有现代意义的装置： ⑴ 存储装置：采用齿轮式装置的寄存器保存数据，既能存储运算数据，又能存储运算结果； ⑵ 运算装置：从寄存器取出数据进行加、减、乘、除运算，并且乘法是以累次加法来实现，还能根据运算结果的状态改变计算的进程，用现代术语来说，就是条件转移； ⑶ 控制装置：使用指令自动控制操作顺序、选择所需处理的数据以及输出结果。 巴贝奇的分析机是可编程计算机的设计蓝图，实际上，我们今天使用的每一台计算机都遵循着巴贝奇的基本设计方案。但是巴贝奇先进的设计思想超越了当时的客观现实，由于当时的机械加工技术还达不到所要求的精度，使得这部以齿轮为元件、以蒸汽为动力的分析机一直到巴贝奇去世也没有完成。 3. 机电式计算机 1886年，美国统计学家赫尔曼·霍勒瑞斯（Herman Hollerith）借鉴了雅各织布机的穿孔卡原理，用穿孔卡片存储数据，采用机电技术取代了纯机械装置，制造了第一台可以自动进行加减四则运算、累计存档、制作报表的制表机，这台制表机参与了美国1890年的人口普查工作，使预计10年的统计工作仅用1年零7个月就完成了，是人类历史上第一次利用计算机进行大规模的数据处理。霍勒瑞斯于1896年创建了制表机公司TMC公司，1911年，TMC与另外两家公司合并，成立了CTR公司。1924年，CTR公司改名为国际商业机器公司（International Business Machines Corporation），这就是赫赫有名的IBM公司。 1938年，德国工程师朱斯（K.Zuse）研制出Z-1计算机，这是第一台采用二进制的计算机。在接下来的四年中，朱斯先后研制出采用继电器的计算机Z-2、Z-3、Z-4。Z-3是世界上第一台真正的通用程序控制计算机，不仅全部采用继电器，同时采用了浮点记数法、二进制运算、带存储地址的指令形式等。这些设计思想虽然在朱斯之前已经提出过，但朱斯第一次将这些设计思想具体实现。在一次空袭中，朱斯的住宅和包括Z-3在内的计算机统统被炸毁。德国战败后，朱斯流亡到瑞士一个偏僻的乡村，转向计算机软件理论的研究。 1936年，美国哈佛大学应用数学教授霍华德·艾肯（Howard Aiken）在读过巴贝奇和爱达的笔记后，发现了巴贝奇的设计，并被巴贝奇的远见卓识所震惊。艾肯提出用机电的方法，而不是纯机械的方法来实现巴贝奇的分析机。在IBM公司的资助下，1944年研制成功了机电式计算机Mark-I。Mark-I长15.5米，高2.4米，由75万个零部件组成，使用了大量的继电器作为开关元件，存储容量为72个23位十进制数，采用了穿孔纸带进行程序控制。它的计算速度很慢，执行一次加法操作需要0.3秒，并且噪声很大。尽管它的可靠性不高，仍然在哈佛大学使用了15年。Mark-I只是部分使用了继电器，1947年研制成功的计算机Mark-Ⅱ全部使用继电器。 艾肯等人制造的机电式计算机，其典型部件是普通的继电器，继电器的开关速度是1/100秒，使得机电式计算机的运算速度受到限制。20世纪30年代已经具备了制造电子计算机的技术能力，机电式计算机从一开始就注定要很快被电子计算机替代。事实上，电子计算机和机电式计算机的研制几乎是同时开始的。 4. 电子计算机 1939年，美国依阿华州大学数学物理学教授约翰·阿塔纳索夫（John Atanasoff）和他的研究生贝利（Clifford Berry）一起研制了一台称为ABC（Atanasoff Berry Computer）的电子计算机。由于经费的限制，他们只研制了一个能够求解包含30个未知数的线性代数方程组的样机。在阿塔纳索夫的设计方案中，第一次提出采用电子技术来提高计算机的运算速度。 第二次世界大战中，美国宾夕法尼亚大学物理学教授约翰"莫克利（John Mauchly）和他的研究生普雷斯帕"埃克特（Presper Eckert）受军械部的委托，为计算弹道和射击表启动了研制ENIAC（Electronic Numerical Integrator and Computer）的计划，1946年2月15日，这台标志人类计算工具历史性变革的巨型机器宣告竣工。ENIAC是一个庞然大物，共使用了18 000多个电子管、1 500多个继电器、10 000多个电容和7 000多个电阻，占地167平方公尺，重达30吨。ENIAC的最大特点就是采用电子器件代替机械齿轮或电动机械来执行算术运算、逻辑运算和存储信息，因此，同以往的计算机相比，ENIAC最突出的优点就是高速度。ENIAC每秒能完成5 000次加法，300多次乘法，比当时最快的计算工具快1 000多倍。ENIAC是世界上第一台能真正运转的大型电子计算机，ENIAC的出现标志着电子计算机（以下称计算机）时代的到来。 虽然ENIAC显示了电子元件在进行初等运算速度上的优越性，但没有最大限度地实现电子技术所提供的巨大潜力。ENIAC的主要缺点是：第一，存储容量小，至多存储20个10位的十进制数；第二，程序是“外插型”的，为了进行几分钟的计算，接通各种开关和线路的准备工作就要用几个小时。新生的电子计算机需要人们用千百年来制造计算工具的经验和智慧赋予更合理的结构，从而获得更强的生命力。 1945年6月，普林斯顿大学数学教授冯"诺依曼（Von Neumann）发表了EDVAC（Electronic Discrete Variable Computer，离散变量自动电子计算机）方案，确立了现代计算机的基本结构，提出计算机应具有五个基本组成成分：运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备，描述了这五大部分的功能和相互关系，并提出“采用二进制”和“存储程序”这两个重要的基本思想。迄今为止，大部分计算机仍基本上遵循冯"诺依曼结构。 需要强调的是，EDVAC方案是集体智慧的结晶，冯"诺依曼的伟大功绩在于他运用雄厚的数理知识和非凡的分析、综合能力，在EDVAC的总体配置和逻辑设计中起到了关键的作用。可以说，现代计算机的发明决不是仅凭杰出科学家的个人努力就能完成的事业，研制电子计算机不仅需要巨大的资金，而且需要数学家、逻辑学家、电子工程师以及组织管理人员的密切合作，需要团队的共同努力。

