信號估計中的演算法

㈠ 正弦信號延時估計方法

在雜訊條件下，對正弦波信號的頻率估計是信號處理的一個經典課題。近年來，由於基於DFT (Discrete Fourier Transform,離散傅里葉變換,簡稱DFT)的頻率估計演算法具有運算速度快、對正弦信號有顯著地信噪比增益、演算法參數不敏感等優點，所以此類演算法受到了國內學者越來越多的關注。
[0003]基於DFT的頻率估計演算法分為粗估計和精估計兩個步驟。在粗估計階段，就是對信號進行DFT變換，並將其譜峰最大值所對應的位置作為頻率粗估計值。在精估計階段，藉助一定的插值策略估計信號真實頻率與粗估計值之間的誤差。目前該類演算法的差異性主要體現在第二步中校正粗估計值時所使用的方法不同。
[0004]Jacobsen 頻率估計演算法由 E.Jacobsen 等於 2007 年提出[E.Jacobsen andP.Kootsookos, 「Fast, accurate frequency estimators [J]，，，IEEE Signal ProcessingMagazine, May2007, 24 (3): 123-125]，該演算法利用信號N點DFT頻譜中最大的3根譜線校正第一步中的頻率粗估計值，在低信噪比時，該演算法能夠得到較好的估計結果，但是估計的精度仍然不高。
[0005]為了提高頻率估計的精度，C.Candan於2011年提出Candan頻率估計演算法[C.Candan, 「A method for fine resolution frequency estimation from three DFTsamples [J]，，，IEEE Signal Processing Letters, 2011，18 (6): 351-354]，它對 Jacobsen 頻率估計演算法的系數進行了修正。該演算法利用信號N點DFT頻譜中最大的3根譜線對粗估計中的估計誤差進行校正，計算簡單，並且較Jacobsen演算法精度有所提高。但是，由於在該演算法的推導過程忽視了雜訊對信號的影響，當I S I較小時處於主瓣內的第二大譜線和第一旁瓣內的第三大譜線的幅度可能會判斷錯誤，從而導致插值方向錯誤，產生較大的誤差。
[0006]2N 點 DFT 頻率估計演算法由 Fang Luoyang 等於 2012 年提出[FangLuoyang, DuanDongliang and Yang Liuqing, 「A new DFT-based frequency estimator for single-tonecomplex sinusoidal signals [C]，，，2012-MILC0M2012.1EEE, Orlando, FL, Oct.2012],該演算法通過對信號進行2N點的DFT變換，使更多的譜線處於信號頻譜的主瓣內，當信號真實頻率與DFT變換最大譜峰較近時，即在頻率偏差較小的情況下，|X[km-l]|和|X[km+l]值較大，受雜訊干擾的影響很小，從而能得到較高的估計精度，估計方差接近於CRLB(Cramer -Rao lower bound,克拉美羅下限,簡稱CRLB);但該方法的缺點是當信號頻率偏差較大時，IXtkffl-1] I和|X[km+l] I其中之一會減小，受雜訊干擾的影響變大，估計精度降低，頻率估計方差將偏離CRLB。

