归并排序算法动态演示

⑴ 跪求完整一趟归并排序算法

#include<iomanip.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream.h>
#define M 11
typedef int KeyType;
typedef int ElemType;
struct rec
{
KeyType key;ElemType data;
};
typedef rec sqlist[M];
void output( sqlist r, int n )
{
for ( int i = 0; i < n; i++ )
{
cout << setw( 4 ) << r[i].key;
}
cout << endl;
}
void xuanze( sqlist b, int m, int n )
{
int i, j, k;
for ( i = m; i < n - 1; i++ )
{
k = i;
for ( j = i; j < n; j++ )
{
if ( b[k].key > b[j].key )
{
k = j;
}
}
if ( k != i )
{
rec temp = b[k];
b[k] = b[i];b[i] = temp;
}
}
}
void merge( sqlist r, int l, int m, int h, sqlist r2 )
{
xuanze( r, l, m );
xuanze( r, m, h );
output( r, M );
int i, j, k;
k = i = l;
for ( j = m; i < m && j < h; k++ )
{
if ( r[i].key <= r[j].key )
{
r2[k] = r[i];i++;
}
else
{
r2[k] = r[j];j++;
}
output( r2, M );
}
while ( j < h )
{
r2[k] = r[j];j++;k++;
}
while ( i <= m )
{
r2[k] = r[i];i++;k++;
}
output( r2, M );
}
void main()
{
cout << "guibingfa2.cpp运行结果:\n";
sqlist a, b;int i, j = 0, k = M / 2, n = M;
srand( time( 0 ) );
for ( i = 0; i < M; i++ )
{
a[i].key = rand() % 80;b[i].key = 0;
}
cout << "排序前数组:\n";
output( a, M );
cout << "数组排序的过程演示:\n";
merge( a, j, k, n, b );
cout << "排序后数组:\n";
output( b, M );cin.get();
}

⑵ 用Javascript写排序算法的动画演示

1.让JavaScript暂停下来，慢下来。
JavaScript排序是很快的，要我们肉眼能看到它的实现过程，我首先想到的是让排序慢下来。 排序的每一个循环都让它停300ms然后再继续进行。 怎么样才能停下来呢。查了一下JavaScript貌似没有sleep()这样的函数。暂停做不到，但是可以想办法让实现跟暂停差不多的效果。比如在循环里做一些无关的事情 。
首先尝试了让while(true)来一直执行一个空操作。执行一段时间再回到排序逻辑。代码大致是这样：
for (var i = 0; i < 3; i++) {
document.writeln(i); //DOM操作
var now = new Date().getTime();
while(new Date().getTime() - now < 3000){}
}

慢是慢下来了。不过太耗资源，排序进行过程中dom并不会有任何改变，直到排序结束， DOM会变成排序好之后的样子。 但是如果设置断点一步步执行的时候 又可以看到一步步的排序变化。估计是因为这个操作太耗资源导致浏览器下达了一个DOM操作的命令但是一直腾不出资源来进行DOM操作。所以真正DOM操作的时候在js代码执行结束之后。
所以让JavaScript排序慢来来还是没有实现。
另一种让JavaScript暂停下来的思路：
写这个文章的时候又想到一种方法来让JavaScript停下来。 那就是AJAX的同步请求，以及超时操作。 也就是在要停下来的地方放一个AJAX请求，同步请求， 然后设置超时。超时的时间就是我们要暂停的时间。为了避免在到达超时请求之前服务 器就返回了我们的AJAX请求。可以在服务端运行类似 sleep()的程序 。从而保证AJAX不会返回。直接超时然后返回到我们的循环。不过这只是个设想。有兴趣的可以去尝试一下。
2.闭包和定时器。 这种思路不需要让排序过程慢下来。而是使用闭包缓存排序过程中数组的变化。然后使用setTimeout来确定展示每一个数组状态的顺序。在排序循环中放入类似下面的代码。
(function(){
var theArr = arr.slice();//当前数组状态的备份
setTimeout(function(){
bubbleSortDom(theArr);//排序的DOM操作。
},500*timeCount);
timeCount++;//定时器的顺序。
})();

