纠正突发错误的编译码

① 纠错码的基本原理和性能参数

纠错码能够检错或纠错，主要是靠码字之间有较大的差别。这可用码字之间的汉明距离d(x，y)来衡量。它的定义为码字x与y之间的对应位取不同值的码元个数。一种纠错码的最小距离d定义为该种码中任两个码字之间的距离的最小值。一种码要能发现e个错误,它的最小距离d应不小于e+1。若要能纠正t个错误，则d应不小于2t+1。一个码字中非零码元的个数，称为此码字的汉明重量。一种码中非零码字的重量的最小值，称为该码的最小重量。对线性码来说，一种码的最小重量与其最小距离在数值上是相等的。
在构造线性码时，数字上是从n维空间中选一k维子空间，且使此子空间内各非零码字的重量尽可能大。当构造循环码时,可进一步将每一码字看成一多项式,将整个码看成是多项式环中的理想,这一理想是主理想,故可由生成多项式决定；而多项式完全可由它的根规定。这样,就容易对码进行构造和分析。这是BCH码等循环码构造的出发点。一般地说，构造一种码时，均设法将它与某种代数结构相联系，以便对它进行描述，进而推导它的性质，估计它的性能和给出它的译码方法。若一种码的码长为n，码字数为M,或信息位为h,以及最小距离为d，则可把此码记作【n,M,d】码。若此码为线性码，常简记作(n，k)或(n,k,d)码。人们还常用R=log2M/n表示码的信息率或简称码率,单位为比特/码元。R越大,则每个码元所携带的信息量越大，编码效率越高。 纠错码实现中最复杂的部分是译码。它是纠错码能否应用的关键。根据式(1),采用的码长n越大,则误码率越小。但n越大，编译码设备也越复杂,且延迟也越大。人们希望找到的译码方法是:误码率随码长n的增加按指数规律下降;译码的复杂程度随码长n的增加接近线性地增加；译码的计算量则与码长n基本无关。可惜，已经找到的码能满足这样要求的很少。不过由于大规模集成电路的发展，即使应用比较复杂的但性能良好的码，成本也并不太高。因此，纠错码的应用越来越广泛。
纠错码传输的都是数字信号。这既可用硬件实现，也可用软件实现。前者主要用各种数字电路，主要是采用大规模集成电路。软件实现特别适合计算机通信网等场合。因为这时可以直接利用网中的计算机进行编码和译码，不需要另加专用设备。硬件实现的速度较高，比软件可快几个数量级。
在传信率一定的情况下，如果采用纠错码提高可靠性，要求信道的传输率增加，带宽加大。因此，纠错码主要用于功率受限制而带宽较大的信道，如卫星、散射等系统中。纠错码还用在一些可靠性要求较高，但设备或器件的可靠性较差，而余量较大的场合，如磁带、磁盘和半导体存储器等。
在分组码的研究中，谱分析的方法受到人们的重视。纠同步错误码、算术码、不对称码、不等错误纠正码等，也得到较多的研究。 分组码是对信源待发的信息序列进行分组（每组K位）编码，它的校验位仅同本组的信息位有关。自20世纪50年代分组码的理论获得发展以来，分组码在数字通信和数据存储系统中已被广泛应用。
分组码的码长n和码字个数M是一个码的主要构造参数。码长为n的码中所有码字的位数均为n；若要用一个码传送k比特信息，则码字的个数M必须满足。典型的分组码是由k位信息位和r位监督位组成的，这样构成的码一般称为系统码。
分组码中应用最广的线性分组码。线性分组码中的M个码字之间具有一定线性约束关系，即这些码字总体构成了n维线性空间的一个k维子空间。称此k维子空间为（n，k）线性分组码。线性系统码的特点是每个码字的前k位均由这个码字所对应的信息位组成，并通过对这k位信息位的线性运算得到后面n—k是位监督位。
线性分组码中应用最广的是循环码，循环码的主要特征是任何码字在循环移位后个码字。循环码的优点在于其编码和解码手续比一般线性码简单，因而易于在设备上实现。在循环码中，码字可表示为多项式。循环码的码字多项式都可表示成为循环码的生成多项式与这个码字所代表的信息多项式的乘积，即，因此一个循环码可以通过给出其生成多项式来规定。常用的循环码有BCH码和RS码。
网格码有多种描述方法，网格图是常用方法之一，它能表示出编码过程。一个码率为1/2、包含四种状态的网格码的网格图如图所示。图1中00，01，10，11表示编码器所具有的四种状态，以“·”示出，从每一状态出发都存在两条支路，位于上面的一条支路对应于编码器输入为“0”的情况，位于下面的一条支路对应于编码器输入为“1”的情况，而每一支路上所列出的两个二进位码则表示相应的编码输出。因而可知，编码输出不仅决定于编码器的当前输入，还决定于编码器的状态，例如在图中从“00”状态出发；，若输入的二进制数据序列为1011，则编码器的状态转移过程为00→01→10→01→11，而相应的编码输出序列为11010010。在网格图中任意两条从同一状态出发；，经不同的状态转移过程后又归于另一相同状态（该状态也可与初始状态相同）的路径间的距离的最小值称为码的自由距离。如该图中的为5。对于卷积码来说，的计算可简化为始于且终于零状态的非全零路径与全零路径间距离的最小值。是表征网格码纠错能力的重要参数。维特比算法是广泛采用的网格码的译码方法。由于网格码的状态越多，译码越复杂，所以状态个数是度量网格码译码复杂性的重要参数。一般说来可以通过增大译码复杂性来增加，从而提高码的纠错能力。
BCH码、网格码已被广泛地应用于移动通信、卫星通信和频带数据传输中。RS码也被广泛应用于光盘的存储中。
大多数纠错码是设计来纠随机误码的，可以通过交织的方法使它适用于对突发误码的纠错。交织是一种使得集中出现的突发误码在解码时进行分散化的措施，从而使其不超出纠错码的纠错能力范围。 卷积码不对信息序列进行分组编码，它的校验元不仅与当前的信息元有关，而且同以前有限时间段上的信息元有关。卷积码在编码方法上尚未找到像分组码那样有效的数学工具和系统的理论。但在译码方面，不论在理论上还是实用上都超过了分组码，因而在差错控制和数据压缩系统中得到广泛应用。

