❶ 非負矩陣分解（NMF）及一個小實例
非負矩陣分解：拆解數字之謎與一個生動實例解析在最近的一項挑戰中，我們面臨著一個獨特的問題——利用非負矩陣分解（NMF）技術，將二維空間中的數字逐一拆分，彷彿在尋找一幅圖像的組成密碼。讓我們先來了解一下NMF的魔法：它就像一個魔術師，將非負矩陣V分解為兩個非負夥伴——W和H，通過巧妙的加權組合，重現出原始數據的精髓。
想像一下，NMF的基本理念就像是這樣：每個數字在二維圖中，就像一個獨特的粒子，通過非負矩陣W和H的調和作用，它們組合成了一幅完整的畫面。W矩陣就像一個調色板，H矩陣則是一組基礎元素的權重，共同構建起數字的視覺拼圖。與PCA和VQ分解不同，NMF聚焦於提取個體特徵，如眼睛、鼻子、嘴巴，然後通過權重分配，生成出完整的個體形象。
深入探索NMF的細節，你會發現它背後是一個迭代優化的過程。原始論文Algorithms for Non-negative Matrix Factorization中，作者們提出了一種乘法更新的演算法，將矩陣分解轉化為尋找最小歐氏距離的解。在我們的問題中，每兩個數字構成一個64x64像素的子圖，轉化為一個4096維的向量V，目標是分解為8個主特徵，即W矩陣為4096x8，H矩陣為8x64。
步驟如下：首先，隨機初始化W和H矩陣，設定迭代次數和誤差閾值，然後採用乘法更新規則，逐步逼近最優化解。在每個循環中，W矩陣的每一列對應一個數字特徵，經過矩陣變換和可視化，我們能看到8個清晰的數字輪廓，就像從一幅復雜的數字拼圖中分離出來一樣。在1000輪迭代後，大約9秒的時間，我們就能獲得令人滿意的答案，NMF的威力可見一斑。
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