不过后来发现这样子写的话代码量会比较大，逻辑有修改的话要修改的地方会有点多。局限性很多，比如要实现排序动画加快或减慢操作几乎是很困难的。所以还要另想办法。
3.缓存排序中的数组状态。
也就是在排序过程中。将数组的每一轮循环的状态保存到一个数组。然后再用这个数组依次将排序状态保存下来。 只需要在排序中加入一句就行。
this.pushHis(arr.slice(),i-1,j,k,temp);

这样就只需要一个setInterval()就可以了。并且可以很方便的实现动画的加快与减慢。逻辑也比较好理解 。
问题二：如何实现JavaScript排序动画的加快与减慢。
我们问题一使用的第三种方法。 得到一个保存了每一步排序状态的数组arr。 然后我们可以使用一个setInterval()定时器一步步展现排序状态。 如果要加快速度或减慢速度。就clearInterval()，修改定时器的执行间隔，重新setInterval()，从前一个定时器执行到数组中的位置开始执行。
问题三：对于使用递归实现的数组怎么办？ 不是在原数组上进行操作的怎么办？
使用递归实现的排序。 可能并没有在一个数组上进行操作，只是最后返回一个排序好的数组出来。那么我们要如何获得排序中的数组的完整状态呢。
比如快速排序。
最开始不考虑动画，我的实现是这样的：
function quickSort(arr){
var len = arr.length,leftArr=[],rightArr=[],tag;
if(len<2){
return arr;
}
tag = arr[0];
for(i=1;i<len;i++){
if(arr[i]<=tag){
leftArr.push(arr[i])
}else{
rightArr.push(arr[i]);
}
}
return quickSort(leftArr).concat(tag,quickSort(rightArr));
}

然后为了考虑动画，我改写了它的逻辑，让它在同一个数组上进行了实现。 其实是在递归的时候传入了当前的的子数组在原数组中的起始位置。从而在原数组上进行了操作。
用了两种方法来实现方式。在排序逻辑上略有不同。
第一种是先跟远处的对比。遇到比自己小的放到自己前面去。循环序号+1。比自己大的放到当前排序子数组的最后面去，循环序号不变。直到排列完成。
这种方法的缺点是即使是一个有序数组。它也会重新排。
第二种方法是 除了标记位，再设置一个对比位。 遇到比自己小的，放到前面去，标记位的位置+1，标记位与对比位之间所有的往后面移动一个位置。
遇到比自己大的。标记位不变，对比位+1。
这种方法的缺点是对数组进行的操作太多。优点是对有序数组不会再排。
方式一：
function quickSort(arr,a,b,qArr){

var len = arr.length,leftArr=[],rightArr=[],tag,i,k,len_l,len_r,lb,ra,temp;
if(a == undefined && b == undefined){
a = 0; b= arr.length-1;//初始化起始位置。
}
if(qArr == undefined){
qArr = arr.slice();
}

if((len == 2 && arr[0] == arr[1])||len<2){
return arr;
}

tag = qArr[a];
for (i = 1; i < len;) {
if(qArr[a+i]<=tag){
leftArr.push(qArr[a+i]);
qArr[a+i-1] = qArr[a+i];
qArr[a+i] = tag;
k = a+i;
i++;
}else{
if(leftArr.length+rightArr.length == len-1){
break;
}
temp = qArr[a+i];
qArr[a+i] = qArr[b-rightArr.length];
qArr[b-rightArr.length] = temp;
rightArr.push(temp);
k = a+i-1;
}
this.pushHis(qArr.slice(),a,b,k);
}

len_l = leftArr.length;
len_r = rightArr.length;
if(len_l== 0){
lb = a;
}else{
lb = a+len_l -1;
this.sort(leftArr,a,lb,qArr);
}

if(len_r == 0){
ra = b;
}else{
ra = b + 1 - len_r;
this.sort(rightArr,ra,b,qArr)
}
return qArr
}

方式二：
function quickSort2(arr,a,b,qArr){
var len = arr.length,leftArr=[],rightArr=[],tag,i,j,k,temp,len_l,len_r,lb,ra;
if(a == undefined && b == undefined){
a = 0; b= arr.length-1;//初始化起始位置。
}
if(qArr == undefined){
qArr = arr.slice();
}
if(len<2){
return arr;
}
if(len == 2 && arr[0] == arr[1]){
return arr;
}
tag = qArr[a];
for (i = 1,k = 0; i < len;) {
if(qArr[a+i]>=tag){
rightArr.push(qArr[a+i]);
i++;
}else{
temp = qArr[a+i];
for(j = a+i;j>a+k;j--){
qArr[j] = qArr[j-1];
// this.pushHis(qArr.slice(),a,b,a+k);
}
qArr[a+k] = temp;
leftArr.push(temp);
k++;
i++;
}
this.pushHis(qArr.slice(),a,b,a+k,i-1);
}
len_l = leftArr.length;
len_r = rightArr.length;
if(len_l== 0){
lb = a;
}else{
lb = a+len_l -1;
this.sort(leftArr,a,lb,qArr);
}
if(len_r == 0){
ra = b;
}else{
ra = b + 1 - len_r;
this.sort(rightArr,ra,b,qArr)
}
return qArr;
}

