数学与猜想pdf

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《数学与猜想：数学中的归纳和类比》是2001年科学出版社出版的图书，作者是(美)G.波利亚。本书是着名数学家G.波利亚撰写的一部经典名着。书中讨论的是自然科学、特别是数学领域中与严密的论证推理完全不同的一种推理方法——合情推理（即猜想）。

Ⅲ 数学猜想的各种猜想

几何化猜想
四色定理( 2008理论证明完成）
庞加莱猜想
卡塔兰猜想（2002年4月证明正确，帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库(Preda Mihăilescu)证明，由尤里·比卢(Yuri Bilu)检查，大幅使用了分圆域和伽罗华模） 希尔伯特－史密斯猜想
西塔潘猜想（中南大学2008级 刘路 证明
） Abc猜想
欧拉猜想
考拉兹猜想(角谷猜想)
周氏猜测(梅森素数分布猜测)
阿廷猜想(新梅森猜想)
哥德巴赫猜想
孪生素数猜想
克拉梅尔猜想
哈代－李特尔伍德第二猜想
六度空间理论
P与NP问题
杨-米尔理论
黎曼假设

Ⅳ 数学与猜想的内容简介

《数学与猜想》(第1卷)通过许多古代着名的猜想，讨论了论证方法，阐述了作者的观点：不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，《数学与猜想》(第1卷)的例子不仅涉及数学各学科，也涉及到物理学，全书内容丰富，谈古论今，叙述生动，能使人看到数学中真正的奥妙。全书共分两卷，第一卷为数学中的归纳和类比，第二卷为合情推理模式，此册为第一卷，主要讲述数学中各种合情推理的实例。《数学与猜想》(第1卷)可供大学数学系师生、中学数学教师，数学研究人员及数学爱好者阅读。

Ⅳ 对于数学猜想如何得到证实

学会数学猜想 感受数学发现

如何寓数学的思想方法于数学的发现、探索、研究之中，又如何能够寓数学的思想方法于数学教学之中，是无数热爱数学研究、热爱数学教育的学者与教师一生追求的目标。像哥德巴赫猜想、费马猜想等许许多多世界数学巅峰之作无不历经观察与实验、归纳、类比与联想、直觉与猜想、推理与证明的数学思维过程。

美籍数学家、数学教育家波利亚（1887～1985）的三部着作《怎样解题》、《数学发现》、《数学与猜想》早已风靡全球的事实，充分说明了人们已不再认为数学发现与创造的过程仅是世界顶级数学家的数学游戏，人们不想仅为那些“高深”的数学理论与发现欢呼雀跃，更希望能够分享数学发现的过程、数学探索的方法，即合情推理（归纳推理、类比推理）与演绎推理。由此可见“推理与证明”在数学发现与探索中的重要意义与作用。

通过对问题解决过程、特别是对已有成功实践的深入研究，波利亚发现：可以机械地用来解决一切问题的“万能方法”是不存在的；在问题解决的过程中,人们总是针对具体情况,不断地向自己提出有启发性的问题或提示,以启动并推进思维的进程；因此,他试图总结出一般的方法或模式,这些方法和模式在以后的问题解决活动中起到了重要的启发和指导作用。波利亚很早就注意到“数学有两个方面：用欧几里得方式提出的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此,他明确提出了两种推理：合情推理与演绎推理，演绎推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据。而且在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

许多数学问题、数学猜想，包括世界着名难题的解决，往往是在对数、式或图形的直接观察、归纳、类比、猜想中获得方法，而后再进行逻辑验证；同时随着问题的解决，使数学方法得到提炼、数学研究范围得到拓展、使数学不断地前进与发展。费马通过对勾股定理的研究大胆地提出了费马猜想！为了寻找这个猜想的证明方法，许多数学家投入了毕生的精力，在上世纪被英国数学家怀尔斯证明，最终形成了费马大定理。这个被数学家希尔伯特称作会下“金蛋”的老母鸡，本身是用合情推理的方法提出的。在长达几个世纪的探索中，数学家们的创造过程无不蕴涵着合情推理。因此，从某个方面来说，合情推理促进了数学的发现，更推动了数学的发展，最终形成了欧拉定理、哥德巴赫猜想、四色问题等诸多世界数学史上的奇葩。

