算法艺术与分析论文

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书名：计算机程序设计艺术（第1卷）

作者：[美国] Donald Knuth

豆瓣评分：9.4

出版社：清华大学出版社

出版年份：2002-9

页数：650

内容简介：

第1卷首先介绍编程的基本概念和技术，然后详细讲解信息结构方面的内容，包括信息在计算机内部的表示方法、数据元素之间的结构关系，以及有效的信息处理方法。此外，书中还描述了编程在模拟、数值方法、符号计算、软件与系统设计等方面的初级应用。此第3版增加了数十项简单但重要的算法和技术，并根据当前研究发展趋势在数学预备知识方面做了大量修改。

作者简介：

作者：(美国)Dald E. Kuh

Donald.E.Knuth(唐纳德.E.克努特，中文名高德纳)是算法和程序设计技术的先驱者，是计算机排版系统TEX和METAFONT的发明者，他因这些成就和大量创造性的影响深远的着作(19部书和160篇论文)而誉满全球。作为斯坦福大学计算机程序设计艺术的荣誉退休教授，他当前正全神贯注于完成其关于计算机科学的史诗性的七卷集。这一伟大工程在1962年他还是加利福尼亚理工学院的研究生时就开始了。Knuth教授获得了许多奖项和荣誉，包括美国计算机协会图灵奖(ACM Turing Award)，美国前总统卡特授予的科学金奖(Medal of Science)，美国数学学会斯蒂尔奖(AMS Steele Prize)，以及1996年11月由于发明先进技术而荣获的备受推崇的京都奖(Kyoto Prize)。Knuth教授现与其妻Jill生活于斯坦福校园内。

访问Knuth教授的个人主页，可以获得有关本书及本系列其他未出版图书的更多信息：

www-cs-faculty.stanford.e/knuth

‘叁’ 计算机导论论文

大学计算机科学导论论文
计算机科学与技术这一门科学深深的吸引着我们这些同学们，原先不管是国内还是国外都喜欢把这个系分为计算机软件理论、计算机系统、计算机技术与应用。后来又合到一起，变成了现在的计算机科学与技术。我一直认为计算机科学与技术这门专业，在本科阶段是不可能切分成计算机科学和计算机技术的，因为计算机科学需要相当多的实践，而实践需要技术；每一个人(包括非计算机专业)，掌握简单的计算机技术都很容易（包括原先Major们自以为得意的程序设计），但计算机专业的优势是：我们掌握许多其他专业并不"深究"的东西，例如，算法，体系结构，等等。非计算机专业的人可以很容易地做一个芯片，写一段程序，但他们做不出计算机专业能够做出来的大型系统。今天我想专门谈一谈计算机科学，并将重点放在计算理论上。

1)计算机语言
随着20世纪40年代第一台存储程序式通用电子计算机的研制成功，进入20世纪50年代后，计算机的发展步入了实用化的阶段。然而，在最初的应用中，人们普遍感到使用机器指令编制程序不仅效率低下，而且十分别扭，也不利于交流和软件维护，复杂程序查找错误尤其困难，因此，软件开发急需一种高级的类似于自然语言那样的程序设计语言。1952年，第一个程序设计语言Short Code出现。两年后，Fortran问世。作为一种面向科学计算的高级程序设计语言，Fortran的最大功绩在于牢固地树立了高级语言的地位，并使之成为世界通用的程序设计语言。Algol60的诞生是计算机语言的研究成为一门科学的标志。该语言的文本中提出了一整套的新概念，如变量的类型说明和作用域规则、过程的递归性及参数传递机制等。而且，它是第一个用严格的语法规则——巴科斯范式（BNF）定义语言文法的高级语言。程序设计语言的研究与发展在产生了一批成功的高级语言之后，其进一步的发展开始受到程序设计思想、方法和技术的影响，也开始受到程序理论、软件工程、人工智能等许多方面特别是实用化方面的影响。在“软件危机”的争论日渐平息的同时，一些设计准则开始为大多数人所接受，并在后续出现的各种高级语言中得到体现。例如，用于支持结构化程序设计的PASCAL语言，适合于军队各方面应用的大型通用程序设计语言ADA，支持并发程序设计的MODULA-2，支持逻辑程序设计的PROLOG语言，支持人工智能程序设计的LISP语言，支持面积对象程序变换的SMALLTALK、C等。而且，伴随着这些语言的出现和发展，产生了一大批为解决语言的编译和应用中所出现的问题而发展的理论、方法和技术。有大量的学术论文可以证明，由高级语言的发展派生的各种思想、方法、理论和技术触及到了计算机科学的大多数学科方向，但内容上仍相对集中在语言、计算模型和软件开发方法学方面。