具体的不同下面会有动画演示。
问题四：动画的流畅。
排序动画的DOM操作是很多的很快的。这里我做的优化只是让每一个排序步骤只涉及一个DOM操作。 全部由JavaScript拼接好，一次替换。类似下面的代码。
效果图：

主要实现了：
冒泡排序JavaScript动画演示
插入排序JavaScript动画演示
选择排序JavaScript动画演示
快速排序JavaScript动画演示
归并排序JavaScript动画演示
希尔排序JavaScript动画演示

⑶ 输入一组整数对该序列进行简单选择和归并排序（数据结构用c语言写啊）

给你一个归并排序的具体算法和分析：
两路归并排序算法思路:
①.
把n个记录看成n个长度为l的有序子表
;
②.
进行两两归并使记录关键字有序,得到n/2个长度为2的有序子表;
③.
重复第②步直到所有记录归并成一个长度为n的有序表为止;
具体算法:
//
归并操作
template
static
void
merge
(typearray[],
int
p,
int
q,
int
r){
int
i
,
k
;
int
begin1
,
end1
,
begin2
,
end2
;
int*
temp
=
(int*)malloc((r-p)*sizeof(int))
;
begin1
=
p
;
end1
=
q
;
begin2
=
q+1
;
end2
=
r
;
k
=
0
;
while
(begin1
<=
end1
&&
begin2
<=
end2){
if
(array[begin1]
<
array[begin2]){
temp[k]
=
array[begin1]
;
begin1
++
;
}
else{
temp[k]
=
array[begin2]
;
begin2
++
;
}
k
++
;
}
while
(begin1
<
end1)
temp[k++]
=
array[begin1++]
;
while
(begin2
<
end2)
temp[k++]
=
array[begin2++]
;
for
(i
=
0
;
i
<
(r-p)
;
i
++)
array[p+i]
=
temp
;
free(temp)
;
}
//--------------------------------------------------------------------------------
template
void
mergesort(typearray[],
unsigned
int
first,
unsigned
int
last){
int
mid
=
0
;
if
(first
<
last)
{
mid
=
(first+last)/2
;
mergesort
(array,
first,
mid)
;
mergesort
(array,
mid+1,
last)
;
merge
(array,
first,
mid,
last)
;
}
}

⑷ c语言的归并排序的完整程序

这个不难:

#include<stdio.h>

// 一个递归函数
void mergesort(int *num,int start,int end);
// 这个函数用来将两个排好序的数组进行合并
void merge(int *num,int start,int middle,int end);

int main()
{
// 测试数组
int num[10]= {12,54,23,67,86,45,97,32,14,65};
int i;
// 排序之前
printf("Before sorting:\n");
for (i=0; i<10; i++)
{
printf("%3d",num[i]);
}
printf("\n");
// 进行合并排序
mergesort(num,0,9);
printf("After sorting:\n");
// 排序之后
for (i=0; i<10; i++)
{
printf("%3d",num[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}

//这个函数用来将问题细分

void mergesort(int *num,int start,int end)
{
int middle;
if(start<end)
{
middle=(start+end)/2;
// 归并的基本思想
// 排左边
mergesort(num,start,middle);
// 排右边
mergesort(num,middle+1,end);
// 合并
merge(num,start,middle,end);
}
}

//这个函数用于将两个已排好序的子序列合并

void merge(int *num,int start,int middle,int end)
{

int n1=middle-start+1;
int n2=end-middle;
// 动态分配内存，声明两个数组容纳左右两边的数组
int *L=new int[n1+1];
int *R=new int[n2+1];
int i,j=0,k;

