压缩感知sp算法

Ⅰ 压缩感知的基本知识

现代信号处理的一个关键基础是 Shannon 采样理论：一个信号可以无失真重建所要求的离散样本数由其带宽决定。但是Shannon 采样定理是一个信号重建的充分非必要条件。在过去的几年内，压缩感知作为一个新的采样理论，它可以在远小于Nyquist 采样率的条件下获取信号的离散样本，保证信号的无失真重建。压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。
压缩感知理论的核心思想主要包括两点。第一个是信号的稀疏结构。传统的Shannon 信号表示方法只开发利用了最少的被采样信号的先验信息，即信号的带宽。但是，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点。相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定。换句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示。所以，在这种意义上，这种信号是稀疏信号（或者近似稀疏信号、可压缩信号）。另外一点是不相关特性。稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。理论证明压缩感知的采样方法只是一个简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作。这些波形要求是与信号所在的稀疏空间不相关的。
压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。

Ⅱ 什么是“压缩感知”

压缩感知， 也成为压缩采样。英文为Compressed Sampling 或者是 Compressive Sening。于2006年被提出，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
经典的采样定理为香农/乃奎斯特采样，即要保证信号的完全恢复，至少要有2倍的信号频率采样。但是这种采样当中，其实信息是冗余的。压缩感知告诉我们，如果知道信号是稀疏的，那么可以用远低于乃奎斯特采样率，一样可以很好的恢复信号。
压缩感知的核心：信号是稀疏的（即其中有K个为非零元素，其他的元素都为0），采样矩阵和稀疏基是不相关的。
相关内容较多，网络知道里面一下介绍不清楚。
如果有兴趣可以参考 http://dsp.rice.e/cs 。这里前17篇是压缩感知的综述，看完后就对概念、模型、求解算法、应用有个整体的了解。网页中间的那么多文献是针对压缩感知理论在各个领域的运用。在最后的部分，是网上现有的针对该问题的求解工具箱，大多数是基于Matlab的。只要分析后自己的模型，可以套用工具箱求解，非常方便。

Ⅲ 压缩感知过时了吗

没有过时，依然是主流畅谈的话题，使用度依旧广泛。

压缩感知的核心点在于，其不遵从奈奎斯特采样定理。而这原因在于，压缩感知的采样是随机的，不等间距的，故不用管奈奎斯特。不过压缩感知也是有要求的，它需要保证信号是稀疏的。

一旦信号不稀疏，进行违背奈奎斯特的随机非等间距采样时，频域上的交叠会导致难以恢复原始信号。在压缩感知过程中，如果将采样频率降低，使得其很小，那么采样的时域间隔就会相对很大，加上一定方式的随机采样，此时采样得到的数据量就会很小，从而实现了一种压缩。

压缩感知与传统的采样+压缩的模式不同的是，它首先不遵从奈奎斯特采样定理，其次，它并没有分为采样和压缩，应该说，压缩感知的采样就是压缩。采样之后将采样的数据直接传输，之后在接收端便可以通过适当的重构算法进行重构。

