机械手矩阵算法

‘壹’ 求极坐标机械手的雅可比矩阵jq和tjq

雅可比矩阵的物理意义，举例来说，就是第5行第3列的值表示当第3个关节转动/平移足够小的一定量（微分概念）时，乘上这个值就等于end effector在第5个自由度上相应的转动/平移量。
你可能会想，上面说end effector的第5个自由度，到底是指哪个自由度呢？显然，这取决于你如何描述end effector的运动。举个例子来说，假如我们有一个全自由度的end effector（即有3个转动DOF，3个平动DOF），那我们可以定义前三个自由度为沿某个坐标系的x, y, z轴平移，后三个自由度为绕该坐标系的x, y, z轴旋转——这样当我说第5个自由度，就是指绕这个坐标系的y轴旋转。实际雅可比矩阵的结果，完全取决于你选取的坐标系以及你描述end effector运动的顺序。
先写出end effector位置的正运动学表达式——
所以，我们把用笛卡尔坐标描述线速度（linear velocity）和角速度（angular velocity）、以机械臂的基准坐标系（Base frame或frame{0}）作为参照系来描述end effector速度所求得的雅可比矩阵，称为基本雅可比矩阵；其它所有表示方法（比如将笛卡尔坐标改为柱坐标、球坐标；角度改为欧拉角或四元数quaternion等）都可由这个基本雅可比矩阵转换得到。根据上面基本雅可比矩阵的定义，end effector的速度可以这么写：
只需要将红色框框圈出来的这个3×1向量(xe, ye,ze)对关节空间向量(θ1, d2,θ3,θ4)即求导即可！

‘贰’ 机器人运动闭环控制中雅各比矩阵起什么作用

如果动作是重复性的，或者是配合视觉等传感器可以预见性的，可以在控制里面可以加入几个位置记忆点，每个点用末端（机械手）标注，每个点都有各个关节位置记忆，如果可能也可以是多关节时间序列记忆。比如，目标是将盘子里的工件放到传送带上，需要记忆机械手在盘子上方将要开始抓取的位置，和机械手完成抓取在最高点的位置，以及机械手在传送带上将要放手的位置。然后可以来回重复播放这两点的位置,其他位置插补计算得出。每个关节完全可以与其他关节解耦，用2点之间的各自关节的角度差就可以计算平均角速度。

‘叁’ 如何利用单片机做一个 简单的机械手实现对手机上面的触摸屏 循环点击 求教程 大哥帮下忙啊

这个太简单了把
只要明白矩阵键盘原理就可以了啊，然后按照自己的意愿做个打击指头点击就是
，不过这个需要矩阵键盘的软件和打击的硬件，原理虽然简单，做起来还是要点功底

‘肆’ 求问机械手臂过程如何计算

首先建立机械手臂各个关节的位姿坐标，一般用矩阵描述，然后通过雅克比矩阵对各个位姿进行转换，求出串联机械手的刚度矩阵，如果用视教方法，要对各个点的数据点进行记录，然后通过记录值在分别控制各个关节运动，达到理想位姿，如果采用自适应控制可能比较麻烦，多学习一些自适应控制理论，模糊算法，可能有用。

