分形維數計演算法

❶ 分形維數表達的是一個什麼概念

表達了有一些看上去不規則的事物實際上可以用內在的規律表徵，這個表徵就是分形（fractal），表徵的程度就是分形維數（fractal dimension），分形更是一種認知自然世界的世界觀、方法論，你需要去看書，多看相關的東西，才能有深刻的了解，我只是編制過分形維數計算程序，有一些了解，好久都沒看了，加油好好學。。。

❷ 迭代、分形和混沌

地球物理場能量很小，除天然地震震源物理研究外，場正演問題都歸結為線性偏微分方程。但是，反問題都是非線性的。

5.1.1 牛頓迭代與分形

非線性迭代的最基本方法是牛頓迭代法。也就是說，將函數展成台勞級數，略去高次項，從一次項中提出修改增量和Jacobian矩陣，構成線性方程組。牛頓迭代法收斂很快，但是收斂取決於初始猜測。

1988年，Petigen與Saupe的論文集中發表了一個有趣的試驗結果，他考慮以下簡單的非線性方程

z³-1=0 （5.1.1）

此方程的一個實根為z=1，兩個復根為

z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）

用牛頓迭代格式

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來逼近，得到的是實根還是哪一個復根？

當然，初值z₀可以是復平面z=x+iy中的任一點。可以猜測，z₀在復平面上可以分為若干個區域，z₀在某個區域用式（5.1.3）作迭代後收斂，在另外的區域收斂於復根。習慣於線性思維的人會認為這些區域是有清晰邊界分開的幾塊，如z₀等於1的鄰域牛頓迭代將收斂於實根z=1，它的面積大約佔z平面的1/3左右，而其他區域收斂於復根。事實並非如此，初值z₀的收斂域是分形的，如圖5.1所示。從圖5.1 可見，黑色區域的面積的確是選初值區域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的邊界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。為什麼像式（5.1.1）那麼簡單的迭代格式會導致這么復雜的分形圖像？為什麼初值在這種邊界上的微小變化會使迭代收斂到完全不同的根？

圖5.1 實虛軸在（-2，2）范圍內的復平面z黑色區域經牛頓迭代後收斂於實根z=1初值區，白色為收斂於復根的區域

問題歸結為方程（5.1.1）的非線性，而非線性是系統走向混沌的必要條件。對於非線性系統，初值的微小變化會使系統狀態在幾個「吸引子」之間回彈，其幾何表現就是分形。

5.1.2 分形地球模型

本書把地球參數看成是實函數集，即Hilbert空間的元，這是確定性模型。確定性模型隱含著地球物質有序分布的假定，而隨機模型隱含著地球物質隨機分布的假定。我們現在進一步假定地球物質分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的層次結構，這就導致地球的分形模型。

從分形的觀點描述地球的根據是：地球是無標度的復雜對象，其尺度可由幾毫米的微裂縫到上萬公里的地球直徑，而不同尺度之間的現象具有相似性。

人有特徵尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的東西也有特徵尺度，如火車的高度在2m上下，輪船和高樓平均為幾十米，這種特徵尺度稱為標度。

自然現象一般具有多尺度的特徵，沒有特徵尺度。分形幾何學把不同尺度的現象用標度律聯系起來

p（λt）=λ^αp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）

式中p（t）為某種層次的尺度，p（λt）為它放大λ倍之後的尺度，α為標度指數。而

D₀=2-α （5.1.5）

等於Mandelbrot分維數。

維數指的是幾何對象中的一個點所置的獨立坐標的個數，如地球表面的一個點用經緯度表示，它的維數是2。在分形幾何學中，維數可以為分數，分數的維數稱為分維數。

對二維情況，一個正方形每邊都放大3倍（尺度放大），則變為9個原正方形，有

2=l n9/l n3

對整數維為d的幾何對象，每個方向都放大L倍，結果得到N個原來的對象，有

d=lnN/lnL

每個方向放大L倍等效於此方向測量尺度（或度量的單位）縮小為原來的ε=1/L倍。因此，在一般情況下，用很小的度量單位ε研究對象的尺度變化時，可定義

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這就是Mandelbrot分形維。

1992年Korvin編了一本名為《地學中的分形模型》的書，書中列舉了與地球科學有關的許多分形模型。其中談到，1984年美國地調所出動數十輛消防車對內華達岩石出露區進行沖洗，然後對其裂隙作詳細填圖，得出該區裂隙系統的平均分維數為1.744。用大尺度的區域斷裂構造圖計算此區斷裂系統的分維數為1.773，證實了不同層次的地球斷裂系統之間具有自相似性。陳顒與特科特等人的專著對此也有精彩的描述。

關於分形幾何學與其他分維數（如相關維D₂、信息維D₁等）的討論詳見有關專著。以下只介紹對時間序列計算分形維D₀的方法。傳統的介紹D₀分維數的方法多用時間系列的功率譜計算。由於地球物理資料的功率譜在高頻段含有大量噪音，這種計算方法幾乎不能用。我們只研究以下演算法，在反射地震資料處理上取得良好效果。

對平面曲線，其總長度為

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式中：ε為度量單位（尺子）；N為量得的尺數；f為尺子量完後的剩餘長度（f＜ε）；D₀為Mandelbrot分形維數。將式（5.1.7）兩邊取對數，有

ln（N+f/ε）=-D₀lny+lnL （5.1.8）

設時間序列為 ｛s₁，s₂，…，s_m｝，取樣率為Δt，則用ε₁=Δt為尺子量出它對應的曲線長度為

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再令ε₂=2Δt為尺子量出，有

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取ε₃=4Δt，有

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將式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程

ln（N_j+f_j/ε_j）=-D₀lnε_j+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）

用最小二乘法易求出方程組（5.1.12）中的兩個未知數D₀和L。當然，還可取ε₄=8Δt等，以提高求分形維D₀的准確度。下節還要提到，反演迭代輸出序列的分形維是指示迭代狀態的一種有用參數。