(2)计算机模型与软件开发方法
20世纪80年代是计算机网络、分布式处理和多媒体大发展的时期。在各种高级程序设计语言中增加并发机构以支持分布式程序设计，在语言中通过扩展绘图子程序以支持计算机图形学程序设计成为当时程序设计语言的一种时尚。之后，在模数/数模转换等接口技术和数据库技术的支持下，通过扩展高级语言的程序库又实现了多媒体程序设计的构想。进入20世纪90年代之后，并行计算机和分布式大规模异质计算机网络的发展又将并行程序设计语言、并行编译程序、并行操作系统、并行与分布式数据库系统等试行软件的开发的关键技术依然与高级语言和计算模型密切相关，如各种并行、并发程序设计语言，进程代数，PETRI网等，它们正是软件开发方法和技术的研究中支持不同阶段软件开发的程序设计语言和支持这些软件开发方法和技术的理论基础——计算模型。
(3)计算机应用

用计算机来代替人进行计算，就得首先研究计算方法和相应的计算机算法，进而编制计算机程序。由于早期计算机的应用主要集中在科学计算领域，因此，数值计算方法就成为最早的应用数学分支与计算机应用建立了联系。最初的时候，由于计算机的存储器容量很小，速度也不快，为了计算一些稍稍大一点的题目，人们常常要挖空心思研究怎样节省存储单元，怎样减少不需要的操作。为此，发展了像稀疏矩阵计算理论来进行方程组的求解；发展了杂凑函数来动态地存储、访问数据；发展了虚拟程序设计思想和程序覆盖技术在内存较小的计算机上运行较大的程序；在子程序和程序包的概念提出之后，许多人开始将数学中的一些通用计算公式和计算方法写成子程序，并进一步开发成程序包，通过简洁的调用命令向用户开放。子程序的提出是今日软件重用思想的开端。

在计算机应用领域，科学计算是一个长久不衰的方向。该方向主要依赖于应用数学中的数值计算的发展，而数值计算的发展也受到来自计算机系统结构的影响。早期，科学计算主要在单机上进行，经历了从小规模数值分析到中大规模数值分析的阶段。随着并行计算机和分布式并行计算机的出现，并行数值计算开始成为科学计算的热点，处理的问题也从中大规模数值分析进入到中大规模复杂问题的计算。所谓中大规模复杂问题并不是由于数据的增大而使计算变得困难，使问题变得复杂，而主要是由于计算中考虑的因素太多，特别是一些因素具有不确定性而使计算变得困难，使问题变得复杂，其结果往往是在算法的研究中精度与复杂性的矛盾难于克服。

几何是数学的一个分支，它实现了人类思维方式中的数形结合。在计算机发明之后，人们自然很容易联想到了用计算机来处理图形的问题，由此产生了计算机图形学。计算机图形学是使用计算机辅助产生图形并对图形进行处理的科学。并由此推动了计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助教学（CAI）、计算机辅助信息处理、计算机辅助测试（CAT）等方向的发展。

在各种实际应用系统的开发中，有一个重要的方向值得注意，即实时系统的开发。

利用计算机证明数学定理被认为是人工智能的一个方向。人工智能的另一个方向是研究一种不依赖于任何领域的通用解题程序或通用解题系统，称为GPS。特别值得一提的是在专家系统的开发中发展了一批新的技术，如知识表示方法、不精确性推理技术等，积累了经验，加深了对人工智能的认识。20世纪70年代末期，一部分学者认识到了人工智能过去研究工作基础的薄弱，开始转而重视人工智能的逻辑基础研究，试图从总结和研究人类推理思维的一般规律出发去研究机器思维，并于1980年在《Artificial Intelligence》发表了一组非单调逻辑的研究论文。他们的工作立即得到一大批计算机科学家的响应，非单调逻辑的研究很快热火朝天地开展起来，人工智能的逻辑基础成为人工智能方向发展的主流。

数据库技术、多媒体技术、图形学技术等的发展产生了两个新方向，即计算可视化技术与虚拟现实技术。
随着计算机网络的发展，分布在全世界的各种计算机正在以惊人的速度相互连接起来。网络上每天都在进行着大量政治、经济、军事、外交、商贸、科学研究与艺术信息的交换与交流。网络上大量信息的频繁交换，虽然缩短了地域之间的距离，然而同时也使各种上网的信息资源处在一种很难设防的状态之中。于是，计算机信息安全受到各国政府的高度重视。除了下大力气研究对付计算机病毒的软硬件技术外，由于各种工作中保密的需要，计算机密码学的研究更多地受到各国政府的重视。
实际上，在计算机科学中计算机模型和计算机理论与实现技术同样重要。但现在许多学生往往只注重某些计算机操作技术，而忽略了基础理论的学习，并因为自己是“操作高手”而沾沾自喜，这不仅限制了自己将研究工作不断推向深入，而且有可能使自己在学科发展中处于被动地位。例如，在20世纪50年代和20世纪60年代，我国随着计算机研制工作和软件开发工作的发展，陆续培养了在计算机制造和维护中对计算机某一方面设备十分精通的专家，他们能准确地弄清楚磁芯存储器、磁鼓、运算器、控制器，以及整机线路中哪一部分有问题并进行修理和故障排除，能够编制出使用最少存储单元而运算速度很快的程序，对机器代码相当熟悉。但是，当容量小的磁芯存储器、磁鼓、速度慢的运算器械、控制器很快被集成电路替代时，当程序设计和软件开发广泛使用高级语言、软件开发工具和新型软件开发方法后，这批技术精湛的专家，除少量具有坚实的数学基础、在工作中已有针对性地将研究工作转向其他方向的人之外，相当一部分专家伴随着新技术的出现，在替代原有技术的发展过程中而被淘汰。因此，在计算机科学中，计算比实现计算的技术更重要。只有打下坚实的理论基础，特别是数学基础，学习计算机科学技术才能事半功倍，只有建立在高起点理论基础之上的计算机科学技术，才有巨大的潜力和发展前景。