‘伍’ 单片机c51液晶矩阵机械手简单程序

下面是大液晶12864最简单的程序#include "reg51.h"
#define uchar unsigned char
#define uint unsigned int
sbit rst=P2^0;
sbit cs2=P2^1;
sbit cs1=P2^2;
sbit e=P2^3;
sbit rw=P2^4;
sbit rs=P2^5;
#define dislcd P0
uchar code hz[]={
/*-- 文字: 侯 --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=16x16 --*/
0x40,0x20,0xF8,0x07,0x12,0x10,0xF2,0x52,0x52,0xD2,0x52,0x5E,0x50,0x50,0x10,0x00,
0x00,0x00,0xFF,0x00,0x82,0x43,0x22,0x12,0x0A,0x07,0x1A,0x22,0x62,0xC2,0x42,0x00,/*-- 文字: 杰 --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=16x16 --*/
0x00,0x08,0x08,0x08,0x88,0x48,0x38,0xFF,0x18,0x28,0x48,0x88,0x88,0x08,0x00,0x00,
0x40,0x32,0x02,0x01,0x10,0x60,0x00,0x07,0x10,0x60,0x00,0x00,0x11,0x63,0x01,0x00,/*-- 文字: 刘 --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=16x16 --*/
0x00,0x08,0x28,0x49,0x8A,0x0C,0xC8,0x38,0x08,0x00,0xF8,0x00,0x00,0xFF,0x00,0x00,
0x40,0x20,0x10,0x08,0x04,0x03,0x06,0x38,0x10,0x00,0x07,0x20,0x40,0x3F,0x00,0x00,/*-- 文字: 桂 --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=16x16 --*/
0x10,0xD0,0xFF,0x50,0x90,0x50,0x48,0x48,0x48,0x7F,0x48,0x48,0x48,0x48,0x40,0x00,
0x02,0x01,0xFF,0x00,0x41,0x40,0x44,0x44,0x44,0x7F,0x44,0x44,0x44,0x44,0x40,0x00,/*-- 文字: --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=16x16 --*/
0x04,0x8C,0x55,0x26,0x5C,0x84,0xE8,0x8A,0xFA,0xAA,0xA8,0x1F,0x68,0x8E,0xE8,0x00,
0x01,0x80,0x80,0x5E,0x42,0x22,0x22,0x1E,0x22,0x42,0x42,0x9E,0x80,0x00,0x00,0x00,
};
uchar code zm[]={
/*-- 文字: 1 --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=8x16 --*/
0x00,0x10,0x10,0xF8,0x00,0x00,0x00,0x00,0x00,0x20,0x20,0x3F,0x20,0x20,0x00,0x00,/*-- 文字: 3 --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=8x16 --*/
0x00,0x30,0x08,0x88,0x88,0x48,0x30,0x00,0x00,0x18,0x20,0x20,0x20,0x11,0x0E,0x00,/*-- 文字: 4 --*/
/*-- 宋体12; 此字体下对应的点阵为：宽x高=8x16 --*/
0x00,0x00,0xC0,0x20,0x10,0xF8,0x00,0x00,0x00,0x07,0x04,0x24,0x24,0x3F,0x24,0x00,
};
void check()
{
uchar dat;

rs=0;
rw=1;
do{
dislcd=0x00;
e=1;
dat=dislcd;
e=0;
dat=0x80 & dat;
}while(!(dat==0x00));
} sendzltolcd(uchar zl)
{
check();
rs=0;
rw=0;
dislcd=zl;
e=1;
e=1;
e=1;
e=0;
}
writesj(uchar sj)
{
check();
rs=1;
rw=0;
dislcd=sj;
e=1;
e=1;
e=1;
e=0;
}
void setye(uchar ye)
{
ye=0xb8|ye;
sendzltolcd(ye);
}
void sethang(uchar hang)
{
hang=0xc0|hang;
sendzltolcd(hang);
}
void setlie(uchar lie)
{
lie=0x40|lie;
sendzltolcd(lie);
}
void delay(uchar m)
{
uint i;
while(m--)
{
for(i=0;i<1000;i++);
}
}
void xuanpin(uchar xp)
{
switch(xp)
{
case 0:cs1=1;cs2=1;break;
case 1:cs1=1;cs2=0;break;
case 2:cs1=0;cs2=1;break;
default:break;
}
}
void qingpin(uchar qp)
{
uchar i,j;
xuanpin(qp);
for(i=0;i<8;i++)
{
setye(i);
setlie(0);
for(j=0;j<64;j++)
{
writesj(0x00);
}
}
}
setonoff(uchar onoff)
{
onoff=0x3e|onoff;
sendzltolcd(onoff);
}
void initlcd()
{
rst=0;
delay(10);
rst=1;
check();
xuanpin(0);
setonoff(0);
xuanpin(0);
setonoff(1);
xuanpin(0);
qingpin(0);
sethang(0);
}
void display(uchar ss,uchar ye,uchar lie,uchar num)
{
uint i;
xuanpin(ss);
lie=lie&0x3f;
setye(ye);
setlie(lie);
for(i=0;i<16;i++)
{
writesj(hz[i+32*num]);
}
setye(ye+1);
setlie(lie);
for(i=0;i<16;i++)
{
writesj(hz[i+32*num+16]);
}
}
void display1(uchar ss,uchar ye,uchar lie,uchar num)
{
uint i;
xuanpin(ss);
lie=lie&0x3f;
setye(ye);
setlie(lie);
for(i=0;i<8;i++)
{
writesj(zm[i+16*num]);
}
setye(ye+1);
setlie(lie);
for(i=0;i<8;i++)
{
writesj(zm[i+16*num+8]);
}
}
void main()
{