② 纠错码的简介

纠错码（error correcting code） ，是在接收端能自动地纠正数据传输中所发生差错的码。纠错码的基本思路是在所有的由发送符号组成的序列中，仅挑出其中一部分做为信息的代表向信道发送，并使得所挑出的这些序列之间有尽可能多的差异。每个被挑出的允许发送的序列被称为一个码字，而码字的总合称为码。在发送端把信息变换成码字的过程称为编码；在接收端从接收到的信号判定所发码字、从而恢复信息的过程称为解码（或译码）。在解码时，若收到的信号不是码中的一个码字，则可以肯定在传输中出现了差错，从而着手对差错进行纠正。纠错的方法是找到与接收到的信号最接近的码字，并将其判定为发送信号。一般采用“距离”来度量信号间的接近程度，一种常用的“距离”称为汉明距离，它被定义为两码字间对应位不同的个数总和。一个给定码，其全部码字两两之间距离的最小值被称为这个码的码距。码距是一个码纠错能力的重要参数，例如在汉明距离下，若接收到的信号出错的位数不多于码距的一半，则接收端总能正确地恢复所发送的码字，从而正确地恢复所发送的信息。
纠错编码又称信道编码，它与信源编码是信息传输的两个方面。它们之间存在对偶的关系。应用信道译码直接对一些自然信息进行处理，可以去掉剩余度，以达到压缩数据的目的。
为了使一种码具有检错或纠错能力，必须对原码字增加多余的码元，以扩大码字之间的差别，使一个码字在一定数目内的码元上发生错误时，不致错成另一个码字。准确地说，即把原码字按某种规则变成有一定剩余度的码字，并使每个码字的码元间有一定的关系。关系的建立称为编码。码字到达收端后，用编码时所用的规则去检验。如果没有错误，则原规则一定满足，否则就不满足。由此可以根据编码规则是否满足以判定有无错误。当不能满足时，在可纠能力之内按一定的规则确定错误所在的位置，并予以纠正。纠错并恢复原码字的过程称为译码；码元间的关系为线性时，称为线性码；否则称为非线性码。检错码与其他手段结合使用，可以纠错。检错反馈重发系统（ARQ系统）就是一例。
在构造纠错码时，将输入信息分成k位一组以进行编码。若编出的校验位仅与本组的信息位有关，则称这样的码为分组码。若不仅与本组的k个信息位有关，而且与前若干组的信息位有关，则称为格码。这种码之所以称为格码，是因为用图形分析时它象篱笆或格架。线性格码在运算时为卷积运算，所以叫卷积码。 R.W.汉明于1950年首先给出可以纠正一个独立错误的线性分组码──汉明码。差不多与此同时E.戈雷给出一种可以纠正三个错误的完备码。完备码虽然十分罕见，但有较大实用意义。1954年D.E.莫勒提出一种能纠正多个错误的码；I.S.里德则立即给出它的译码方法，用的是择多判决法，这种码常称为RM码。1957年，E.普勒齐引入了循环码的概念。1959～1960年出现了BCH码,引进有限域的概念，解决了循环码的构造和性能估计等基本问题。后来成为线性分组码中最重要的一类码。它能纠正多个错误，且在实用范围内接近信道编码定理所指出的误码率值。但当n增大时，其误码率不能呈指数下降。BCH码的译码问题是W.W.彼得森解决的;钱天闻则提供了一种系统地搜索根的方法。1967年，E.R.伯利坎普提出一种迭代算法，大大简化了译码，使纠错码趋于实用。1970年В.Д.戈帕提出一种线性分组码的构造方法，原则上它可以达到吉尔伯特限，实现了理论上预期的目标。但至今仍未解决如何具体构造这种码的问题。
卷积码最早由P.伊莱亚斯于1955年提出。它的纠错能力较强，设备复杂程度与分组码大体相当。首先获得成功的译码方法是序列译码。1967年A.J.维特比提出的译码算法，能较好地按最大似然准则译码，且在许多领域中均可应用。卷积码还可用代数方法译码。它的设备虽较简单，但性能较差。卷积码在理论上不如分组码成熟，所用的工具也比较多样，尚缺乏系统的、统一的方法处理。
分组码和卷积码不但可以用来纠正独立错误，而且可以用来恢复删除错误和纠正突发错误。如分组码中有里德-索洛蒙码,法尔码等；卷积码中有岩垂码及扩散卷积码等。
为了实现低的误码率，根据式(1)，要求码长n较大。但已知的大多数码，当n变大时不是性能欠佳或者难以构造，就是译码过分复杂，不容易实现。但是，可以利用好的码进行级连，以得到性能更好的码。级连码的内码和外码，用分组码和卷积码都可以。这在深空通信中应用较多。