5.1.3 非線性迭代與混沌

設x_n為第n步的迭代輸出，x_n+1為下一步的迭代輸出，二次方程

x_n+1=rx_n（1-x_n） （5.1.13）

雖然很簡單，但迭代過程（演化）卻是很復雜的。這個方程稱為May生態方程。將x_n+1及x_n視為若干年後池塘中大魚的產量，由於x_n越大繁殖就越多，所以x_n+1與它成正比；又因大魚越多吃的小魚也越多，x_n+1又與（1-x_n）成正比。這就是生態方程的含義，系數r與飼料總量有關。

將x_n及x_n+1視為若干年後你的一筆銀行存款的總值，當年存款x_n越多次年本利就越多，所以x_n+1與x_n成比例。但是，存款越多銀行利率下降越多，x_n+1又與（1-x_n）成比例。系數r為控制參數，與銀行存款總量有關。可見，生態方程反映許多自然與人文發展的規律。

將（5.1.13）式中的x_n+1視為常數，則它是一個關於x_n的二次方程，有兩個根。這意味著演化問題存在兩種選擇（線性問題只有一種選擇）。x_n有兩種選擇將造成迭代輸出不穩定，在兩種選擇中跳來跳去。例如，池塘魚的產量和水果產量常出現大年與小年的區別，這種演化成為二齒分叉（Pitchfork bifurcation）。

分叉取決於控制參數r，二齒分叉可能不斷進行下去，即由兩叉變四叉，四叉變八叉。具體地說，隨r從很小變到r=r₁=1.0時，開始第一次分叉。當r=r₂=3時，再次分四叉等等。此後，迭代變得非常不穩定，並很快變得沒有規律和不可預測（即混沌）。

圖5.2示出二次映射的迭代輸出隨控制系數的分叉過程，以及相應的Lyapunov指數。由圖可見，二次映射迭代隨外部控制參數r的增大導致有規律的分叉，直至走向混沌。

圖5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代輸出x_n隨r的變化，黑色區表示混沌區（a），以及Lyapunov指數的變化（b）

在非線性動力學中，混沌指的是非線性系統演化的一種不確定和無規則狀態。分叉、間歇、突變（如相變）都是典型的不規則狀態。在地球科學中，火山爆發是典型的間歇，地震發生是能量的突然釋放，其形成的斷裂裂隙具有分形結構。

混沌發生的必要條件是系統為非線性。多層次的復雜非線性系統（如人類社會）由於其自組織的困難，較易演化為混沌運動（如戰爭）。開放的耗散（Dissipative）系統由於固有的非線性性質，也經常出現混沌。但是，非線性只是混沌運動發生的必要條件，而不是充分條件。混沌運動的特徵如下。

（1）不可預測性，指初始條件有微小的差別將導致最終結果迥然不同。設迭代映射方程為x_n+1=f（x_n），例如當f為二次函數時，它變成（5.1.13）的May生態方程。f在一般情況下指任何導致混沌結果的函數。如果初始條件x₀帶有微小的誤差ε₀，經過N次迭代後其誤差被指數放大，記f_N（x₀+ε）為帶誤差的迭代輸出，有

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因此定義

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為Lyapunov指數。還可將式（5.1.15）寫為

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可見Lyapunov指數表示經N次迭代後系統演化軌道加速偏離的指數。設|ΔI|為經過一次迭代後系統信息的平均損失，有

λ（x₀）=ln2|ΔI| （5.1.17）

說明λ與|ΔI|成正比。根據Shannon資訊理論，系統信息量等於該系統作完備描述編碼所需的最小bit數目。當λ＞0時，每次迭代的信息損失都大於零，系統的熵不斷增大以導致混沌的發生。圖5.2（b）示出了二次迭代的λ隨r的變化並將它與系統的分叉和混沌作對比。由圖可見，λ＜0時對應的系統穩定，在λ=0的點系統發生分叉，而λ＞0的點對應混沌。因此，Lyapunov是指示狀態的重要標量參數。

（2）整體行為的有規律性。雖然系統在未來的具體狀態具有不確定性和不可預測，但是「表面上看起來瘋狂雜亂，其實自有規矩」（莎士比亞）。所有系統演化的軌跡形成的相空間的圖形中，存在若干個吸引軌跡的若干個很小的空間（成為吸引子），使軌跡不斷收縮到其中，或者突跳到另一個吸引子附近。這種現象表示整體行為仍具有整體性。

整體行為的規律性還表現在不同層次的運動的相似性（分形）上。Feigenbaum證明，無論是哪種形如x_n+1=f（x_n）的混沌運動，其轉化為混沌的尺度特徵都由兩個普適常數控制，更說明混沌理論具有整體規律性。

形式周期性，混沌狀態的發生有時會重復出現，但這種重復是不確定的。例如，大地震的發生時多時少，既包括高頻度的重復出現，又沒有準確的周期。

非線性科學研究的全面展開，還是20世紀90年代的事。19世紀建立了線性科學的理論框架，它在20世紀發展為完整的體系。但是非線性科學理論框架的建立，將是21世紀的事。對正問題的研究尚且如此，對非線性問題的研究更加零星。接下來介紹根據混沌理論進行非線性反演的一些實例。