initlcd();
qingpin(0);
sethang(0);
display(1,0,16,0);
display(1,0,32,1);
display(1,0,48,2);
display(2,0,0,3);
display(2,0,16,4);
display1(1,2,48,0);
display1(1,2,56,1);
display1(2,2,0,0);
display1(2,2,8,2);
while(1)
{

}
}下面是运用到矩阵编写的是电话机#include<reg52.h>
#define uint unsigned int
#define uchar unsigned char
uchar code tab[]={0xc0,0xf9,0xa4,0xb0,0x99,0x92,0x82,0xf8,0x80,0x90,0x88,0x83,0xc6,0xa1,0x86,0x8e};
uchar dis_buf[8];
uchar i,j,a,temp;
sbit an=P1^0;
sbit wei=P1^1;
sbit wr=P1^2;
void mdelay(uint t)
{
uchar y;
while(t--)
{
for(y=0;y<114;y++);
}
}
uchar key()
{
P2=0xf0;
j=P2;
P2=0x0f;
i=P2;
temp=j|i;
switch(temp)
{
case 0xee:return(0);
case 0xde:return(1);
case 0xbe:return(2);
case 0x7e:return(3);
case 0xed:return(4);
case 0xdd:return(5);
case 0xbd:return(6);
case 0x7d:return(7);
case 0xeb:return(8);
case 0xdb:return(9);
case 0xbb:return(10);
case 0x7b:return(11);
case 0xe7:return(12);
case 0xd7:return(13);
case 0xb7:return(14);
case 0x77:return(15);
}
}
void display(uchar *dis_buf)
{
uchar a=0xfe;
an=1;
wei=1;
while(a!=0xff)
{
P0=tab[*dis_buf];
an=0;
wr=0;
wr=1;
an=1; P0=a;
wei=0;
wr=0;
wr=1;
wei=1; mdelay(2);
an=0;
wei=0;
wr=0;
P0=0xff;
wr=1;
wei=1;
an=1; dis_buf++;
a=a<<1|0x01;
}
}
void dis_play()
{
dis_buf[7]=dis_buf[6];
dis_buf[6]=dis_buf[5];
dis_buf[5]=dis_buf[4];
dis_buf[4]=dis_buf[3];
dis_buf[3]=dis_buf[2];
dis_buf[2]=dis_buf[1];
dis_buf[1]=dis_buf[0];
dis_buf[0]=key();
}
void main()
{
while(1)
{
P2=0x0f;
if(P2!=0x0f)
mdelay(10);
if(P2!=0x0f)
{
dis_play();
display(dis_buf);
}
while(P2!=0x0f);
display(dis_buf);
}
}这些都是我自己编写的程序都试过了正确无误 的机械手的程序暂时没有 很抱歉

‘陆’ 什么是机械手的姿态

机械手末端的位置和姿态通常用相对于基坐标系的齐次变换矩阵描述。以线性函数插值为例，可否对齐次变换矩阵的所有元素在相邻点之间进行线性插值？回答是否定的。因为齐次变换矩阵的各元素并不独立，它们需满足一定的关系。。因此，对描述机械手末端的姿态不能直接有对应的旋转矩阵来简单地进行插值，，而描述位置的三个分量是相互独立的，它们可以直接进行插值。 姿态有多种描述，当采用R（Rotation）P(Pitch) Y(Yaw)角来描述姿态时，关于三个轴的转角间是否相互独立，是否可以各自进行插值规划。 直角坐标空间里的轨迹规划有以下特点： (1)通常将位姿的六维矢量分成位置和姿态两个三维矢量组来进行规划 (2)为了让机器人手臂实现规划的轨迹， 在直角坐标空间规划出的每个轨迹给定点（插值点）都必须进行坐标变换，按运动学逆问题转换成关节角度值。 (3)直角坐标空间里的轨迹规划，还需要谨慎地绕开机器人手臂的机构奇异点。否则，运动学逆问题将无解。 实际上，所有用于关节空间轨迹规划的方法都可以直接用于直角坐标空间的轨迹规划。