//将新建的两个数组赋值
for (i=0; i<n1; i++)
{
*(L+i)=*(num+start+i);
}
// 哨兵元素
*(L+n1)=1000000;
for (i=0; i<n2; i++)
{
*(R+i)=*(num+middle+i+1);
}
*(R+n2)=1000000;
i=0;
// 进行合并
for (k=start; k<=end; k++)
{
if(L[i]<=R[j])
{
num[k]=L[i];
i++;
}
else
{
num[k]=R[j];
j++;
}
}
delete [] L;
delete [] R;
}

⑸ 归并排序代码

MERGE(rectypr R[],rectype R1[],int low,int mid,int
high)
{ int i,j,k;
i=low; j=mid+1; k=low;
while ((i<=mid)&&(j<=high))
if (R[i].key<=R[j].key) R1[k++]=R[i++];
else R1[k++]=R[j++];
while (j<=mid) R1[k++]=R[i++];
while (j<=high) R1[k++]=R[j++];
}

分析：
归并排序就是利用上述归并操作实现排序的。其基本思想是：将待排序列R[0]到R[n-1]看成n个长度为1的有序子序列，把这些子序列两两归并，便得到high(n/2)个有序的子序列。然后再把这high(n/2)个有序的子序列两两归并，如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序序列。上述每次的归并操作，都是将两个子序列归并为一个子序列，这就是“二路归并”，类似地还可以有“三路归并”或“多路归并”。

一趟归并算法
MERGEPASS(rectype R[],rectype R1[],int length)
{ int i,j;
i=0;
while (i+2*length-1<n)
{ MERGE(R,R1,i,i+length-1,i+2*length-1);
i=i+2*length;
}
if (i+length-1<n-1)
MERGE(R,R1,i,i+length-1,n-1);
else
for (j=i;j<n;j++) R1[j]=R[j];
}

算法复杂性分析：
归并排序在第i 趟归并后，有序子文件长度为2i，因此，因此，对于具有n个记录的序列来说，必须做high(log2n)趟归并，每趟归并所花的时间为O(n)。所以，二路归并排序算法的时间复杂度为O(nlog2n)，辅助数组所需的空间为O(n)。

两路归并的基本思想：
设有两个有序表A和B，对象个数分别为al和bl，变量i和j分别是两表的当前指针。设表C是归并后的新有序表，变量k是它的当前指针。i和j对A和B遍历时，依次将关键字小的对象放到C中，当A或B遍历结束时，将另一个表的剩余部分照抄到新表中。

⑹ c++怎么归并排序

#include<cstdio>
#definemaxn700009
intn,a[maxn],temp[maxn];

voidmergesort(intl,intr)
{
	if(l==r)return;
	intmid=(l+r)>>1;
	mergesort(l,mid);mergesort(mid+1,r);//不断分解l,r这个区间排序的大问题
	inti=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
		if(a[i]>a[j])
			temp[k++]=a[j++];
				else
					temp[k++]=a[i++];//放入一个temp数组中
	while(i<=mid)temp[k++]=a[i++];
	while(j<=r)temp[k++]=a[j++];
	for(inti=l;i<=r;i++)a[i]=temp[i];//再将temp数组反赋值回来
}

intmain()
{
	scanf("%d",&n);
	for(inti=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);//读入n个数字
	mergesort(1,n);
	for(inti=1;i<=n;i++)
		printf("%d
",a[i]);
	return0;	
}

⑺ 求快速排序算法动画演示，谁帮帮忙啊

http://v.youku.com/v_show/id_XMjk2NzI4OTky.html

排序算法演示, 相信你再也找不到比这个还好的动画演示了.

⑻ 归并排序的算法描述

归并操作的工作原理如下：
第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
重复步骤3直到某一指针超出序列尾
将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

⑼ 归并排序

先考虑一个简单的问题：如何在线性的时间内将两个有序队列合并为一个有序队列（并输出）？

A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9

看上面的例子，AB两个序列都是已经有序的了。在给出数据已经有序的情况下，我们会发现很多神奇的事，比如，我们将要输出的第一个数一定来自于这两个序列各自最前面的那个数。两个数都是1，那么我们随便取出一个（比如A队列的那个1）并输出：

A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9
输出：1

注意，我们取出了一个数，在原数列中删除这个数。删除操作是通过移动队首指针实现的，否则复杂度就高了。
现在，A队列打头的数变成3了，B队列的队首仍然是1。此时，我们再比较3和1哪个大并输出小的那个数：