③ LDPC码或者Turbo码比BCH码强吗 为什么书上要单独讲。

BCH的本质就是线性循环码，就是纠正一个错误循环码，编码也是和循环码一样采用生成多项式来编码的，解码的方法很多种，常用的硬件解码电路就是用移位寄存器等主成，软件解码有钱搜索等方法，所以一般把BCH码放在循环码里面或者紧挨着循环码后面讲，BCH码讲完了就是讲RS码，因为RS码就是多进制的BCH码，他们都是线性码，应用范围主要是短距离对码率要求不高的地方，通信上很少用，但是LDPC和TURBO都不是线性码，他们和线性循环等码有本质的区别，无论编码解码都有自己的方法，而且这两种码都是最近几年才出来的，LDPC1996年才开始大规模的研究，主要用于远程移动通信上面，4G里面用了很多LDPC，这两种码也是性能很高的码，可以接近香农极限，当然，学习这两种码也是比较难的，当年我学的差点吐血。
至于哪种码更好，我觉得不存在这样一个问题，每个人每种码都有自己的用处，比如要是用于光盘纠错，非得BCH来，用于远程通信，LDPC或者TURBO码更胜任，没有比较的意义，总之存在就是合理的，要是有一种码是万能的，其他码就会消失了，你也听不到那些名字了，所以你所了解到的东西，说明他们都是有用处的。

④ 关于RS码的英文论文，急啊

摘要：提出了基于欧氏算法和频谱分析相结合的RS码硬件编译码方法；利用FPGA芯片实现了GF（2 8）上最高速率为50Mbps、最大延时为640ns的流式译码方案，满足了高速率的RS编译码需求。
关键词：RS码 FPGA 伴随式 关键方程 IDFT

差错控制编码技术对改善误码率、提高通信的可靠性具重要作用。RS码既可以纠正随机错误，又可以纠正突发错误，具有很强的纠错能力，在通信系统中应用广泛。由于RS码的译码复杂度高，数字运算量大，常见的硬件及软件译码方案大多不能满足高速率的传输需求，一般适用于10Mbps以下。本文提出的欧氏算法和频谱结构分析相结合的RS硬件解码方案，适用于FPGA单片实现，速率高、延迟小、通用性强、使用灵活。笔者在FPGA芯片上实现了GF（2 8）上符号速率为50Mbps的流式解码方案，最大延时为640ns，参数可以根据需要灵活设置。

1 RS码的结构

码字长度为N=q-1(q=2i)，生成多项式为，αi∈GF(q)的RS码有最小码距δ=2t+1，能够纠正t个随机或突发错误[1]。本文列举的方案测试中采用的RS码主要参数为N=255、m0=0、t=8，其中GF（2 8）的生成多项式为g（x）=x8+x4+x3+x2+1。由于RS码的编码逻辑结构比较简单，文中仅给出仿真结果。

2 RS码的译码算法

RS译码算法一般分为三步：伴随式计算、关键方程获得和错误图样的求解。其中关键方程的获得是RS译码中最困难、最为关键的一步。

在利用伴随式求解关键方程时，BM算法和Euclidean（欧氏）算法是两种较好的选择。BM算法涉及大量的变量存储和复杂的逻辑控制，适用于软件编程而不适合硬件实现。欧氏算法数据存储量少、控制便捷，适合硬件实现。且采用欧氏算法确定关键方程所需时间与错误个数成正比，因此从处理时间上考虑，欧氏算法也是较好的选择。

在获得关键方程后，采用时域处理方法，需要大量的运算单元和控制电路，在硬件实现中是不可取的。而采用频谱结构分析方法，利用最短线性移位寄存器综合及离散傅氏逆变换进行处理，逻辑简单、耗时少，适合硬件实现。虽然在傅氏变换时需要较多的逻辑单元，但对GF（2n）在n<10的情况下，变换域译码器要比时域译码器简单得多。因而本文提出欧氏算法和频谱结构分析相结合的方案，并在实践中获得了较好的效果。

