将金属块用压缩的轻弹簧

⑻ 高考。江苏。物理。

弹簧类问题专题复习

弹簧类问题含有力的非突变模型---弹簧模型，这类问题能很好地考查同学们对物理过程的分析、物理知识的综合、以及数学知识的灵活应运，所以这类问题在近年的高考中频频出现。为了帮助同学们复习好这部分内容，现浅谈如下几点，供同学们参考

一、知识点聚焦
1、 弹簧的瞬时问题

弹簧发生弹性形变时，弹力与其形变量成正比，因此，弹力不同，形变量不同，形变量不同，对应的弹力也不同。解决这一类问题时一定要弄清“时刻”及“位置”的含义。

2、弹簧的平衡问题

这类问题涉及的知识有胡克定律、力的平衡条件，一般可用f=kx或△f=k?△x和∑F=0等公式来求解。

3、弹簧的非平衡问题

这类问题主要是指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功、能和合外力等其他物理量发生变化的情况。这类问题的解决，不但要涉及胡克定律、牛顿第二定律、还要涉及动能定理、能的转化和守恒定律等方面的内容。

4、 弹簧弹力做功与动量、能量的综合问题

在弹簧弹力做功的过程中弹力是个变力，所以这类问题一般与动量、能量联系，以综合题的形式出现。这类问题有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化等结合在一起，考查同学们的综合应用能力。解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，综合利用动能定理和功能关系等知识解题。

二、典型例题分析

例1．如图1所示，劲度系数为 K的轻质弹簧一端与墙固定，另一端与倾角为θ的斜面体小车连接，小车置于光滑水平面上。在小车上叠放一个物体，已知小车质量为 M，物体质量为m，小车位于O点时，整个系统处于平衡状态。现将小车从O点拉到B点，令OB=b，无初速释放后，小车即在水平面B、C间来回运动，而物体和小车之间始终没有相对运动。求：(1)小车运动到B点时的加速度大小和物体所受到的摩擦力大小；(2)b的大小必须满足什么条件，才能使小车和物体一起运动过程中，在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零。

解析；(1)所求的加速度a和摩擦力f是小车在B点时的瞬时值。取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，由牛顿第二定律：kb=(M+m)a 所以a=kb/(M+m)。

取m为研究对象，在沿斜面方向有：f-mgsinθ=macosθ

所以， =

(2)当物体和小车之间的摩擦力的零时，小车的加速度变为a’，小车距O点距离为b’，取m为研究对象，有：mgsinθ=ma’cosθ

取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，有 kb‘=(M+m)a’

以上述两式联立解得：b’=

点评：在求解加速度时用整体法，在分析求解m受到的摩擦力时用隔离法。整体法和隔离法两者交互运用是解题中常用的方法，希读者认真掌握。

例2.将金属块m用压缩的轻弹簧卡在一个矩形箱中，如图2所示，在箱的上顶板和下底板装有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动.当箱以a=2.0 m/s2的加速度竖直向上做匀减速运动时，上顶板的传感器显示的压力为6.0 N，下底板的传感器显示的压力为10.0 N.（取g=10 m/s2）

求：（1）金属块m的质量是多大;

（2）若上顶板传感器的示数是下底板传感器的示数的一半，则箱子的加速度是多大.

解析: 上顶板压力传感器显示的压力是金属块对上顶板的压力，大小也等于上顶板对金属块向下的压力；下底板传感器显示的压力为弹簧对下底板的压力，大小也等于弹簧对金属块向上的压力.根据金属块的受力情况和牛顿第二定律，即可求出质量、加速度.

（1）设上顶板的传感器显示的压力为FN1，下底板的传感器显示的压力为FN2，

由牛顿第二定律： mg+FN1-FN2=ma

解得：m=0.5 kg

（2）由于弹簧长度不变，则下底板的传感器显示的压力仍为10.0 N，

即 FN2′=FN2=10 N则上顶板的传感器显示的压力为FN1′=5 N

由牛顿第二定律： mg+FN1′-FN2′=ma′

解得： a′=0

例3.如图3所示，两个木块质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为( )

解析：此题用整体法求最简单。由题意可将m1、m2视为一系统（整体），整个系统处于平衡状态，即∑F=0

故F=(m1+m2)g

由胡克定律知 F=k2x总
解得 x=

此x为系统下移的总距离，当缓慢向上提上面木块m1，直到它刚离开上面弹簧时，有 x’‘=，由题意可知，在这过程中下面木块移动的距离为 Δx=x－x’=

故本题选C.