A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9
输出：1 1

接下来的几步如下：

A队列：1 3 5 7 9 A队列：1 3 5 7 9 A队列：1 3 5 7 9 A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9 ==> B队列：1 2 7 8 9 ==> B队列：1 2 7 8 9 ==> B队列：1 2 7 8 9 ……
输出：1 1 2 输出：1 1 2 3 输出：1 1 2 3 5 输出：1 1 2 3 5 7

我希望你明白了这是怎么做的。这个做法显然是正确的，复杂度显然是线性。

归并排序(Merge Sort)将会用到上面所说的合并操作。给出一个数列，归并排序利用合并操作在O(nlogn)的时间内将数列从小到大排序。归并排序用的是分治(Divide and Conquer)的思想。首先我们把给出的数列平分为左右两段，然后对两段数列分别进行排序，最后用刚才的合并算法把这两段（已经排过序的）数列合并为一个数列。有人会问“对左右两段数列分别排序时用的什么排序”么？答案是：用归并排序。也就是说，我们递归地把每一段数列又分成两段进行上述操作。你不需要关心实际上是怎么操作的，我们的程序代码将递归调用该过程直到数列不能再分（只有一个数）为止。
初看这个算法时有人会误以为时间复杂度相当高。我们下面给出的一个图将用非递归的眼光来看归并排序的实际操作过程，供大家参考。我们可以借助这个图证明，归并排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。

[3] [1] [4] [1] [5] [9] [2] [7]
\ / \ / \ / \ /
[1 3] [1 4] [5 9] [2 7]
\ / \ /
[1 1 3 4] [2 5 7 9]
\ /
[1 1 2 3 4 5 7 9]

上图中的每一个“ \ / ”表示的是上文所述的线性时间合并操作。上图用了4行来图解归并排序。如果有n个数，表示成上图显然需要O(logn)行。每一行的合并操作复杂度总和都是O(n)，那么logn行的总复杂度为O(nlogn)。这相当于用递归树的方法对归并排序的复杂度进行了分析。假设，归并排序的复杂度为T(n)，T(n)由两个T(n/2)和一个关于n的线性时间组成，那么T(n)=2*T(n/2)+O(n)。不断展开这个式子我们可以同样可以得到T(n)=O(nlogn)的结论，你可以自己试试。如果你能在线性的时间里把分别计算出的两组不同数据的结果合并在一起，根据T(n)=2*T(n/2)+O(n)=O(nlogn)，那么我们就可以构造O(nlogn)的分治算法。这个结论后面经常用。我们将在计算几何部分举一大堆类似的例子。
如果你第一次见到这么诡异的算法，你可能会对这个感兴趣。分治是递归的一种应用。这是我们第一次接触递归运算。下面说的快速排序也是用的递归的思想。递归程序的复杂度分析通常和上面一样，主定理(Master Theory)可以简化这个分析过程。主定理和本文内容离得太远，我们以后也不会用它，因此我们不介绍它，大家可以自己去查。有个名词在这里的话找学习资料将变得非常容易，我最怕的就是一个东西不知道叫什么名字，半天找不到资料。

归并排序有一个有趣的副产品。利用归并排序能够在O(nlogn)的时间里计算出给定序列里逆序对的个数。你可以用任何一种平衡二叉树来完成这个操作，但用归并排序统计逆序对更方便。我们讨论逆序对一般是说的一个排列中的逆序对，因此这里我们假设所有数不相同。假如我们想要数1, 6, 3, 2, 5, 4中有多少个逆序对，我们首先把这个数列分为左右两段。那么一个逆序对只可能有三种情况：两个数都在左边，两个数都在右边，一个在左一个在右。在左右两段分别处理完后，线性合并的过程中我们可以顺便算出所有第三种情况的逆序对有多少个。换句话说，我们能在线性的时间里统计出A队列的某个数比B队列的某个数大有多少种情况。

A队列：1 3 6 A队列：1 3 6 A队列：1 3 6 A队列：1 3 6 A队列：1 3 6
B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ……
输出： 输出：1 输出：1 2 输出：1 2 3 输出：1 2 3 4