㈢ 密码学AES算法解题

AES(Advanced Encryption Standard)：高级加密标准，是下一代的加密算法标准，速度快，安全级别高。 用AES加密2000年10月，NIST（美国国家标准和技术协会）宣布通过从15种候选算法中选出的一项新的密匙加密标准。Rijndael被选中成为将来的AES。Rijndael是在1999年下半年，由研究员Joan Daemen 和 Vincent Rijmen 创建的。AES正日益成为加密各种形式的电子数据的实际标准。 美国标准与技术研究院（NIST）于2002年5月26日制定了新的高级加密标准（AES）规范。 算法原理 AES算法基于排列和置换运算。排列是对数据重新进行安排，置换是将一个数据单元替换为另一个。AES使用几种不同的方法来执行排列和置换运算。AES是一个迭代的、对称密钥分组的密码，它可以使用128、192和256位密钥，并且用128位（16字节）分组加密和解密数据。与公共密钥加密使用密钥对不同，对称密钥密码使用相同的密钥加密和解密数据。通过分组密码返回的加密数据的位数与输入数据相同。迭代加密使用一个循环结构，在该循环中重复置换和替换输入数据。密码学简介据记载，公元前400年，古希腊人发明了置换密码。1881年世界上的第一个电话保密专利出现。在第二次世界大战期间，德国军方启用“恩尼格玛”密码机，密码学在战争中起着非常重要的作用。 随着信息化和数字化社会的发展，人们对信息安全和保密的重要性认识不断提高，于是在1997年，美国国家保准局公布实施了“美国数据加密标准（DES）”，民间力量开始全面介入密码学的研究和应用中，采用的加密算法有DES、RSA、SHA等。随着对加密强度的不断提高，近期又出现了AES、ECC等。 使用密码学可以达到以下目的：保密性：防止用户的标识或数据被读取。数据完整性：防止数据被更改。身份验证：确保数据发自特定的一方。

㈣ 从1 到100用简便方法怎么算

解：1+2+3+……+100
=（1+100）×100÷2
=5050
【解析】本题运用到高斯求和公式。
文字表述：和=(首项 + 末项）x项数 /2
数学表达：1+2+3+4+……+ n = n (n+1) /2
【小故事】德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝„＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。
高斯使用的这种求和方法简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

