A. C语言 动态规划 完全装箱问题
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述册搭如下：
{ 输入箱子的容积；
输入物品种数n；
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积；差喊
预置已用箱子链为空；
预置已用箱子计数器box_count为0；
for (i=0;i { 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子；
box_count++；虚姿野
}
else
将物品i放入箱子j；
}
}
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。
【程序】
# include
# include
typedef struct ele
{ int vno;
struct ele *link;
} ELE;
typedef struct hnode
{ int remainder;
ELE *head;
Struct hnode *next;
} HNODE;
void main()
{ int n, i, box_count, box_volume, *a;
HNODE *box_h, *box_t, *j;
ELE *p, *q;
Printf(“输入箱子容积\n”);
Scanf(“%d”,&box_volume);
Printf(“输入物品种数\n”);
Scanf(“%d”,&n);
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”);
For (i=0;i Box_h=box_t=NULL;
Box_count=0;
For (i=0;i { p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE));
p->vno=i;
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next)
if (j->remainder>=a[i]) break;
if (j==NULL)
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE));
j->remainder=box_volume-a[i];
j->head=NULL;
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j;
else box_t=boix_t->next=j;
j->next=NULL;
box_count++;
}
else j->remainder-=a[i];
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);
if (q==NULL)
{ p->link=j->head;
j->head=p;
}
else
{ p->link=NULL;
q->link=p;
}
}
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);
printf(“各箱子装物品情况如下：”);
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++)
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder);
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link)
printf(“%4d”,p->vno+1);
printf(“\n”);
}
}
B. 01背包装箱问题
本文将探讨一个装箱问题，箱容量V（0≤V≤20000）为正整数，有n个物品（0<n≤30）每个都有特定的体积（同样为正整数）。目标是通过选择合适的物品，使得箱子在装入后剩余空间最少。具体步骤如下：
首先，输入箱容量V和物品数量n，然后逐个读取n个物品的体积，每个体积用一个整数表示。例如，如果箱子容量为24，有6个物品，输入可能是这样的：
Input:
接下来，使用一个布尔数组f和一个整数数组a来存储信息。程序通过一个双重循环，尝试填充物品到箱子，同时记录每个可能的剩余空间状态。最后，输出剩余空间最小的结果，例如：
Output:
0 - 箱子剩余空间
在代码实现中，使用了动态规划的方法，通过遍历所有可能的剩余空间状态，并利用“0-1背包”的思想，找到使得剩余空间为最小的组合。这个过程可以用以下伪代码表示：
for each item (a[i]):
for each possible remaining space (j):
if it's possible to fill the space with item i and previous items:
mark current space as possible
update the minimum remaining space (k)
output the minimum remaining space (v-k)
通过以上描述和伪代码，我们可以直观地理解如何解决这个箱子装箱问题，以求得最小的剩余空间。
01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。