每一次从B队列取出一个数时，我们就知道了在A队列中有多少个数比B队列的这个数大，它等于A队列现在还剩的数的个数。比如，当我们从B队列中取出2时，我们同时知道了A队列的3和6两个数比2大。在合并操作中我们不断更新A队列中还剩几个数，在每次从B队列中取出一个数时把当前A队列剩的数目加进最终答案里。这样我们算出了所有“大的数在前一半，小的数在后一半”的情况，其余情况下的逆序对在这之前已经被递归地算过了。

============================华丽的分割线============================

堆排序(Heap Sort)利用了堆(Heap)这种数据结构（什么是堆？）。堆的插入操作是平均常数的，而删除一个根节点需要花费O(log n)的时间。因此，完成堆排序需要线性时间建立堆（把所有元素依次插入一个堆），然后用总共O(nlogn)的时间不断取出最小的那个数。只要堆会搞，堆排序就会搞。堆在那篇日志里有详细的说明，因此这里不重复说了。

============================华丽的分割线============================

快速排序(Quick Sort)也应用了递归的思想。我们想要把给定序列分成两段，并对这两段分别进行排序。一种不错的想法是，选取一个数作为“关键字”，并把其它数分割为两部分，把所有小于关键字的数都放在关键字的左边，大于关键字的都放在右边，然后递归地对左边和右边进行排序。把该区间内的所有数依次与关键字比较，我们就可以在线性的时间里完成分割的操作。完成分割操作有很多有技巧性的实现方法，比如最常用的一种是定义两个指针，一个从前往后找找到比关键字大的，一个从后往前找到比关键字小的，然后两个指针对应的元素交换位置并继续移动指针重复刚才的过程。这只是大致的方法，具体的实现还有很多细节问题。快速排序是我们最常用的代码之一，网上的快速排序代码五花八门，各种语言，各种风格的都有。大家可以随便找一个来看看，我说过了我们讲算法但不讲如何实现。NOIp很简单，很多人NOIp前就背了一个快速排序代码就上战场了。当时我把快速排序背完了，抓紧时间还顺便背了一下历史，免得晚上听写又不及格。
不像归并排序，快速排序的时间复杂度很难计算。我们可以看到，归并排序的复杂度最坏情况下也是O(nlogn)的，而快速排序的最坏情况是O(n^2)的。如果每一次选的关键字都是当前区间里最大（或最小）的数，那么这样将使得每一次的规模只减小一个数，这和插入排序、选择排序等平方级排序没有区别。这种情况不是不可能发生。如果你每次选择关键字都是选择的该区间的第一个数，而给你的数据恰好又是已经有序的，那你的快速排序就完蛋了。显然，最好情况是每一次选的数正好就是中位数，这将把该区间平分为两段，复杂度和前面讨论的归并排序一模一样。根据这一点，快速排序有一些常用的优化。比如，我们经常从数列中随机取一个数当作是关键字（而不是每次总是取固定位置上的数），从而尽可能避免某些特殊的数据所导致的低效。更好的做法是随机取三个数并选择这三个数的中位数作为关键字。而对三个数的随机取值反而将花费更多的时间，因此我们的这三个数可以分别取数列的头一个数、末一个数和正中间那个数。另外，当递归到了一定深度发现当前区间里的数只有几个或十几个时，继续递归下去反而费时，不如返回插入排序后的结果。这种方法同时避免了当数字太少时递归操作出错的可能。