Ⅳ 什么是“压缩感知”（压缩传感、compressed/compressive sensing）

压缩感知（Compressive Sensing, or Compressed Sampling，简称CS），是近几年流行起来的一个介于数学和信息科学的新方向，由Candes、Terres Tao等人提出，挑战传统的采样编码技术，即Nyquist采样定理。
压缩感知技术-理论
压缩感知理论为信号采集技术带来了革命性的突破，它采用非自适应线性投影来保持信号的原始结构，以远低于奈奎斯特频率对信号进行采样，通过数值最优化问题准确重构出原始信号。
压缩感知技术-概念特征
压缩感知从字面上看起来，好像是数据压缩的意思，而实则出于完全不同的考虑。经典的数据压缩技术，无论是音频压缩（例如 mp3），图像压缩（例如 jpeg），视频压缩（mpeg），还是一般的编码压缩（zip），都是从数据本身的特性出发，寻找并剔除数据中隐含的冗余度，从而达到压缩的目的。这样的压缩有两个特点：第一、它是发生在数据已经被完整采集到之后；第二、它本身需要复杂的算法来完成。相较而言，解码过程反而一般来说在计算上比较简单，以音频压缩为例，压制一个 mp3 文件的计算量远大于播放（即解压缩）一个 mp3 文件的计算量。 稍加思量就会发现，这种压缩和解压缩的不对称性正好同人们的需求是相反的。在大多数情况下，采集并处理数据的设备，往往是廉价、省电、计算能力较低的便携设备，例如傻瓜相机、或者录音笔、或者遥控监视器等等。而负责处理（即解压缩）信息的过程却反而往往在大型计算机上进行，它有更高的计算能力，也常常没有便携和省电的要求。也就是说，人们是在用廉价节能的设备来处理复杂的计算任务，而用大型高效的设备处理相对简单的计算任务。这一矛盾在某些情况下甚至会更为尖锐，例如在野外作业或者军事作业的场合，采集数据的设备往往曝露在自然环境之中，随时可能失去能源供给或者甚至部分丧失性能，在这种情况下，传统的数据采集-压缩-传输-解压缩的模式就基本上失效了。 压缩感知的概念就是为了解决这样的矛盾而产生的。既然采集数据之后反正要压缩掉其中的冗余度，而这个压缩过程又相对来说比较困难，那么我们为什么不直接“采集”压缩后的数据？这样采集的任务要轻得多，而且还省去了压缩的麻烦。这就是所谓的“压缩感知”，也就是说，直接感知压缩了的信息。
压缩感知技术-应用影响
在大量的实际问题中，人们倾向于尽量少地采集数据，或者由于客观条件所限不得不采集不完整的数据。如果这些数据和人们所希望重建的信息之间有某种全局性的变换关系，并且人们预先知道那些信息满足某种稀疏性条件，就总可以试着用类似的方式从比较少的数据中还原出比较多的信号来。到今天为止，这样的研究已经拓展地非常广泛了。 但是同样需要说明的是，这样的做法在不同的应用领域里并不总能满足上面所描述的两个条件。有的时候，第一个条件（也就是说测量到的数据包含信号的全局信息）无法得到满足，例如最传统的摄影问题，每个感光元件所感知到的都只是一小块图像而不是什么全局信息，这是由照相机的物理性质决定的。为了解决这个问题，美国Rice大学的一部分科学家正在试图开发一种新的摄影装置（被称为“单像素照相机”），争取用尽量少的感光元件实现尽量高分辨率的摄影。有的时候，第二个条件（也就是说有数学方法保证能够从不完整的数据中还原出信号）无法得到满足。这种时候，实践就走在了理论前面。人们已经可以在算法上实现很多数据重建的过程，但是相应的理论分析却成为了留在数学家面前的课题。 但是无论如何，压缩感知所代表的基本思路：从尽量少的数据中提取尽量多的信息，毫无疑问是一种有着极大理论和应用前景的想法。它是传统信息论的一个延伸，但是又超越了传统的压缩理论，成为了一门崭新的子分支。它从诞生之日起到现在不过五年时间，其影响却已经席卷了大半个应用科学。
复制的。。。。。

Ⅳ 请问研究压缩感知需要学哪些相关知识比如，数字信号处理数字图像处理请明白人指点迷津！谢谢啦！

我个人觉得，数字信号处理和数字图像处理是针对具体的应用领域做基础知识学习。而你说的压缩感知是一种高于具体应用领域的智能算法，压缩感知可以用于数字信号方面，同样也可以应用与数字图像处理。确切的说数字信号处理包含了数字图像处理，只是数字图像处理后来发展了跟多深入的知识，所以又把其独立成一门课程。比如Mallat的《信号处理的小波导引:稀疏方法(原书第3版)》这本书上的内容，就大部分说的应用时数字图像。
总之，数字信号处理、数字图像处理肯定是要学的，否则你学了压缩感知也不知道用在什么领域，要具体学习压缩感知方面的知识，再去看看IEEE里的一些论文还有一些博士论文。

Ⅵ 奈奎斯特采样定理与压缩感知

姓名：苏彦恺

学号：14020150008

【嵌牛导读】：传统的奈奎斯特采样定律随着数字信号处理技术的发展，其缺陷以及应用上的不便日渐凸显，压缩感知技术应运而生。本文依据《数字信号处理》课程所学，对奈奎斯特采样定理进行了原理以及上的概述，同时在本文的后半部分，对压缩感知这一新式的信号处理技术进行了简单介绍。在本文的末尾，依据奈奎斯特采样定理与压缩感知原理上的异同进行了优缺点的分析，同时对压缩感知的发展进行了展望。

【嵌牛鼻子】：数字信号处理；奈奎斯特采样定理；压缩感知；稀疏矩阵

【嵌牛提问】：什么是压缩感知？与传统的奈奎斯特采样定理相比，压缩感知有什么样的特点和优势？

【嵌牛正文】：

奈奎斯特采样定理部分

一、概述

在数字信号处理领域中，采样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁。该定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。 它为采样率建立了一个足够的条件，该采样率允许离散采样序列从有限带宽的连续时间信号中捕获所有信息

二、基本原理 :

在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍；采样定理又称奈奎斯特定理。

要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。

当用采样频率F对一个信号进行采样时,信号中F/2以上的频率不是消失了,而是对称的映象到了F/2以下的频带中,并且和F/2以下的原有频率成分叠加起来,这个现象叫做“混叠”(aliasing).