计算机理论的一个核心问题

我国计算机科学系里的传统是培养做学术研究，尤其是理论研究的人（方向不见得有多大的问题，但是做得不是那么尽如人意）。而计算机的理论研究，说到底了，如网络安全学，图形图像学，视频音频处理，哪个方向都与数学有着很大的关系，虽然也许是正统数学家眼里非主流的数学。这里我还想阐明我的一个观点：我们都知道，数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践，有些数学研究工作者喜欢用一些现存的理论知识去推导若干条推论，殊不知其一：问题考虑不全很可能是个错误的推论，其二：他的推论在现实生活中找不到原型，不能指导实践。严格的说，我并不是一个理想主义者，政治课上学的理论联系实际一直是指导我学习科学文化知识的航标（至少我认为搞计算机科学与技术的应当本着这个方向）。
我个人的浅见是：计算机系的学生，对数学的要求固然跟数学系不同，跟物理类差别则更大。通常非数学专业的所?高等数学"，无非是把数学分析中较困难的理论部分删去，强调套用公式计算而已。而对计算机系来说，数学分析里用处最大的恰恰是被删去的理论部分。记上一堆曲面积分的公式，难道就能算懂了数学？那倒不如现用现查，何必费事记呢？再不然直接用Mathematica或是Matlab好了。退一万步。华罗庚在数学上的造诣不用我去多说，但是他这光辉的一生做得我认为对我们来说，最重要的几件事情：首先是它筹建了中国科学院计算技术研究所，这是我们国家计算机科学的摇篮。在有就是他把很多的高等数学理论都交给了做工业生产的技术人员，推动了中国工业的进步。第三件就是他一生写过很多书，但是对高校师生价值更大的就是他在病期间在病床上和他的爱徒王元写了《高等数学引论》（王元与其说是他的爱徒不如说是他的同事，是中科院数学所的老一辈研究员，对歌德巴赫猜想的贡献全世界仅次于陈景润）这书在我们的图书馆里居然找得到，说实话，当时那个书上已经长了虫子，别人走到那里都会闪开，但我却格外感兴趣，上下两册看了个遍，我的最大收获并不在于理论的阐述，而是在于他的理论完全的实例化，在生活中去找模型。这也是我为什么比较喜欢具体数学的原因，正如我在上文中提到的，理论脱离了实践就失去了它存在的意义。正因为理论是从实践当中抽象出来的，所以理论的研究才能够更好的指导实践，不用于指导实践的理论可以说是毫无价值的。

正如上面所论述的，计算机系的学生学习高等数学：知其然更要知其所以然。你学习的目的应该是：将抽象的理论再应用于实践，不但要掌握题目的解题方法，更要掌握解题思想，对于定理的学习：不是简单的应用，而是掌握证明过程即掌握定理的由来，训练自己的推理能力。只有这样才达到了学习这门科学的目的，同时也缩小了我们与数学系的同学之间思维上的差距。

关于计算机技术的学习我想是这样的：学校开设的任何一门科学都有其滞后性，不要总认为自己掌握的某门技术就已经是天下无敌手了，虽然现在Java,VB,C,C++用的都很多，怎能保证没有被淘汰的一天，我想.NET平台的诞生和X#语言的初见端倪完全可以说明问题。换言之，在我们掌握一门新技术的同时就又有更新的技术产生，身为当代的大学生应当有紧跟科学发展的素质。举个例子，就像有些同学总说，我做网页设计就喜欢直接写html，不愿意用什么Frontpage,Dreamweaver。能用语言写网页固然很好，但有高效的手段你为什么不使呢？仅仅是为了显示自己的水平高，unique? 我看真正水平高的是能够以最快的速度接受新事物的人。高级程序设计语言的发展日新月异，今后的程序设计就像人们在说话一样，我想大家从xml中应是有所体会了。难道我们真就写个什么都要用汇编，以显示自己的水平高，真是这样倒不如直接用机器语言写算了。反过来说，想要以最快的速度接受并利用新技术关键还是在于你对计算机科学地把握程度。

总的来说，从教育角度来讲，国内高校的课程安排不是很合理，强调理论，又不愿意在理论上深入教育，无力接受新技术，想避开新技术又无法避得一干二净。我觉得关键问题就是国内的高校难于突破现状，条条框框限制着怎么求发展。我们虽然认识得到国外教育的优越性，但为什么迟迟不能采取行动？哪怕是去粗取精的取那么一点点。

‘肆’ 明年准备参加ACM了，请大家推荐几本书

最近铁道出版社出版了两本ACM的书，你可以看看。《世界大学生程序设计竞赛(ACM/ICPC)高级教程第一册
程序设计中常用的计算机思维方式》
作者：吴文虎 王建德
书号：10134-3
定 价：42.00元
出版日期：2009年7月

