变分问题有什么算法

⑴ 数学题目，

希尔伯特23问题和解决办法的情况下
1900年希尔伯特应邀出席数学家在巴黎的国际会议，并作了题为“数学问题”的重要演讲。在这个历史性的演讲，他做了一个许多重要的思想：

因为每个人追求的目标的原因是相同的数学研究也需要自己的问题。它是通过解决这些问题，研究人员行使其铁将寻找新的思路，达到自由更广阔的境界。

希尔伯特特别强调在数学发展中的重大问题中的作用，他说：“如果我们想数学知识的最接近的可能的未来发展是一个概念，它必须检讨目前的科学在未来提出了希望解决的问题“，而另一个人说：”对于影响深远的一般数学过程及其个别研究人员的工作重要作用的某些问题起到不可否认的是，只要一门科学分支能提出大量的。问题，它充满了活力，缺乏自主发展的预示跌势或暂停“

他阐述了与特性的主要问题，很好的问题应具有以下三个特点：

清晰度和可理解性;

虽然困难，但有希望的;

有意义。

他分析经常在数学问题和一些克服困难的途径研究中遇到的困难。当时他在新世纪的数学家提出会议应设法解决23问题，即着名的“希尔伯特23个问题。”

没有解决问题，推动了场上的局面

1连续统假设公理集合论在1963年的发展，保罗J.Cohen证明在这个意义上，第一个问题是无法解决的。这连续统假设不能Zermelo_Fraenkel公理系统内确定真伪。

算术希尔伯特两个公理的相容性的数学基础证明算术的相容性公理？的想法，后来发展成希尔伯特计划系统（“元数学”或“证据论”），但在1931年哥德尔的“不完全性定理”认为不可能的“元数学”算术公理证明的兼容性。兼容性问题仍然没有解决的数学。

3和两卷等于四面体构型为基础的问题，其他较高端的很快（1900年）的希尔伯特学生M.Dehn给出了肯定的答案。

4直线上两个点之间的几何问题的基础，提这个问题太笼统的最短距离。希尔伯特之后，许多数学家致力于探索各种特殊结构和几何度量，在第四的研究很大的进步，但问题还没有完全解决。

5，不要经过长期努力定义假设拓扑李群理论的可微函数组，这个问题最后由格里森，Montqomery，压缩和其他人解决了1952年，答案是肯定的。

在量子力学，热力学物理领域数学物理6公理的数学处理，公理化方法已经非常成功，但在一般情况下，这意味着什么不言自明的物理学仍然是一个需要探讨的问题。通过AHKonmoropob等人建立了公理化概率论。

7一定数量的非理性和超越数论1934年超越AOtemohm和Schneieder独立解决这个问题的后半部分。 8素数猜想一般的情况下仍然是猜想。哥德巴赫问题，包括的至今尚未解决的第八个问题。中国数学家做了一系列的优秀作品。相互证明抗法的最一般的类域论的任何数量的域

9贞治由高木（1921）和E.Artin（1927）解决。

10 Diophantius方程有解判别变量由苏联，美国和数学家分析，在1970年证明希尔伯特期望的一般算法不存在。

二次二次H.Hasse（1929）和CLSiegel（1936,1951）对这个问题的任何代数数论的11系数已取得显着成效。上

12阿贝尔域kroneker定理任意代数有理域。复数乘法理论尚未得到解决。

13不能只用两个变量的方程七通解函数。方程理论和由苏联数学家消极解决，这样的要求是解析函数的情况在1957年真正的函数连续函数，那么这个问题没有解决。

14证明了有限的课堂代数不变量理论的完全系于1958年约翰田雅宜的函数给出了否定的解决。

代数几何的15舒伯特演算符号严格的基础上，由于许多数学家的努力，舒伯特演算基于纯代数的治疗一直是可能的，但合理的舒伯特演算得到解决。随着代数几何，由BLVander Waerden（1938-40）和A.Weil（1950）建立的基础。拓扑