消除混叠的方法有两种:

1.提高采样频率F,即缩小采样时间间隔.然而实际的信号处理系统不可能达到很大的采样频率,处理不了很多的数据.另外,许多信号本身可能含有全频带的频率成分,不可能将采样频率提高到无穷大.所以,通过采样频率避免混叠是有限制的.

2.采用抗混叠滤波器.在采用频率F一定的前提下,通过低通滤波器滤掉高于F/2的频率成分,通过低通滤波器的信号则可避免出现频率混叠.

公式：C = B * log2 N ( bps )

三、应用

采样定理通常针对单个变量的函数进行公式化。因此，定理可直接适用于时间相关的信号，并且通常在该上下文中公式化。然而，采样定理可以以直接的方式扩展到任意多个变量的函数。

灰度图像通常表示为代表位于行和列采样位置的交叉处的像素（图像元素）的相对强度的实数的二维阵列（或矩阵）。因此，图像需要两个独立变量或索引，以指定每个像素唯一一个用于行，一个用于列。

彩色图像通常由三个单独的灰度图像的组合构成，一个代表三原色（红色，绿色和蓝色）或简称RGB中的每一个。对于颜色使用3向量的其他颜色空间包括HSV，CIELAB，XYZ等。诸如青色，品红色，黄色和黑色（CMYK）的一些颜色空间可以通过四维表示颜色。所有这些都被处理为二维采样域上的向量值函数。

类似于一维离散时间信号，如果采样分辨率或像素密度不足，图像也可能遭受混叠。例如，具有高频率（换句话说，条纹之间的距离小）的条纹衬衫的数码照片可以在衬衫被照相机的图像传感器采样时导致衬衫的混淆。对于这种情况，在空间域中采样的“解决方案”将是更靠近衬衫，使用更高分辨率的传感器，或者在用传感器采集图像之前对图像进行光学处理

压缩感知部分

一、概述

压缩感知（Compressed sensing），也被称为压缩采样（Compressivesampling）或稀疏采样（Sparse sampling），是一种寻找欠定线性系统的稀疏解的技术。压缩感知被应用于电子工程尤其是信号处理中，用于获取和重构稀疏或可压缩的信号。这个方法利用讯号稀疏的特性，相较于奈奎斯特理论，得以从较少的测量值还原出原来整个欲得知的讯号。MRI就是一个可能使用此方法的应用。这一方法至少已经存在了四十年，由于David Donoho、Emmanuel Candès和陶哲轩的工作，最近这个领域有了长足的发展。近几年，为了因应即将来临的第五代移动通信系统，压缩感知技术也被大量应用在无线通讯系统之中，获得了大量的关注以及研究。

二、基本原理

为了更好的说明压缩感知的基本原理，在这里引入奈奎斯特采样进行比较说明。

如图2.1所示， 图b、d为三个余弦函数信号叠加构成的信号，在频谱图（图a）中只有个峰值。 如果对其进行8倍于全采样的等间距亚采样（图b下方的红点），则频域信号周期延拓后，就会发生混叠（图c），无法从结果中复原出原信号。

而如果采用随机亚采样（图2.2b上方的红点），那么这时候频域就不再是以固定周期进行延拓了，而是会产生大量不相关的干扰值。如图2.2c，最大的几个峰值还依稀可见，只是一定程度上被干扰值覆盖。这些干扰值看上去非常像随机噪声，但实际上是由于三个原始信号的非零值发生能量泄露导致的（不同颜色的干扰值表示它们分别是由于对应颜色的原始信号的非零值泄露导致的）。得到如图2.2d的频谱图后，再采用匹配追踪的算法，就可以对信号进行恢复。以上就是压缩感知理论的核心思想——以比奈奎斯特采样频率要求的采样密度更稀疏的密度对信号进行随机亚采样，由于频谱是均匀泄露的，而不是整体延拓的，因此可以通过特别的追踪方法将原信号恢复。