㈤ java扫雷递归算法

在扫雷游戏中，如何实现使Field处于打开状态。如果它是地雷，打开所有Field；如果它不是地雷，并且它四周也没有地雷，将其四周Field也打开。

//雷的数目如果是0，可以打开当前Field四周的Field
if (getField(x, y).getMineValue() == 0) {
List<Field> arroundList = getAround(x, y);
for (Field field : arroundList) {
//递归调用open方法，
open(field.getX(), field.getY());
}
}
Open方法指的就是你指定的打开方法，这里通过0或者数字1来定义是否为雷，如果是1则是
雷。希望能提示到你。主要就是使用到啦增强型for循环

㈥ VoIP的基本原理

VoIP的基本原理是通过语音的压缩算法对语音数据编码进行压缩处理，然后把这些语音数据按 TCP/IP 标准进行打包，经过 IP 网络把数据包送至接收地，再把这些语音数据包串起来，经过解压处理后，恢复成原来的语音信号，从而达到由互联网传送语音的目的。 IP 电话的核心与关键设备是 IP 网关，它把各地区电话区号映射为相应的地区网关 IP 地址。这些信息存放在一个数据库中，数据接续处理软件将完成呼叫处理、数字语音打包、路由管理等功能。 在用户拨打长途电话时，网关根据电话区号数据库资料，确定相应网关的 IP 地址，并将此 IP 地址加入 IP 数据包中，同时选择最佳路由，以减少传输延时， IP 数据包经 Internet 到达目的地的网关。在一些 Internet 尚未延伸到或暂时未设立网关的地区，可设置路由，由最近的网关通过长途电话网转接，实现通信业务。

VoIP是一种以IP电话为主，并推出相应的增值业务的技术。

VoIP主要有以下三种方式：
网络电话：完全基于Internet传输实现的语音通话方式，一般是PC和PC之间进行通话[1] 。
与公众电话网互联的IP电话：通过宽带或专用的IP网络，实现语音传输。终端可以是PC或者专用的IP话机[1] 。
传统电信运营商的VoIP业务：通过电信运营商的骨干IP网络传输语音。提供的业务仍然是传统的电话业务，使用传统的话机终端。通过使用IP电话卡，或者在拨打的电话号码之前加上IP拨号前缀，这就使用了电信运营商提供的VoIP业务[1] 。
VoIP相对比较便宜。这是因为VoIP电话不过是互联网上的一种应用。从本质上说，VoIP电话与电子邮件，即时讯息或者网页没有什么不同，它们均能在经过了互联网连接的机器间进行传输。这些机器可以是电脑，或者无线设备，比如手机或者掌上设备等等。

㈦ 哪位高手知道雷德（Rader）算法的啊

工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑 工业与民用建筑

㈧ DOAS算法

DOAS技术简介:

微分吸收光谱技术（）是上世纪70年代末由德国的U.Platt教授和Perner教授首先提出的，它是基于气体分子对光辐射的选择性吸收的光谱分析技术，通过分析大气中气体分子对光源发射光谱的微分吸收光谱，不但可以区分各种不同大气物质的吸收结构，而且可以分离出由于分子和气凝胶散射等引起的消光，从而确定大气中存在的污染物的种类和浓度。

DOAS技术自提出以后到上世纪末主要是用在大气科研方面，已被各国的科研工作者用来对对流层和平流层中的大气痕量气体，如二氧化硫，二氧化氮，臭氧，甲醛，苯，甲苯，亚硝酸等的浓度分布和变化进行研究。由于该DOAS技术在监测大气环境污染物方面的适用性，目前已被国内外的一些城市用在城市空气质量的日常监测和连续排放污染物监测工作中。如瑞典西南部的工业重地哥德堡市装备的OPSIS大气监测仪用于监测哥德堡市中心的大气质量状况、德国南部着名的旅游胜地海德堡市也装备了DOAS仪器用于监测海德堡市交通污染状况，其监测距离为1000米，此外在美国等许多城市也装备了使用该技术的一些仪器。

DOAS技术目前已被美国、德国、英国、法国、欧共体研究中心和俄罗斯等世界广泛的权威机构认可。国家环保总局已认可了该项技术，国家环境检测站同时制定了与DOAS技术相关的测量标准

DOAS微分光学大气分析仪技术特点:

我国环境空气质量自动监测系统基本上为购买国外设备，现有系统往往良莠不齐，引进设备不少与我国具体实际结合不够，尤其在系统结构、数据采集、远程控制与诊断方面与实际相差较远。DOAS技术在这些方面具有很大的优势。而目前世界上能够生产出商用DOAS系统的只有瑞典的OPSIS、美国的TE和法国的SANOA等少数几家公司，它们的价格一般都很昂贵，而且在日常的维护和设备更新方面都存在诸多不便。