16拓扑代数曲线和曲面曲线和曲面的，前面的问题，常微分方程定性理论的一半，近年来也出现了显着成效。

表达域（实数域）在阿廷的17平方明确的形式在1926年得到解决。通过溶液的空间群理论部分的晶体结构

18全等多面体。解决方案

19定期变分问题有一定的椭圆型偏微分方程的理论解决了这个问题已经解决了的感觉。

对偏微分方程的研究正在蓬勃发展椭圆型偏微分方程边值问题的边界值问题20一般理论。

21具有线性的存在常微分方程的线性顺序值组偏微分方程的理论具有解决各种希尔伯特我（1905）年，H.Rohrl（德国，1957）中。

的解决了可变情况由P.Koebe（德国，1907年）22单值解析关系黎曼曲面体。

变分法希尔伯特本人和许多数学家变分法的发展作出了重要贡献的23变分法的进一步发展。

国会一百年前与希尔伯特的问题敻危玟

21世纪，数学家的第一次国际会议在北京召开在即，将带来些什么数学在本世纪的发展？可以作为关于数学在20世纪，它的发展作为数学家的第一次国际会议的方向？国会数学家一个世纪前永远的原因，仅仅是因为一个人，因为他的报告的史册 - “数学问题”希尔伯特（大卫·希尔伯特）和他的

1900年，希尔伯特提出了他着名的23数学问题，在巴黎的国际数学家大会第二次会议召开。在随后的半个世纪中，许多世界级的数学思想有他们转身。只是其另一个情况非常着名数学家外尔（H.外尔）说：“希尔伯特自爆他的魔笛，鼠群都跟着他蹿了河里。”这也难怪，他提出的问题是如此的清晰，很容易理解，他们中的一些有趣，足以让许多外行都跃跃欲试，并解决任何一个，或在任何重大突破的一个问题，并且马上就能来命名世界各地 - 我们的陈的，因为在第一个八解决希尔伯特问题（即素数的问题，包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想等），必须将眉毛的世界一个显着的贡献。它概括了发展在二十世纪的数学，二十世纪的数学，通常被称为问题希尔伯特烽火尤其是发展。

其实，这些问题绝大多数已经存在，不是希尔伯特首先提出的。但他的立场上了一个台阶，有一个更清晰，更简单的方法来重新提出了这些问题，并指出在解决很多问题的方向。

数学是非常多的问题，究竟是什么更重要，更基本的？做出这样的选择，需要敏锐的洞察力。希尔伯特为什么能如此目光如炬？数学历史学家，研究员，中国中国科学院数学与系统科学学院， - 译者“希尔伯特数学王国亚历山大”一书袁张向东先生（和李文林先生翻译），这是因为亚历山大的希尔伯特数学王国！数学家可以分为两大类，善于解决数学问题，从而使目前的情况了很好的理论总结，另外，它可以在两个类别的一流，二流，三流的分解。希尔伯特两种，长，行程现代数学的几乎所有的最前沿，一些在数学的大枝差异对数学了如指掌提到的许多问题的发展的背景下离开了他的显赫的名字有深入的研究，数学领域，“地王”。

为什么希尔伯特总结数学的基本问题，在会议上，而不是普通百姓宣讲他们的特定的结果？图像表达告诉记者，这和其他的数学大师彭加勒（庞加莱）在1897年举行办的国际数学家大会第一次会议关于庞加莱是对数学的申请报告。他们两人是在双子座的国际数学界，当然，这两个领军人物，也有一些竞争的心理 - 是他对物理学的一般看法，数学庞加莱告诉关系自此希尔伯特有些人捍卫纯数学。

法国庞加莱，希尔伯特是德国，法国和德国世仇，所以它们之间的竞争也带来了竞争的国家的味道。虽然他们都非常尊重对方，这一点反映都没有那么明显，但他们是学生和老师常常这样想。

