求二项式系数的算法

㈠ 二项式公式 谢谢

二项式公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n.

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。

公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n

式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!/(n-i)!i!

(1)求二项式系数的算法扩展阅读：

此定理指出:

1、(a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。等号右边的多项式叫做二项展开式。

2、二项展开式的通项公式(简称通项)为C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示(其中"r+1"为角标)，即通项为展开式的第r+1项(如下图)，即n取i的组合数目。

㈡ 二项式的系数怎么算的

解如图。

㈢ 二项式定理中各项系数和公式是什么

二项式定理 binomial theorem
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
此定理指出：
其中，二项式系数指...
等号右边的多项式叫做二项展开式。
二项展开式的通项公式为：...
其i项系数可表示为:...，即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
…………………………………………………………
（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）
在我国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的着作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。
1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律
二项式定理:叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别.
2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式.
①对称性：
②增减性和最大值：先增后减
n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1
n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2＋1
3．二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。
二项式系数之和:
2的n次方
而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方
二项式定理的推广：
二项式定理推广到指数为非自然数的情况：
形式为 推广公式
注意：|x|<1
(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n
二项式的递推

二项式展开后各项的系数依次为：，， …，.
其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为
这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.
加法定理 来自二项式性质

将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，
则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的
加法式. 如
这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”
的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.
一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑
两数”的结果为组合的加法定理：
有了组合的加法定理，二项式(a+b)展开式的证明就变得非常简便了.
数形趣遇 算式到算图

二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.
【图算】 常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…… 15 20 15 6 …
1 …… 35 35 21 ……
… 70 56 …
图上得到=70，==56.
故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42
【点评】 “式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.<, /o:p>
杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：
1，6，15，20，15，6，1
那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.
杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.

㈣ 求二项式系数的和与各项系数的和的公式是什么

二项式的各项系数之和，可以采用赋值法。

（ax十b）ⁿ二项式系数和

2ⁿ系数和（a+b）ⁿ，（即x=1时）

把x的位置用1代就是各项系数的和。

㈤ 二项式的系数有没有快速的算法

母都等于1,则计算出的结果就等于二项式展开式的各项系数的和. 如: (5x-1/根号x)的n次方的展开式各系数之和为M,其中M的算法

㈥ 二项式公式是什么

只有两项的多项式，即两个单项式的和。

形式

1、线性形式

如果二项式的形式为ax+b（其中a与b是常数，x是变量），那么这个二项式是线性的。

2、复数形式

复数是形式为a+bi的二项式，其中i是-1的平方根。

(6)求二项式系数的算法扩展阅读

发展简史

二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。

此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。

贾宪的着作已经失传，而杨辉的着作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载此图，并增加了两层，添上了两组平行的斜线。

在阿拉伯，10世纪，阿尔 ·卡拉吉已经知道二项式系数表的构造方法：每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11~12世纪奥马海牙姆将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次，因而研究了高次二项展开式。

13世纪纳绥尔丁在其《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式，并用到了二项式系数表。15世纪，阿尔 ·卡西在其《算术之钥》中介绍了任意高次开方法，并给出了直到九次幂的二项式系数表，还给出了二项式系数表的两术书中给出了一张二项式系数表，其形状与贾宪三角一样。

16世纪，许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年，法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理，因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。

1665年，英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。

㈦ 二项式各项系数之和怎么求

二项式的各项系数之和，可以采用赋值法。

二项式系数之和公式为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。

二项式系数，或组合数，是定义为形如(1 + x)*6*7展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数）。从定义可看出二项式系数的值为整数。

项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取11件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n+1k件的方法。

(7)求二项式系数的算法扩展阅读

三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如熟悉到了它的第6行：

1，6，15，20，15，6，1

三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.

㈧ 二项式展开式中,某项的系数怎么求

二项式系数就是前面那个acb
，展开式系数的话还要乘上每项自带的常数。
举个例子吧，（x+2)^2，第二项的二次项系数就是2c1=2，展开式系数就是2c1*2=4

㈨ 排列组合求二项式系数

(a+b)^n按a的降幂排列，第k项的系数是：
C(k,n)
举例说，(a+b)^3按a的降幂排列，所有项的系数依次是：
C(0,3)，C(1,3)，C(2,3)，C(3,3)，
即分别是：
1，3，3，1