【發明內容】

[0007]為了解決上述問題，提供一種在任意頻偏下，頻率估計的性能都能達到CRLB的頻率估計方法，本發明提供了一種基於DFT的正弦信號頻率估計方法，主要包括如下步驟:
[0008](a)對信號進行必要的預處理，以便用於頻率估計:
[0009]將信號x(t)經過采樣頻率為fs、采樣點為N的采樣後，得到離散化的原始信號X [n], (n=0, I, 2,…，N-1)；
[0010](b)用Candan演算法對信號x[n]進行頻率粗估計:
[0011]對原始信號χ [η]進行N點FFT變換(Fast Fourier Transformation,快速傅里葉變換，簡稱FFT變換)，得到譜線最大位置km及相鄰兩點km-l、km+l處的DFT變換值X[km-1]、
XtkJ和X[km+1]，利用這三個值計算初始頻率偏差;
[0012](C)修正原始信號:
[0013]利用步驟(b)得到的初始頻率偏差'修正原始信號x[n]，使修正後信號X1 [η]
Cx1W為修正後的信號表達式，η=0, I, 2，- ,Ν-1)的頻率偏差較小；
[0014](d)用2Ν點DFT演算法對信號X1 [η]進行頻率精估計:
[0015]對信號X1 [η]進行2Ν點FFT變換，得到譜線最大位置相鄰兩點km_l、km+l處的DFT變換值X[km-1]和X[km+1]，利用這兩個值計算剩餘頻率偏差式;
[0016](e)頻率估計計算:
[0017]根據步驟(b)得到的初始頻率偏差$和步驟(d)得到的剩餘頻率偏差衣計算得到頻率估計值/
[0018]本發明中所有的符號定義:
[0019]采樣點數:N ;
[0020]采樣頻率:fs ；
[0021]信號頻率:f;
[0022]相對頻率偏差:δ ；
[0023]信號頻率估計值:}
[0024]信噪比:SNR
[0025]均方根誤差:
【權利要求】
1.一種基於DFT的正弦信號頻率估計方法，其特徵在於，包括如下步驟: Ca)對信號進行預處理，以用於頻率估計: 將信號x(t)經過采樣頻率為fs、采樣點為N的采樣後，得到離散化的原始信號x[n]； (b)用Candan演算法對信號χ[η]進行頻率粗估計: 對原始信號X [η]進行N點FFT變換，得到譜線最大位置km及相鄰兩點km-l、km+l處的DFT變換值X[km-1]、X[km]和X[km+1]，利用這三個值計算初始頻率偏差或; (C)修正原始信號: 利用步驟(b)得到的初始頻率偏差$修正原始信號x[n]，得到修正後信號X1 [η]； (d)用2Ν點DFT演算法對信號X1 [η]進行頻率精估計: 對信號X1 [η]進行2Ν點FFT變換，得到譜線最大位置相鄰兩點km_l、km+l處的DFT變換值X[km-1]和X[km+1]，利用這兩個值計算剩餘頻率偏差式; Ce)頻率估計計算: 根據步驟(b)得到的初始頻率偏差^和步驟(d)得到的剩餘頻率偏差5汁算得到頻率估計值/。
2.根據權利要求1所述的方法，其特徵是所述步驟(a)x[n]中的η的取值范圍為:n=0, I,

㈡ 如何用計算請問如何做信道估計中的MMSE估計

MMSE估計就是最小均方誤差估計，通過求得一個合適的信道沖擊響應（CIR），使得通過CIR計算出的接收數據與實際數據的誤差的均方和最小。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
我上個月剛做過基於塊狀導頻信息的LTE物理層上行信道的頻域信道估計以及信道均衡。

部分演算法如下（以下是基於單載波的）

假設循環前綴已經消除了實踐彌散信道帶來的符號間干擾，保證了子載波之間的正交性。並且信道為慢衰落信道，在一個OFDM符號內，可以認為保持不變。

均衡器接收到的信號可以表示為
y(t)=x(t)*h(t)+n(t)

y(t)為均衡器接收到的信號，h(t)為系統等效的沖擊響應，x(t)為原始的輸入信號，n(t)為系統中的雜訊。

信道估計的任務就是在已知發送參考信息的情況下，對接受到的參考信息進行分析，選擇合適的演算法得到參考信息的信道沖擊響應，即h(t),而數據信息的信道沖擊響應則可以通過插值得到。

1) 最小二乘估計（LS）
該演算法的目的是

有正交性原理，則可得LS估計

該估計為無偏估計，每估計一個新到衰落系數只需一次乘法，缺點是受雜訊影響較大。

2) 線性最小均方誤差估計（MMSE）
LMMSE估計屬於統計估計，需要對信道的二階統計量進行估計，利用信道相關性可以置信道雜訊提高估計性能。以最小均方誤差（MMSE）為准則，如下式：