希尔伯特老师克莱恩（菲利克斯克莱因）是一个非常强大的一个国家的意义上，他十分重视在德国数学的发展，要成为国际数学界的椭圆形 - 前圆形，巴黎的中心，现在，他想在他们的城市已经成为了世界的中心摹哥廷根数学，数学界分为二，使椭圆的中心？

在希尔伯特和亲密的朋友闵可夫斯基（赫尔曼·闵可夫斯基）与克莱因的帮助下实现自己的目标 - 1900年，希尔伯特和法国一直是最伟大的数学家庞加莱相提并论，而克莱因自己很快就来到到G？哥廷根闵可夫斯基也非常有影响力的数学家。事实上，他们被称为在德国，“教授无敌三”。

一个例子可以想象他们的魅力。

有一天，当谈到拓扑着名定理 - 当四色定理，闵可夫斯基突然有了一个想法，所以对于学生的满堂说：“这个定理还没有被证实，因为该到目前为止，只有一些三流的数学家也进行了研究现在我来证明这一点。“说完，他拿起粉笔在现场来证明这个定理。在本课结束后，他还没有说完卡。他接下类的证书，历时数周。最后，在一个下雨的早晨，他走上讲台天空中出现一个晴天霹雳。 “上帝也激怒了我的嚣张气焰，”他说，“我证明了它并不完全。” （该定理直到1994年与计算机证明这一点。）

1912年，彭加莱亡。 ？继G中数学世界的中心哥廷根偏移，数学似乎成了一个圆圈 - 但该中心取代摹哥廷根？此时，青年数学流行的口号哥廷根学校的声誉鼎盛时期被“打你的毯子，到哥廷根来！”

一个世纪后，希尔伯特列出的23个问题大约一半的问题已经解决了，大多数剩下的一半也有显着的进步。但希尔伯特本人并没有解决其中任何一个。有人问他为什么他不会自己解决所提到的问题，比如说，费尔马大定理？

费马大定理是写在空白页的书中，他还声称，他想出了一个奇妙的卡法，但不幸的是没有足够大的空白处写不下。希尔伯特的回答幽默同样的意义：“我不想杀了这个金蛋的母鸡” - 一个德国企业家建立了一个基金会奖项的第一人，解决费马大定律，希尔伯特当他的基金会，在每年的利息董事长资金，请充分利用优秀的学者来校讲学在哥廷根，所以对他来说，由费马大定律只是金蛋的母鸡。 （费马大定律只解决了直到1997年。）

之前列出23个问题，希尔伯特已经认识到了国际数学界的领导者，已经取得了数学的一些重要结果的许多领域。他的其他贡献，比如他的不言自明的命题形式主义的想法，“几何基础”一书等，对数学在20世纪的发展产生了深远的影响。

1 21世纪7数学问题

21世纪7数学问题

最近马萨诸塞州克雷数学的（黏土）研究所2000年5月24日，在法兰西学院在巴黎宣布了一项媒体事件这么热：七“千禧年数学问题”的百万美元每个奖励。以下是一个简要介绍七个挑战。其中“千年之谜”

：P（多项式算法）问题的NP（非多项式算法）

问题，你在一个盛大的晚会参加。因为他们觉得尴尬，你想知道这是否大厅还有人已经知道。你的主人向你提议说，你必须知道谁是指日可待甜点盘女士罗丝。不费一秒钟，你就能一目了然了那里，发现你的主人是正确的。但是，如果没有这样的暗示，你要环顾房间，逐一检查每一个人，看是否有你认识的人。产生这个问题的一个解决方案通常比验证更高一个给定的解决方案需要更多的时间。这是这种一般现象的一个例子。与此相似的是，如果有人告诉你，数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你，它可以利用3607的分解上3803，然后你可以使用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们是聪明的编程，可以迅速确定答案是验证使用内部的知识，没有这样的提示，或者需要花费大量的时间来解决，被看作是逻辑和计算机科学，最突出的问题之一。这是史蒂芬汉考克（StephenCook）声明于1971年。