《ACM程序设计培训教程》
作者：吴昊 蒋斌 廖波 朱宁波
书号：07651-1
定 价：28.00元
出版日期：2007年8月

‘伍’ 求3000字内的数学论文

you are 2-9-0

‘陆’ 高分求..计算机程序设计的艺术 某节读后感或看法..一篇小论文....100到500字

卷1为基础运算法则，该书以基本的编程概念和技术为开始，然后讲述信息结 构--计算 机内信息的表示法，数据元素间的结构关系以及处理它们的有效方法。主要应用于 模拟、 数字方法、符号计算、软件和系统设计。许多简单和重要的运算法则和技术已添加 到前一 版本中，精确的初步计算部分已经修改，以适应当前趋势。 《Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd Edit ion)》 第2卷对半数值算法领域做了全面介绍，分"随机数"和"算术"两章。本卷总结 了主要算 法范例及这些算法的基本理论，广泛剖析了计算机程序设计与数值分析间的相互联 系。第 3版中特别值得注意的是Knuth对随机数生成程序的重新处理和对形式幂级数计算的 讨论。 《Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching (2nd Edition )》 卷3为分拣和搜索，这是本书的第1个修订版，它是对计算机分拣和搜索的一流 技术的 最全面的研究，它扩展了卷1中数据结构的处理方法，将大小数据库以及内存和外 部存储都 包含在内。本书包括对计算机方法仔细检查的选择方案，和其效率的大量分析。本 书该版 的独特之处在于优化了的分拣，以及对通用散列法和排列法的新的理论论述。 作者简介： Donald.E.Knuth(唐纳德.E.克努特，中文名高德纳)是算法和程序设计技术的 先驱者 ，是计算机排版系统TEX和METAFONT的发明者，他因这些成就和大量创造性的影响 深远的着 作(19部书和160篇论文)而誉满全球。作为斯坦福大学计算机程序设计艺术的荣誉 退休教授 ，他当前正全神贯注于完成其关于计算机科学的史诗性的七卷集。这一伟大工程在 1962年 他还是加利福尼亚理工学院的研究生时就开始了。Knuth教授获得了许多奖项和荣 誉，包括 美国计算机协会图灵奖(ACM Turing Award)，美国前总统卡特授予的科学金奖 (Medal of Science)，美国数学学会斯蒂尔奖(AMS Steele Prize)，以及1996年11月由于发明 先进技 术荣获的极受尊重的京都奖(KyotoPrize)。现与其妻Jill生活于斯坦福校园内。 评论１： 这套书作为计算机科学类的一流权威着作已经得到了广泛认可。多年来，无论 在编程 理论上，还是作为学生、研究人员和实际应用者的实践开发，它的前三卷书都提供 了无法 估量的宝贵资源。 这是一套集所有基础运算法则于一身的经典之作。它可以为当今软件开发人员 提供他 们应该知道的计算机编程知识。 --Byte, 1995年9月 评论２： 无数的读者都在谈论Knuth的书所带来的深远影响。科学家惊叹于分析逻辑之 透彻严谨 ，而普通的编程人员也已成功地将书中所列方案运用到他们的日常问题中。所有的 人都非 常赞赏Knuth在这套书中所表现的精确与风趣，并为其明确性与涉及面之广而感到 欣喜。 我无法向你表达这套书在学习和创造性方面所带给我的兴奋与激动，我已经将 它们带 入了我的生活，就像我的汽车、饭馆、工作、家庭……无所不在。 --Charles Long 评论3： 无论你的背景怎样，如果你正在进行复杂的计算机编程，你就应该阅读本套书 中的每 本书，来补充你的专业知识。 当一个问题难以解决，而必须使用Knuth的这套书来解决时，总是一件令人愉 快的事情 。我发现在计算机方面使用它们会有惊人的效果。 文章由 http://www.shlunwen.com/jsjywlw/ 提供

‘柒’ 求3000字有关数学史的论文

从算法教学管窥中国古代数学史
俞
昕
( 浙江湖州市第二中学
313000)