為了降低計算的復雜度，一般將 用它的期望值 代替，信道性能不會產生明顯惡化，則上式可變為

其中 為一個僅與調試的星座的大小有關的值， 為平均信噪比。
該演算法的復雜度較高，隨著X的改變， 須不斷更新。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

不知道你的是物理模型和數據結構是什麼樣的，頻域估計還是時域估計，基於導頻信息還是盲信道估計？

㈢ 信號的功率和能量的具體計算公式

標量的信號能量就是信號幅度平方的積分，如果是數字信號，能量就是各點信號幅度值平方後的求和。

對實測信號(含雜訊)估計信噪比。要估計雜訊的方差，方法是用雜訊有限個樣本的子樣方差(若干不含有用信號的樣本的平方和再除以樣本數目)代替實際雜訊的方差。

能量信號能量信號是一個脈沖式信號，它通常只存在於有限的時間間隔內。非周期的確定性信號為能量有限信號。

(3)信號估計中的演算法擴展閱讀：

能量信號的能量有限，並分布在連續頻率軸上，所以在每個頻率點f上信號的幅度是無窮小；只有在一小段頻率間隔df上才有確定的非零振幅。功率信號的功率有限，但能量無限，它在無限多的離散頻率點上才有確定的振幅。

|S(f)|^2,成為能量譜密度，單位(J/Hz)，表示在頻率f處寬度為df的頻帶內的信號能量，也可以看成是單位頻帶內的信號能量。

㈣ 信號功率的求法

能量有限平均功率為零的信號是能量信號，如單位沖擊信號；
能量無限，平均功率有限的信號是功率信號。
題中信號有一個常量10，平均功率不為零且有限，能量無限，屬於"功率信號「
功率為：10^2+4^2+2^2=120

㈤ 信號的自相關函數的計算方法與特點是什麼

自相關函數，信號在時域中特性的平均度量，它用來描述隨機信號x(t)在任意兩個不同時刻s，t的

取值之間的相關程度，其定義式為

(5)信號估計中的演算法擴展閱讀

自相關函數應用

信號處理中，自相關可以提供關於重復事件的信息，例如音樂節拍（例如，確定節奏）或脈沖星的頻率（雖然它不能告訴我們節拍的位置）。另外，它也可以用來估計樂音的音高。

非正式地來說，它就是兩次觀察之間的相似度對它們之間的時間差的函數。它是找出重復模式（如被雜訊掩蓋的周期信號），或識別隱含在信號諧波頻率中消失的基頻的數學工具。它常用於信號處理中，用來分析函數或一系列值，如時域信號。

㈥ 問一個信號中MUSIC演算法的問題：

隨機信號的功率譜，描述了信號的功率在頻域的分布情況。
如果是實功率譜，那麼它應該完整描述了功率所分布的頻率范圍，以及在不同頻率處的功率的相對強度。
而MUSIC作為一種高解析度的子空間方法，首先其主要應用於離散譜的估計，比如混疊在一起的單頻信號；其頻譜峰值反映了這些主要信號成分所在的頻率位置，但是其並不能反映各信號成分之間的幅度比值（相對強度），也反映不出信噪比水平，所以MUSIC演算法所得到的「譜」被稱為偽譜。

㈦ DOA估計演算法

學號：20000300055

姓名：王鐸澎

嵌牛導讀：文章對DOA演算法進行了簡單的介紹。

嵌牛正文：https://blog.csdn.net/zhangziju/article/details/100730081?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522160689878119725222413438%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=160689878119725222413438&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~_landing_v2~default-1-100730081.pc_first_rank_v2_rank_v28&utm_term=Musicsuanfa&spm=1018.2118.3001.4449

