⑴ 复杂网络的模拟
复杂网络是指由大量节点及其之间连接构成的网络结构。这些节点代表现实世界中的实体，连接则表示实体间的相互作用。复杂网络的发展历程分为三个阶段：最初以规则结构来描述关系；随后引入概率方法构建随机网络；最后，基于现代数据处理能力，揭示出许多网络具有独特统计特征，形成复杂网络的理论框架。
复杂网络可通过图来表示，包括点集和边集。边集中的每条边对应一对节点，表示它们之间的连接。节点集的大小决定了网络的规模。边集中若任意一对节点(i, j)与(j, i)对应同一边，则为无向网络；反之为有向网络。边集若赋予权值，则为加权网络，否则为无权网络。复杂网络的表示形式多样，邻接矩阵是常见的一种。
在Python中，通过使用igraph和networkx库来实现复杂网络的建模。这两个库功能相似，但igraph在处理大型网络时效率更高，因为它使用C语言实现。此外，igraph还支持R语言接口。生成网络时，可以使用邻接矩阵或调用库内已有的网络模板，如树、ER网络、无标度网络、小世界网络等。
复杂网络具有多种统计特征，如平均度、度分布、平均距离、节点中心性和聚类系数。平均度是网络中所有节点度的平均值，度分布反映了不同度节点在网中的比例，平均距离描述了任意两点之间的最短路径长度。节点中心性评估节点在网络中的重要性，聚类系数度量节点邻居间的紧密程度。理解这些特征对于分析网络结构和功能至关重要。
复杂网络的抗毁损性是指网络在节点或边失效时保持连通性的能力。通过模拟实验，可以评估不同网络模型在面对节点失效时的性能。复杂网络的级联失效现象则描述了网络中节点或边失效后引发的连锁反应，研究级联失效有助于理解复杂网络中的传播过程。
总体而言，复杂网络的研究涵盖了网络结构、统计特性、抗毁损性和级联失效等多方面，这些研究对于理解现实世界中复杂系统的运行机制具有重要意义。