关于算法的涵义, 人们有着不同的界定. 普
通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达
成度上,重在算法思想的理解与应用,界定现代算
法的意义就是解决某一类问题的办法. 确切地说,
就是对于某一类特定的问题,算法给出了解决问
题的一系列(有穷) 操作, 即每一操作都有它的确
定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) ,
并在有限时间( 有穷步骤)内计算出结果.
普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部
分∀进行说明时,突出强调! 需要特别指出的是, 中
国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀. 吴文俊
先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学,决非泥古
迷古、 为古而古. 复古是没有出路的. 我们的目的
不仅是要显示中国古算的真实面貌, 也不仅是为
了破除对西算的盲从,端正对中算的认识,我们主
要的也是真正的目的, 是在于古为今用. ∀算法教
学中蕴涵着丰富的数学史教育价值, 作为新时代
的高中数学教师是有必要了解这一点的.
1
中国古代数学的特点
古代数学思想分为两大体系, 一个是以欧几
里得的几何原本 为代表的西方数学思想体系,
这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的
演绎体系为特色. 另一个则是以我国的九章算
术 为代表的东方数学思想体系,这个体系以算法
化的思想、 构造性的方法、 开放的归纳体系为特
色.我国传统数学在从问题出发,以解决问题为主
旨的发展过程中, 建立了以构造性与机械化为其
特色的算法体系, 这与西方数学以欧几里得几何
原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥
相对.
中国古代数学中的! 术∀相当于现代数学术语
中的! 公式∀,两者虽有相同点(都可以用来解决一
类有关问题) , 其差异也非常之大. 主要表现在,
! 公式∀只提供了几个有关的量之间的关系, 指明
通过哪些运算可由已知量求出未知量,但并没有
列出具体的运算程序,一般地,认为这种程序是已
知的了. 但! 术∀则由怎样运算的详细程序构成的,
可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体
程序,即把! 公式∀展开为使用某种计算工具的具
体操作步骤. 从这点看, ! 术∀正是现代意义上的算
法, 是用一套! 程序语言∀所描写的程序化算法,可
以照搬到现代计算机上去. 我国古代数学包括了
今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方
面的内容.由于受实用价值观的影响, 中国传统数
学的研究遵循着一种算法化思想,这种思想从九
章算术 开始一直是中国古代数学着作大都沿袭
的模式:
实际问题# # # 归类# # # 筹式模型化# # # 程序化算法
即将社会生产生活中的问题,先编成应用问题,按
问题性质分类, 然后概括地近似地表述出一种数
学模型, 借助于算筹, 得到这一类问题的一般解
法. 把算法综合起来, 得到一般原理, 分别隶属于
各章,人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各
种实际问题. 可以说,中国传统数学以确定算法为
基本内容,又以创造和改进算法为其发展的方向.
受九章算术 的影响,在之后的几个世纪,一
些数学家的着作都以算法为主要特点,包括王孝
通的辑古算经 、 贾宪的黄帝九章算法细草 、 刘
益的议古根源 、 秦九韶的数书九章 、 李冶的
测圆海镜 和益古演段 、 杨辉的详解九章算
法 、 日用算法 和杨辉算法 , 这些着作中包括
了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内
插法、 一次同余式组解法等一些着名的算法,进一
步发展了中国古代数学算法化的特点,使得算法
的特点得到了进一步的强化和发展.
1
1
中国古代数学的算法化思想
算法化的思想是中国古代数学的重要特点,
并贯穿于中国古算整个发展过程之中.即使是与
24 数学通报







2010 年
第49 卷
第2 期图形有关的几何问题也不例外,中算家们将几何
方法与算法有机地结合起来,实现了几何问题的
算法化.这样,从问题出发建立程序化的算法一直
是古代中国数学研究的传统,也是中算家们努力
的方向.这种算法化的思想着重构造实践,更强调
! 经验∀、 ! 发现∀和构造性思维方式下从无到有的
发明,对今天的算法教学与研究具有重要的启迪
作用.
中国古代数学算法化的思想具体表现如下:
第一步,把实际中提出的各种问题转化为数学模
型;第二步,把各种数学模型转化为代数方程; 第
三步,把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四
步,设计( 并逐步改进)、 归纳、 推导(寓推理于算法
之中)出各种算法; 第五步,通过计算回溯逐步达
到解决原来的问题.
1
2
中国古代数学的构造性方法
所谓构造性方法是解决数学问题的一种方
法,是创造性思维方式直接作用的结果.按照现代
直觉主义者,特别是构造主义者的观点,对于一个
数学对象,只有当它可以通过有限次的操作而获
得,并且在每步操作之后都能有效地确定下一步
所需要采取的操作, 才能说它是存在的.按照这种
思维方式,可以使概念和方法按固定的方式在有
限步骤内进行定义或得以实施,或给出一个行之
有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造
出来.换言之,就是能用有限的手段刻画数学对象
并针对问题提出具体的解法.
中国古代数学的算法化思想与构造性的方法
紧密相连.由于古代中算家所关心的大多是较为
实用的问题,他们在解决问题时首先考虑是如何
得到可以直接应用的、 可以方便操作的解,而不会
满足于仅仅知道解在理论上的存在性. 因为这种
纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来
说是没有多大意义的.从而我们推断,构造性方法
的产生是算法化思想直接作用的结果.
从我国许多经典算书中可以发现, 数学构造
性方法在算法中有许多精彩的体现. 例如就! 方
程∀的筹算图阵及其程序设计而言,首先, ! 群物总
杂,各列有数,总言其实∀,这是对每行中未知数的
系数和常数项的安排,其次, ! 令每行为率,二物者
再程,三物者三程,皆如物数程之∀,这是对诸行关
系的安排, ! 并列为行∀又说明了什么叫! 方程∀. 这
为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说
服力的样板.
由于构造性的方法特别强调运算的可操作程
度, 所以构造出的! 术∀可以通过一系列有限的运
算求出解来, 具有一般性.时至今日我国古算家所
设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电
子计算机上实现.这也是我国古算在算法上长期
居于领先地位的一个重要原因.
2
中国古代数学中的优秀算法案例
2. 1
中国古代的代数学
代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自
豪的领域.中小学数学中的算术、 代数内容, 从记
数以至解联立的线性方程组, 实质上都是中国古
代数学家的发明创造.结合新课程的算法教学,笔
者选取我国古代着名算法进行分析.
2. 1. 1
求最大公约数的算法(更相减损术)
中国古代数学中,未曾出现素数、 因数分解等
概念,但是发明了求两整数的最大公约数的方
法# # # 更相减损术: ! 可半者半之,不可半者,副置
分母子之数, 以少减多, 更相减损,求其等也.以等
数约之. ∀事实上此术中包含了三个步骤:
第一步, ! 可半者半之∀, 即进行观察, 若分子、
分母都是偶数,可先取其半;
第二步, ! 不可半者, 副置分母、 子之数, 以少
减多,更相减损,求其等也∀;
第三步, ! 以等数约之∀.
其中第二步! 以少减多, 更相减损∀是关键,又
是典型的机械化程序.在中国古代数学中, 将最大
公约数称作! 等∀.由于! 更相减损∀过程终可以在
有限步骤内实现, 所以它是一种构造性的方法.若
用现代语言翻译即为:第一步,任意给定两个正整
数, 判断它们是否都是偶数. 若是,用2 约减,若不
是, 执行第二步. 第二步, 以较大的数减去较小的
数, 接着把所得的差与较小的数比较, 并以大数减
小数.继续这个操作, 直到所得的数相等为止, 则
这个数( 等数)或这个数与约简的数的乘积就是所
求的最大公约数.下面运用 QBA SIC 语言来编写
相应的程序( 见程序1) .
25 2010 年
第49 卷
第2 期