三、应用

1、全息成像

全息成像是一种记录被摄物体反射（或透射）光波中全部信息（振幅、相位）的照相技术，而物体反射或者投射的光线可以通过记录胶片完全重建，通过不同方位和角度观察照片，可以看到被拍摄的物体的不同的角度，因此记录得到的想可以使人产生立体视觉。然而全息图记录的立体信息非常庞大，在满足传统的香农采样定理进行采样时很难达到的带宽及存储和传输这些信息成为限制全息术发展的难题。

压缩感知技术为传统的信息采样传输带来了革命性的突破，为信号的计算和传输节省了很大资源。利用压缩感知可以去掉大量没有实际意义的信息采样，通过远低于传统采样样本点就可以重构出原始信号，解决了全息术在数据存储和传输方面的限制。

2、核磁共振成像

核磁共振成像作为一种极其重要的医学成像技术，具有对病灶诊断精确、对人体安全性高等优点，但是较长的数据采集时间成为其广泛应用的瓶颈。因此，在保证成像质量的前提下，探索一种新的快速成像方法迫在眉睫。压缩感知作为一种全新的信号采样理论，针对稀疏信号或可压缩信号，可以在采样数量远少于传统采样方式的情况下精确地恢复出原始信号，这就为核磁共振图像的快速获取提供了一种新的思路。

四、奈奎斯特和压缩感知的对比

从采样的角度来看，压缩感知和基于奈奎斯特采样定理的传统信号采集是两种不同形式的信号采集方式。（压缩感知打破了传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制）

1.采样率：在压缩感知理论下，信号的采样率不再取决于信号的带宽，而是取决于信息在信号中的结构与内容（稀疏性）。关于采样率的计算方式，压缩感知是从少量离散测量数据恢复离散数字信号，其计算方式为采样率=测量值的大小/恢复信号的大小；而传统信号采集是从离散采样数据中恢复模拟信号。

2.信号采集方式：传统采样理论是通过均匀采样获取数据；压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积来获得观测数据。

3.恢复信号形式：传统采样定理关注的对象是无限长的连续信号；压缩感知是有限维观测向量空间的向量即离散信号。

4.恢复信号方式：传统采样恢复是在奈奎斯特采样定理的基础上，通过采样数据的sinc函数线性内插获得，而压缩感知采用的是利用信号的稀疏性，从线性观测数据中通过求解一个非线性的优化问题来恢复信号的方法。

5.压缩感知的核心思想：压缩和采样合并进行，并且测量值远小于传统采样方法的数据量，突破香农采样定理的瓶颈，使高分辨率的信号采集成为可能。

总结

奈奎斯特采样定理一直是信号处理领域的金科玉律，但其性能仍没法满足诸如全息成像、核磁共振等产生庞大数据的技术的信息恢复。然而在数字信号处理领域进入二十一世纪以后，压缩感知技术带来了颠覆性的改变，以比奈奎斯特采样频率要求的采样密度更稀疏的密度对信号进行随机亚采样，通过特别的追踪方法将原信号恢复，使得用于恢复信号的数据量远少于传统采样所需要的数据量。压缩感知理论的诞生已经对计算科学、信号处理、电子信息等领域产生重大的影响，其理论具有广阔的应用前景，但仍然不够完善，希望在今后的研究中能弥补压缩感知现有的不足，展现其强大的生命力，为更多难题提供新的解决方法。

Ⅶ 压缩感知的历史背景

尽管压缩感知是由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和D. L. Donoho 等科学家于2004 年提出的。但是早在上个世纪，相关领域已经有相当的理论和应用铺垫，包括图像处理、地球物理、医学成像、计算机科学、信号处理、应用数学等。
可能第一个与稀疏信号恢复有关的算法由法国数学家Prony 提出。这个被称为的Prony 方法的稀疏信号恢复方法可以通过解一个特征值问题，从一小部分等间隔采样的样本中估计一个稀疏三角多项式的非零幅度和对应的频率。而最早采用基于L1范数最小化的稀疏约束的人是B. Logan。他发现在数据足够稀疏的情况下，通过L1范数最小化可以从欠采样样本中有效的恢复频率稀疏信号。D. Donoho和B.Logan 是信号处理领域采用L1范数最小化稀疏约束的先驱。但是地球物理学家早在20 世纪七八十年代就开始利用L1范数最小化来分析地震反射信号了。上世纪90 年代，核磁共振谱处理方面提出采用稀疏重建方法从欠采样非等间隔样本中恢复稀疏Fourier 谱。同一时期，图像处理方面也开始引入稀疏信号处理方法进行图像处理。在统计学方面，使用L1范数的模型选择问题和相关的方法也在同期开始展开。
压缩感知理论在上述理论的基础上，创造性的将L1范数最小化稀疏约束与随机矩阵结合，得到一个稀疏信号重建性能的最佳结果。
压缩感知基于信号的可压缩性, 通过低维空间、低分辨率、欠Nyquist采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知，丰富了关于信号恢复的优化策略,极大的促进了数学理论和工程应用的结合 。它是传统信息论的一个延伸，但是又超越了传统的压缩理论，成为了一门崭新的子分支。它从诞生之日起到现在不过五年时间，其影响却已经席卷了大半个应用科学。

