向量组的正交化算法

1. 如何将向量组正交化

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

2. 将线性无关向量组 正交化，给出计算步骤，谢谢

正交向量组｛α1，α2，……。αn｝指①每个αi≠0.②i≠j时：（αi,αj）＝0（数积）假如向量组｛α1，α2，……。αn｝线性相关。则从“相关可表等价定理”，必有一个向量可以表示成其余向量的线性组合。不妨设α1＝k2α2+……+knαn,有（α1,α1）＝（α1,k2α2+……+knαn）＝k2（α1,α2）+……+kn（α1,αn）＝0.α1=0与①矛盾。所以，向量组｛α1，α2，……。αn｝线性无关。

3. 求解！！！！！如何对向量正交化

向量正交化，对称矩阵对角化的时候看题目要求是否需要正交阵，二次型化标准型让求正交变换的时候化正交阵~—、如果求出的特征值不相等，则只需要对其对应的特征向量单位化（原因是：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交）二、如果特征值相等，比如说a1=a2=a3=2，则先要对特征值等于2多对应的特征向量先进行正交，然后单位化（施密特正交化）。。比如：
设b＝a2+ta1.为了b⊥a1,必须
（a2+ta1）·a1＝0,
即：a2·a1+ta1·a1＝0
t＝-（a2·a1）/（a1·a1）＝-（-1）/2＝1/2
b＝（0
2
1）t+（1/2(1
0
-1)t＝（1/2,2,1/2）t
＜a1,a2＞≡＜a1,b＞[向量组＜a1,a2＞与向量组＜a1,b＞等价，后者是正交组]
这个过程就是向量组的正交化。

4. 将向量组正交化，为什么将向量组正交化什么时候要

在线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基.Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基.
这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法.在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）.
在数值计算中,Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差.因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化

5. 正交化怎么计算

正交化括号里算法：如果正交化中单位化中双括号里是向量的模长的话，应该是把向量的各个分量先平方再相加。如果指的向量的内积，那就是把两个向量对应分量相乘再相加。

正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的模长，如果是向量的模长的话，应该是把向量的各个分量先平方再相加，然后再开算数平方根，就是模长了。而如果正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的内积，那就是把两个向量对应分量相乘再相加，就是内积了。

6. 如何正交化三个向量组

首先，两个向量正交：求其内积，看是否为0，若为零，则正交。例子：a=(1,1,0),b=(1,-1,0) ，则内积(a,b)=1*1+1*(-1)+0*0=0，所以a，b正交。 向量组两两正交就是其任意两个向量都正交

7. 怎么把向量正交化

向量正交化一般都使用施密特正交化的方法

通过这样的计算之后

β1，β2，……βs就是正交向量组了

8. 线性代数怎么把向量组单位正交化

先单位化，再正交化，但这样最后得到的那个矩阵不一定是正交阵，所以需要最后再单位化一次。向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

(8)向量组的正交化算法扩展阅读：

向量组的任意两个极大无关组等价。两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。

从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

9. 如何两个向量正交化

向量正交化，对称矩阵对角化的时候看题目要求是否需要正交阵，二次型化标准型让求正交变换的时候化正交阵~—、如果求出的特征值不相等，则只需要对其对应的特征向量单位化（原因是：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交）二、如果特征值相等，比如说a1=a2=a3=2，则先要对特征值等于2多对应的特征向量先进行正交，然后单位化（施密特正交化）。。比如：
设b＝a2+ta1.为了b⊥a1,必须 （a2+ta1）·a1＝0,
即：a2·a1+ta1·a1＝0 t＝-（a2·a1）/（a1·a1）＝-（-1）/2＝1/2
b＝（0 2 1）T+（1/2(1 0 -1)T＝（1/2,2,1/2）T
＜a1,a2＞≡＜a1,b＞[向量组＜a1,a2＞与向量组＜a1,b＞等价，后者是正交组]
这个过程就是向量组的正交化。