数学通报程序 1
INPUT! m, n= ∀ ; m, n
IF m< n T HEN

a= m

m= n

n= a
END IF
k= 0
WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0

m= m/ 2

n= n/ 2

k= k+ 1
WEND
d= m- n
WHILE d< > n


IF d> n TH EN



m= d


ELSE



m= n



n= d


END IF


d = m- n
WEND
d= 2 ∃ k * d
PRINT d
END
程序 2
INPUT A, B
WHILE A < > B

IF A> B T H EN

A = A- B

ELSE

B= B - A

END IF
WEND
PRINT B
END
程序 3
INPUT ! M, N (M> N )∀ ; M, N
DO
R= M- N

IF R> N
TH EN

M= R

ELSE

M= N

N= R

END IF
LOOP UNTIL R= 0
PRINT M
END
程序 4
INPUT ! n= ∀ ; n
INPUT! an= ∀; a
INPUT! x= ∀ ; x
v= a
i= n- 1
WH ILE i> = 0

PRINT ! i= ∀; i

INPUT! ai= ∀ ; a

v= v * x+ a

i= i- 1
WEND
PRINT v
END
程序 2和 3 是两个简化的参考程序, 是从不
同的角度来实现更相减损的过程.
! 更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数
的算法, 这是九章算术 的一个重要成就, 与古希
腊欧几里得的几何原本 中用来求最大公约数的
! 欧几里得算法∀, 即辗转相除法, 有异曲同工之
妙. 欧几里得在几何原本 中针对这个问题引入
了许多概念, 给出了冗长的逻辑证明. 尽管如此,
他还是暗用了一条未加说明的公理, 即如果 a, b
都被c 整除, 则a- mb也能被c 整除.中国古算采
用的! 更相减损∀方法,实际上也暗用了一条未加
说明的公理, 即若 a- b 可以被c 整除,则 a, b 都
能被c 整除. 正如刘徽在九章算术注 中! 其所以
相减者, 皆等数之重叠∀. 从形式上看! 更相减损
术∀比! 辗转相除法∀更复杂, 循环次数要比辗转相
除法多, 但对于计算机来说, 作乘除运算要比作加
减运算慢得多, 因此更相减损术在计算机上更为
好用.
26 数学通报







