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压缩映射不动点
发布时间：2025-08-08 11:23:40㈠ 压缩映射不动点定理
压缩映射不动点定理：
定理（压缩映射原理）设是一个完备的度量空间，是一个压缩映射，则有一个唯一的不动点。进一步地，从任意一点出发，序列收敛于。证明首先证明最多只有一个不动点。然后说明序列收敛于一点。最后证明这个是不动点。
唯一性，首先证明，如果一个点是的不动点，则它是的唯一的不动点。假设且。由于为压缩映射，因此一定存在一个，使得。容易看出，只有当，即时，前面的不等式才能成立。
极限点，设，定义。则由前面的引理可知，序列是一个柯西序列。由于是完备的，因此一定存在一个使得收敛于。
不动点，设。由于为柯西序列，且收敛于，因此一定存在一个正整数，使得对于任意的，均有，且，设，由三角不等式可知。
巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具;它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。
注意到不等号右边中间的一项又等于，从而由前面的推理可知不等号右边前两项均小于。现在主要考虑第三项。注意到。从而有。由于的选取是任意的，因此必有，即。
㈡ 压缩映射原理 数学老师告诉你压缩映射是什么
1、压缩映射法是不动点法中一种常用的方法。它的根据是压缩映射原理：设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…这序列一定收敛到f的那个不动点。称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数，也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。
2、压缩映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。
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