Euclidean算法[3]步骤如下：

（2）按所列方法进行迭代

3 方案流程

方案流程框图如图1所示。

3.1 伴随式S0,S1,…，S2t-1的计算

令r1,r2，…，rn为接收到的RS码字，根据系统码监督矩阵的特性，可构造如图2所示伴随式计算电路Si=（（（r1αi+r2）αi+r3）αi…+rn，从而实际伴随式序列的计算。

3.2 利用伴随式确定关键方式

Euclidean算法的难点主工在于迭代计算过程中存在的被除数多项式和除数多项式长度的不确定性，使每次计算中产生的商序列的长度不等，以及因此可能涉及到的不定长多项式的相乘和相加问题，增加了硬件设计的难度。系统采用了嵌套双循环的方法，利用'时钟产生2'控制外循，'时钟产生1'控制内循环，从而优化了算法，得到了问题的解决方案。在获得伴随式的基础上，图3电路可具体完成Euclidean算法对关键方程的求解σ（x）=σtxt+σt-1xt-1+…+σ1x+1。

3.3 利用最短线性移位寄存器综合和离散傅氏变换获取错误图样

在得到关键方程后，首先应进行错误位置（关键方程的根）的确定，这样可减小电路的规模；利用钱搜索[1]（工程上求解σ（x）根的实用方法）的方法可以简捷的确定错误位置。然后，启动最短线性移位寄存器综合和离散傅氏逆变换，经过N次（运算所在域的长度）迭代，即可求得对应各个错误位置的错误图样，如图4所示。用错误图样对接收码字进行纠错，就可得到正确的信息序列。

3.4 RS编译码在FPGA上的实现

有限域的乘法、加法运算单元和各模块的控制逻辑设计是系统成功的关键。涉及有限域的各个运算单元的运算速度制约了译码器的速度，而控制逻辑引导了译码的流程。硬件电路的软件开发工具给设计复杂电路提供了简捷思路。系统采用了QUARTUS与第三方软件相结合的方法，用VHDL语言设计了大部分功能模块。特别是在乘法器设计中，乘数确定、被乘数不定的有限域乘法器，经逻辑综合和优化设计后，运算速度可分别在6.8ns和11.6ns内完成，完全可以满足系统符号速率50Mbps的要求。应该指出，系统速度的进一步提高受到求逆运算的限制，求逆运算没有明确的数学结构（通常采用查表的方法），这是制约运算速度的瓶颈。但针对流式译码算法，上述结构已能满足要求。

4 仿真结果

4.1 编码器的仿真

仿真的时钟频率为50MHz，在EN为高电平时输入信息有效。为简单起见，采用系统码的缩短型，即信息为（00，00，…，00，02，01，02）.编码器的仿真结果如图5所示。其中，IN为输入信息，CLK为系统时钟，C为编码输出（输入和输出均为16进制）。

4.2 译码器的仿真

首先，给出系统的仿真全貌，如图6所示。其中C为接收到的RS码，SP为伴随式S15,shang为运用欧氏算法得到的商序列，SeryDA为S序列，anssd和ERTD分别对应码字可能存在的第四个错误位置和错误值，仿真中的接收码在位置（105，106，107，108，109，110，111，112）上错误均为（01）HEX。

伴随式的计算结果：S15，S14，…，S1，S0为（FD，8D），CE，4A，51，B2，A1，CA，C4，0D，73，56，A6，F5，01），图6和图7中的sp即为S15。

这里重点给出利用伴随式计算关键方程的电路仿真结果，如图7所示。当输入伴随式结果以后，运算电路启动，在计算商序列的同时进行联接多项式的迭代运算。欧氏算法的商序列shang为：（FF，58），（37，92），（50，45），（E9，C7），（F4，B9），（5D，33），（87，8F）。当满足终止条件以后显示标志QQC，同时，给出关键方程系数如图7中（AI，AH，AG，AF，AE，AD，AC，AB，AA）即（00，19，2E，EC，A8，AD，41，E6，95），对应有限域上的表达式为：

δ（x）=α193x7+α130x6+α122x5+α144x4+α252x3+α191x2+α160x+α184;有解为（α105，α106，α107，α108，α109，α110，α111），与假定错误位置完全一致。然后求解S序列，同时针对各错误位置进行IDFT，就可以得到对应的错误值。图6中anssd和ERTD表示位置108上存在的错误为（01）HEX。

图5 编码器仿真结果

系统仿真表明，译码器获得的错误位置和错误图案与实际假设的错误位置（105，106，107，108，109，110，111）和错误值（01）HEX完全一致。

基于APEX架构的可编程单芯片RS编译码硬件解决方案在中国普天集团西安蓝牙通讯设备有限公司的二次群无线扩频通信机的改造项目中得到了应用。它可用于离散译码、流式译码，在添加一级缓存的基础上，同样适用于连续译码。