点评：尽管此题初看起来较复杂，但只需选用整体法来分析求解，问题就会迎刃而解。

例4.在原子物理中，研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下面力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直轨道的固定档板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图7所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与档板P发生碰撞，碰后A、D静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。

（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：整个过程可分为四个阶段来处理．
（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒定律，得
mv0＝2mv1，①
当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒定律，得
2mv1＝3mv2，②
联立①、②式得
v2＝（1／3）v0．③
此问也可直接用动量守恒一次求出（从接触到相对静止）mv0＝3mv2，v2＝（1／3）v0．
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep，由能量守恒定律，得
（2m）v12＝（3m）v22＋EP，④
撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成D的动能，设D的速度为v3，有
Ep＝（2m）v32，⑤
以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度．设此时的速度为v4，由动量守恒定律，得
2mv3＝3mv4，⑥
当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为Ep′，由能量守恒定律，得
（2m）v32＝（3m）v42＋Ep′，⑦
联立③～⑦式得
Ep′＝mv02．⑧
点评；这道高考压轴题不愧为一道好的物理试题．命题人暗设机关，巧布干扰，只有同学们全面读懂、领会题意，并在头脑中建立起非常清晰的物理图景和过程，充分运用两个守恒定律，才能化难为易，正确解题．

例5 。 如图5所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处于静止状态，现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为g。

解析：令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知

①

令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量， a表示此时A的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：

kx2=mBgsinθ ②

F－mA­gsinθ－kx2=mAa ③

由②③式可得 ④

由题意 d=x1+x2 ⑤

由①②⑤式可得 ⑥

例6.如图6所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端和质量为M的容器连接，容器放在光滑水平的地面上，当容器位于O点时弹簧为自然长度，在O点正上方有一滴管，容器每通过O点一次，就有质量为m的一个液滴落入 容器，开始时弹簧压缩，然后撒去外力使容器围绕O点往复运动，求：

(1)容器中落入n个液滴到落入（n+1）个液滴的时间间隔；

(2)容器中落入n个液滴后，容器偏离O点的最大位移。

解析：本题中求容器内落入n个液滴后偏离O点的最大位移时，若从动量守恒和能量守恒的角度求解，将涉及弹簧弹性势能的定量计算，超出了中学大纲的要求，如果改用动量定理和动量守恒定律求解，则可转换成大纲要求内的知识的试题。

(1)弹簧振子在做简谐运动过程中，影响其振动周期的因素有振子的质量和恢复系数(对弹簧振子即为弹簧的劲度系数)，本题中恢复系数始终不变，液滴的落入使振子的质量改变，导致其做简谐运动的周期发生变化。

容器中落入n个液滴后振子的质量为（M+nm），以n个液滴落入后到第（n+1）个液滴落入前，这段时间内系统做简谐运动的周期Tn=2π ，容器落入n个液滴到（n+1）个液滴的时间间隔△t=Tn /2，所以

△t =π

(2)将容器从初始位置释放后，振子运动的动量不断变化，动量变化的原因是水平方向上弹簧弹力的冲量引起的，将容器从静止释放至位置O的过程中，容器的动量从零增至p，因容器位于O点时弹簧为自然长度，液滴在O点处落入容器时，容器和落入的液滴系统在水平方向的合力为零，根据动量守恒定律，液滴在O处的落入并不改变系统水平方向的动量，所以振子处从位置O到两侧相应的最大位移处，或从两侧相应在的最大位移处到位置O的各1/4周期内，虽然周期Tn和对应的最大位移Ln在不断变化，但动量变化的大小均为

△p=p－0=p，

根据动量定理可知，各1/4周期内弹力的冲量大小均相等，即：

F0(t)·T0/4 = Fn(t)·Tn/4

其中T0是从开始释放到第一次到O点的周期，T0=2π 。Tn是n个液滴落入后到（n+1）个液滴落入容器前振子的周期，Tn=2π 。而F0(t) 和Fn(t)分别为第一个1/4周期内和n个液滴落入后的1/4周期内弹力对时间的平均值，由于在各个1/4周期内振子均做简谐运动，因而弹力随时间均按正弦（或余弦）规律变化，随时间按正弦（或余弦）变化的量在1/4周期内对时间的平均值与最大值之间的关系，可用等效方法求出，矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，从中性而开始计地，产生的感应电动势为ε=εmsinωt=NbωSsinωt。ε按正弦规律变化，根据法拉第电磁感应定律ε=N ，ε在1/4周期内对时间的平均值ε=2εm/π。这一结论对其它正弦（或余弦）变化的量对时间的平均值同样适用，则有图19-1