DOA估計演算法

DOA（Direction Of Arrival）波達方向定位技術主要有ARMA譜分析、最大似然法、熵譜分析法和特徵分解法，特徵分解法主要有MUSIC演算法、ESPRIT演算法WSF演算法等。

MUSIC (Multiple Signal Classification)演算法，即多信號分類演算法，由Schmidt等人於1979年提出。MUSIC演算法是一種基於子空間分解的演算法，它利用信號子空間和雜訊子空間的正交性，構建空間譜函數，通過譜峰搜索，估計信號的參數。對於聲源定位來說，需要估計信號的DOA。MUSIC演算法對DOA的估計有很高的解析度，且對麥克風陣列的形狀沒有特殊要求，因此應用十分廣泛。

運用矩陣的定義，可得到更為簡潔的表達式：

X = A S + N X=AS+NX=AS+N

式中

X = [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , . . . x M ( t ) ] T X=[x_1(t),x_2(t),...x_M(t)]^TX=[x1​(t),x2​(t),...xM​(t)]T，

S = [ S 1 ( t ) , S 2 ( t ) , . . . S D ( t ) ] T S=[S_1(t),S_2(t),...S_D(t)]^TS=[S1​(t),S2​(t),...SD​(t)]T，

A = [ a ( θ 1 ) , a ( θ 2 ) , . . . a ( θ D ) ] T A=[a(\theta_1),a(\theta_2),...a(\theta_D)]^TA=[a(θ1​),a(θ2​),...a(θD​)]T，

N = [ n 1 ( t ) , n 2 ( t ) , . . . n M ( t ) ] T N=[n_1(t),n_2(t),...n_M(t)]^TN=[n1​(t),n2​(t),...nM​(t)]T。

X XX為陣元的輸出，A AA為方向響應向量，S SS是入射信號，N NN表示陣列雜訊。

其中 φ k = 2 π d λ s i n θ k \varphi_k=\frac{2\pi d}{\lambda}sin\theta_kφk​=λ2πd​sinθk​有

A = [ a ( θ 1 ) , a ( θ 2 ) , . . . a ( θ D ) ] T = [ 1 1 ⋯ 1 e − j φ 1 e − j φ 2 ⋯ e − j φ D ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e − j ( M − 1 ) φ 1 e − j ( M − 1 ) φ 2 ⋯ e − j ( M − 1 ) φ D ] A=[a(\theta_1),a(\theta_2),...a(\theta_D)]^T=\left[

1e−jφ1⋮e−j(M−1)φ11e−jφ2⋮e−j(M−1)φ2⋯⋯⋱⋯1e−jφD⋮e−j(M−1)φD11⋯1e−jφ1e−jφ2⋯e−jφD⋮⋮⋱⋮e−j(M−1)φ1e−j(M−1)φ2⋯e−j(M−1)φD

\right]A=[a(θ1​),a(θ2​),...a(θD​)]T=⎣⎢⎢⎢⎡​1e−jφ1​⋮e−j(M−1)φ1​​1e−jφ2​⋮e−j(M−1)φ2​​⋯⋯⋱⋯​1e−jφD​⋮e−j(M−1)φD​​⎦⎥⎥⎥⎤​

對x m ( t ) x_m(t)xm​(t)進行N點采樣，要處理的問題就變成了通過輸出信號x m ( t ) x_m(t)xm​(t)的采樣{ x m ( i ) = 1 , 2 , . . . , M } \{ x_m (i)=1,2,...,M\}{xm​(i)=1,2,...,M}估計信號源的波達方向角θ 1 , θ 2 . . . θ D \theta_1,\theta_2...\theta_Dθ1​,θ2​...θD​,由此可以很自然的將陣列信號看作是雜訊干擾的若干空間諧波的疊加，從而將波達方向估計問題與譜估計聯系起來。

對陣列輸出X做相關處理，得到其協方差矩陣

R x = E [ X X H ] R_x=E[XX^H]Rx​=E[XXH]