Abstract : Euclidean algorithm based on the combination of spectral analysis and RS hardware encryption; FPGA chip by GF (2 8), maximum rate of 50Mbps. 640ns delay the flow of the biggest decoding program to meet the demand for high-speed RS encryption. Keywords : RS-key equations with FPGA technology to improve IDFT error control coding error rate. improve communications with the reliability of an important role. RS random error correcting codes can also be corrected burst error correction capability is strong, widely used in communication systems. As RS decoder complexity, the number of large amount of computation. Most common hardware and software decoding program can not meet demand for high-speed transmission. Following are generally applicable to 10 Mbps. Euclidean algorithm and the proposed combination of spectral analysis RS hardware decoding program FPGA chip to achieve that rate, small delay, a strong and flexible. I realized in FPGA GF (2 8) symbols, the flow rate of 50Mbps decoding program maximum delay of 640ns, parameters can be set up based on the need for flexibility. 1 RS code word length of the structure N=q-1 (q=2i) for generating polynomial. α i ∈ GF (q) from the RS code with the smallest δ =2t+1. t random or unexpected error correction [1]. This paper listed in the test parameters for the RS code N=255, m0=0, pH7.5. which GF (2 8) for generating polynomial g (x) =x8+x4+x3+x2+1. As RS encoder logic structure is relatively simple, text only give the simulation results. 2 RS RS code decoding algorithm generally consists of three steps : With computers, The key equation solving and design errors. RS decoding is the key equation is the most difficult and most crucial step. With the use of key-solving equations, BM algorithm and Euclidean (Euclidean) algorithm is two better choices. BM algorithm involves a large number of variables to store and complex control logic applies to software programming without appropriate hardware. Euclidean algorithm for data storage less control convenient and suitable hardware. Also use the Euclidean algorithm to determine the key equation is proportional to the number of errors and the time required, from time to consider. Euclidean algorithm is a good choice. Access to the key equation, using time-domain approach requires a large amount of computational moles and control circuit the hardware is not desirable. Using spectrum analysis method, the shortest inverse linear shift register integrated and discrete Fourier transform, simple logic and less time suitable hardware. While the Fourier transform need more logic unit, but GF (2n) n <10 in the circumstances, Domain encoder decoder is much simpler than the time domain. Euclidean algorithm, and therefore this paper combine spectrum analysis program, and to gain better results in practice. Euclidean algorithm [3] The following steps : (2) 3 iterative methods listed in the program flow program flow chart shown in Figure 1. With 3.1 - S0, S1,…, S2t-1 calculated so r1, r2,…, rnΔyn to receive the RS code word, Under supervision of the character matrix code system. Construction can be calculated as shown in figure 2 with Si= circuit (((r1 - i+r2) - i+r3) - i… +rn. With so that the actual sequence of calculations. With 32,000 officially confirmed the key ways to use the Euclidean algorithm for the main difficulty lies in the iterative process of calculation and arithmetic polynomial length polynomial dividend, the uncertainty Thus, each calculation of the length of the serial range and thus may be involved in the multiplication of polynomials and the sum of variable length. increase the difficulty of hardware design. Two of the nesting cycle system using the method of 'Clock 2' control through. 'Clock 1' inner loop control, optimize the algorithm, a solution to the problem. The ceremony was accompanied by the foundation, Figure 3 circuit can be completed Euclidean algorithm specific key equations of σ (x) = σ txt+ σ t-1xt-1+… + σ 1x+1. 330 linear shift register using the shortest access to integrated and discrete Fourier transform has been key in the wrong design equation, First, should the wrong location (the root of the key equation) determined that this will rece the size of circuits; use the money to search [1] (works for σ (x) root practical method), a simple method to determine the wrong location. Then, shortest start inverse linear shift register integrated and discrete Fourier transform, through N (computational domain where the length) iteration. be all wrong location corresponding to the wrong design, as shown in figure 4. Drawing on the takeover code used for correcting mistakes. can get the correct message sequence. RS 3.4 encryption in the FPGA to achieve limited domain multiplication, Adder moles and the molar design of the control logic systems is the key to success. Operation of the various moles involved in the limited domain of the decoder speed computational speed constraints, and control logic guiding the decoding process. Hardware complexity of circuit design software development tools to provide a simple idea. QUARTUS system with a combination of third-party software. VHDL design of most functional moles. especially in the multiplier, multiplier determined. multiplicand volatile finite field multiplier, logic synthesis and optimization design, 11.6ns 6.8ns and the computational speed can be completed. Symbol rate of 50Mbps system can meet the requirements. It should be noted that further improve the system by inverse calculation speed restrictions no clear inverse calculation of the mathematical structure (look-up table method is usually used). This is a bottleneck restricting the operation speed. However, in view of flow algorithm. the structure can meet the above requirements. 4 simulation results of the simulation 4.1 encoder clock frequency of 50MHz. EN input to the generator when the information effectively. for the sake of simplicity, the use of the shortened code systems, information (00, 00…, 00,02,01,02). The simulation results shown in Figure 5 encoder. Among them, IN to input information, for the system clock CLK, C coding output (both input and output, 16-ary). Simulation 4.2 Decoder First, The simulation gives the whole picture, as illustrated in figure 6. C for receipt of the RS code, as with SP-S15. shang Euclidean algorithm for the use of the serial, SeryDA S Series, anssd ERTD corresponding code and the fourth may be wrong position and erroneous values Simulation code in the receiving position (105,106,107,108,109,110,111. 112) were wrong (01) HEX. With results like : S15, S14,…, S1. S0 (FD,8D) CE,4A,51, B2, A1, CA, C4,0D,73,56, A6, F5,01) Figure 6 and Figure 7 sp namely the S15. With the focus here is calculated by using the key to the equation circuit simulation results shown in figure 7. When the input syndrome result, the circuit operation in the calculation of serial link at the same time polynomial iteration. Euclidean algorithm serial shang : (FF,58), (37,92), (50,45). (E9, C7), (F4, B9), (5D,33), (87,8F). When shown signs QQC meet after the termination conditions, while the key equation coefficients is given in Figure 7 (AI AH AG. AF, AE, AD, AC, AB, AA) : (00,19,2E, EC, A8, AD,41, E6,95) limited domain corresponding to the formula : δ (x) = α - 122x5+ 130x6+ 193x7+ α - α 191x2+ 252x3+ 144x4+ α - α 184; 160x+ Solution (α 105, - 106, - 107, - 108, - 109, - 110, - 111). exactly the same position with the wrong assumptions. And then the S Series, IDFT against the wrong location, it could be the wrong response value. 6 anssd ERTD plan and said there is the wrong position for the 108 (01) HEX. Figure 5 encoder System Simulation results show that Decoder the wrong place and wrong patterns and the actual position of the erroneous assumption (105,106,107. 108,109,110,111) and the wrong values (01) HEX totally consistent. RS APEX structure based on a programmable chip encryption hardware solutions in China Putian Group Limited, the second group Xi'an Bluetooth wireless communication equipment spread spectrum communication mechanism has been applied to the reconstruction project. It can be used for discrete decoding, streaming decoding, in addition to the basic level cache, the same applies to successive decoding.