❸ 分形的盒維數的定義是什麼

就是一種測量距離空間(X, d)（特別是豪斯多夫空間）比如歐氏空間 Rn 中分形維數的計算方法

❹ 分形維數的計算方法有那些能具體說一下嗎

它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到局限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間數據列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射映射嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞歸集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，范圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞歸集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱巨的任務。 自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關系密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康托集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函數的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標准二次映射迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）局部不連通的分形集；（2）局部連通的分形擬圓周；（3）既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。 動力系統中另一類分形集來源於復平面上解析映射的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的迭代把復平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想像力，因此他們的智力成就受到局限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復映射fc ，其朱利亞集J（fc）隨參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為復平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或復平面而J（fc）是康托塵或連通集。 復平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。 M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的復雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。 巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函數的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。 一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性映射迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。 多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。 在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與復雜性，復數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。

❺ 分形維數計算用什麼軟體

採用MATLAB，編寫過分形維數計算程序，發過冊廳歷兩篇文章州搜，《壓頭作用下岩石破碎過程分形特性研究》及《非均質岩石單軸壓縮試驗破壞伏枝過程細觀模擬及分形特性》，已經成功運行，如需要，可聯系。

❻ 煤的孔隙非均質性對甲烷吸附的影響

煤的孔隙非均質性對煤吸附甲烷的影響主要體現在孔徑小於100nm的吸附孔上。雖然以往的研究已經認識到煤的微孔和小孔具有異乎尋常的內表面積，是決定煤吸附甲烷巨大潛力的主要因素。然而很少有關於煤的微小孔結構和孔表面對煤的吸附能力和吸附特徵影響的深入報道。筆者將藉助於分形數學手段來探索煤的吸附孔的孔表面和孔結構的非均質性特徵，並進一步探測煤對甲烷的吸附行為，研究其吸附機理。

研究煤的吸附孔的分形特徵時，採用傳統的液氮比表面和孔徑測試法進行（詳細方法參見前節內容）。研究樣品選自華北地區9個典型礦區，樣品具有很強的代表性。所選樣品的鏡質組反射率為0.79％～4.24％，碳含量為51.96％～82.30％，灰分產率為4.96％～37.16％，水分含量除兩個樣品較高（4.04％和6.58％）外，其餘均為0.62％～1.68％。煤岩顯微組分中鏡質組為7％～84％，惰質組為12％～73％（表2.11）。

表2.11 研究煤樣的煤岩和煤化學特徵

根據液氮測試結果，所有樣品的BET比表面積為0.3～4.7m²/g，平均孔徑為1.9～11.4nm，BJH總孔容為（1.3～14.39）×10^-3mL/g，孔隙結構中以微孔和小孔對總孔容和總比表面積的貢獻最大（表2.11）。據甲烷等溫吸附結果，樣品收到基的蘭氏吸附體積在4.11～20.83m³/t，蘭氏壓力為0.16～3.4MPa（表2.12）。

表2.12 研究煤樣的液氮吸附分析實驗結果

①孔徑范圍為1.7nm到300nm；②通過BJH法計算獲得；③通過BET法計算獲得；④孔徑范圍為小於10nm；⑤孔徑范圍為10～100nm；⑥孔徑范圍為大於100nm。

2.6.1.1 煤的吸附孔分形維數計算

採用煤的液氮吸附實驗中相對壓力和吸附量的數據可計算煤的吸附孔的分形維數，計算方法主要有分形BET模型（Brunauer-Emmett-TellerModel）、分形FHH（Frenkel-Halsey-Hill）模型和熱力學模型等方法（Xuet al.，1997；Garbacz，1998；Nakagawaet al.，2000；Gaudenet al.，2001；Huet al.，2004a，2004b）。在這些方法中分形FHH模型方法是應用較多的一種計算模型（Qiet al.，2002；Pyunet al.，2004；Shafeiet al.，2004；Rigby，2005；Leeet al.，2005；2006；Wee，2006）。分形FHH方法的來源和計算原理已在國內外眾多文獻中進行過報道，如Pfeifer等（1983，1989），Avnir等（1989），Yin（1991），Drake等（1994），Ismail等（1994）和Wu（1996）。因此，這里僅對這種方法作簡要綜述。

根據FHH模型原理，利用吸附壓力和吸附量的數據，可根據如下方程計算煤的吸附孔分形維數：

煤儲層精細定量表徵與綜合評價模型

式中：V為平衡壓力P下吸附的氣體分子體積；V₀為單分子層吸附氣體的體積；P₀為氣體吸附的飽和蒸汽壓；A為取決於煤的微小孔分形維數D及煤的吸附機制的一個冪指數常數；a為常數。其中，A值可通過吸附體積和相對壓力倒數的對數線性關系（lnV和ln（ln（P₀/P）））的斜率求得。獲得A值後，可進一步計算煤的吸附孔分形維數。值得指出的是，在通過A計算D時，不同的學者基於不同的吸附理論提出了兩種不同的計算方法，且至今未達成共識（Qiet al.，2002；Pyunet al.，2004；Rigby，2005）。

