重建算法中的细节怎么用

❶ 数字图像处理—概念&&目的&&内容：增强恢复分割

数字图像处理（digital image processing），是利用计算机对图像进行去除噪声、增强、恢复、分割、提取特征等的理论、方法和技术。
图像处理是利用计算机和实时硬件实现的，也被称为计算机图像处理（computer image processing）。
在人们的日常生活中，图像处理已经得到广泛的应用。
如：利用指纹、虹膜、面部特征等进行身份识别；
自动售货机钞票的识别；电脑成像技术等。
在医学领域，
如：显微镜照片；
X射线透视；
X射线CT（Computer Tomograph，计算机断层摄像）等。
方法/步骤
数字图像处理的目的：
数字图像处理是利用计算机的计算，实现与光学系统模拟处理相同效果的过程。
⑴提高图像的视觉质量，以达到赏心悦目的目的。
例如：去除称之为噪声等图像质量的退化因素；
改变图像的亮度、颜色；
增强图像中的某些成份、抑制某些成份；
对图像进行几何变换等，从而改善图像的质量，以达到各种想要的艺术效果。
⑵提取图像中所包含的某些特征或特殊信息，以便于计算机分析。
如：频域特性、
纹理特性、
灰度/颜色特性、
边界/区域特性、
形状/拓扑特性
关系结构等。
⑶对图像数据进行变换、编码和压缩，以便于图像的存储和传输。
数字图像处理的内容—图像获取、表示和表现：
过程：是把模拟图像信号转化为计算机所能接受的数字形式，
数字图像显示和表现。
包括：摄取图像、光电转换及数字化。
图像增强（Image Enhancement）：
图像增强技术是改善图像视感质量所采取的一种重要手段。
包括：去除图像噪声，增强图像对比度等。
图像增强本事并没有增加原始资料所包含的信息，仅仅是把图像某些部分的特征更加强调罢了。
图像增强的算法通常是交互式的。
图像恢复（Image Restoration）：
图像恢复是指在图像退化（图像品质下降）的原因已知时，对图像进行校正，重新获得原始图像的过程。
图像恢复最关键的是对每一种退化都需要建立一个合理的模型。
退化模型和特定数据一起描述了图像的退化，因此恢复技术是基于模型和数据的图像恢复，其目的是试图将受污染或降质的图像带回到原本不受污染的状况下所应得的干净图像，产生一个等价于理想成像系统获得的图像。
虽然图像恢复与图像增强都会造成视觉上较佳的感受，但后者更关心的是图像特征增强或抽取，而不是去除退化或污染。
图像重建（Image Reconstruction）：
图像重建：是由几个一维的图像投影来重建出更高维的物体图像。
它与图像增强、图像恢复等不同。
图像重建是指从数据到图像的处理，即输入的是某种数据，经过处理后得到的结果是图像。
一个图像的取得是以平行的X光或者其他的放射穿透光束照射物体，并在物体的背面接收此投影，接着在同一平面上改变光束照射的角度以获得不同的投影，再以某些重建算法将这些投影组合成物体的一个横剖面图像。这种技术主要用于医学图像、雷达图像处理、天文学星象观测、地质研究及无损压缩等。
图像压缩（Image Compression）：
图像压缩：是降低代表数字图像所需要的数据量，可以减少图像传输时间以及存储空间。
编码是实现图像压缩的重要手段。
编码目的有三个：
①减少数据存储量。
②降低数据率以减少传输带宽。
③压缩数据量，便于特征提取，为后续识别作准备。
第一代编码是以去除冗余为基础的编码方法，
如PCM、DPCM、ΔM、DCT、DFT、W-H变换编码以及以此为基础的混合编码法。
第二代编码法多为20世纪80年代以后提出的，
如Fractal编码法、金字塔编码法、小波变换编码法、模型基编码法、基于神经网络的编码法等等。
这些编码方法有如下特点：
①充分考虑人的视觉特性。
②恰当地考虑对图像信号的分解与表述。
③采用图像的合成与识别方案压缩数据。
图像分割（Image Segmentation）：
图像分割就是把图像分成区域的过程。
目前，大部分图像的自动分割还需要人工提供必须的信息来帮助识别，只有一部分领域开始使用。
如印刷字符自动识别（OCR），指纹识别等。
图像智能分析（Image Analysis）：
图像智能分析是试图从图像中分割、提取并描述某些特征，从而有利于计算机对图像的识别和理解，以产生有用的信息。
①能从含有许多不相干细节的背景中找到所需的信息。
②能从范例中学习并将所学知识应用推广到其他状况中。
③能从不完整的资料中推断出完整的信息。