2010 年
第49 卷
第2 期2. 1. 2
求一元 n 次多项式值的算法(秦九韶算
法)
秦九韶,南宋着名数学家,其学术思想充分体
现在数书九章 这一光辉名着中,该着作不仅继
承了九章算术 的传统模式, 对中算的固有特点
发扬光大,而且完全符合宋元社会的历史背景, 是
中世纪世界数学史上的光辉篇章. 书中记载了! 正
负开方术∀、 ! 大衍求一术∀等着名算法.
在数书九章 卷五第 17 个问题以! 尖田求
积∀为例的算法程序中,可以看出秦九韶对于求一
元n 次多项式f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %+ a1x
+ a0 的值所提出的算法.秦九韶算法的特点在于
通过反复计算n 个一次多项式,逐步得到原多项
式的值. 在欧洲, 英国数学家霍纳( Horner ) 在
1819 年才创造了类似的方法, 比秦九韶晚了572
年.秦九韶算法把求f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %
+ a1x + a0 的 值 转 化 为 求 递 推 公 式
v0= an
vk= vk- 1x+ an- k k= 1, 2, %, n
中 v n 的值. 通
过这种转化, 把运算的次数由至多( 1+ n) n
2
次乘
法运算和n 次加法运算,减少为至多 n 次乘法运
算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.这种算
法的QBASIC 语言程序如程序 4 所示.算法步骤
是如下的五步: 第一步, 输入多项式次数 n、 最高
次项的系数an 和x 的值;第二步,将 v 的值初始
化为a v ,将i 的值初始化为n- 1; 第三步, 输入 i
次项的系数ai ;第四步, v= v x+ ai , i= i- 1; 第五
步,判断i 是否大于或等于 0, 若是, 则返回第三
步,否则输出多项式的值v .
2. 2
中国古代的几何学
中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中
的一些实际问题中产生, 并为生产生活服务. 基于
传统实用价值观的影响, 中国古代的几何学并没
有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体
系,所以中国古代几何学在整个数学史上的地位
并不突出,但在许多几何问题的处理上也突出了
算法化这一特色. 下面以! 割圆术∀为例作简要
分析.
中国古代数学家刘徽创立! 割圆术∀来求圆的
面积及其相关问题. 刘徽! 瓤而裁之∀,即对与圆周
合体的正多边形进行无穷小分割,分成无穷多个
以正多边形每边为底、 圆心为顶点的小等腰三角
形, 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面
积. 这样通过对直线形的无穷小分割, 然后求其极
限状态的和的方式证明了圆的面积公式.刘徽的
算法! 割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可
割, 则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过
程, 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化
趋势,并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值
的方法, 将这种极限思想用于近似计算.其中包含
有迭代过程和子程序,是一种典型的循环算法,充
分体现了程序化的特点.
中算家的几何学,并不追求逻辑论证的完美,
而是着重于实际计算问题的解决, ! 析理以辞, 解
体用图∀, 以建立解决问题的一般方法和一般原
则. 但另一方面,这种几何学又是以面积、 体积、 勾
股相似等为基本概念,以长方形面积算法、 长方形
体积算法、 相似勾股形的性质为出发点的, 整个几
何理论建立在! 出入相补原理∀等基本原理之上.
例如,由勾股定理自然地引起平方根的计算问题,
而求平方根和立方根的方法, 其步骤就是以出入
相补原理为几何背景逐步索骥而得.这方面内容
的介绍, 不仅可以丰富学生的算法知识,而且可以
通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵, 激发
学生学习算法的兴趣,体会算法在人类发展史中
的作用.
3
中国古代数学算法的教学价值
3. 1
培养正确数学观的良好平台
中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上
差别很大,但是重要的是形式后面的认识论发展
线索可以为现代算法教学的体系、 教学层次提供
依据.它的具体数学知识载体也是现代算法教学
的重要源泉. 各种算法的创立就是创造性劳动的
产物,即是创造思维的一种! 凝固∀和! 外化∀. 其
次, 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算
法的! 机械应用∀, 这就为人们积极地去从事新的
创造性劳动提供了更大的可能性. 从而算法化也
就意味着由一个平台向更高点的跳跃.
吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重
见天日, 开拓了数学机械化的新领域, 吴先生提出
! 数学教育的现代化就是机械化∀.他在研究中这
样写道: 数学问题的机械化, 就要求在运算和证明
过程中, 每前进一步之后,都有一个确定的必须选
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第2 期