其中H HH表示矩陣的共軛轉置。

根據已假設信號與雜訊互不相關、雜訊為零均值白雜訊，因此可得到：

R x = E [ ( A S + N ) ( A S + N ) H ] = A E [ S S H ] A H + E [ N N H ] = A R S A H + R N R_x=E[(AS+N)(AS+N)^H] =AE[SS^H]A^H+E[NN^H]=AR_SA^H+R_NRx​=E[(AS+N)(AS+N)H]=AE[SSH]AH+E[NNH]=ARS​AH+RN​

其中R s = E [ S S H ] R_s=E[SS^H]Rs​=E[SSH]稱為信號相關矩陣

R N = σ 2 I R_N=\sigma^2IRN​=σ2I是雜訊相關陣

σ 2 \sigma^2σ2是雜訊功率

I II是M × M M\times MM×M階的單位矩陣

在實際應用中通常無法直接得到R x R_xRx​，能使用的只有樣本的協方差矩陣：

R x ^ = 1 N ∑ i = 1 N X ( i ) X H ( i ) \hat{R_x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}X(i)X^H (i)Rx​^​=N1​∑i=1N​X(i)XH(i)，R x ^ \hat{R_x}Rx​^​是R x R_xRx​的最大似然估計。

當采樣數N → ∞ N\to\inftyN→∞，他們是一致的，但實際情況將由於樣本數有限而造成誤差。根據矩陣特徵分解的理論，可對陣列協方差矩陣進行特徵分解，首先考慮理想情況，即無雜訊的情況：R x = A R s A H R_x=AR_sA^HRx​=ARs​AH，對均勻線陣，矩陣A由

A = [ a ( θ 1 ) , a ( θ 2 ) , . . . a ( θ D ) ] T = [ 1 1 ⋯ 1 e − j φ 1 e − j φ 2 ⋯ e − j φ D ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e − j ( M − 1 ) φ 1 e − j ( M − 1 ) φ 2 ⋯ e − j ( M − 1 ) φ D ] A=[a(\theta_1),a(\theta_2),...a(\theta_D)]^T=\left[

1e−jφ1⋮e−j(M−1)φ11e−jφ2⋮e−j(M−1)φ2⋯⋯⋱⋯1e−jφD⋮e−j(M−1)φD11⋯1e−jφ1e−jφ2⋯e−jφD⋮⋮⋱⋮e−j(M−1)φ1e−j(M−1)φ2⋯e−j(M−1)φD

\right]A=[a(θ1​),a(θ2​),...a(θD​)]T=⎣⎢⎢⎢⎡​1e−jφ1​⋮e−j(M−1)φ1​​1e−jφ2​⋮e−j(M−1)φ2​​⋯⋯⋱⋯​1e−jφD​⋮e−j(M−1)φD​​⎦⎥⎥⎥⎤​

所定義的范德蒙德矩陣，只要滿足θ i ≠ θ j , i ≠ j \theta_i\neq \theta_j,i\neq jθi​​=θj​,i​=j，則他的各列相互獨立。

若R s R_sRs​為非奇異矩陣R a n k ( R s ) = D Rank(R_s)=DRank(Rs​)=D，各信號源兩兩不相干，且M > D M>DM>D，則r a n d ( A R s A H ) = D rand(AR_sA^H)=Drand(ARs​AH)=D，

由於R x = E [ X X H ] R_x=E[XX^H]Rx​=E[XXH]，有：

R s H = R x R_s^H=R_xRsH​=Rx​

即R s R_sRs​為Hermite矩陣，它的特性是都是實數，又由於R s R_sRs​為正定的，因此A R s A … … H AR_sA……HARs​A……H為半正定的，它有D個正特徵值和M − D M-DM−D個零特徵值。

