代數不等式pdf

⑥ 數學不等式

不等式(inequality)
用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子。例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3等 。根據解析式的分類也可對不等式分類，不等號兩邊的解析式都是代數式的不等式，稱為代數不等式；只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。
通常不等式中的數是實數，字母也代表實數，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等號也可以為＜，≥，＞ 中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。
不等式的最基本性質有：①如果x＞y，那麼y＜x；如果y＜x，那麼x＞y；②如果x＞y，y＞z；那麼x＞z；③如果x＞y，而z為任意實數，那麼x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y，z＞0，那麼xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那麼xz＜yz。
由不等式的基本性質出發，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，其中比較有名的有：
柯西不等式：對於2n個任意實數x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恆有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x1^2＋x2^2＋…＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋…＋yn^2）。
排序不等式：對於兩組有序的實數x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設yi1，yi2，…，yin是後一組的任意一個排列，記S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那麼恆有S≤M≤L。
根據不等式的基本性質，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜ G（x）與不等式 G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定義域被解析式H（ x ）的定義域所包含，那麼不等式 F（x）＜G（x）與不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x） 的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，並且H（x）＞0，那麼不等式F(x)＜G（x）與不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那麼不等式F（x）＜G（x）與不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0與不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0與不等式同解。
不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的大於號、小於號「＞」「＜」連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小於號（大於或等於號）、不大於號（小於或等於號）
「≥」「≤」連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。
在一個式子中的數的關系,不全是等號,含不等符號的式子，那它就是一個不等式.
如:甲大於乙(甲>乙),就是一個不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可證:A>C,A>D.所以,A最大.
不等式是不包括等號在內的式子比如：（不等號 大於等於號，小於等於號）只要用這些號放在式子里就是不等式咯．．
1.符號：
不等式兩邊都乘以或除以一個負數，要改變不等號的方向。
2.確定解集：
比兩個值都大，就比大的還大；
比兩個值都小，就比小的還小；
比大的大，比小的小，無解；
比小的大，比大的小，有解在中間。
三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。
3.另外，也可以在數軸上確定解集：
把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那麼這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。
1.不等式的基本性質:
性質1:如果a>b,b>c,那麼a>c(不等式的傳遞性).
性質2:如果a>b,那麼a+c>b+c(不等式的可加性).
性質3:如果a>b,c>0,那麼ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法則）
性質4:如果a>b,c>d,那麼a+c>b+d. (不等式的加法法則)
性質5:如果a>b>0,c>d>0,那麼ac>bd. (可乘性)
性質6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那麼an>bn,且.當0<n<1時也成立. (乘方法則)
性質7:如果a>等於b c>b 那麼c大於等於a
性質7不一定成立，如a取值28，b取值3，c取值19，則c不大於a
例1:判斷下列命題的真假,並說明理由.
若a>b,c=d,則ac2>bd2;(假,因為c.d符號不定)
若a+c>c+b,則a>b;(真)
若a>b且ab<0,則;(假)
若a若,則a>b;(真)
若|a|b2;(充要條件)
命題A:a命題A:,命題B:0說明:本題要求學生完成一種規范的證明或解題過程,在完善解題規范的過程中完善自身邏輯思維的嚴密性.
a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小.(≥)
說明:強調在最後一步中,說明等號取到的情況,為今後基本不等式求最值作思維准備.
例4:設a>b,n是偶數且n∈N*,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小.
說明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質相比在於缺少了a,b為正值這一條件,為此我們必須對a,b的取值情況加以分類討論.因為a>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的數學思想
幾個重要不等式(二)柯西不等式
，當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號
柯西不等式的幾種變形形式
1.設aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)則，當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號
2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b1=b2=…=bn時取等
三、排序不等式
設a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，則有：
a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn
反序和£亂序和£同序和
例1.對a,b,cÎR+,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小
解：取兩組數a,b,c；a2,b2,c2，則有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a
例2.正實數a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/，則有
證明：取兩組數a1,a2,…,an；
其反序和為，原不等式的左邊為亂序和，有
例3.已知a,b,cÎR+求證：
證明：不妨設a³b³c>0,則>0且a12³b12³c12>0
則
例4.設a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列，求證：
證明：設b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一個排列，且b1<b2<…<bn-1；
c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一個排列,且c1<c2<…<cn-1
則且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n
利用排序不等式有：
例5.設a,b,cÎR+,求證：
證明：不妨設a³b³c,則，a2³b2³c2>0
由排序不等式有：
兩式相加得
又因為：a3³b3³c3>0,
故
兩式相加得
例6.契比雪夫不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,則
a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,則
證明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1
將以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)
∴