“千年难题”二：霍奇（Hodge的）猜想

二十世纪，数学家们发现，研究对象的复杂形状的一种强有力的方式。其基本思想是要求在何种程度上，我们可以通过增加维数来创建简单的几何键合在一起形成一个块形状给定的对象。这种技术变得如此有用，所以它可以用在许多不同的方式进行推广;最终导致一些强大的工具，使数学家们取得了很大时，他们学习各种对象的分类进展遇到。不幸的是，在此推动下，中离场程序的几何点变得模糊。从某种意义上说，没有必要添加部件的某些几何解释。霍奇猜想断言，所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型，称为霍奇闭链的部件实际上是称作代数几何闭链组件（有理线性）组合。

“千年难题”之三：庞加莱（庞加莱）

想，如果我们伸缩自如的橡胶带围绕一个苹果表面的，那么我们就可以撕掉它都不是，不要让它留在表面，使其移动缓慢收缩到一个点。在另一方面，如果我们想象同样的橡皮带伸展在轮胎表面适当的方向，所以不要撕裂或胎面橡胶带，有没有办法把它收缩了一点。我们说，苹果表面是“单连通的”，而不是胎面。大约一百年前，庞加莱已经知道，由一个单一的连接刻画，他提出三维球面本质上是一个二维球面（四维空间中有一个从原点所有单位）对应的问题。这个问题立即变得非常困难，从那时起，数学家一直在努力上。

“千年难题”之四：黎曼（黎曼）假设

有些数字并没有表示为特殊性能两个较小的数的乘积，例如，2,3， 5,7，依此类推。这样的数称为素数;它们都起到纯数学及其应用具有重要作用。在所有的自然数，素数的这种分布并不遵循任何规律，然而，德国数学家黎曼（1826年至1866年）指出，素数的频率紧密的函数调用黎曼蔡一个精心构造的塔相关（新元的行为。着名的黎曼假设断言，方程Z（S）= 0对所有有意义的解都在一条直线上，这点一直是一个解决方案1,500,000,000开始验证。证明它是对每个已建立一个有意义的解决方案会带来很多的奥秘周围的配光素数

“千年难题”之五：杨 - 米尔斯（杨 - 米尔斯）的存在和质量差距
>量子物理定律是基于经典力学到宏观世界的牛顿定律成立基本粒子世界的方式。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理学。令人印象深刻的数学和根据杨对象之间的几何关系 - 在世界各地的实验室米尔斯方程的高能实验已经预测为那些确诊的应验：布罗克哈文字，斯坦福，欧洲粒子物理研究所和筑波。然而，它们都描述了重粒子，以及在数学方程的严格没有已知的解决方案。尤其是，已经认识到大多数物理学家和他们的尊重。 “夸克”隐形的解释适用于“质量差距”的假设从来没有被证实对数学令人满意。在这个问题上的进展需要引入的物理和数学两个新的基础。想法

“千年难题”之六：纳维 - 存在与平滑

起伏的波浪跟随我们的湖风是穿梭船，哗哗流跟着我们的现代飞机飞行的数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，可以由纳维理解 - 斯托亚历克斯方程解决他们的解释和预言。虽然这些公式都写在19世纪，我们对他们的了解依然少得可怜。挑战是使对数学理论的进步，使我们能解开隐藏在纳维 - 斯托克斯方程中的奥秘

“千年难题”之七：贝赫（桦木）和斯维讷传递 - 戴尔（斯温纳顿 - 戴尔）猜想

数学家一直如x ^ 2 + Y ^ 2 = Z ^ 2都刻画的问题，因为代数方程迷人的整数解。欧几里得不得不给出一个完整的答案，这个方程，但对于更复杂的方程，它变得非常困难。事实上，正如马蒂亚谢伟琦（Yu.V.Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解，即有确定这种方法是否有一个整数解没有通用方式。当该解决方案是一个点的阿贝尔簇，贝格和斯维讷通 - 戴尔认为犯罪嫌疑人，一群理性点的一列蔡函数z在S = 1的状态点附近（S）的大小。特别是，这个有趣的推测是，当z（1）等于0，则存在的有理点的无限数量的（溶液），与此相反，当z（1）不等于0，那么就只有这样的点的数量有限。