我们开发的DOAS微分光学大气分析仪主要由氙灯光源、发射接收望远镜、角反射器、光纤传感器、光谱仪、PDA探测头、控制器和计算机等组成。下图为长光程DOAS微分光学大气分析仪的原理图。氙弧灯首先被校准为平行光束，通过大气后照射到石英晶体角反射器上阵列上，反射回的光进入望远镜系统，再被双牛顿望远镜的中心部分接收，然后聚焦到多模石英光纤上，光纤的另一端作为光栅分光计的入口

光谱被光电二极管阵列PDA记录后存储在计算机里。望远系统、氙弧灯、光纤入端被固定在望远系统内。PDA探测头采用1024位自扫描光电二极管阵列SSPA（SelfScannedPhotodiodeArray）作为光电转换元件，由于自扫描光电二极管阵列具有速度快、分辨率高、动态范围大、光谱响应范围宽、抗辐射性强、使用方便等特点，从而提高了系统的稳定性和重复性；同时从结构设计上采用了高集成度、发射、接收一体化的光学系统和便于用户操作、友好界面的软件设计，使仪器操作变得非常简单、维护方便，仪器具有很高的性价比。

与传统的点测式仪器相比，DOAS微分光学大气分析仪具有很多优点：

▲精度高，测量浓度下限低。通过长光程（可从100数百米到2000米）进行大气污染物浓度测量，避免区域气象条件不同所带来的影响。可以监测环境恶劣、不宜取样的地区

▲可同时对多种大气污染成分进行测量，NO2、O3、SO2、HCHO、HNO2，同时可根据用户要求选择需要测量的气体，无需对硬件进行改动，即可扩展可测气体的种类，仪器的性能价格比高

▲可连续、实时在线测量，一台仪器可测试多条光路

▲操作简单，维护方便，可以全自动操作，运行成本低

▲无需气体采样、无需复杂的测定校正

▲与气象数据仪器结合使用，可以估计排放源的排放量

▲多台光谱仪便于组成监测网络

DOAS微分光学大气分析仪可为监测大气环境提供一个科学有效的方法，为城市环境质量评价，环境空气质量预测，制定环境发展战略提供科学依据

这是一张分析仪画面的图片

㈨ 有哪些算法，是中国人自己创造的

1、“吴法”：吴法是由吴文俊院士所创，主要解决非线性方程组的解析求解，非线性方程组的数值求解可视为某种“梯度下降法”的变形，但是解析求解却难以找到统一的算法，“吴法”就是解决这一问题的统一的方法之一，它也可能是求解非线性方程组的唯一的统一的方法，这种方法对于平面几何、立体几何的证明尤为有效，核心是将几何问题先变为多项式代数表示，然后整序，逐步消元，得到一个方程式，这个代数方程式等价于要证明的几何问题的结论。吴院士的算法将这个过程标准化、统一化，这样就能通过计算机自动实现。这就是吴法的意义。

2、辛几何算法：辛几何算法由冯康院士所创，主要解决非线性方程的数值求解问题，对于非线性方程，一般用差分方法，当然还有其他的方法，冯院士构造了一种新的差分格式，即所谓的辛格式，这种格式在迭代过程中保辛，大约可以理解成“保面积”、“保功”，特别是时间增量较大时，计算时精度损失较小。构造辛格式是问题的难点，关键是要找到问题的一对对偶变量，后来钟万勰院士将这种算法推广到结构力学、结构动力学、控制理论等方面问题的求解。如上方法的基础都是自然界的哈密顿原理、勒降德原理的具体体现。

㈩ 计算工具的来历

计算工具［Calculating Devices］是计算时所用的器具或辅助计算的实物。

人们从数学产生之日，便不断寻求能方便进行和加速计算的工具。因此，计算和计算工具是息息相关的。

中国古代的数学是一种计算数学，当时的人创造了许多独特的计算工具及与工具有关的计算方法，早在公元前5世纪，中国人已开始用算筹作为计算工具，并在公元前3世纪得到普遍的采用，一直沿用了二千年。后来，人们发明了算盘，并在15世纪得到普遍采用，取代了算筹。它是在算筹基础上发明的，比算筹更加方便实用，同时还把算法口诀化，从而加快了计算速度。后来更发现算盘对人类有较强的数学教育功能，因此源用至今，并流传到海外，成为一种国际性的计算工具。