❷ 谁能帮忙说下CT原理和反投影重建算法是神马书上内容太诡异了，希望用自己的经验总结简单一点说明。

把采集到的图象用仿射变换配准，
为了加快运行速度可以先进行展开。
配准这一步可以在空间域，
也可在频率域进行
然后按配准结果将这些图象插合成一幅图象，
再用最小二乘法求解线性方程组即可。

注意，
最好使用超松弛迭代法求解，
但是遇到0的时候结果可能有较大出入，
解决办法中的一种是图象矩阵所有元素全部加上1，
计算完成后再全部减去1，
然后再512级灰度量化

这是最简单的重构方法，
没有考虑图象的模糊效应。

此外，如果有矩阵维度问题，
有两种解决办法，
一是将插合图象变成正方形图象，
一是将各插合行，列按权值累加，
反向映射，
后一种速度快些，
也不必直接求解方程，
但是不具有通用性。

❸ 重建技术和重组技术的区别

原始数据处理的涉及。
1、重建技术是指使用原始数据经计算机采用各种特定的重建算法处理得到横断面影像的一种技术。
2、重组技术是用重建后的数据实施进一步后处理的技术方法，不涉及原始数据处理。
3、综上为重建技术和重组技术的区别。

❹ 二叉树的重建算法是什么

太难了

❺ 毕业论文人脸图像压缩与重建

在图像处理领域中,图像的超分辨率重建技术和（略）个发展已经比较成熟的部分.本文从实际应用的要求出发,对二者的结合作了研究,即对压缩图像进行超分辨率重建. 论文主要做了以下工作:对图像压缩过程中（略）重建算法利用的运动补偿和量化进行了研究,简化并实现了MPEG-4的编码器；研究了空间域的凸集投影(POCS)超分辨率重建算法；实现了在压缩图像的变换域运用凸集投影算法来进行超分辨率重建. 实验证明,基于变换域的凸集投影算法能去除压缩过程带来的量化噪声,取得比传统解压后再进行普通超分辨率重建更好的效果.尤其在压缩比较大的情况下,重建效果更为明显

❻ 三维重建 3D reconstruction 有哪些实用算法

三维重构算法得看你用什么传感器了，如果是双目相机，那一般都是极线几何加视觉特征配准的算法了，优化就用bundle
adjustment。如果是单目，较早的有PTAM,DTAM，近几年struct from
motion比较火。如果是用Kinect之类的RGBD相机，比较好的有微软的KinectFusion，PCL的开源KinFu，以及MIT的加强版
Kintinuous。如果用激光，那一般都是当SLAM做了，前端嘛就各种ICP配准算法了，后端的话，三维中主要还是用图优化来做。

❼ 平行束滤波反投影重建算法matlab怎么用

线或面平行于投影面时，其投影反映实长或实形 线或面垂直于投影面时，其投影积聚为一点或一直线 线或面倾斜于投影面时，其投影不反映实形而为类似形

❽ 重建算法名称解释

重建，读音：chóng jiàn，汉语词语，指重新建设或建立；重新组建。
中文名
重建
拼 音
chóng jiàn
注 音
ㄔㄨㄙˊ ㄐㄧㄢˋ
英 文
rebuild
词目：重建
释义：重新建设或建立；重新组建。如：重建家园。[1]