下面我们证明，快速排序算法的平均复杂度为O(nlogn)。不同的书上有不同的解释方法，这里我选用算法导论上的讲法。它更有技巧性一些，更有趣一些，需要转几个弯才能想明白。
看一看快速排序的代码。正如我们提到过的那种分割方法，程序在经过若干次与关键字的比较后才进行一次交换，因此比较的次数比交换次数更多。我们通过证明一次快速排序中元素之间的比较次数平均为O(nlogn)来说明快速排序算法的平均复杂度。证明的关键在于，我们需要算出某两个元素在整个算法过程中进行过比较的概率。
我们举一个例子。假如给出了1到10这10个数，第一次选择关键字7将它们分成了{1,2,3,4,5,6}和{8,9,10}两部分，递归左边时我们选择了3作为关键字，使得左部分又被分割为{1,2}和{4,5,6}。我们看到，数字7与其它所有数都比较过一次，这样才能实现分割操作。同样地，1到6这6个数都需要与3进行一次比较（除了它本身之外）。然而，3和9决不可能相互比较过，2和6也不可能进行过比较，因为第一次出现在3和9，2和6之间的关键字把它们分割开了。也就是说，两个数A(i)和A(j)比较过，当且仅当第一个满足A(i)<=x<=A(j)的关键字x恰好就是A(i)或A(j) （假设A(i)比A(j)小）。我们称排序后第i小的数为Z(i)，假设i<j，那么第一次出现在Z(i)和Z(j)之间的关键字恰好就是Z(i)或Z(j)的概率为2/(j-i+1)，这是因为当Z(i)和Z(j)之间还不曾有过关键字时，Z(i)和Z(j)处于同一个待分割的区间，不管这个区间有多大，不管递归到哪里了，关键字的选择总是随机的。我们得到，Z(i)和Z(j)在一次快速排序中曾经比较过的概率为2/(j-i+1)。
现在有四个数，2,3,5,7。排序时，相邻的两个数肯定都被比较过，2和5、3和7都有2/3的概率被比较过，2和7之间被比较过有2/4的可能。也就是说，如果对这四个数做12次快速排序，那么2和3、3和5、5和7之间一共比较了12*3=36次，2和5、3和7之间总共比较了8*2=16次，2和7之间平均比较了6次。那么，12次排序中总的比较次数期望值为36+16+6=58。我们可以计算出单次的快速排序平均比较了多少次：58/12=29/6。其实，它就等于6项概率之和，1+1+1+2/3+2/3+2/4=29/6。这其实是与期望值相关的一个公式。
同样地，如果有n个数，那么快速排序平均需要的比较次数可以写成下面的式子。令k=j-i，我们能够最终得到比较次数的期望值为O(nlogn)。

这里用到了一个知识：1+1/2+1/3+...+1/n与log n增长速度相同，即∑(1/n)=Θ(log n)。它的证明放在本文的最后。

在三种O(nlogn)的排序算法中，快速排序的理论复杂度最不理想，除了它以外今天说的另外两种算法都是以最坏情况O(nlogn)的复杂度进行排序。但实践上看快速排序效率最高（不然为啥叫快速排序呢），原因在于快速排序的代码比其它同复杂度的算法更简洁，常数时间更小。

快速排序也有一个有趣的副产品：快速选择给出的一些数中第k小的数。一种简单的方法是使用上述任一种O(nlogn)的算法对这些数进行排序并返回排序后数组的第k个元素。快速选择(Quick Select)算法可以在平均O(n)的时间完成这一操作。它的最坏情况同快速排序一样，也是O(n^2)。在每一次分割后，我们都可以知道比关键字小的数有多少个，从而确定了关键字在所有数中是第几小的。我们假设关键字是第m小。如果k=m，那么我们就找到了答案——第k小元素即该关键字。否则，我们递归地计算左边或者右边：当k<m时，我们递归地寻找左边的元素中第k小的；当k>m时，我们递归地寻找右边的元素中第k-m小的数。由于我们不考虑所有的数的顺序，只需要递归其中的一边，因此复杂度大大降低。复杂度平均线性，我们不再具体证了。
还有一种算法可以在最坏O(n)的时间里找出第k小元素。那是我见过的所有算法中最没有实用价值的算法。那个O(n)只有理论价值。