Ⅷ 压缩感知的主要应用

认知无线电方向：宽带谱感知技术是认识无线电应用中一个难点和重点。它通过快速寻找监测频段中没有利用的无线频谱，从而为认知无线电用户提供频谱接入机会。传统的滤波器组的宽带检测需要大量的射频前端器件，并且不能灵活调整系统参数。普通的宽带接收电路要求很高的采样率，它给模数转换器带来挑战，并且获得的大量数据处理给数字信号处理器带来负担。针对宽带谱感知的难题，将压缩感知方法应用到宽带谱感知中：采用一个宽带数字电路，以较低的频谱获得欠采样的随机样本，然后在数字信号处理器中采用稀疏信号估计算法得到宽带谱感知结果。
信道编码：压缩传感理论中关于稀疏性、随机性和凸最优化的结论可以直接应用于设计快速误差校正编码, 这种编码方式在实时传输过程中不受误差的影响。在压缩编码过程中, 稀疏表示所需的基对于编码器可能是未知的. 然而在压缩传感编码过程中, 它只在译码和重构原信号时需要, 因此不需考虑它的结构, 所以可以用通用的编码策略进行编码. Haupt等通过实验表明如果图像是高度可压缩的或者SNR充分大, 即使测量过程存在噪声, 压缩传感方法仍可以准确重构图像。 波达方向估计：目标出现的角度在整个扫描空间来看，是极少数。波达方向估计问题在空间谱估计观点来看是一个欠定的线性逆问题。通过对角度个数的稀疏限制，可以完成压缩感知的波达方向估计。
波束形成：传统的 自适应波束形成因其高分辨率和抗干扰能力强等优点而被广泛采用。但同时它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高问题将大大降低接收性能。为了改进Capon 波束形成的性能，这些通过稀疏波束图整形的方法限制波束图中阵列增益较大的元素个数，同时鼓励较大的阵列增益集中在波束主瓣中，从而达到降低旁瓣水平同时，提高主瓣中阵列增益水平，降低角度失匹配的影响。例如，最大主瓣旁瓣能量比，混合范数法，最小全变差。 运用压缩传感原理, RICE大学成功研制了单像素压缩数码照相机。 设计原理首先是通过光路系统将成像目标投影到一个数字微镜器件(DMD)上, 其反射光由透镜聚焦到单个光敏二极管上, 光敏二极管两端的电压值即为一个测量值y, 将此投影操作重复M次, 得到测量向量 , 然后用最小全变分算法构建的数字信号处理器重构原始图像。数字微镜器件由数字电压信号控制微镜片的机械运动以实现对入射光线的调整。 由于该相机直接获取的是M次随机线性测量值而不是获取原始信号的N(M，N)个像素值, 为低像素相机拍摄高质量图像提供了可能.。
压缩传感技术也可以应用于雷达成像领域, 与传统雷达成像技术相比压缩传感雷达成像实现了两个重要改进: 在接收端省去脉冲压缩匹配滤波器; 同时由于避开了对原始信号的直接采样, 降低了接收端对模数转换器件带宽的要求. 设计重点由传统的设计昂贵的接收端硬件转化为设计新颖的信号恢复算法, 从而简化了雷达成像系统。 生物传感中的传统DNA芯片能平行测量多个有机体, 但是只能识别有限种类的有机体, Sheikh等人运用压缩传感和群组检测原理设计的压缩传感DNA芯片克服了这个缺点。 压缩传感DNA芯片中的每个探测点都能识别一组目标, 从而明显减少了所需探测点数量. 此外基于生物体基因序列稀疏特性, Sheikh等人验证了可以通过置信传播的方法实现压缩传感DNA芯片中的信号重构。