换底公式与运算法则

‘壹’ log换底公式是什么

log换底公式是：loga(N)=logb(N)/logb(a)。

证明：loga(N)=x，则a^x=N，两边取以b为底的对数，logb(a^x)=logb(N)，xlogb(a)=logb(N)，x=logb(N)/logb(a)，所以loga(N)=logb(N)/logb(a)。

换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。

log换底函数：

如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

‘贰’ log公式的运算法则

log函数运算公式是y=logax（a>0 & a≠1）。

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N(Nu003e0)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，au003e0且a不等于1）叫做对数函数。Log函数的运算公式主要有运算法则、换底公式和推导公式。

一、运算法则：

1、Log a(MN)=log aM+logaN

2、log a(M/N)=log aM-logaN

3、logaNn=nlogaN

4、（n,M,N∈R)

如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。定义：若an=b（au003e0，a≠1）则n=log ab。

二、换底公式（很重要）

Log MN=log a M/log aN

换底公式导出

Log MN= -log NM

三、推导公式

Log (1/a) (1/b) = log (a^-1) (b^-1) = -1logab/-1 = log a(b)

Log a(b)*log b(a) =1

loge(x)= ln (x)

lg(x)=log10(x)

了解了log函数的运算公式，才能够对函数公式灵活地进行转化，从而进一步提高运算的效率和准确性。

‘叁’ 对数函数换底公式,是怎么样推理出来的

把对数还原成幂的形式，利用幂的运算法则推理，然后再写成对数形式。

第一步，搞清对数，把对数还原成幂的形式:
记若x=log(a)b 【以a为底b的对数】
y=log(a)c【以a为底c的对数】
还原成幂的形式，有
b=a^x,c=a^y

第二步,利用幂的运算法则推理:
于是b=(a^y)^(x/y)=c^(x/y)

第三步，写成对数形式：
因此x/y = log(b)c ,这就是换底公式。

‘肆’ 对数函数的换底公式是什么

换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。另有两个推论。loga(b)表示以a为底的b的对数。

如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

(4)换底公式与运算法则扩展阅读：

但是，如果是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数（参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

‘伍’ log函数运算公式换底公式是什么

loga(N)=x，则 a^x=N，两边取以b为底的对数，logb(a^x)=logb(N)，xlogb(a)=logb(N)，x=logb(N)/logb(a)，所以loga(N)=logb(N)/logb(a)。

换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。

函数的近代定义：

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

对数简介：

一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：

如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

‘陆’ 对数换底公式

对数换底公式：log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)。

运算法则

loga(MN)=logaM+logaN

loga(M/N)=logaM-logaN

logaNn=nlogaN

(n,M,N∈R)

如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。定义：若an=b（a>0，a≠1）则n=logab。

换底公式的应用

在工程技术中，换底公式是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。

此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。

‘柒’ 对数换底公式是什么

log（a）b，其中a为底数，b为真数

log（a）b=lg（b）／lg（a）

实际上换底公式不一定换成lg，也可以换成别的比如：

log（a）b=log（2）b/log（2）a

意思就是分子分母底数随便取，但是相同；分子上的真数为原来的真数，分母的真数为原来的底数。

运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0,N>0，那么：

1、loga(MN)=logaM+logaN；

2、loga(M/N)=logaM－logaN；

3、对logaM中M的n次方有＝nlogaM；

如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。

‘捌’ 对数的运算法则及换底公式

对数的运算法则是：
1.lnx+lny=lnxy；
2.lnx-lny=ln（x/y）；
3、lnx=nlnx；
4、ln（√x）=lnx/n；
5.lne=1；
6.ln1=0。
换底公式是：log（a）（x）=log（b）（x）/log（b）（a）=lg（x）/lg（a）=ln（x）/ln（a）。
在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

‘玖’ 哪位大侠能帮我推导一下对数的运算法则（3个）和换底公式

1对数的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.
2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)
3对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③对数式与指数式的比较.(学生填表)

式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数
b—
N—a—对数的底数
b—
N—运
算
性
质am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)

难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28�
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数�
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数�
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数

‘拾’ 对数的运算法则和换底公式

［log(a)(x)表示a为底x的对数］
log(a)(x)＋log(a)(y)=log(a)(xy);log(a)(x)－log(a)(y)=log(a)(x/y)
log(a^m)(x^n)=(n/m)log(a)(x)
换底公式
log(a)(x)=log(b)(x)/log(b)(a)
=lg(x)/lg(a)=ln(x)/ln(a)