一種觀點認為煤對氮氣的吸附是一種單分子層吸附行為，受吸附質和吸附劑（氣—固）界面之間的范德華力所控制，此時分形維數的計算表達式為：

煤儲層精細定量表徵與綜合評價模型

另一種觀點認為氣—固界面間的范德華力相對於氣液界面之間的表面張力可以忽略不計，煤對氮氣的吸附行為主要受毛管凝聚效應所控制，因此分形維數的計算表達式為：

煤儲層精細定量表徵與綜合評價模型

為了確定比較科學的分形維數計算方法，下面對采自我國北方的13塊煤岩樣品的吸附和脫附曲線進行分析。

對實測的煤的吸/脫附曲線（圖2.33）分析發現，煤的液氮吸、脫附曲線主要有類型A和類型B兩種（表2.13）。其中類型A（圖2.33a-g）的主要特點是，吸、脫附曲線分支在相對較低的壓力時是可逆的，而在相對較高壓力（P/P₀>0.5）時，吸、脫附分支存在明顯的滯後環，各個樣品的滯後環均出現在相對壓力約為0.5。類型B（圖2.33h-m）的主要特點是，在整個相對壓力段，吸、脫附分支始終平行而不存在明顯的滯後環。如前文所述，煤的吸、脫附曲線間存在滯後環的主要原因是由於煤在吸、脫附氣體過程中，微、小孔間存在明顯的孔徑或孔喉差異而引起的（Khaliliet al.，2000；Qiet al.，2002；Sing，2004），滯後環尤其在以「細頸瓶」型孔發育的煤中較常見。

根據Kelvin方程，計算相對壓力為0.11時所對應的產生毛細凝聚的最大孔半徑為0.43nm。在如此小的毛細孔隙里，氮氣分子（分子直徑約為0.3nm）只能以單個排列的方式充填在里邊，而不可能再進行多分子層吸附，所以當相對壓力小於0.11時，發生的只是在超微孔中的毛細充填以及在較大孔壁上的單分子層吸附，此時分形維數應該按照方程（2.4）進行計算。當相對壓力大於0.11時，半徑小於0.43nm的超微孔都已被填滿，隨著相對壓力增大，單分子層吸附便開始向多層吸附過渡。此時，當相對壓力和某種孔的孔半徑符合Kelvin方程時，便會在這種孔半徑的孔里發生毛細凝聚，因此當相對壓力大於0.11時毛細凝聚便開始起作用。這時，選擇方程（2.4）還是方程（2.5）進行分形維數的計算取決於兩種吸附機制中哪種起主導作用。

表2.13 基於分形FHH模型的微小孔分形維數的計算結果

①類型A為存在滯後環；類型B為不存在滯後環。

由於所有實驗樣品的A類吸/脫附曲線均在相對壓力0.5左右產生滯後環，這也反映了在這個壓力前後所測試的孔隙在大小和形態上存在較大差異，同時造成了在此壓力前後存在不同的吸附行為（圖2.33）。為此，這里以相對壓力0.5為分界點，分別應用方程（2.4）和方程（2.5）兩種方法來計算P/P₀<0.5和P/P₀>0.5兩段的分形維數值（表2.13）。從計算的結果看，不論是A類還是B類吸/脫附曲線，在兩個相對壓力段（P/P₀<0.5和P/P₀>0.5），雙對數曲線呈現不同的斜率，且兩者均擬合較好（圖2.34），這說明在這兩個相對壓力段確實存在兩個不同的孔隙分形維數（D₁和D₂）。

對比表2.13中採用兩種方法計算的分形維數值，發現無論是對於D₁還是D₂，通過方程式「A＝（D-3）」計算的分形維數值均在2和3之間，而通過表達式「A＝（D-3）/3」計算的結果偏小，大部分均小於2。由於孔表面或孔結構的分形維數一般都在2～3之間（Pfeiferet al.，1983；謝和平，1996），顯然「A＝（D-3）/3」計算的結果已經脫離分形的意義。因此，採用「A＝（D-3）」的計算結果進行下一步分析。

圖2.33 研究煤樣的液氮吸、脫附曲線

圖2.34 研究煤樣的液氮吸附體積和相對壓力的雙對數曲線

從兩種分形計算方法的對比看，方程（2.5）的計算結果相對可靠，也進一步說明無論在相對低壓階段還是在相對高壓階段，煤的氮氣吸附機制中，均以氣—液界面之間的表面張力（或毛管凝聚力）起主導作用。根據方程（2.5）分別計算了P/P₀<0.5和P/P₀>0.5兩段的分形維數D₁和D₂（表2.13）。從計算結果看，D₁值相對較低，為2.346～2.73，而分形維數D₂值相對較高，為2.436～2.852，D₁和D₂沒有明顯的相關關系。對比兩種類型的樣品發現，存在滯後環的類型A的分形維數D₂均較不存在滯後環的類型B的D₂要高，而兩種類型煤的D₁的規律不明顯。這說明兩種類型吸/脫附曲線所代表的樣品的較小吸附孔（<1.38nm）的微孔結構差異不大，存在滯後回線的樣品的較大吸附孔（>1.38nm）的孔隙結構明顯要比不存在滯後環的樣品復雜。

2.6.1.2 分形維數與吸附能力的關系

如前所述，煤的甲烷的吸附能力主要受煤的物理、化學特徵（如煤級、煤岩組分、灰分、水分等）和溫度、壓力、原地應力等外界條件所控制，這種認識已經被大量的研究所證實。然而，關於煤的微小孔分形特徵對煤的吸附甲烷能力的研究還未見報道。因此，筆者通過對兩個分形維數與煤的最大甲烷吸附容量（蘭氏體積，VL）的關系研究，來進一步探討煤的吸附孔的孔徑結構對煤的吸附能力的影響。