⑤ RS解码是什么

RS码是一种纠错能力很强的多进制BCH码,能够纠正随机错误和突发错误,广泛应用于各种差错编码中。针对不同的码型,保密通信中的首选码型为RS(31,15)码。该文分析了这种编解码方法的基本原理以及编解码算法的运算步骤,并利用Verilog硬件描述语言在FPGA硬件平台上完成了编解码实现,验证了编解码的正确性,并使用流水线技术优化设计。

⑥ 常用差错控制编码有哪些

常用的差错控制编码方法有：奇偶校验、恒比码、矩阵码、循环冗余校验码、卷积码、Turbo码。

1、奇偶校验

奇偶校验是一种校验代码传输正确性的方法。根据被传输的一组二进制代码的数位中“1”的个数是奇数或偶数来进行校验。采用奇数的称为奇校验，反之，称为偶校验。

采用何种校验是事先规定好的。通常专门设置一个奇偶校验位，用它使这组代码中“1”的个数为奇数或偶数。若用奇校验，则当接收端收到这组代码时，校验“1”的个数是否为奇数，从而确定传输代码的正确性。

2、恒比码

恒比码一般指定比码 。

定比码是指一组码中1和0的码元个数成一定比例的一种编码。换言之，它是选用比特序列中1和0码元之比例为定值，所以又称为恒比码。定比码是一种常用的检错码。

3、矩阵码

矩阵码属二维条码的一种，是将图文和数据编码后，转换成一个二维排列的多格黑白小方块图形。

矩阵式二维条形码是以矩阵的形式组成，在矩阵相应元素位置上，用点(Dot)的出现表示二进制的 “1”，不出现表示二进制的 “0”，点的排列组合确定了矩阵码所代表的意义。其中点可以是方点、圆点或其它形状的点。矩阵码是建立在电脑图像处理技术、组合编码原理等基础上的图形符号自动辨识的码制，已较不适合用“条形码”称之。

4、循环冗余校验码

循环冗余校验码（CRC），简称循环码，是一种常用的、具有检错、纠错能力的校验码，在早期的通信中运用广泛。循环冗余校验码常用于外存储器和计算机同步通信的数据校验。奇偶校验码和海明校验码都是采用奇偶检测为手段检错和纠错的(奇偶校验码不具有纠错能力)，而循环冗余校验则是通过某种数学运算来建立数据位和校验位的约定关系的。

5、卷积码

卷积码将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进行传输，时延小。卷积码的纠错性能随m的增加而增大，而差错率随N的增加而指数下降。在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。

6、Turbo码

Turbo码是Claude.Berrou等人在1993年首次提出的一种级联码。Turbo码有一重要特点是其译码较为复杂，比常规的卷积码要复杂的多，这种复杂不仅在于其译码要采用迭代的过程，而且采用的算法本身也比较复杂。这些算法的关键是不但要能够对每比特进行译码，而且还要伴随着译码给出每比特译出的可靠性信息，有了这些信息，迭代才能进行下去。

(6)纠正突发错误的编译码扩展阅读：

差错控制编码是指在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想及加性噪声的影响，所收到的数字信号不可避免地会发生错误。

为了在已知信噪比的情况下达到一定的误比特率指标，首先应合理设计基带信号，选择调制、解调方式，采用频域均衡和时域均衡，使误比特率尽可能降低，但若误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码，即差错控制编码。

