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壓縮映射不動點
發布時間：2025-08-08 11:23:40㈠ 壓縮映射不動點定理
壓縮映射不動點定理：
定理（壓縮映射原理）設是一個完備的度量空間，是一個壓縮映射，則有一個唯一的不動點。進一步地，從任意一點出發，序列收斂於。證明首先證明最多隻有一個不動點。然後說明序列收斂於一點。最後證明這個是不動點。
唯一性，首先證明，如果一個點是的不動點，則它是的唯一的不動點。假設且。由於為壓縮映射，因此一定存在一個，使得。容易看出，只有當，即時，前面的不等式才能成立。
極限點，設，定義。則由前面的引理可知，序列是一個柯西序列。由於是完備的，因此一定存在一個使得收斂於。
不動點，設。由於為柯西序列，且收斂於，因此一定存在一個正整數，使得對於任意的，均有，且，設，由三角不等式可知。
巴拿赫不動點定理，又稱為壓縮映射定理或壓縮映射原理，是度量空間理論的一個重要工具;它保證了度量空間的一定自映射的不動點的存在性和唯一性，並提供了求出這些不動點的構造性方法。
注意到不等號右邊中間的一項又等於，從而由前面的推理可知不等號右邊前兩項均小於。現在主要考慮第三項。注意到。從而有。由於的選取是任意的，因此必有，即。
㈡ 壓縮映射原理 數學老師告訴你壓縮映射是什麼
1、壓縮映射法是不動點法中一種常用的方法。它的根據是壓縮映射原理：設X是一個完備的距離空間，f是從X到X的一個壓縮映射，那麼f在X中必有且僅有一個不動點，而且從X的任何點x。出發作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…這序列一定收斂到f的那個不動點。稱f是壓縮映射，如果它把X中每兩點的距離至少壓縮k倍，這里k是一個小於1的常數，也就是說X中每兩點x與y的像f(x)與f(y)的距離d(f(x)，f(y))不超過x與y的距離d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。
2、壓縮映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年給出的，這種思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。該法能夠提供許多種方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能轉化為某個壓縮映射的不動點。這一方法已經推廣到非擴展映射、映射族、集值映射、概率度量空間等許多方面。
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