数学通报择的下一步, 这样沿着一条有规律的, 刻板的道
路,一直达到结论.证明机械化的实质在于, 把通
常数学证明中所固有的质的困难,转化为计算的
量的复杂性.计算的量的复杂性在过去是人力不
可能解决的,而计算机的出现解决了这种复杂性.
吴先生的理论和实践已经表明,证明和计算是数
学的两个方面, 且又是统一的,这在数学教育中具
有重要意义.我们应当引导学生了解古人对问题
思考的角度,学会站在巨人的肩膀上,比如按照中
国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算
机上实现开方.
培养学生在学习数学知识的同时更多地关心
所学知识的社会意义和历史意义,力图在面向未
来的同时,通过同传统上的哲学、 历史和社会学的
思想结合起来, 形成正确的数学观.算法教学就为
此搭建了一个良好的平台, 并且承载丰富的历史
底蕴.
3. 2
渗透爱国主义教育的最佳契机
与西方相比, 中算理论具有高度概括与精练
的特征, 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算
的步骤之中, 起到! 不言而喻, 不证自明∀的作用,
可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中
有直接应用的数学方法而构造的最为简单, 精巧
的理论建筑物. 因此, 中算理论可以说是一种! 纲
目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细
目的总绳.以术为目, 以率为纲,即是依算法划分
理论单元,而用基本的数量关系把它们连结成一
个整体. 纲举目张,只有抓住贯串其中的基本理论
与原理, 才能看清算法的来龙去脉.下面是吴文俊
先生总结的! 关于算术代数部分发明创造的一张
中外对照表∀.
从算法教学管窥中国古代数学史
中国 外国
位值制十进位记 最迟在九章算术 成书时已十分成熟 印度最早在 6 世纪末才出现
分数运算 周髀算经 中已有, 在九章算术 成
书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现
十进位小数 刘徽注中引入, 宋秦九韶 1247年时已
通行 西欧 16 世纪时始有之, 印度无
开平方、 立方 周髀算经 中已有开平方, 九章算
术 中开平、 立方已成熟
西方在 4 世纪末始有开平方, 但还无开立方, 印度
最早在 7 世纪
算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问
题与方法
正负数 九章算术 中已成熟 印度最早见于 7 世纪,西欧至 16 世纪始有之
联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组, 西
方迟至 16 世纪始有之
二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法,
三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后,阿拉伯在 9世纪有一般解求法
三次方程 唐初( 公元 7 世纪初) 有列方程法, 求
数值解已成熟
西欧至 16 世纪有一般解求法, 阿拉伯 10 世纪有
几何解
高次方程 宋时( 12 # 13 世纪)已有数值解法 西欧至 19 世纪初始有同样方法
联立高次方程组与消元法 元时( 14 世纪初) 已有之 西欧甚迟,估计在 19 世纪
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第49 卷
第2 期3. 3
品位数学美学思想的美妙境界
中国古代数学不但具有实用性特征, 还蕴涵
着丰富的美学思想. 比如九章算术 中列方程的
方式,相当于列出其增广矩阵,其消元过程相当于
矩阵变换,而矩阵是数学美学方法中对称最典型
的表现形式之一; 九章算术 中用几何方法巧妙
地解决了很多代数问题, 这是数形结合的统一: 把
数学问题改编成歌诀,以便于掌握和传授,这是文
学艺术与数学的统一. 总之, 在算法教学中, 应努
力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教
学,这对数学教育的发展具有重要的意义.
参考文献
1
中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教
材书(数学) [ M] . 北京: 人民教育出版社, 2007
2
中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(实验) [ M] .
北京: 人民教育出版社, 2003
3
李文林. 数学史概论(第二版) [ M ] . 北京: 高等教育出版
社, 2002
4
王鸿钧, 孙宏安. 中国古代数学思想方法[ M] . 南京: 江苏教育
出版社, 1988
5
张维忠. 数学, 文化与数学课程[ M] . 上海: 上海教育出版
社, 1999
6
吴文俊. 吴文俊论数学机械化[ M ] . 济南: 山东教育出版
社, 1995
7
代钦. 儒家思想与中国传统数学[ M] . 北京: 商务印书馆, 2003
8
费泰生. 算法及其特征[ J] . 数学通讯, 2004, 7
9
张奠宙. 算法[ J] . 科学, 2003, 55( 2)
10
李建华. 算法及其教育价值[ J ] . 数学教育学报, 2004, 3
11
李亚玲. 算法及其学习的意义[ J ] . 数学通报, 2004, 2
(上接第23 页) 实验教师对课改实验进行探索、 总
结、 反思、 调整, 推广比较成熟的经验,同时纠正实
验过程中的偏颇与极端行为,教学过程逐步进入
新的稳定阶段.教学过程逐步过渡到以问题为主
线、 以活动为主线的! 无环节∀模式.
( 2)受不同的教学理念影响, 教师角色、 学生
角色、 教学目标、 教学过程关注点等方面, 在教学
过程中有很大差异.
教师角色 学生角色 教学目标 教学过程关注
领导者
(权威)
接 受 者
(被动)
让 学 生 掌
握 数 学 知
识技能
知识 引入, 讲 解
本质, 巩固练习
主导者
(决定)
观 察 者
(协助)
让 学 生 观
摩 数 学 产
生过程
展示 过程, 注 重
建构, 强化训练
引导者
(组织)
参 与 者
(主动)
让 学 生 参
与 探 究 数
学 生 成 过
程
问题 情境, 提 出
问题, 学生活动
( 3) 2004 年高中数学课程改革后, 课堂教学
发生一定的变化,广泛地进行! 创设情境∀! 提出问
题∀!引导学生探究探索∀, 出现了以! 问题主线∀、
! 活动主线∀为主的课堂, 出现了! 问题情境学生
活动建立数学运用数学同顾反思∀的整体课堂
构思.这些改变对于揭示数学的内在本质, 发展学
生的思维能力起到积极的作用.
( 4) 由于受多种因素制约(特别是高考) ,与初
中相比, 本次课改后高中数学课堂教学变化幅度
不大,近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主.
对于课改倡导的教学理念, 只是渗透在传统的教
学模式中,目前高中数学课堂教学改革的力度、 深
度与课改的预期目标还有一定的距离.我们看到
2008 年的赛课教案的创新、 探索力度, 远没有
1990 年的名师授课录 大, 那时还没有明确提出
课改理念,但他们却进行积极的探索, 关注学生主
体. 而今天,课改的理念已经系统培训 5 年, 许多
教师仍停留在形式层面,未能变成自觉的行为.
参考文献
1
李善良. 我国数学教学设计的探索与评析# # # 兼及十年初中
数学教师说课评比活动[ J ] . 中国数学教育(初中版) , 2007, 9
2
编委会. 名师授课录(中学数学高中版) [ M] , 上海教育出版
社, 1991
3
2000 年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教
案(会议资料)
4
2008 年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的
教案(会议资料)
5
李善良. 关于数学教学中问题的设计[ J] . 高中数学教与学,
2008, 1
29 2010 年
第49 卷
第2 期







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