哥德巴赫猜想是数学皇冠上一颗“明珠”。自1742年提出以来，已历经两个半世纪的探索。虽然至今尚未被人证实猜想的正确性，也无人能够给以否定，但围绕这个猜想所作的研究，却积聚了众多的资料与成果，可以说哥德巴赫猜想的研究，已达到了非常精深的境界。

1742年的一天，哥德巴赫在纸上写下了一串等式：

6=2+2+2, 7=2+2+3， 8=2+3+3， 9=3+3+3， 10=2+3+5， 11=3+3+5…

他终于按捺不住，写信告诉欧拉，说他想冒险发表下列猜想：“大于5的任何自然数，都可以写成三个素数的和。”不久，欧拉回信说，他认为：“每一个不小于4的偶数，都可以写成两个素数的和。”

这就是着名的哥德巴赫猜想。

200年过去了，没有人能够证明这个猜想。

目前世界范围内的最佳结果是由我国着名数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理。

这道着名的数学难题引起了世界上成千上万的数学家的关注。这就是一个好问题的巨大价值，这就是一个好的猜想的历史意义。

1900年8月，不满40岁的数学大师希尔伯特，纵论全局、指点未来，发表了“数学问题”的经典演说，提出了着名的23个数学问题，并留下了一段关于问题（猜想）对数学发展的名言：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。数学研究也需要自己的问题。”

猜想既引导着研究的目标，又表明了社会发展的认知需要。数学史上充满着猜想，可以说：数学是伴随着对数学命题的猜想而发展的。

从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。这里面，既有伟大的猜想、也有微不足道的猜想；有最终被证明了的猜想、也有最后被否定了的猜想；有很快被解决了的猜想、更有至今还“悬着”的猜想。有许多数学家是猜想家，他们既有非凡的直觉能力，为后世留下一个个饶有趣味的诱人的猜想。特别地，重大猜想的解决过程，往往也带来了数学发展的巨大推动力。

猜想使人的认识摆脱了消极等待的被动状态；猜想在人的认识发展过程中，功不可没、作用巨大。难怪科学家们总是感慨地惊叹：“人类每一次大的成功，都是开始于大胆的猜想。”

猜想的过程即为观察与实验、归纳、类比与联想、直觉与猜想的合情推理的过程，合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法等。在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。

如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。

二、《推理与证明》的教育价值的实践与探索

着名的美国数学家、数学教育家波利亚提出：“对于学习数学的学生和从事数学工作的教师来说，猜想是一个重要的（但却通常被忽视的）方面，因为：在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容；在你完全做出详细的证明之前，你先得猜测证明的思路；你既要把观察到的结果进行综合，然后加以类比；又要一次一次地进行尝试……我们通常得到的那个证明（或解答），就是这样通过合情推理、通过猜想发现的。”

特别地，是否具有创造性已是衡量人才的重要标准、更是素质教育对能力培养提出的要求，而创造力的培养则有赖于教学中论证推理与合情推理同时并重的思维方法训练。

在第八届国际数学教育大会上，对于20世纪杰出的数学家、数学教育家波利亚建立的合情推理模式以及观察、实验、类比、归纳、化归、猜想等方法在数学发现和创新中所起的作用给予了高度的评价，在全世界范围内形成了广泛的共识。在布鲁塞尔的“发现学习”和上海教科院所推出的“研究性学习”中都对合情推理教学给予了高度的评价。合情推理教学符合我国素质教育的要求。