除中国外，其它中古的国家亦有各式各样的计算工具发明，例如罗马人的“算盘”，古希腊人的“算板”，印度人的“沙盘”，及英国人的“刻齿本片”等。这些计算工具的原理基本上是相同的，同样是透过某种具体的物体来代表数，并利用对物件的机械操作来进行运算。

近代的科学发展促进了计算工具的发展：

比例规：伽利略发明了“比例规”，它的外形像圆规，两脚上各有刻度，可任意开合，是利用比例的原理进行乘除比例等计算的工具。
纳皮尔筹：15世纪后，“格子算法”通行于中亚细亚及欧洲，纳皮尔筹便是根据了“格子算法”的原理，但与格子算法不同的是它把格子和数字刻在“筹”［长条竹片或木片］上，这便可根据需要拼凑起来计算。
计算尺：在1614年，对数被发明以后，乘除运算可以化为加减运算，对数计算尺便是依据这一特点来设计。1620年，E‧冈特最先利用对数计算尺来计算乘除。1632年，奥特雷德发明了有滑尺的计算尺，并制成了圆形计算尺。1652年，R‧比萨克制成了有固定尺身和滑尺的计算尺。1850年，V‧曼南在计算尺上装上游标，因此而受到当时科学工作者，特别是工程技术人员所广泛采用。
机械计算机：机械式计算机是与计算尺同时出现的，是计算工具上的一大发明。席卡德［1623］是最早构思出机械式计算机，他在给天文学家J‧开普勒的信［1623，1624］上描述了他发明的四则计算机，但并没有成功制成。而能成功创制第一部能计算加减法的计算机是B‧帕斯卡［1642］，在1671年，G‧W‧莱布尼茨发明了一种能作四则运算的手摇计算机，是长1米的大盒子。自此以后，经过人们在这方面多年的研究，特别是经过L‧H‧托马斯，W‧奥德内尔等人的改良后，出现了多种多样的手摇计算机，并风行全世界。于17世纪末，这种计算机传入了中国，并由中国人制造了12位数的手摇计算机，独创出一种算筹式手摇计算机。
电子计算机：一种能依照一定的“程序”自动控制的计算机。19世纪初，法国的J‧M‧雅卡尔发明了用穿孔卡片来控制的纺织机，1822年，英国的C‧巴贝奇便根据同一原理制成了一部能执行计算程序的差分机，并于1834年，设计了一部完全程序控制的分析机，可惜碍于当时的机械技术所限制而没有制成，但已包含了现代计算的基本思想和主要的组成部分了。
此后，由于电力技术有了很大的发展，电动式计算机便慢慢取代以人工为动力的计算机。在1880年，美国的H‧霍勒里斯与J‧S‧比林斯发明了电动穿孔卡片式计算机，能机械化地处理数据。后来他们更开创了第一家制造电子计算机的公司——国际商业机器公司［简称IBM］。
20世纪以来，电子技术与数学得到充分的发展，电子技术的改进，为计算机提供了物质上的基础，而数学的发展对设计及研制新型的计算机有很大的帮助。

1941年，德国的楚泽采用了继电器，制成了第一部通用程序控制计算机，实现了100多年前巴贝奇的理想。1944年，美国的艾肯亦以同一方法制成了一台程序控制自动数字计算机。

20世纪初，电子管的出现，使计算机的改革有了新的发展，并由于二次大战的迫切的军事需要，美国宾夕法尼亚大学和有关单位在1946年制成了第一台电子计算机——“电子数字积分仪与计算机”［ENIAC］，由J‧W莫利和J‧P‧埃克特等主要设计，而J‧冯‧诺伊曼亦曾参与改进工作。ENIAC使用了18000个电子管，占地170平方米，功率150千瓦。

在ENIAC产生之前，英国的A‧M图灵已提出了“理想计算机”的理论，并探讨了制造通用数字计算机的可能性。1943年实际上制造出破译密码的计算机，但由于军事保密，外人未知其详。

电子计算机［又称电脑］在40多年得到高速的发展，其使用的元件亦已经历了四代的变化。包括第一代的电子管、第二代的晶体管、第三代的集成电路、及第四代的大规模集成电路。

1983年底，中国制造了亿次“银河”计算机，这标志着中国已进入研制巨型机的行列。

现在，电子计算机的功能已不止是一种计算工具，它已渗入了人类的活动领域，并改变着整个社会的面貌，使人类社会迈入一个新的阶段。