再考慮有雜訊存在的情況

R x = A R s A H + σ 2 I R_x=AR_sA^H+\sigma^2IRx​=ARs​AH+σ2I

由於σ 2 > 0 \sigma^2>0σ2>0，R x R_xRx​為滿秩陣，所以R x R_xRx​有M個正實特徵值λ 1 , λ 2 . . . λ M \lambda_1,\lambda_2...\lambda_Mλ1​,λ2​...λM​

分別對應於M個特徵向量v 1 , v 2 . . . v M v_1,v_2...v_Mv1​,v2​...vM​。又由於R x R_xRx​為Hermite矩陣，所以各特徵向量是正交的，即：v i H v j = 0 , i ≠ j v_i^Hv_j=0,i\neq jviH​vj​=0,i​=j與信號有關的特徵值只有D個,分別等於矩陣A R s A H AR_sA^HARs​AH的各特徵值與σ 2 \sigma^2σ2之和，其餘M − D M-DM−D個特徵值為σ 2 \sigma^2σ2，即σ 2 \sigma^2σ2為R RR的最小特徵值，它是M − D M-DM−D維的，對應的特徵向量v i , i = 1 , 2 , . . . , M v_i,i=1,2,...,Mvi​,i=1,2,...,M中，也有D個是與信號有關的，另外M − D M-DM−D個是與雜訊有關的，可利用特徵分解的性質求出信號源的波達方向θ k \theta_kθk​。

MUSIC演算法的原理及實現

通過對協方差矩陣的特徵值分解，可得到如下結論：

將矩陣R x R_xRx​的特徵值進行從小到大的排序，即λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . ≥ λ M > 0 \lambda_1 \geq \lambda_2\geq...\geq\lambda_M>0λ1​≥λ2​≥...≥λM​>0，其中D個較大的特徵值對應於信號，M − D M-DM−D個較小的特徵值對應於雜訊。

矩陣R x R_xRx​的屬於這些特徵值的特徵向量也分別對應於各個信號和雜訊，因此可把R x R_xRx​的特徵值（特徵向量）劃分為信號特徵（特徵向量）與雜訊特徵（特徵向量）。

設λ i \lambda_iλi​為R x R_xRx​的第i ii個特徵值，v i v_ivi​是與λ i \lambda_iλi​個相對應的特徵向量，有：

R x v i = λ i v i R_xv_i=\lambda_iv_iRx​vi​=λi​vi​

再設λ i = σ 2 \lambda_i=\sigma^2λi​=σ2是R x R_xRx​的最小特徵值R x v i = σ 2 v i i = D + 1 , D + 2... M R_xv_i=\sigma^2v_i i=D+1,D+2...MRx​vi​=σ2vi​i=D+1,D+2...M，

將R x = A R s A H + σ 2 I R_x=AR_sA^H+\sigma^2IRx​=ARs​AH+σ2I代入可得σ 2 v i = ( A R s A H + σ 2 I ) v i \sigma^2v_i=(AR_sA^H+\sigma^2I)v_iσ2vi​=(ARs​AH+σ2I)vi​，

將其右邊展開與左邊比較得：

A R s A H v i = 0 AR_sA^Hv_i=0ARs​AHvi​=0

因A H A A^HAAHA是D ∗ D D*DD∗D維的滿秩矩陣，( A H A ) − 1 (A^HA)^{-1}(AHA)−1存在；

而R s − 1 R_s^{-1}Rs−1​同樣存在，則上式兩邊同乘以R s − 1 ( A H A ) − 1 A H R_s^{-1}(A^HA)^{-1}A^HRs−1​(AHA)−1AH，

有：

R s − 1 ( A H A ) − 1 A H A R s A H v i = 0 R_s^{-1}(A^HA)^{-1}A^HAR_sA^Hv_i=0Rs−1​(AHA)−1AHARs​AHvi​=0

於是有

A H v i = 0 ， i = D + 1 , D + 2 , . . . , M A^Hv_i=0，i=D+1,D+2,...,MAHvi​=0，i=D+1,D+2,...,M