❾ 数据重建出的网格模型会有各种缺陷常用的处理方法有哪些

去噪常用的是各种滤波算法，如均值滤波，双边滤波，（依赖法线或其它数据）引导滤波等。拉普拉斯滤波也属于此类，区别是权重选取不同。共同的优点是实现简单，可并行，速度较快。其中双边滤波和引导滤波可以实现保特征效果，cotan拉普拉斯适用于不均匀网格，缺点是需要根据不同模型调整滤波参数达到想要的效果。网格补洞需要四个步骤，空洞识别，空洞填充，空洞网格细分（refine），空洞网格平滑。

网格补洞中拉普拉斯算子用于保证补洞后的网格平滑性，此过程需要求解一阶或高阶拉普拉斯方程。目前常用就这一类方法，涉及到平滑性的都会跟拉普拉斯算子关联起来。

❿ 叠前地震数据重建方法研究

霍志周

（中国石化石油勘探开发研究院，北京 100083）

摘 要 地震勘探的目的是为了获得地下构造的精确成像。由于人为因素和环境原因，地震数据在空间方向上往往是不规则采样或缺失采样的，因此经常需要在空间方向对缺失的地震数据进行重建。最小范数傅立叶重建方法是基于估算非规则采样地震数据傅立叶系数的方法，一旦准确求得这些系数，就可以通过傅立叶反变换将地震数据重建到任何合适的空间位置。该方法的主要优点是既可以处理规则采样数据有空道的情况，也可以处理非规则采样的数据；该方法的缺点是无法重建含空间假频以及含空隙过大的地震数据。针对含空间假频的地震数据重建问题，本文通过将最小范数傅立叶重建方法和多步自回归方法相结合，较好地克服了最小范数傅立叶重建方法的缺点。通过对不同的理论和实际地震数据算例的验证，表明了该重建方法的有效性和实用性。

关键词 地震数据重建 最小范数反演 傅立叶变换 多步自回归

Research on Pre－stack Seismic Data Reconstruction Method

HUO Zhizhou

（Exploration and Proction Research Institute，SINOPEC，Beijing 100083，China）

Abstract The objective of exploration seismology is to obtain an accurate image of the subsurface.Due to human－related reasons and environmental circumstances，more often than not the seismic data can be irregularly sampled or missing sampled in spatial direction.Therefore，it often needs to reconstruct missing seismic data along spatial direction.Fourier reconstruction with minimum norminversion is based on estimating the Fourier coefficients that describe the irregularly sampled seismic data，and once these coefficients have been obtained， seismic data can be reconstructed on any suitable spatial location via inverse Fourier transformation.The main advantages of Fourier reconstruction are flexible，as it can not only handle regularly sampled data with gaps，but also can handle irregularly sampled data.The disadvantage of this method is that the method can’t handle spatially aliased seismic data and seismic data with large gaps.In this article，for reconstruction question of spatially aliased seismic data，Fourier reconstruction with minimum norminversion and multi－step autoregressive method is combine.This method overcomes the shortcomings of the Fourier reconstruction method.Several different theoretical and practical seismic data would be reconstructed using multi－step autoregressive method，that prove the effectiveness and practicality of this method。

Key words seismic data reconstruction；minimum norm inversion；Fourier transforms；multistep autoregressive

众所周知，地震数据的采集严重影响地震数据最终的成像结果，而地震数据采集中很常见的一个问题就是地震数据沿着空间方向是非规则采样或是稀释采样的。地震数据在空间方向上稀疏采样的原因主要是出于经济因素的考虑，稀疏采样比较经济，但意味着采集到较少的数据，而且会导致地震数据中含有空间假频，尤其是在3D地震勘探中。引起地震数据在空间方向上非规则采样的原因主要有：地表障碍物的存在（建筑物、道路、桥梁等）或地形条件因素（禁采区和山区、森林、河网地区等）、仪器硬件（地震检波器、空气枪、电缆等）问题引起的采集坏道以及海洋地震数据采集时电缆的羽状漂流等。在地震数据处理过程中，非规则采样和稀疏采样不但会引起人为误差，而且会对基于多道技术的DMO、FK域滤波、速度分析、多次波衰减、谱估计和波动方程偏移成像等方法的处理结果带来严重的影响，因此通过对原有的地震数据进行重建，使其包含的地球物理信息更加真实地反映地下地质体的地球物理特征，使得后续地震数据处理能够更好地满足对复杂地质构造进行精细刻画的要求，为油气勘探提供更有效的指示和帮助等具有重要的现实意义^［1，2］。