分形維數D₁與煤的吸附能力（收到基和乾燥無灰基的蘭氏體積）的關系如圖2.35所示。分形維數D₁與煤的甲烷吸附的蘭氏體積呈現顯著的二項式的相關關系。在分形維數D₁<2.5時，分形維數較高的煤並不具有明顯較強的甲烷吸附能力；而當D₁>2.5時，甲烷吸附能力隨煤的分形維數增高而增強。相比較而言，分形維數D₂與煤的甲烷吸附能力呈弱的線性負相關關系，如圖2.36所示。說明分形維數D₂越高的煤的甲烷吸附能力越低。同時，分形維數D₁對煤的吸附能力的影響較大，而D₂影響較小。主要原因是，煤對甲烷的吸附大部分為孔隙表面的吸附，僅有少部分為孔隙填充吸附，而分形維數D₁恰恰反映了煤的微孔表面的分形維數，而分形維數D₂恰恰反映了煤的微小孔的孔結構的分形維數。關於分形維數D₁和D₂的區別以及兩者所代表的不同的分形維數，將在下文詳細探討。

圖2.35 分形維數D₁和蘭氏體積V_L的關系

圖2.36

2.6.1.3 分形維數與煤的物質組成的關系

如前所述，分形維數D₁和D₂對煤的甲烷吸附能力具有完全不同的影響，為了進一步研究兩者的差別，這里主要調查了兩個分形維數與煤的物質特徵參數，如煤級、組成等的關系，以及煤的孔隙特徵參數，如微小孔比表面、平均孔徑、微孔體積等的關系。

兩個分形維數與煤的物質特徵參數的關系如圖2.37～圖2.40所示。分形維數D₂與煤的水分含量呈「倒U」型的相關關系，即在水分含量小於2％時，隨著煤中水分含量的增高，煤的吸附能力越強；而當水分含量大於2％時，兩者關系恰好相反。相比較，分形維數D₁與煤的水分含量沒有顯著的相關關系。這說明，煤中的水分含量對煤的分形維數D₂具有顯著影響，而對D₁沒有顯著影響。比較兩個分形維數與煤的吸附能力的關系發現，D₂可能反映了煤的孔結構的分形維數。當煤吸附甲烷時，氣/液相的水分子可能引起吸附分子在吸附表面的振動，形成氣液表面張力而影響吸附。在煤的水分含量少於2％時，由於氣液表面張力的存在煤表面並未完全被吸附質所覆蓋，因此水分含量越高則分形維數越高；當煤的水分含量大於2％時，隨著水分含量的增加，氣液表面張力消失，孔隙結構因被水分子充填而變得均一，因此水分含量越高，其表面的分形維數越低。D₁則反映了煤的表面分形維數，對煤中的水分含量變化的關系不明顯（圖2.35）。

圖2.37 分形維數（D₁和D₂）與煤的內在水分含量的關系

兩個分形維數與煤的灰分產率的關系如圖2.38所示。由圖中可知，分形維數D₂與煤的灰分產率呈弱—中等的線性正相關關系，這是因為D₂代表了煤的孔結構的分形維數，因此對煤中的灰分變化規律較明顯。煤中的灰分會充填煤的微孔，造成孔隙結構的非均質性增強，因此分形維數增高。相比較，D₁則代表了煤的孔表面分形維數，因此分形維數D₁與煤的灰分產率的關系並不明顯。

圖2.38 分形維數（D₁和D₂）與煤的灰分產率的關系

兩個分形維數與煤的碳含量關系如圖2.39所示。分形維數D₂與煤中碳含量呈「U型」關系，在碳含量為70％～80％時取得極小值，這個研究結果與徐龍君等（1996）研究中指出的煤的分形維數和H/C原子比的關系的研究可相互印證。當煤中碳含量少於75％時，隨著碳含量增高，分形維數D₂迅速減少，這是由於煤熱演化中的脫揮發分作用和去氫化作用使得煤的碳含量逐漸增高，灰分和水分等含量逐漸減低。因此高碳含量的煤一般具有較低的灰分和水分含量，同時也一般具有較低的分形維數。而當碳含量大於75％時，碳含量越高，分形維數D₂越高，主要是因為此時脫揮發分作用已不再起主導作用，而起主導作用定的是隨著碳含量增高煤的微孔含量和微孔體積逐漸增高這個因素。較高的微孔含量導致了高碳含量的煤具有較高的分形維數。分形維數D₁與煤的碳含量的關系呈現微弱的負相關關系，這可能是由於碳含量較高的煤的基本結構單元中微晶結構排列越均一化，其孔表面的分形維數D₁也相應越小。

圖2.39 分形維數（D₁和D₂）與煤的碳含量的關系

圖2.40 分形維數（D₁和D₂）與煤的鏡質組反射率的關系

分形維數D₁和D₂與煤的煤級、顯微組成均沒有顯著的相關關系，是因為煤級和煤的顯微組成與煤的灰分和水分等其他關系密切相關，而這些因素又與煤的分形維數（D₁和D₂）呈現不同的相關關系，所以導致分形維數和這些因素間的規律並不明顯。

2.6.1.4 分形維數與煤的孔隙結構的關系

如前所述，分形維數D₁可能代表了煤的孔表面的分形維數，而分形維數D₂可能代表了煤的孔結構分形維數。進一步研究這兩個分形維數與煤的孔隙結構的關系可以更好的證明兩者各自所代表的物理意義。因此，這里研究了兩個分形維數與煤的微小孔比表面積、平均孔直徑及微孔能力的關系。