差错控制编码的基本做法是：在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输过程中发生差错，则信息码元与监督码元之间的关系将受到破坏，从而可以发现错误，乃至纠正错误。研究各种编码和译码方法正式差错控制编码所要解决的问题。

⑦ 交织编码的仿真原理

在实际通信系统中常常存在突发性错误。突发错误一般是一个错误序列。纠正突发错误的通常采用交织编码。交织编码的基本思路是，将i个能纠t个错的分组码（n，k）中的码元比特排列成i行n列的方阵。每个码元比特记作B（i，n）。交织前如果遇到连续j个比特的突发错误（用阴影方块表示），且j>>t，对其中的连续两个码组而言，错误数已远远大于纠错能力t，因而无法正确对出错码组进行纠错。交织后，总的比特数不变，传输次序由原来的B（1，1），B（1，2），B（1，3）…B（1，n），B（2，1），B（2，2），B（2，3）…B（2，n），……B（i，1），B（i，2），B（i，3）…B（i，n）转变为B（1，1），B（2，1），B（3，1）…B（i，1），B（1，2），B（2，2），B（3，2）…B（i，2）………B（1，n），B（2，n），B（3，n），…B（i，n）的次序。此时因干扰或衰落引起的突发错误图样正好落在分组码的纠错能力范围内，可以正确纠错错误。通常把码组数i称为交织度，用这种方法构造的码称为交织码。 使用交织编码的好处是提高了抗突发错误的能力但不增加新的监督码元，从而不会降低编码效率。理论上交织度i越大，抗突发错误的能力就越强，但是要求译码器的暂存区就越大，而且译码延时也相应加大。因此，实际工程中会根据设计成本和系统的延时要求选取合适的i。
交织编码的仿真实验原理在进行交织编码以前，先将数据用戈雷码编码器进行了纠错编码，然后再进行23行、23列的交织编码。在传输信道上用了一个周期为1Hz、脉宽为100ms、幅度为2V的方波信号模拟突发错误。图12.28为输入数据、解码输出及被干扰产生突发错误的波形覆盖示意图。100ms的突发错误被完全纠正。由于使用交织编码所以应该存在2倍的编码、解码延时，即2×23×23个采样。因此要观察到一个以上完整的反交织周期的数
据信号，系统的采样点数应该稍微设置长一些。
除此之外，SystemView还提供了另外一个交织编码器图符——卷积交织编码。当使用较短的移位寄存器时，该编码器比上述实验中先进行BCH编码再交织的方法实时性要好，而且参数设置也相对简单。

⑧ 大学学习的《通信原理》科目大概是讲什么的

1．绪论
通信系统和通信网的构成，信源、信宿和信号，信源编译码设备，信道及信道编译码设备，交换设备
2．确定信号分析
确定信号的分类，周期信号的傅利叶级数分析，傅利叶变换，，能量谱密度和功率谱密度，确定信号的相关函数，卷积，希尔伯特变换，解析信号，频带信号与带通系统
3. 随机过程
随机过程的统计(概率)特性，平稳随机过程，高斯随机过程(正态)，平稳随机过程通过线性系统，高斯白噪声，窄带平稳随机过程，余弦波加窄带平稳高斯随机过程，匹配滤波器，循环平稳随机过程
4. 模拟通信系统
幅度调制，双边带抑制载波调幅(DSB/SC AM)，具有离散大载波的双边带幅度调制（AM），单边带调幅(SSB AM)，残留边带调幅(VSB AM)，角度调制，线性调制系统的抗噪声性能，角度调制系统的抗噪声性能，频分复用
5．数字信号的基带传输
数字基带信号波形及其功率谱密度，AWGN下数字基带信号的接收，数字PAM信号通过限带基带信道的传输，在理想限带及加性白高斯噪声干扰信道条件下数字PAM信号，眼图，信道均衡，部分响应系统
6. 数字信号的频带传输
二进制数字信号正弦型载波调制，四相移相键控，M进制数字调制，恒包络连续相位调制
7. 信源和信源编码
信息熵，互信息I(X；Y)，无失真离散信源编码，信息率失真R(D)函数，失真信源编码定理与限失真信源编码，连续信源的限失真编码，数字化基本原理，取样，量化，相关信源的限失真信源编码
8. 信道
信道的定义和分类，信道的数学模型，参信道特性及其对信号传输的影响，随参信道特性及其对信号传输的影响，分集接收，信道容量，信道复用
9． 信道编码
线性分组码，循环，BCH码，卷积码，纠正突发错误码，交织，级联码，Turbo码
10. 正交码与伪随机码
正交码，伪随机码，Gold码
11.通信网的基本知识
通信网的组成要素和性能要求，交换技术的基本原理，信令和协议

