素數加密演示

A. 密碼學（三）RSA演算法以及一些因數分解法

RSA演算法詳解：基於公鑰加密系統

RSA演算法，以三位科學家的姓氏命名，構建了現代密碼學中的核心部分。這個廣泛使用的密碼體制基於兩個關鍵步驟：素數選擇與加密解密過程。首先，Alice和Bob需選擇兩個素數p和q，再選定一個數n，滿足n=p*q。他們公開共享公鑰(e)，以及n，其中e與(p-1)*(q-1)互質。

Alice要加密信息m，會將m進行如下操作：m^e mod n。將得到的密文c發送給Bob。Bob接收到密文後，通過計算d（模p-1和模q-1的逆元）進行解密，即c^d mod n，得到原始消息m。

RSA的安全性基於大數分解的難度，但在特殊情況下，如 Woman in the middle attack，如果Eva掌握了加密規則，可以通過精心設計的假密文攻擊。她不需要直接分解n，只需對密文進行簡單的操作，就能輕易獲取信息，破壞系統。

對於素數分解，雖然一般情況下的復雜度是難以克服的，但在某些特定條件下，如Miller-Robin素數判別法，能快速識別非素數，盡管存在Carmichael Number這類特殊情況。Miller-Robin定理基於費馬小定理，對奇素數和奇合數的特性提供判斷依據。

Pollard's p-1分解法和平方差分解法，針對特定情況如兩個素數乘積，提供了分解方法。Pollard's p-1法通過尋找合適倍數，利用費馬小定理尋找因數，而平方差分解則利用兩個數的平方差尋找因子，是目前最快的分解法之一。

最後，數論中的黎曼猜想和素數分布理論為這些分解法提供了理論支持，包括黎曼ζ函數和數域篩法。數域篩法，盡管復雜，但當處理大型數值時，它是最快的素因數分解技術。平方篩法則是其中一種簡化版本，通過篩選和計算，尋找B光滑數，進一步提高分解效率。

B. 為什麼素數在密碼學中具有重要意義

素數在密碼學中具有重要意義，因為它們是加密演算法的基礎。在RSA加密演算法中，公鑰和私鑰都是由兩個大素數的乘積構成的。這些大素數的選擇非常重要，因為它們必須足夠大才能保證加密的安全性。如果選擇太小的素數，那麼攻擊者可以很容易地破解加密演算法。此外，素數還被用來生成隨機數，這對於密碼學中的許多應用都非常重要。

C. 利用質數如何加密

非對稱加密。1976年，美國學者Dime和Henman為解決信息公開傳送和密鑰管理問題，提出一種新的密鑰交換協議，允許在不安全的媒體上的通訊雙方交換信息，安全地達成一致的密鑰，這就是「公開密鑰系統」。 相對於「對稱加密演算法」這種方法也叫做「非對稱加密演算法」。

與對稱加密演算法不同，非對稱加密演算法需要兩個密鑰：公開密鑰（publickey）和私有密鑰（privatekey）。公開密鑰與私有密鑰是一對，如果用公開密鑰對數據進行加密，只有用對應的私有密鑰才能解密；如果用私有密鑰對數據進行加密，那麼只有用對應的公開密鑰才能解密。因為加密和解密使用的是兩個不同的密鑰，所以這種演算法叫作非對稱加密演算法。非對稱加密與對稱加密相比，其安全性更好：對稱加密的通信雙方使用相同的秘鑰，如果一方的秘鑰遭泄露，那麼整個通信就會被破解。而非對稱加密使用一對秘鑰，一個用來加密，一個用來解密，而且公鑰是公開的，秘鑰是自己保存的，不需要像對稱加密那樣在通信之前要先同步秘鑰。非對稱加密的缺點是加密和解密花費時間長、速度慢，只適合對少量數據進行加密。

在非對稱加密中使用的主要演算法有：RSA、Elgamal、背包演算法、Rabin、D-H、ECC（橢圓曲線加密演算法）等。不同演算法的實現機制不同，可參考對應演算法的詳細資料。

甲乙之間使用非對稱加密的方式完成了重要信息的安全傳輸。

1、乙方生成一對密鑰（公鑰和私鑰）並將公鑰向其它方公開。

2、得到該公鑰的甲方使用該密鑰對機密信息進行加密後再發送給乙方。

3、乙方再用自己保存的另一把專用密鑰（私鑰）對加密後的信息進行解密。乙方只能用其專用密鑰（私鑰）解密由對應的公鑰加密後的信息。

在傳輸過程中，即使攻擊者截獲了傳輸的密文，並得到了乙的公鑰，也無法破解密文，因為只有乙的私鑰才能解密密文。同樣，如果乙要回復加密信息給甲，那麼需要甲先公布甲的公鑰給乙用於加密，甲自己保存甲的私鑰用於解密。