兩個分形維數與煤的微小孔比表面積的關系如圖2.41所示。由圖中可知，分形維數D₁與煤的比表面積呈線性正相關的關系。煤的比表面積越高，其分形維數D₁越高。相比較，D₂與煤的比表面積呈典型的「倒U型」的關系，當煤的比表面積約為3m²/g時，煤的分形維數D₂取得極大值。

兩個分形維數與煤的平均孔徑的關系如圖2.42所示。D₂與煤的平均孔徑呈顯著的線性負相關關系，其相關關系的擬合優度高達0.85，說明D₂主要與煤的孔徑結構有關。分形維數D₂較高的煤一般具有復雜的孔隙結構（或者說孔喉發育異常復雜），這也證明了D₂主要表徵了煤的孔結構的分形維數。因為分形維數D₁僅表徵煤的孔表面的分形維數，因此與煤的平均孔徑並沒有顯著的相關關系。

圖2.41 分形維數（D₁和D₂）與煤微小孔比表面積的關系

圖2.42 分形維數（D₁和D₂）與煤平均孔直徑的關系

圖2.43為兩個分形維數與煤的微孔比例的關系。由圖中可知，D₂與煤的微孔能力（包括微孔含量和比例）具有顯著的正相關關系，而D₁與煤的微孔能力的關系並不明顯。原因同樣是因為D₁代表了煤的孔表面的分形維數，而D₂則代表了煤的孔結構分形維數。

圖2.43 分形維數（D₁和D₂）與煤的微孔百分比的關系

2.6.1.5 孔隙非均質性對煤的吸附能力的影響

一般來說，描述多孔物質的分形特徵主要有孔表面積分形維數和孔結構分形維數兩種（Pyunet al.，2004）。孔表面積分形維數代表了煤表面的非均一性程度，分形維數越大，表面越不光滑。孔表面積分形維數等於2代表了非常平滑的孔隙表面，而分形維數等於3則代表了非常粗糙的孔隙表面。孔結構分形維數代表了煤的孔結構的非均一性，分形維數越大，孔徑的孔喉越小，連通性越差。孔結構分形維數等於2時代表了非常均一的孔隙結構，而分形維數等於3時則代表了異常復雜的孔隙結構。因此，為了研究煤的吸附孔的分形特徵，這兩個分形維數都必須考慮。如前所述（圖2.35～圖2.43），分形維數D₁主要與煤的比表面積的相關性較大，因此分形維數D₁代表了孔表面積的分形維數；而D₂則主要與煤的微孔含量、平均孔徑、灰分和水分含量等關系密切，它代表了煤的微小孔的孔結構的分形維數（Yaoet al.，2008b）。

在煤吸附甲烷的初始階段，孔表面積分形維數起主導作用。隨著相對壓力的增高，單分子層吸附飽和後，進入多分子的微孔充填過程，這時孔結構的分形維數開始發揮作用（圖2.44）。吸附的早期階段以單分子層微孔表面吸附為主，分形維數D₁起主導作用；而隨著吸附壓力增高，吸附表面覆蓋較高時，煤的微小孔填充開始發揮作用，即分形維數D₂開始發揮作用。總之，兩者對煤的吸附能力均具有重要作用，然而由於煤的吸附以表面吸附為主，因此分形維數D₁對煤的吸附能力的影響較大，而分形維數D₂對煤的吸附能力的影響相對較小。

圖2.44 煤吸附甲烷的過程和階段示意

進一步比較兩個分形維數發現，D₁和D₂與煤對甲烷的吸附過程密切相關。煤對甲烷的吸附過程可以總結為單分子層的吸附過程和多分子層的吸附過程（Khaliliet al.，2000）。在單分子層吸附階段，微孔吸附起主導作用，吸附的能力主要來自於氣—固界面間分子的范德華力，分形維數D₁也反映了煤分子和氣體分子間的范德華力作用。在多層吸附充填階段，微孔表面已經大部分覆蓋飽和，此時微孔和小孔的充填作用開始發揮作用，吸附能力受氣—液間的表面張力或分子凝聚現象所影響（Qiet al.，2002；Sing，2004），分形維數D₂表徵了這種力學行為。

綜上可知，在研究煤對甲烷的吸附特徵時，分形維數D₁和D₂都必須考慮。這兩個分形維數對煤的吸附甲烷能力產生了不同的影響。一方面，分形維數D₁越高，煤的微孔表面越粗糙，其提供的吸附位越多，煤的甲烷吸附能力越強。另一方面，分形維數D₂越高，煤的孔結構越復雜，毛管濃縮效應越強，煤的甲烷吸附能力降低。孔表面分形維數越高而孔結構分形維數越低的煤的甲烷吸附能力越強。