⑨ 纠错编码的分类

1．自动请求重发（ARQ）
采用这种方法时，当接收端检测到所接收的信息有错以后，通过反向信道向发送端要求重发原信息，直到接收端认可为止，从而达到纠正误码的目的。这种方法的优点是纠错编解码设备简单，但需要具备反向信道，且实时性较差。
2．前向纠错（FEC）
前向差错控制编码的基本做法是在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元，这些多余的监督码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联(约束)。接收端按照既定的关联规则检验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输过程中发生差错，则信息码元与监督码元之间的关系将受到破坏，从而可以发现错误，乃至纠正错误。具体说就是接收端对接收到的码字施加一定的算法，从而发现误码并予以纠正。这种方式的优点是不需要反向信道，纠错编解码的实时性较好。缺点是纠错编解码较复杂，且纠错能力有限。
3．混合纠错（HEC）
该方式是前两种方式的结合。接收端对所接收的码流中少量的误码可通过前向纠错方式进行自动纠正；而对超过前向纠正能力的误码，但能检测出来，则接收端通过反向信道请求发端重发，以此对错码加以纠正。
以上三种差错控制方式可以用图1来概括。无论采用那种纠错方法，都要在原信息中插入冗余码才能实现纠错或检错。由于前向纠错方法简单，不需要反向信道，且能实时实现。因此在实时图像通信系统中，多采用前向纠错的方法来进行对图像信号和系统控制信号的差错控制。
4．BCH纠错编码
实测表明，对图像信息进行了BCH(511，493)的纠错处理，通过增加4%的冗余度信息可以将信道误码率由10－6改善到10－9，从而确保了图像信息的可靠传输。
纠错码的实现框图如图2所示，图像数据首先被分成一个个的493比特的数据组，组与组之间空18比特，有待于插入校验位。图像数据组进入BCH纠错编码单元，按照上述的BCH(511，493)的算法，算出18位校验位。延时单元主要的目的就是补偿BCH编码所花费的时间，使得经编码输出的校验位和相应的数据刚好对齐，然后将两者复合起来形成一路经BCH纠错编码的图像信号送至多路复用单元和音频、数据信号进行多路复用。
图1差错控制方式
图2纠错编码框图
在接收端，解码器对图像进行BCH译码。在译码电路中，译码器根据18位校验信号对相应的493位图像信号进行验算，如果图像数据中有一位随机误码，则通过这样的校验可以将它们自动纠正。如果有2位，则可以将它检测出来。
5．比特交织
在实际应用中，还可以将比特交织和前向纠错相结合，以期进一步提高纠错能力，如图3所示。FEC和编码交织在分组前完成，在接收端通过反交织可以使突发错误分散开来，这样，具有纠随机错误能力的纠错码能纠突发错误，这在无线或分组视频通信中特别有效。
图3FEC和比特交织

⑩ 在工程应用中应用的最多的误差检验码和误差纠错码分别是哪两种

在工程应用中，应用的最多的误差检验码和误差纠错码分别是奇偶校验码和汉明码。
由于存在干扰，二进制信息在传输过程中会出现错误。为发现并纠正错误，提高数字设备的抗干扰能力，必须使代码具有发现错误并纠正的能力，这种代码称为误差检验码(Error-detectingCodes)。最常用的误差检验码为奇偶校验码。它的编码方法是在信息码组外增加一位监督码元，增加监督码元后，使得整个码组中“1”码元的数目为奇数或为偶数。若为奇数，称为奇校验码(Oddparity);若为偶数，称为偶校验码(Evenparity)。
奇偶校验码的特点：
1、奇偶校验码可以检测单向单错。
2、奇偶校验码中，信息码和校验码是可以分离的，故称为可分离码。
3、无需任何附加电路可以从收到的奇偶校验码中取得信息码，从而简化了译码过程。
误差纠错码又称误差信道编码，它与信源编码是信息传输的两个方面。它们之间存在对偶的关系。应用信道译码直接对一些自然信息进行处理，可以去掉剩余度，以达到压缩数据的目的。在计算、电信、信息论和编码理论中，纠错码用于控制不可靠或嘈杂的通信信道上的数据错误。中心思想是发送者以ECC的形式用冗余信息对消息进行编码。冗余允许接收器检测在消息中任何地方可能发生的有限数量的错误，并且通常无需重传即可纠正这些错误。美国数学家RichardHamming在1940年代开创了这一领域，并于1950年发明了纠错码：Hamming(7,4)码。
最常用的误差纠错码为汉明码，汉明码是一种能纠一位错的线性分组码，由于它的编译码简单，在数据通信和计算机存储系统中广泛应用，如在蓝牙技术和硬盘阵列中。它的最小码距为3,可以纠正一位错误，但对于两位错不能检测，还可能会造成误纠。尽管发生一位错的概率相对最高，但在一些要求较高的应用中汉明码不能满足要求。合理地用k位数据位形成r个校验位的值，即保证用k个数据位中不同的数据位组合来形成每个校验位的值，使任何一个数据位出错时，蒋影响r个校验位中不同的校验位组合起变化。换言之，通过检查是哪种校验位组合起了变化，就能确定是哪个数据位错，对该位求反则实现纠错。有时两位错与某种情况的一位错对校验位组合的影响相同，必须加以区分与解决。