下面我们来看一个归纳、类比推理的代数实例：

我们用表示前个自然数的和，表示前n个自然数的平方和，以此类推：

我们先求平方和，并尝试用下面的方法：

左右两边分别相加，得

我们没能得到，但却求得了：

这个尝试给了我们一个启示，从过程和方法上归纳、类比得到了，那么能否类比地：在考察的过程中把求出来。下面，就让我们沿着这个猜测去做一做、试试看吧……

左右两边分别相加，得到：

由此可知：

至此我们更确信，能通过类比联想的办法把前个自然数的立方和求出来。

叠加可得：

故有：

从求和的过程及求和的结果，我们可以看到：

是关于的二次式，

是关于的三次式，

是关于的四次式，

那么我们可否在求之前就猜测是关于的五次式呢？

事实上,平面几何中的很多性质都可以类比推广到立体几何中去，例如：平面几何中的三角形类比到立体几何中对应的几何体是四面体（或称三棱锥）等等。下面让我们再来看一个归纳、类比推理的几何实例。

我们知道：一条直线将平面分为两部分；

两条直线（只要它们不平行）将平面分成四部分；

三条直线一般能将平面分成8部分吗？

这个猜想对吗？

若三直线彼此平行，则它们只能将平面分为4部分；

若三直线中只有两条平行，则它们把平面分为6部分；

若三直线交于一点，则它们也是把平面分为6部分；

一般的情形则是三条直线中既无彼此平行的，又不是三线共交点的。这样，这样我们就需在：三条直线将相交于三个点，并围成以这三点为顶点的一个三角形的条件下进行讨论。

从下图即可看出，三直线将平面分为7个部分：A、B、C、D、E、F、G。

可见，“三条直线能将平面分成8部分”的猜想是不成立的。

类比平面到空间，我们可以提出：

一个平面将空间分成2部分；

两个平面将空间分为4部分（只要两平面不平行）；

三个平面能将空间分为8部分（就像空间解析几何中的三个坐标平面将空间分为8个象限一样）；

四个平面能将空间分为16个部分吗？

联想到直线分平面的情况，我们可能不会再作此猜想了。

然而可否类比地猜测四平面在一般情形下能将空间分为15个部分吗？这种由类比引出的猜想是否正确呢？

我们再来分析一下三直线分割平面的情形：彼此互不平行且不共点的三直线将平面分为7部分的状况是怎样的呢？其中有一部分是有限的，其余6部分都是无限延伸的，有限的部分就是三直线围成的那个三角形A；无限的部分又可划为两种：一种是与三角形有一公共边的（即B、C、D）；另一种则是与三角形有一公共顶点的（即E、F、G）。

下面我们再来分析四个平面分割空间的情形：对于四平面中有彼此平行的平面以及四平面中有三平面共线或四平面共线的特殊情形不予考虑，而只考虑一般情形，即四平面能围成一个四面体的情形：四面体的内部是一个有限的部分；其余分割的部分都是无限的，无限部分又可划分为三类：第一类是与四面体有一公共面的，共4部分；第二类是与四面体与有一公共线的，共6部分；第三类是与四面体有一公共点的，共4部分，因此总计为1+4+6+4=15.

上面我们提到，三条两两不平行且不共点的直线将平面分为7个部分，四条直线呢？当然，对这四条直线也要两两不平行且每三条直线都不共点，这样，新加的第四条直线便与原有的三条直线相交，且必通过原有的四个部分并使这四个部分均一分为二，故共增加4个部分，于是得知：四直线将平面分为11部分。

按照类似的要求（“两两不平行，三三不共点”），加进第五条直线，那么平面被分割的部分也增加5部分，我们将归纳得到的数据列表如下：

直线数
1
2
3
4

平面被分割部分数
1+1
1+2+1
1+2+3+1
1+2+3+4+1

由此我们可以猜测： “两两不平行，三三不共点”的n条直线可将平面分割为：

个部分

国际数学课程改革的研究表明：在处理中小学数学思想方法方面有两个基本思路:

第一,主要通过纯数学知识的学习,逐步使学生掌握数学的思想和方法；

第二,通过解决实际问题,使学生形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法,如实验、猜测、合情推理等。

两者相比而言, 后者更多的是一般的思考方法, 具有更广泛的应用性。主要的发达国家也倾向于采用第二个基本思路。

有研究表明：合情推理与演绎推理有着较高的相关性；学生的合情推理的发展与演绎推理的发展也有着密切的联系．因此，数学教学要促使学生的合情推理与演绎推理同步发展．

如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。

而合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法，在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。