基于傅立叶变换的地震数据重建方法不需要地质或地球物理假设，只要求地震数据是空间有限带宽的，并且计算效率高。傅立叶重建方法利用最小二乘反演估算非规则采样数据的傅立叶系数，如何更好地估算傅立叶系数是该方法的核心。一旦傅立叶系数被正确估算出来，数据可以重建到任意采样网格上。Duijndam等^［3］将傅立叶重建方法应用于非规则采样地震数据的规则化上，并成功解决了参数选择等一系列问题。Hindriks和Duijndam^［4］将该方法扩展到3D地震数据重建中。Liu和Sachhi^［5］提出了最小加权范数插值的傅立叶重建方法，该带限重建方法利用自适应谱加权范数的正则化项来约束反演方程的解，将数据的带宽和频谱的形状作为带限地震数据重建问题的先验信息，因此得到了比传统的带限数据傅立叶重建方法更好的解，但没有给出好的反假频方法。Zwartjes和Sachhi^［6］提出了使用非二次型正则化项的稀疏约束傅立叶重建方法，以改善地震数据含较宽的空道时的重建效果，并较好地解决了含有空间假频的地震数据的重建问题。傅立叶重建方法不但可以重建规则采样的地震数据，而且可以重建非规则和随机采样的地震数据，但是不能很好地重建含有空间假频的地震数据。

本文对基于最小范数解的傅立叶地震数据重建方法的研究分析，通过最小二乘反演方法得到傅立叶域的系数来进行地震数据重建。为了改进最小范数傅立叶重建方法不能重建空道间距过大的地震数据和无法重建含有空间假频的地震数据的缺点，本文采用了最小范数傅立叶重建方法和多步自回归方法相结合的思想进行地震数据重建，该方法不但能重建空道间距大的地震数据，而且可以重建含有空间假频的地震数据。

1 最小范数傅立叶重建方法

傅立叶重建是从非规则采样数据上恢复信号的一种方法，它是基于采样定理的，也就是说一个带限的连续信号能够从规则采样数据中恢复。如果非规则采样信号的平均采样率超过Nyquist采样率，则非规则采样的信号也可以重建。在规则采样的情况下，离散傅立叶变换是正交变换。但是当采样是非规则时，傅立叶变换的基函数不再是正交的，这就意味着直接用离散傅立叶变换计算傅立叶系数将产生误差。利用最小二乘反演计算傅立叶系数就是一种补救措施^［7］。

假设数据是在空间方向上是不规则采样的，每个采样点的位置分别为［x₀，…，x_n，…，x_N－1］。使用真实的采样位置和采样间隔的中点法则，非规则采样数据的离散傅立叶变换可由以下离散求和的形式表达：

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

上式为非均匀离散傅立叶变换。其中，空间采样间隔△x_n定义为：

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

在波数域规则采样意味着数据在空间域是周期性的，所以 X为非规则采样数据的长度。如果直接用NDFT（Non－uniform Discrete Fourier Transform）计算波数，则由于采样非规则而会引起极大的误差，因此实际计算时通常采用最小二乘反演来计算波数。

首先定义由规则采样波数计算任意空间位置采样数据的数学变换，把它当作正演模型。假设带限数据的波数域带宽为［－M△k，M△k］，在波数域规则采样，△k为空间波数采样间隔，则由波数域重建任意空间位置x_n的离散傅立叶反变换为

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

记系数矩阵为 不规则采样数据为d_n＝P（x_n，ω），待求的规则波数为

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

在实际的地震数据处理中，由于数据可能不完全是带限的，所以部分空间波数成分会超出定义的频带范围，这些超出的成分构成了上述正演模型的误差和噪音，因此在上式中需要噪声项：

