❶ 非负矩阵分解（NMF）及一个小实例
非负矩阵分解：拆解数字之谜与一个生动实例解析在最近的一项挑战中，我们面临着一个独特的问题——利用非负矩阵分解（NMF）技术，将二维空间中的数字逐一拆分，仿佛在寻找一幅图像的组成密码。让我们先来了解一下NMF的魔法：它就像一个魔术师，将非负矩阵V分解为两个非负伙伴——W和H，通过巧妙的加权组合，重现出原始数据的精髓。
想象一下，NMF的基本理念就像是这样：每个数字在二维图中，就像一个独特的粒子，通过非负矩阵W和H的调和作用，它们组合成了一幅完整的画面。W矩阵就像一个调色板，H矩阵则是一组基础元素的权重，共同构建起数字的视觉拼图。与PCA和VQ分解不同，NMF聚焦于提取个体特征，如眼睛、鼻子、嘴巴，然后通过权重分配，生成出完整的个体形象。
深入探索NMF的细节，你会发现它背后是一个迭代优化的过程。原始论文Algorithms for Non-negative Matrix Factorization中，作者们提出了一种乘法更新的算法，将矩阵分解转化为寻找最小欧氏距离的解。在我们的问题中，每两个数字构成一个64x64像素的子图，转化为一个4096维的向量V，目标是分解为8个主特征，即W矩阵为4096x8，H矩阵为8x64。
步骤如下：首先，随机初始化W和H矩阵，设定迭代次数和误差阈值，然后采用乘法更新规则，逐步逼近最优化解。在每个循环中，W矩阵的每一列对应一个数字特征，经过矩阵变换和可视化，我们能看到8个清晰的数字轮廓，就像从一幅复杂的数字拼图中分离出来一样。在1000轮迭代后，大约9秒的时间，我们就能获得令人满意的答案，NMF的威力可见一斑。
想要亲身体验NMF的魅力？请访问代码仓库FLYYZJ/machine_learning_algorithms，那里有处理过的data.csv文件，以及使用Python3的示例代码。借助pandas、numpy和matplotlib这些工具，你也可以尝试自己的数据，看看NMF如何为你的数字世界带来新的解读。