❼ 請問關聯維數（分形維數）和分數維有什麼聯系與區別

關聯維數實際上是分形維數的一種，因為有很成熟的G-P演算法的存在，利於計算和應用。

分形維數除了用分形維數計算，還可以用盒子維數來計算，此外還有折線法等等。

關聯維數（分形維數）等於二減去赫斯特指數，分數維是赫斯特指數的倒數，都是經驗公式。很多情況下並不滿足，理論上的分形維數應該是豪斯道夫維數，但這很難計算。

❽ 怎樣用matlab計算分形盒維數呢！

根據計盒維數原理求一維曲線分形維數的matlab程序
function D=FractalDim(y,cellmax)
%求輸入一維信號的計盒分形維數
%y是一維信號
%cellmax:方格子的最大邊長,可以取2的偶數次冪次(1,2,4,8...),取大於數據長度的偶數 %D是y的計盒維數（一般情況下D>=1）,D=lim(log(N(e))/log(k/e)),
if cellmax<length(y)
error('cellmax must be larger than input signal!')
end
L=length(y);%輸入樣點的個數
y_min=min(y);
%移位操作，將y_min移到坐標0點
y_shift=y-y_min;
%重采樣，使總點數等於cellmax+1
x_ord=[0:L-1]./(L-1);
xx_ord=[0:cellmax]./(cellmax);
y_interp=interp1(x_ord,y_shift,xx_ord);
%按比例縮放y，使最大值為2^^c
ys_max=max(y_interp);
factory=cellmax/ys_max;
yy=abs(y_interp*factory);
t=log2(cellmax)+1;%疊代次數
for e=1:t
Ne=0;%累積覆蓋信號的格子的總數
cellsize=2^(e-1);%每次的格子大小
NumSeg(e)=cellmax/cellsize;%橫軸劃分成的段數
for j=1:NumSeg(e) %由橫軸第一個段起通過計算縱軸跨越的格子數累積N(e) begin=cellsize*(j-1)+1;%每一段的起始
tail=cellsize*j+1;
seg=[begin:tail];%段坐標
yy_max=max(yy(seg));
yy_min=min(yy(seg));
up=ceil(yy_max/cellsize);
down=floor(yy_min/cellsize);
Ns=up-down;% 本段曲線佔有的格子數
Ne=Ne+Ns;%累加每一段覆蓋曲線的格子數
MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業數學軟體，用於演算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和互動式環境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。
MATLAB是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）。是由美國mathworks公司發布的主要面對科學計算、可視化以及互動式程序設計的高科技計算環境。它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和模擬等諸多強大功能集成在一個易於使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，並在很大程度上擺脫了傳統非互動式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟體的先進水平。
MATLAB和Mathematica、Maple並稱為三大數學軟體。它在數學類科技應用軟體中在數值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現演算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用於工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。
MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，並且MATLAB也吸收了像Maple等軟體的優點，使MATLAB成為一個強大的數學軟體。在新的版本中也加入了對C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。

❾ 分維數的定義與計算

分形（B.B.Mandelbrot，1982）是其組成部分以某種方式與整體相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）.它是以分維數、自相似性、統計自相似性和冪函數等為工具，研究不具有特徵標度，極不規則和高度分割但具有自相似性的復雜現象（如地形起伏、雲朵、水系、樹的形態等），定量描述這種自相似性的參數稱為「分維數」或簡稱「分維」，記為D，它可以是分數.

維數是一定時空的數值特徵.普遍應用維數觀，正是現代非線性科學獲得的共識.低維與高維、有限維與無限維、整數維與分數維的轉化，在探索復雜世界的物質機制中已充分顯示了它的威力.

1919年數學家豪斯道夫引入豪斯棗冊道夫維.他提出連續空間的概念，也就是空間維數不是躍變的，而是蔽扮連續變化的，即可以是整數，也可以是分數，通過具體計算來確定維，該維數稱為豪斯道夫維，記為D_f.例如，對於三維圖形，考慮一個棱長為單位長度的立方體，若令每個棱邊長度放大兩倍，則立方體體積放大8倍，其表達式為2³=8.例如，對於一個D_f維的幾何對象，若每個棱邊長度都放大L倍，則這個幾何對象相應地放大K倍，其D_f、L和K三者關系應為.該式兩邊取對數後，則D_f=lnK/lnL.對具有奇異構形的分形，這里D_f一般是分數.豪斯道夫維數衍生的各種分形維數，如容量維、信息維、關聯維、質量維、空隙維、相似維等等，可以從不同側面描述客觀世界的復雜現象.它們的一個共性，就是在雙對數坐標系的尺度變換下，嚴格地或統計地保持不變.

在測量分維時，有一規律（通常稱為zero-sets）是有用的.傳統的歐氏幾何體與一平面相交，形成圖形的維數要減少一維；三維球變成二維圓；二維平面變成一維線；一凳並宏維線變成零維點.分形和傳統的歐氏幾何體一樣，統計分形體的分維是D，在與其相交的平面上進行測量，分維是D-1，在與其相交的直線上測量，分維是D-2.它們與平面相交構成的圖形要減少一維；它們與直線相交形成的點集要減少二維.

不同的分維數往往刻畫不同的物理類型，劃分不同成因，不同性質的群體.如某些相變的發生只有在二維及以上的空間中才會出現，在一維的情況下就不行.因此，在研究某一類事物的規律時，往往需要藉助於分維數的差異來幫助判別和分析.例如，將具有不同面積的平面圖形放到一維坐標系中，其測度（長度）都是無窮大；放到三維空間，其測度（長度）都是無窮小；只有在二維坐標系中，它們在面積方面的差異才能顯現出來.另一方面，由點到線，由線到面和由面到體，隨著維數的增加，它們所刻劃的客體復雜程度也相應增加，且其佔領空間的能力也隨之增強.因此，維數的差異直觀地反映了客體復雜程度的差異.

分形的定義：設集合A∈Eⁿ（Eⁿ是n維歐氏空間）的豪斯道夫維為D_f和拓撲維為D_t，如果公式D_f≥D_t成立，則稱集合A是分形集（或分形）（A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension exceeds the topological dimension）.

例如康托爾集合，D_f=ln2/ln3≈0.6301，而D_t=0，有D_f＞D_t，故康托爾集合是一種分形.又如科曲折線，D_f=ln4/ln3≈1.2618，而D_t=1，有D_f＞D_t，故科曲折線也是一種分形.