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

Duijndam等^［3］通过最小二乘反演估计得到非规则采样数据d（x_n，t）的空间波数 从非规则采样数据向量d中计算出未知的规则采样的傅立叶系数向量 可以归结为求解一个不适定线性反演问题，需要对其进行正则化，借助一些先验信息构建出合适的解。可以使用任何所需的参数估计技术，首先我们假设噪音n＝N（0，C_n）和先验信息

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

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的最大值来进行反演，其中 是似然函数， 表示模型向量的先验分布。分别满足

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

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求 的最大后验概率解转化为求下面目标函数的最小化解，建立目标函数

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最小化目标函数得：

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这里， 为计算要得到的规则采样波数，A^H为矩阵A的共轭转置矩阵， 为先验模型的协方差矩阵。

下面我们对（9）式进行简化。首先对于地震数据，通常没有先验模型信息，因此 一般没有理由假设空间波数之间的相关性，所以 是对角阵，通常的形式为 是先验模型的方差。准确地表达噪音的协方差矩阵C_n是不现实的，因为关于噪音详细的信息是未知的。Duijndam等^［3］给出的噪音协方差矩阵为C_n ＝c²W^－1，c是常数；W为权系数组成的对角阵，即W＝diag（△x_n）。根据离散傅立叶变换理论，应选择△k≤2π/X，这里X＝∑_n△x_n，为数据的长度，即X＝x_N－1－x₀，则（9）式变为

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其中， 称为阻尼因子。λ可以通过L－curve或者广义交叉验证（GCV）方法确定，最佳的选取方法是^［4］：

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式中：F为用户给定的常数，表示期望的数据信噪比值。但在实际地震数据重建过程中，λ一般取A^HWA矩阵主对角元素的1％。

方程（10）的解称为最小范数解，也称为阻尼最小二乘解，该重建方法称为最小范数傅立叶重建方法（Fourierreconstruction with minimum norminversion，FRMN）^［8］。通常非规则采样时，式（10）的系数矩阵AHWA为病态的Toeplitz矩阵。当不加权矩阵W时，A^HA形成的Toeplitz矩阵病态程度受非规则采样数据之间的致密程度控制。非规则采样地震数据中地震道靠得越近，间距△x越小，则Toeplitz矩阵的条件数就越大，求解越困难；加上权系数矩阵W后，A^HWA形成的Toeplitz矩阵病态程度受各数据之间的最大空隙△x_a的大小控制，△x_a＝max（△x_n）。系数矩阵A^HWA的条件数与最大空隙△x_a的关系如下^［7］：

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由上式可见，最大空隙△x_a越大，矩阵A^HWA病态程度越大，求解方程时就越难以收敛。如果定义空间Nyquist采样间隔为

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

则当△x_a≥3△x_Nyq时，系数矩阵A^HWA已经无法保证迭代收敛^［3］。也就是说当非规则采样地震数据的空隙太大时，不能得到满意的重建效果。这是傅立叶重建方法的固有弊病。

方程（10）实际求解时一般在频率域逐频率求解。在求解方程时，由于低频部分只需要很小的波数带宽就能完整重建数据，因此求解方程（10）的规模小，求解相对容易；而高频部分则需要较大的波数带宽，因此求解式（10）中的未知数多，求解需要更多的计算时间，而且解也不稳定。因此，利用最小范数傅立叶方法重建的地震数据低频部分有较高的精度。

2 多步自回归方法

自回归模型（预测滤波器）在信号处理领域具有广泛的应用，它是一种模拟信号演化的技术^［9］。自回归模型可以应用于信号预测和噪音消除^［10］、地震道内插^{［11，12］}以及参数频谱分析^［13］等方面。t－x域的线性同相轴变换到f－x域是复正弦函数，该函数可以通过自回归算子来模拟。Spitz^［11］和Porsani^［12］提出了自回归的重建方法，成功地解决了规则采样含空间假频地震数据的插值问题，这些方法是利用低频信息来恢复数据的高频部分。但这种方法只适用原始地震数据是空间规则采样的情况，而且只能用于加密插值。