⑵ 请问有谁知道TV算法（最小全变分算法）

您好，[LASIP_Image_Restoration_DemoBox_v112.rar] - LASIP局部多项式逼近算法用于二维信号处理、图像复原，图像去噪的MATLAB实现。
[blind.rar] - 利用盲卷积图像复原方法，对模糊图像进行图像复原，可以达到比较好的效果。
[TV1.rar] - 采用T.Chan的总体变分(TV)方法实现图像修复，由于算法本身的局限性，无法解决视觉连通性的问题。

[Thisprocereforfull-variational.rar] - 本程序实现全变分(Total Variation, TV)的去噪算法，它使用了PDF纠正TV算法中的小问题。该算法可以很好地保留原图边缘信息的同时，去除噪声。
[LASIP_BlindDeconvolution.zip] - The LASIP routines for Multiframe Blind Deconvolution are used for restoration of an Image from its multiple blurred and noisy observations.
[irntv.zip] - The generalized total variation denoising algorithm which can be widely used for optimization or signal processing
[RestoreToolsNoIP.rar] - 一个非常好的图像恢复的工具集，matlab编写的源代码。
[MaximumEntropyv1.00.zip] - 一个基于最大熵的图像复原算法源代码。可以完成图像的去燥声和去模糊。
[TVInpainting.rar] - TV图象修复 自己写的小程序 matlab
[TVCMRI_pub.zip] - matlab code for Fixed point and Bregman iterative methods. minimize alpha*TV(Phi *x) + beta*||x||_1 + 0.5*||Ax-b||_2^2

⑶ 什么是变分法应该如何理解变分法

教材中的变分法严格的说与泛函分析教材无关，是大学实分析或者最优控制课程里的知识点，

了解变分法，首先要理解泛函这一概念:

泛函是一种映射，原像空间(定义域)是函数空间，像空间(值域或达域)是实数(复数)空间，

与一般函数不同的是函数的自变量的取值在复数空间，因变量的取值亦是如此。而泛函则是把函数作为自变量，因变量在复数空间。

变分，即可视作对泛函这一特殊函数的微分。详细说明如下:

⑷ 什么是变分不等式，为什么会产生变分不等式什么是变分不等式问题

半变分不等式的概念：当具有变分形式的不等式问题涉及非凸的、非光滑的能量函数时
我们称此不等式问题为半变分不等式
变分不等式是一类重要的非线性问题

⑸ 偏微分方程如何转化为变分形式，然后有限元逼近又是怎么做的谁能来给我介绍下

偏微分方程数值解有四个步骤
第一个步骤就是所谓的将偏微分方程转变为它的弱形式。即变分形式。
第二步是对这个变分形式的方程进行有限维逼近。这个逼近有多种选择，一种是使用伽辽金方法，相应的推广有Petrov-Galerkin方法，另一种是Collocation方法。
第三步是子空间选择标准，一种是有限元，另一种是谱方法
最后是将代数问题算法化。

⑹ 二维变分问题

9.3.1 二维椭圆型偏微分方程的变分问题

目前二维电法正演问题是最重要的问题。所相应的是在第一类、第二类或第三类边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程。用数学的语言来说，这些都是属于椭圆型偏微分方程，所以这里就讨论和二维椭圆型方程相联系的变分问题。首先讨论椭圆方程边值问题和相应变分问题的等价性。

电法勘探中目标函数（如电位等）在勘探区域D内所满足的椭圆型微分方程为

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在D域的边界Γ上（Γ为逐段光滑的封闭曲线），满足下列条件之一：

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以上式中u（x，y）为欲求目标函数，α、β、γ和f均为x和y的已知函数。要求α＞0，β≥0，γ≥0。方程（9.3.1）也称为赫姆霍兹方程。