由於研究的具體對象（分形）不同，其分維數計算的具體形式和名稱也有多種.最常見的分維數有相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D₀、信息維（information dimension）D₁、關聯維（correlation dimension）D₂和廣義維（generalized dimension）D_q.

1.相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D₀

在測量地質體邊界的長度時，設測量尺度為r，覆蓋整個邊界的最少次數為N（r），此時將容量維數定義為：

分形混沌與礦產預測

將這一定義推廣到n維空間Eⁿ（Eⁿ為n維Euclide空間）中，上式中的r為覆蓋Eⁿ中圖形所需的立方體的邊長或球體的直徑，N（r）為所需的立方體或球體的最少數目.可以證明D₀=D_f（豪斯道夫維數）.

2.信息維（information dimension）D₁

容量維數D₀只考慮了覆蓋圖形所需的立方體或球體的數目與其邊長或直徑的關系.對於那些非確定性的事物，一般是用概率的形式表示出來的，為此引入信息維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中P_i是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，P_i是分形結構中某些點落入小盒子的概率.如果P_i=1/N（r）時，則有D₁=D_f.

3.關聯維（correlation dimension）D₂

P.Grassberger和J.Procaccia（1983）應用關聯函數C（r）給出了關聯維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中是相空間中兩點之間距離小於r的概率，|X_i-X_j|為兩點距離間的向量距離，r為指定的距離上限，，它是 Heavisideh函數.

4.廣義維（generalized dimension）D_q

分形混沌與礦產預測

式中P_i是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，P_i是分形結構中某些點落入小盒子的概率.當q取不同值時，D_q表示不同分維，如D_q=0=D₀，D_q=1=D₁，D_q=2=D₂.應當注意上述分維數之間的關系只是形式上（或定義上）的，但在實際問題計算中，上述關系不一定成立.

5.分維Brown函數

嚴格的自相似性在自然界並不多見，為了描述大量自然形狀，需要用統計自相似性的概念來推廣分維的定義，這就要用到分維Brown函數.

設x∈Eⁿ（Eⁿ為n維Euclide空間），f（x）是關於點x的隨機實值函數，若存在常數H（0＜H＜1）使得函數：

分形混沌與礦產預測

是一個與x，Δx無關的分布函數，則稱f（x）為分維Brown函數，其分維值為：D_B=n+1-H.

❿ 地表斷裂構造展布及分維特徵

本區表層斷裂發育密集程度很高，構造以SN向展布為主要特徵，在本區中部「蜂腰」部位緊密收縮並整體向東突出，SN兩側分別向NW、SE方向撒開，斷裂構造極為發育，以下試圖通過對本區不同尺度下斷裂的分維特徵進行統計，從而得出斷裂在本區空間上的分形分布特徵。

雲南蘭坪-維西地區成礦與岩石圈構造動力學

成立，則D就是F的分維數。這種用邊長r不同的正方形格子覆蓋分形圖形的方法也稱數格子法（box-counting meathod）。分形自創建並發展以來，在地學界，特別是在斷裂的研究中得到了廣泛的應用。

我們利用GIS系統分別對白秧坪成礦遠景區以及其內部的河西-黑山銅銀鉛鋅礦區和富隆廠礦段的斷裂分布進行了分維統計，利用 GIS 系統的空間數據分析功能進行統計計算，具有數據計算高效、准確的特點，可利用現有空間數據資料直接進行計算。

根據現有礦區GIS數據資料，我們對整個蘭坪、白秧坪成礦遠景區分別用邊長為25、10、5、2、1和0.5km的正方形建立網格圖層（圖5-13，表5-5），對斷裂分布圖層進行相交分析。在不同 r 值下獲得不同的包含斷層的網格數N（r），對ln r 和 ln N（r）進行線性擬合，得到回歸直線，其分維值為 D=1.613，相關系數 R=0.992；回歸平方和 U=16.897，殘差平方和 Q=0.041。回歸直線擬合程度很好，可見本區斷裂分布在該標度下有明顯的自相似性。

採取相同的攜棗方法對河西-黑山銅銀鉛鋅礦區和富隆廠礦段的斷裂分布進行了分維統計，河西-黑山銅銀鉛鋅礦區的分維值 D=1.241，相關系數 R=0.994；回歸平方和 U=8.921，殘差平方和 Q=0.016；白秧坪富隆廠礦段斷裂的分維值 D=1.26，相關系數 R=0.995；回歸平方和 U=16.81，殘差平方和 Q=0.021。統計結果見辯枝拆圖5-14a、b、圖5-15a、b，表5-5。

圖5-13 蘭坪、白秧坪成礦遠景區分維統計圖

表5-5 研究區表層斷裂構造分維值

斷裂系統分維值的大小體現了斷裂構造發育的復雜程度以及二維平面上斷裂構造分布得均勻性，斷裂越發育，斷裂分布越均勻，斷裂的拓撲維長度越大，其分維值就越大。其中整個成礦遠景區斷裂分維值高於局部礦區的分維值，大致與青藏地區的分維值相似（D=1.784）（李本亮，1999），而其內部礦區的分維值低，反映本區在反復的強烈擠壓過程中，擠壓變形主要發生在大型斷裂帶處，而遠離邊界斷裂帶的盆地內部岩石的破壞程度遠低於前者。搭判而在盆地內部的河西-黑山銅銀鉛鋅礦區與更小范圍的白秧坪富隆廠礦段分維值有很好的一致性。反映在統一的邊界斷裂控制下的盆地內部斷裂發育程度趨於一致，分維值有很大的無標度區。