多步自回归方法（multistep autoregressive，MSAR）^［14］是对Spitz单步预测方法的拓展，使其应用范围从只能进行道加密插值扩展到能对不规则缺道地震数据进行插值重建。假设地震数据包含有限个线性同相轴，由N个等间距的地震道组成，部分地震道是缺失的。首先将地震数据从时间域变换到频率域，在f－x域，地震数据可以用向量x（f）表示，x^T（f）＝［x₁（f），x₂（f），x₃（f），…，x_N（f）］，其中只有M道数据是已知的。分别用n＝｛n（1），n（2），n（3），…，n（M）｝和m＝｛m（1），m（2），m（3），…，m（N－M）｝表示已知数据和未知数据（缺失道）的下标，目标是从x_n（f）中恢复出x_m（f）。

由L个近似线性的同相轴构成的地震数据在f－x域可表示为

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式中：△x和△f分别表示空间域和频率域采样间隔；p_j表示第j个线性同相轴的斜率；A_j表示振幅。对于每个频率成分f，上式表明在f－x域每个线性同相轴都可以用复谐波函数来表示。考虑当△x′＝α△x，△f′＝△f/α时，得到：

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此外，通过自回归模型的形式，可将L个谐波函数的叠加表达为

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其中P（j，n△f）表示预测滤波因子。同样的，对于△x′和△f′，有

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比较表达式（15）、（16）和（17），可得：

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该式即为多步自回归方法的基础。它表明在频率轴上，对于预测滤波器的每个成分都是可预测的。这就意味着，如果已知某些频率的预测滤波器，可以预测得到其他频率的预测滤波器。也就是说，我们可以从傅立叶方法重建得到的无空间假频的低频成分的预测滤波器中提取高频成分的预测滤波器，进而重建得到缺失地震道的高频成分。

假设用最小范数傅立叶方法重建得到的低频数据的频率范围为f∈［f_minr，f_maxr］，在f－x域线性同相轴向前和向后预测的多步预测滤波器可以由下列方程组确定：

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式中：*表示复共轭；L表示预测滤波器的长度；P_j（f）表示预测滤波器。这些方程对应一种特殊类型的自回归模型，向前自回归方程（19）和向后自回归方程（20）是通过每次向前和向后跳α步来实现的。通过自回归方程（19）和（20）可以计算出在α步时的预测滤波器P_j（f）。参数α＝1，2，…，α_max是步长因子，用于从频率f中提取频率αf的预测滤波器。由于步长因子是一个正整数，很显然低频部分为数据重建算法提供了重要的信息。步长上限α_max依赖于地震道数N和预测滤波器的长度L，该参数由下式给出

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这里［.］表示取整数部分。

当用多步自回归方法从已重建的低频数据x（f）中计算出高频数据x（f′）的预测滤波器时，同Spitz插值方法相似，可以通过已知的数据和预测滤波器重建出缺失的数据。向前和向后自回归重建方程为

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设地震数据中含有L个不同斜率的线性同相轴，地震数据的有效频带范围为［f_min，f_max］，含空间假频的不规则道缺失的地震数据的重建实施步骤为：(1)首先将原始地震数据变换到f－x域，用最小范数傅立叶方法重建无空间假频的低频段［f_minr，f_maxr］的地震数据，得到低频段地震数据，其中f_minr＝f_minr。对于不含空间假频的有限带宽信号而言，FRMN重建得到的地震数据精度较高；(2)运用方程（19）和（20），从低频段［f_minr，f_maxr］中提取高频成分的预测滤波器P_j（f′）；(3)利用已知道数据和预测滤波器P_j（f′）重建缺失的地震数据；(4)最后将重建后的地震数据反变换回t－x域。遇到复杂地震数据时，同相轴可能不满足线性假设，可将地震数据划分成多个小时空窗，分窗口进行重建。综上所述，从无空间假频低频段［f_minr，f_maxr］数据中提取缺失数据高频成分f′＝αf的预测滤波器，然后利用已知数据和预测滤波器计算缺失数据的高频成分，最终完成多步自回归重建。