数学上可以证明，若函数

（x，y）是方程Lu=f（即（9.3.1）在边界条件（9.3.4）或（9.3.2）、（9.3.3）下）的解，则函数

使相应的泛函

J［u］=（Lu，u）-2（f，u） （9.3.5）

达到极小值，式中圆括号表示内积，定义为

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或者反过来也一样，若

使泛函J［u］达到极小值，则Lu=f是方程Lu=f在相应边界条件下的解，即赫姆霍兹方程的边值问题和二次泛函J［u］的变分问题是等价的。

这里不给出严格的证明，只从公式推导上说明其等价性，首先

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因为

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所以

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图9.3 区域边界的几何关系

（dl为文中ds）

利用平面格林公式

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上式积分中间两项可写为

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由图9.3可见

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所以

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代入第三类边界条件，则

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上式中ds为Γ上的一个微线段，n为该线段的外法线方向，所以

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实际上，J［u］是一个二次泛函，可以求出它的一阶变分和二阶变分。设δu（x，y）是u（x，y）的增量，则

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式中：

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泛函（9.3.6）取极值的必要条件是

δJ=0

又因α＞0，β≥0，γ≥0且δu≢0，所以δ²J＞0，故泛函（9.3.6）达到极小值的充要条件是δJ=0，δ²J＞0。

现将一阶变分δJ改写一下，因为

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所以

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而δu是任意的，又α＞0，因此由δJ=0推得

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这就是方程（9.3.1）的第三边值问题的解。

当γ=0时，在（9.3.6）式中没有线积分项，易于看出，δJ=0相当于微分方程在第二类边界条件下的求解，即：

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对于第一类边值问题，这时相应的泛函（9.3.6）式也没有线积分项，考虑到这时δu|_Γ=0，故有

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与δJ=0相应的极小函数u（x，y）就是方程在第一类边界条件的解

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在以上讨论过程中有这样一种情况，即求一函数使泛函（9.3.6）达到极小值时，其边界条件是被极值函数自动满足的，无须作定解条件列出，这样的边界条件称为自然边界条件。

图9.4 两种介质的分界面

而第一类边界条件，在变分问题中与在微分方程边值问题中一样，必须作定解条件列出，也就是说极值解必须在满足这个边界条件的函数类中去找，这类边界条件称为强加边界条件。

前面的讨论适合于物性连续变化的介质，现在考虑分区均匀具有物性分界面的情况，这时必须考虑介质分界面的影响，在公式中将出现介质物性参数。现以稳定电流场为例进行讨论，由第一部分的理论：在两种导电介质的界面上，电流场必须满足的两个普遍性边界条件，即（8.3.9）和（8.3.10）式。这时介质参数α₁=σ₁，α₂=σ₂分别为两种介质的导电率，

为界面法向方向，规定从介质1指向介质2。如图9.4所示。为简单起见，讨论二维拉普拉斯方程第一边值问题，相当于不包括场源空间的线源问题。

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这时β=0，f=0，（9.3.6）式简化为

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式中D域由区域D₁和D₂合成，在D₁上α=α₁，在D₂上α=α₂。上式的变分可写为

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由于规定界面的法线方向从介质1指向介质2，所以上式最后一项为负的。在界面Γ₁₂上，由于电位连续，在边界附近介质1中的电位变化必等于介质2中的电位变化，即δu

=δu

，且由于电流法线分量连续，上式中后面两项积分相互抵消，由此可得相应泛函的变分为

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式中Γ=Γ₁+Γ₂，只包括外边界，不包括介质分界面。

由此可知，只要泛函表达式中包含物性参数，泛函的变分与介质分界面无关，只与外边界有关。在泛函取极值的过程中，分界面上的边界条件将自动满足，这也属于自然边界条件。

9.3.2 里兹—伽辽金方法

里兹方法是求泛函的近似极小值函数的一个方法，伽辽金方法来源于力学中的“虚位移原理”，它和变分问题没有任何联系，因此不需要将微分方程问题化为泛函变分问题来求解。但当微分方程问题和变分问题等价时，它和里兹方法就是一样的，所以这里将它们并联起来叙述。