上式表明：雜訊特徵值所對應的特徵向量（稱為雜訊特徵向量）v i v_ivi​，與矩陣A AA的列向量正交，而A AA的各列是與信號源的方向相對應的，這就是利用雜訊特徵向量求解信號源方向的出發點。

用各雜訊特徵向量為例，構造一個雜訊矩陣E n E_nEn​:

E n = [ v D + 1 , v D + 2 , . . . v M ] E_n=[v_{D+1},v_{D+2},...v_{M}]En​=[vD+1​,vD+2​,...vM​]

定義空間譜P m u ( θ ) P_{mu}(\theta)Pmu​(θ):

P m u ( θ ) = 1 a H ( θ ) E n E n H a ( θ ) = 1 ∥ E n H a ( θ ) ∥ 2 P_{mu}(\theta)=\frac{1}{{a^H}(\theta)}E_nE_n^Ha(\theta)=\frac{1}{\Vert E_n^Ha(\theta)\Vert^2}Pmu​(θ)=aH(θ)1​En​EnH​a(θ)=∥EnH​a(θ)∥21​

該式中分母是信號向量和雜訊矩陣的內積，當a ( θ ) a(\theta)a(θ)和E n E_nEn​的各列正交時，該分母為零，但由於雜訊的存在，它實際上為一最小值，因此P m u ( θ ) P_{mu}(\theta)Pmu​(θ)有一尖峰值，由該式，使θ \thetaθ變化，通過尋找波峰來估計到達角。

MUSIC演算法實現的步驟

1.根據N個接收信號矢量得到下面協方差矩陣的估計值：

R x = 1 N ∑ i = 1 N X ( i ) X H ( i ) R_x=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^NX(i)X^H(i)Rx​=N1​∑i=1N​X(i)XH(i)

對上面得到的協方差矩陣進行特徵分解

R x = A R s A H + σ 2 I R_x=AR_sA^H+\sigma^2IRx​=ARs​AH+σ2I

2.按特徵值的大小排序 將與信號個數D DD相等的特徵值和對應的特徵向量看做信號部分空間，將剩下的M − D M-DM−D個特徵值和特徵向量看做雜訊部分空間，得到雜訊矩陣E n E_nEn​:

A H v i = 0 ， i = D + 1 , D + 2 , . . . , M A^Hv_i=0，i=D+1,D+2,...,MAHvi​=0，i=D+1,D+2,...,M

E n = [ v D + 1 , v D + 2 , . . . v M ] E_n=[v_{D+1},v_{D+2},...v_{M}]En​=[vD+1​,vD+2​,...vM​]

3.使θ \thetaθ變化 ，按照式

P m u ( θ ) = 1 a H ( θ ) E n E n H a ( θ ) P_{mu}(\theta)=\frac{1}{{a^H}(\theta)E_nE_n^Ha(\theta)}Pmu​(θ)=aH(θ)En​EnH​a(θ)1​

來計算譜函數，通過尋求峰值來得到波達方向的估計值。

clear; close all;

%%%%%%%% MUSIC for Uniform Linear Array%%%%%%%%

derad = pi/180;      %角度->弧度

N = 8;              % 陣元個數       

M = 3;              % 信源數目

theta = [-30 0 60];  % 待估計角度

snr = 10;            % 信噪比

K = 512;            % 快拍數

dd = 0.5;            % 陣元間距

d=0:dd:(N-1)*dd;

A=exp(-1i*2*pi*d.'*sin(theta*derad));  %方向矢量

%%%%構建信號模型%%%%%

S=randn(M,K);            %信源信號，入射信號

X=A*S;                    %構造接收信號

X1=awgn(X,snr,'measured'); %將白色高斯雜訊添加到信號中

% 計算協方差矩陣

Rxx=X1*X1'/K;