作为数学教育工作者，让我们畅想一下：

当学生感受到“高不可攀”的哥德巴赫猜想是那样“浅显易懂”时；当学生能够类比三角形的面积公式联想到三棱锥的体积公式，又经过思维实验、数据检测、调整证明得到时；特别是当学生能够类比哥德巴赫猜想而提出“自己的素数猜想”，类比自然数的求和公式而得到自然数的平方和公式，又由此猜想得到自然数的立方和公式时，学生的猜想、证明的方法、学生内心的感动、学生的收获与分享都着实地让我们感受到了数学的伟大，更感受到了数学教育的价值与意义！

Ⅵ 数学猜想

四色猜想（三大数学难题之三）

世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、着名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、着名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最着名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，着名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
哥德巴赫猜想（三大数学难题之二）

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位着名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道着名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。

在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况如下:

1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。

1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。

1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。

1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366。

1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。

1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数。

1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。

1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”。

1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
费尔马大定理及其证明（三大数学难题之一）

近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。

300多年以来，费尔马大定理使世界上许多着名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。

费尔马大定理的由来

故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。

1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名着《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。”

费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程，当n大于2时没有正整数解。

费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。

他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由于他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列。

艰难的探索

起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功。着名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整数解。

因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。

在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了。

其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数，在100以内，只有37、59、67三个。他还具体证明了当 n＝ 37、59、67时，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整数解的。这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。

这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000，但这不等于定理被证明。看来，需要另辟蹊径。

10万马克奖给谁

从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金。

哥庭根科学会宣布，奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件。

10万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。于是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民，都在钻研这个问题。在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上千个之多。

当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到 1911年初为止，共审查了111个“证明”，全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止这一审查鉴定工作。但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是，热爱科学的可贵精神，还在鼓励着很多人继续从事这一工作。

姗姗来迟的证明

经过前人的努力，证明费尔马大定理取得了许多成果，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离。怎么办？来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法——转化问题。

人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化，而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼的工作基础上，1922年，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想。：“设F（x，y）是两个变数x、y的有理系数多项式，那么当曲线F（x，y）= 0的亏格（一种与曲线有关的量）大于1时，方程F（x，y）＝0至多只有有限组有理数”。1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费尔马大定理证明中的又一次重大突破。法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖。

维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山——志村猜想成立，那么费尔马大定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。

维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣，这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后，他开始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦。他极其秘密地进行费尔马大定理的研究，守口如瓶，不透半点风声。

穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日。这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10点30分，在他结束报告时，他平静地宣布：“因此，我证明了费尔马大定理”。这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声。半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着。

消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”。人们认为，维尔斯最终证明了费尔马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。

可不久，传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：维尔斯的长达200页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞。

维尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文，补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”。1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国。论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文。维尔斯因此获得了1995～1996年度的沃尔夫数学奖。

经过 300多年的不断奋战，数学家们世代的努力，围绕费尔马大定理作出了许多重大的发现，并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展。现代代数数论中的核心概念“理想数”，正是为了解决费尔马大定理而提出的。难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”。

Ⅶ 数学八大猜想是什么

哥德巴赫猜想 庞加莱猜想
庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨·米尔理论等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。
千僖难题”之一： P (多项式算法)问题对NP (非多项式算法)问题
“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想
“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想
“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设
“千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
“千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。

“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。着名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

“千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

Ⅷ 数学的几大猜想

世界三大数学猜想即费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
费马猜想的证明于1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）完成，遂称费马大定理；
四色猜想的证明于1976年由美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)借助计算机完成，遂称四色定理；
哥德巴赫猜想尚未解决，最好的成果（陈氏定理）乃于1966年由中国数学家陈景润取得。这三个问题的共同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家。
费马大定理
内容
当整数n > 2时，关于x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n 无正整数解。
简介
这个定理，本来又称费马最后的定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为"定理"，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的"证明"。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1994年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

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