考虑满足第一边界条件下的泊松方程

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相应的变分问题是求泛函

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的极小值。

设极小值函数的近似值为

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通常W_i（x，y）可选取满足边界条件的三角函数或多项式，α_i为待定系数，将（9.3.14）式代入（9.3.13）则

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其中

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由此可见，J（u_n）是α₁，α₂，…，α_n的多元二次函数，由求泛函极小的必要条件，必须满足

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由此可得

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或

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这是一个线性代数方程组，解此方程组求出系数α₁，α₂，…，α_n，代入（9.3.14）式，便是我们要求的解。

事实上，将λ_k，s和μ_k的表达式代入（9.3.15）式，可写为

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或

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由格林第一公式

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令u=u_n，v=W_s，并考虑边界条件，W_i也应满足边界条件W_s|_Γ=0，故有

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代入（9.3.16）式中可得

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这是方程组（9.3.15）的另一形式，即所谓伽辽金方程组。

对于一般椭圆型方程（9.3.1）的第一边值问题

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相应的变分问题是求泛函

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的极小值。

同样，假设其极小值函数近似为（9.3.14）式，可以证明此时确定α_k的方程组为

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其中

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方程组（9.3.20）的伽辽金形式为

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9.3.3 能量极小原理

在电磁学中有这样一个基本原理，即电磁场在达到平衡状态时都要求满足能量最小的条件，或者说，电磁能量取得极小的条件和麦克斯韦方程组是等价的，是以不同的形式表示电磁场状态及分布的基本定律。

已知电磁场的功率密度通量是由坡印亭矢量给出的

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而单位体积的功率ψ是密度通量

的负散度，即

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由于

，

和

可将（9.3.22）式写为

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将上式对时间t积分，可以得到能量密度

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上式中等式右边三项分别表示磁场的、电场的和传导电流的能量密度。

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式中γ²=-μω（ωε+iσ），这是用磁场强度表示的总能量表达式。同样可求出以电场强度表示的总能量表达式：

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当考虑存在场源时，有

磁源能量

电源能量

电流源能量

电流源功率

式中：

是源磁化强度；

为电极化强度；

为源电流密度。

电磁总能量D_T由场的能量和源的能量组成，例如电场的总能量是电场能量和电极化源能量的总和

D_T=D_F+D_E

前面已叙，电磁场的状态由能量极小原理确定。于是由极值的必要条件，能量D_T的变分δD_T必为零，对电场，其变分方程为

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对磁源磁场为

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当给定场源分布和适当边界条件时便可由上面变分方程求出介质各处的场值。

实际上可以证明满足变分方程的场值一定满足带有场源项的赫姆霍兹方程。例如（9.3.25）式，由于其变分和积分是对不同变量进行的，故可以交换其顺序，可得

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利用高斯公式，上式第二项为

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由于在区域的边界S面上变分δE处处为零，所以上式为零。这样可写出

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由于在区域内δE不为零，δD_T为零，则要求

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在均匀导磁率的区域，化简为

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或

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这就是带有场源的赫姆霍兹方程。可见由能量极小原理所导出的变分方程与麦克斯韦方程组导出的微分方程对决定场的状态是等价的。

⑺ 什么是变分问题

速降线问题,等周线问题等.说白了就是给出一条满足一定条件的曲线,使它对应的某个函数达到极值,什么时间最短啦,能量最小啦,等等

⑻ 现代控制理论中得变分法是如何处理问题的

变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

⑼ 卡尔曼滤波和三维变分公式

卡尔曼滤波（Kalman filtering）是一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态。由于它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用。X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)，Z(k)=H X(k)+V(k)，X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k)

⑽ 变分原理的变分原理

把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问物理题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如着名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。