F0(t)=2kL0/π，Fn(t)=2kLn/π

代入前式解得：Ln= L0

例7．如图7所示，质量为M=3kg的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为m=1kg的小铁块，现给铁块一个水平向左速度V0=4m/s，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求铁块与弹簧相碰过程中，弹性势能的最大值EP。

解析：在铁块运动的整个过程中，系统的动量守恒，因此弹簧压缩最大时和铁块停在木板右端时系统的共同速度（铁块与木板的速度相同）可用动量守恒定律求出。在铁块相对于木板往返运动过程中，系统总机械能损失等于摩擦力和相对运动距离的乘积，可利用能量关系分别对两过程列方程解出结果。

设弹簧压缩量最大时和铁块停在木板右端时系统速度分别为V和V'，由动量守恒得：mV0=(M+m)V=(M+m)V' 所以，V=V’=mV0/(M+m)=1*4/(3+1)=1m/s
铁块刚在木板上运动时系统总动能为：Ek=mV02=8J
弹簧压缩量最大时和铁块最后停在木板右端时，系统总动能都为：
EK'=(M+m)V2=2J
铁块在相对于木板往返运过程中，克服摩擦力f所做的功为：
Wf=f2L=EK-EK'=8-2=6J
铁块由开始运动到弹簧压缩量最大的过程中，系统机械能损失为：fs=3J
由能量关系得出弹性势能最大值为：EP=EK-EK'-fs=8-2-3=3J

点评：由于木板在水平光滑平面上运动，整个系统动量守恒，题中所求的是弹簧的最大弹性势能，解题时必须要用到能量关系。在解本题时要注意两个方面：1.是要知道只有当铁块和木板相对静止时(即速度相同时)，弹簧的弹性势能才最大；弹性势能量大时，铁块和木板的速度都不为零；铁块停在木板右端时，系统速度也不为零。
2.是系统机械能损失并不等于铁块克服摩擦力所做的功，而等于铁块克服摩擦力所做的功和摩擦力对木板所做功的差值，故在计算中用摩擦力乘上铁块在木板上相对滑动的距离。

例8．如图9所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 ，求：

（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。

（2）此过程中外力F所做的功。

解析：(1)A原来静止时：kx1=mg ①

当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：

F1＋kx1－mg=ma ②

当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：

F2－kx2－mg=ma ③

对物体B有：kx2=mg ④

对物体A有：x1＋x2＝ ⑤

由①、④两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N

(2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：

WF=mg(x1＋x2)+49.5J

由以上分析可以看出，弹簧类试题的确能培养我们的物理思维和开发我们的学习潜能。弹簧与相连物体构成的系统所表现出来的运动状态变化的问题，同学们可以充分运用物理概念和规律（牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律）巧妙解决。这类题型是区分学生能力强弱、拉大分值差距、选拔人才的一种常规题型。因此，弹簧类试题也就成为高考物理中一种重要的独具特色的题型

⑼ 将金属块m用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中，

（1）下底板传感器的示数等于轻弹簧的弹力F，上顶板的压力为N=6.0 N，弹簧的弹力F=10.0 N和重力mg，加速度为a，方向向下.
由牛顿第二定律有mg+N-F=ma，求得金属块的质量m=0.5 kg.
（2）上顶板传感器的示数是下底板传感器的示数的一半时，弹簧的弹力仍是F，上顶板的压力为F/2，设箱和金属块的加速度为a1，有mg+ -F=ma1，解得a1=0，箱处于静止或做匀速直线运动.
（3）当上顶板的压力恰好等于零时，mg-F=ma2，得加速度a2=-10 m/s2，“-”号表示加速度方向向上。
若箱和金属块竖直向上的加速度大于10 m/s2，弹簧将被进一步压缩，金属块要离开上顶板，上顶板压力传感器的示数也为零.
只要竖直向上的加速度大于或等于10 m/s2，不论箱是向上加速或向下减速运动，上顶板压力传感的示数都为零.

⑽ 如图，将金属块用压缩的轻弹簧顶在一个矩形箱子的顶部，

匀减速上升时，物体的总受力为
f弹-f顶=mg-ma,m=(12-6)/8=0.75
m(g+a)=f下-f上
而弹簧长度是不变的，所以f弹=12为常数，f顶=0时，
ma+mg=f弹=12
ma=12-7.5=4.5
a=6,方向与重力加速度方向相同。
也就是匀减速下降或匀加速上升