% 特徵值分解

[EV,D]=eig(Rxx);                  %特徵值分解

EVA=diag(D)';                      %將特徵值矩陣對角線提取並轉為一行

[EVA,I]=sort(EVA);                %將特徵值排序 從小到大

EV=fliplr(EV(:,I));                % 對應特徵矢量排序

% 遍歷每個角度，計算空間譜

for iang = 1:361

    angle(iang)=(iang-181)/2;

    phim=derad*angle(iang);

    a=exp(-1i*2*pi*d*sin(phim)).';

    En=EV(:,M+1:N);                  % 取矩陣的第M+1到N列組成雜訊子空間

    Pmusic(iang)=1/(a'*En*En'*a);

end

Pmusic=abs(Pmusic);

Pmmax=max(Pmusic)

Pmusic=10*log10(Pmusic/Pmmax);            % 歸一化處理

h=plot(angle,Pmusic);

set(h,'Linewidth',2);

xlabel('入射角/(degree)');

ylabel('空間譜/(dB)');

set(gca, 'XTick',[-90:30:90]);

grid on;

實現結果

㈧ 信道估計的信道估計的分類

信道估計演算法從輸入數據的類型來分，可以劃分為時域和頻域兩大類方法。頻域方法主
要針對多載波系統；時域方法適用於所有單載波和多載波系統，其藉助於參考信號或發送數
據的統計特性，估計衰落信道中各多徑分量的衰落系數。從信道估計演算法先驗信息的角度，
則可分為以下三類：
（1） 基於參考信號的估計。該類演算法按一定估計准則確定待估參數，或者按某些准則
進行逐步跟蹤和調整待估參數的估計值。其特點是需要藉助參考信號，即導頻或訓練序列。
本文將基於訓練序列和導頻序列的估計統稱為基於參考信號的估計演算法。
基於訓練序列的信道估計演算法適用於突發傳輸方式的系統。通過發送已知的訓練
序列，在接收端進行初始的信道估計，當發送有用的信息數據時，利用初始的信道估計結果
進行一個判決更新，完成實時的信道估計。
基於導頻符號的信道估計適用於連續傳輸的系統。通過在發送的有用數據中插入
已知的導頻符號，可以得到導頻位置的信道估計結果；接著利用導頻位置的信道估計結果，
通過內插得到有用數據位置的信道估計結果，完成信道估計
（2） 盲估計。利用調制信號本身固有的、與具體承載信息比特無關的一些特徵，
或是採用判決反饋的方法來進行信道估計的方法。
（3） 半盲估計。結合盲估計與基於訓練序列估計這兩種方法優點的信道估計方法。
一般來講，通過設計訓練序列或在數據中周期性地插入導頻符號來進行估計的方法比較
常用。而盲估計和半盲信道估計演算法無需或者需要較短的訓練序列，頻譜效率高，因此獲得
了廣泛的研究。但是一般盲估計和半盲估計方法的計算復雜度較高，且可能出現相位模糊（基於子空間的方法）、誤差傳播（如判決反饋類方法）、收斂慢或陷入局部極小等問題，需要較
長的觀察數據，這在一定程度上限制了它們的實用性。

㈨ 經典的數字信號處理的演算法主要包括哪些內容

經典數字信號處理的內容，包括離散時間信號與離散時間系統的基本概念、Z變換及離散時間系統分析、離散傅里葉變換、傅里葉變換的快速演算法、離散時間系統的相位與結構、數字濾波器設計（IIR、FIR及特殊形式的濾波器）、信號的正交變換（正交變換的定義與性質、K-L變換、DCT及其在圖像壓縮中的應用）、信號處理中若干典型演算法（如抽取與插值、子帶分解、調制與解調、反卷積、SVD、獨立分量分析及同態濾波）、數字信號處理中的有限字長問題及數字信號處理的硬體實現等；下篇是統計數字信號處理的內容，包括平穩隨機信號的基本概念、經典功率譜估計、參數模型功率譜估計、維納濾波器及自適應濾波器等。