3 理论数据算例

为了验证多步自回归算法的有效性，本节中我们将该算法应用于理论数据，进行缺失道的重建以及加密插值。第一个理论数据如图1（a）所示，是由7个不同斜率的线性同相轴组成，其f－k谱含有严重的空间假频（如图1（c）所示）。共有81道，道间距为5m，时间采样间隔为2ms，采样点数为901。图1（b）是从原始数据中随机抽去了40％的地震道后得到的数据。图1（d）是图1（b）对应的f－k谱。从图1（d）中可以看出，由于地震道的缺失而导致f－k谱上产生严重的噪音。

图1 多步自回归法理论算例

图2 最小范数傅立叶重建方法与多步自回归法的理论联合应用（一）

图2（a）是利用FRMN方法重建出的低频数据，其f－k谱如图2（c）所示。重建出的低频数据被MSAR算法用于提取预测滤波器来重建数据的高频部分。对于数据低频端的预测滤波器是通过预测滤波器的外推来估计。通过FRMN ＋ MSAR方法重建后的完整数据如图2（b）所示，其对应的f－k谱如图2（d）所示，与原始数据的f－k谱（图1（c））相对比，几乎完全一样，由采样缺失引起的噪音已被消除。与原始数据（图1（a））相对比，缺失的地震道被填充，线性同相轴的连续性也很好。

图3 最小范数傅立叶重建方法与多步自回归法的理论联合应用（二）

图4 图3中数据对应的f－k谱

图5 最小范数傅立叶重建方法与多步自回归方法的实际应用

为了进一步验证算法在复杂情况下的适用性，我们选取了Marmousi模型数据中的一个单炮数据（图3（a）），共有96道数据，道间距为25m，时间采样间隔为4ms，采样点数为750。随机抽去了其中的27道数据（图3（b）），用FRMN ＋ MSAR方法对该数据进行重建，图3（c）显示的是用FRMN方法重建的低频段的数据，图3（d）显示的是用FRMN＋MSAR方法重建的完整单炮数据。由于模型很复杂，所以原始单炮数据的f－k谱有空间假频的存在（图4（a））。图4（b）是图3（b）对应的f－k谱，可以看出含有严重的噪音。图4（c）和图4（d）分别是3（c）和图3（d）对应的f－k谱。重建后的数据f－k谱中的噪音消除了，缺失的道也得到了填充，而且同相轴也保持很好的连续性。

图6 图5中数据对应的f－k谱

4 实际数据算例

本节我们将对实际数据进行重建，以验证FRMN ＋MSAR方法的适用性。选取一个共偏移距地震剖面的部分数据（图5（a）），总共有201道，道间距为12.5m，时间采样间隔为2ms。随机抽去其中30％的地震道（图5（b））进行重建，图5（c）展示的是FRMN方法重建的低频段的数据，图5（d）展示的是FRMN＋MSAR重建的完整数据。图6（a）、图6（b）、图6（c）和图6（d）分别是图5（a）、图5（d）、图5（c）和图5（d）对应的f－k谱。可以看出，重建前后数据f－k谱的变化很小。重建后数据的缺失道得到了恢复，且同相轴连续，重建的结果接近于原始数据。

5 结论

本文在最小范数傅立叶重建方法的基础上，结合多步自回归方法进行含空间假频地震数据的重建。多步自回归方法是对Spitz方法的拓展，也是基于近似线性同相轴的假设。因此在处理复杂地震数据的时候一般难以满足这个假设，这时可采用小时空窗的方法来进行计算，在小时空窗中可以认为满足近似线性的假设。但是时空窗太小会使数据量不足，反而会导致重建的结果不好或可能无法重建。众所周知，为了能够求解大多数的地球物理问题，必须基于某些假设条件。一般在处理实际数据时，都是部分地违背这些假设的。事实上，对于中等程度弯曲的同相轴本方法同样能取得比较理想的重建结果，说明本文的重建方法具有很好的稳定性。实际上，对于含有大间距空道的地震数据，该方法同样取得了较好的重建结果。通过对一些理论数据和实际数据进行重建实验，验证了本文中重建方法的有效性和实用性。另外，地震数据的重建效果同原始数据的复杂程度以及谱的性质、缺失地震道的数量及位置和缺失道间距的大小等多方面原因有关，需要进一步研究这些因素对重建算法的影响。

参考文献

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