============================华丽的分割线============================

我们前面证明过，仅仅依靠交换相邻元素的操作，复杂度只能达到O(n^2)。于是，人们尝试交换距离更远的元素。当人们发现O(nlogn)的排序算法似乎已经是极限的时候，又是什么制约了复杂度的下界呢？我们将要讨论的是更底层的东西。我们仍然假设所有的数都不相等。
我们总是不断在数与数之间进行比较。你可以试试，只用4次比较绝对不可能给4个数排出顺序。每多进行一次比较我们就又多知道了一个大小关系，从4次比较中一共可以获知4个大小关系。4个大小关系共有2^4=16种组合方式，而4个数的顺序一共有4!=24种。也就是说，4次比较可能出现的结果数目不足以区分24种可能的顺序。更一般地，给你n个数叫你排序，可能的答案共有n!个，k次比较只能区分2^k种可能，于是只有2^k>=n!时才有可能排出顺序。等号两边取对数，于是，给n个数排序至少需要log2(n!)次。注意，我们并没有说明一定能通过log2(n!)次比较排出顺序。虽然2^5=32超过了4!，但这不足以说明5次比较一定足够。如何用5次比较确定4个数的大小关系还需要进一步研究。第一次例外发生在n=12的时候，虽然2^29>12!，但现已证明给12个数排序最少需要30次比较。我们可以证明log(n!)的增长速度与nlogn相同，即log(n!)=Θ(nlogn)。这是排序所需要的最少的比较次数，它给出了排序复杂度的一个下界。log(n!)=Θ(nlogn)的证明也附在本文最后。
这篇日志的第三题中证明log2(N)是最优时用到了几乎相同的方法。那种“用天平称出重量不同的那个球至少要称几次”一类题目也可以用这种方法来解决。事实上，这里有一整套的理论，它叫做信息论。信息论是由香农(Shannon)提出的。他用对数来表示信息量，用熵来表示可能的情况的随机性，通过运算可以知道你目前得到的信息能够怎样影响最终结果的确定。如果我们的信息量是以2为底的，那信息论就变成信息学了。从根本上说，计算机的一切信息就是以2为底的信息量(bits=binary digits)，因此我们常说香农是数字通信之父。信息论和热力学关系密切，比如熵的概念是直接从热力学的熵定义引申过来的。和这个有关的东西已经严重偏题了，这里不说了，有兴趣可以去看《信息论与编码理论》。我对这个也很有兴趣，半懂不懂的，很想了解更多的东西，有兴趣的同志不妨加入讨论。物理学真的很神奇，利用物理学可以解决很多纯数学问题，我有时间的话可以举一些例子。我他妈的为啥要选文科呢。
后面将介绍的三种排序是线性时间复杂度，因为，它们排序时根本不是通过互相比较来确定大小关系的。

附1：∑(1/n)=Θ(log n)的证明
首先我们证明，∑(1/n)=O(log n)。在式子1+1/2+1/3+1/4+1/5+...中，我们把1/3变成1/2，使得两个1/2加起来凑成一个1；再把1/5,1/6和1/7全部变成1/4，这样四个1/4加起来又是一个1。我们把所有1/2^k的后面2^k-1项全部扩大为1/2^k，使得这2^k个分式加起来是一个1。现在，1+1/2+...+1/n里面产生了几个1呢？我们只需要看小于n的数有多少个2的幂即可。显然，经过数的扩大后原式各项总和为log n。O(logn)是∑(1/n)的复杂度上界。
然后我们证明，∑(1/n)=Ω(log n)。在式子1+1/2+1/3+1/4+1/5+...中，我们把1/3变成1/4，使得两个1/4加起来凑成一个1/2；再把1/5,1/6和1/7全部变成1/8，这样四个1/8加起来又是一个1/2。我们把所有1/2^k的前面2^k-1项全部缩小为1/2^k，使得这2^k个分式加起来是一个1/2。现在，1+1/2+...+1/n里面产生了几个1/2呢？我们只需要看小于n的数有多少个2的幂即可。显然，经过数的缩小后原式各项总和为1/2*logn。Ω(logn)是∑(1/n)的复杂度下界。

附2：log(n!)=Θ(nlogn)的证明
首先我们证明，log(n!)=O(nlogn)。显然n!<n^n，两边取对数我们得到log(n!)<log(n^n)，而log(n^n)就等于nlogn。因此，O(nlogn)是log(n!)的复杂度上界。
然后我们证明，log(n!)=Ω(nlogn)。n!=n(n-1)(n-2)(n-3)....1，把前面一半的因子全部缩小到n/2，后面一半因子全部舍去，显然有n!>(n/2)^(n/2)。两边取对数，log(n!)>(n/2)log(n/2)，后者即Ω(nlogn)。因此，Ω(nlogn)是log(n!)的复杂度下界。

今天写到这里了，大家帮忙校对哦
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⑽ 归并排序算法是什么

归并排序算法定义如下：

归并排序算法就是利用分治思想将数组分成两个小组A，B，再将A，B小组各自分成两个小组，依次类推，直到分出来的小组只有一个数据时，可以认为这个小组已经是有序的了，然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先递归的分解数组，再合并数组，就完成了归并排序。

归并排序算法特点：

由于归并排序在归并过程中需要与原始记录序列同样数量的存储空间存放归并结果以及递归时深度为log2n(2为底)的栈空间。

因此空间复杂度为O(n+logn)，Merge函数中if(SR[i] < SR[j])语句说明需要两两比较，不存在跳跃，因此归并排序是一种稳定的排序算法，归并排序是一种比较占用内存，但却效率高且稳定的算法。