‘柒’ 如何理解矩阵相乘的几何意义或现实意义

矩阵相乘，其几何意义就是两个线性变换的复合，比如A矩阵表示旋转变换，B矩阵表示伸长变换，AB就是伸长加旋转的总变换：同时伸长和旋转。

其现实意义的例子，汽车生产线上的机械手有几个关节，每个关节的转动都可看作一个空间转动矩阵，最后机械手末端的位置就是所有关节矩阵连乘（联动）的结果。

矩阵是线性变换的表示，矩阵乘以一个向量等于对这个向量施加此矩阵代表的线性变换。这种线性变换通过变换基来实现，矩阵中的各列就是变换后的新基。两个矩阵相乘，AB，就是把B中各列代表的“新基”又经过了A代表的线性变换得到了一组“新新基”。实际就是B线性变换和A线性变换的复合。

(7)机械手矩阵算法扩展阅读：

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。

两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去。更抽象的说，一个矩阵可以表示一种线性变换。很多同学在学线性代数时对矩阵相乘的方法感到奇怪，但是如果明白了矩阵相乘的物理意义，其合理性就一目了然了。

‘捌’ 机械手动力学模型中惯性矩阵怎么确定

第1章 绪论1.1 机械系统中常见的动力学问题1.2 解决机械动力学问题的一般过程1.3 机械系统的动力学模型1.3.1 刚性构件1.3.2 弹性元件1.3.3 阻尼1.3.4 流体润滑动压轴承1.3.5 机械系统的力学模型1.4 建立机械系统的动力学方程的原理与方法1.4.1 ...

‘玖’ 旋量是什么

迹规划是机器人控制问题的重要方面，根据作业要求通地轨迹序列控制点控制机器人位姿轨迹。Paul〔1〕首先利用齐次变换矩阵将手部在直角坐标下的位置、速度和加速度变换成各关节的位移、速度和加速度，然后规划成二次平滑函数。Paul方法的计算量非常大，Taylor〔2〕采用四元数表示法改进了Paul方法。后来Lin和Luh〔3，4〕提出规划轨迹的3次样条函数方法，可得到优化的关节运动规律，但当轨迹中间路径点个数n较多时，此法所需计算量也较大，而且缺乏时姿态插补的考虑。在许多高精度应用场合，如切割、弧焊等不仅要求机器人位置精确，还需要在该位置具有任意确定的姿态，对外部品质的要求是很高的。因此，必须解决机器人姿态在插补结点处相应的空间坐标，以寻求更具一般意义的位姿轨迹生成的通用算法。
本文运用旋量法来描述机器人末端夹持器在直角坐标空间中的位置和姿态对时间函数所显示的运动轨迹，由于姿态旋量的直观和简便对描述瞬时姿态有独特的优点，且计算量也小。文中还利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系，对广义坐标的速度量进行线性规划，免去了求解运动学方程，并适合于具有冗余自由度的操作器。

1 机器人位姿轨迹
1.1 姿态旋量
机器人的位姿就是终端夹持器的位置和姿态。我们可以用角位移矢量Ω来描述机器人的姿态，设ψ为基坐标系中绕瞬时轴加转的等效旋转角，K表示基系中瞬时转轴的单位向量，则角位移矢量：
Ω＝ψK。
根据旋量定义，可以证明等效角位移矢量的姿态矢量是旋量，表示为

式中，OP为用位移矢量上给定的初始点位置，基系原点O为旋量参考点。

由对偶数理论可知：三维欧氏空间中直线与三维对偶空间中的点是一一对应，于此可将直角坐标空间中的姿态旋量映射到对偶空间，得到对应点，位姿轨迹的规划问题便转化为对偶空间中由姿态旋量所映射的点运动轨迹的选择问题。

图1 姿态旋量

1.2 位姿轨迹
设T为机器人由起始点到结束点完成运动所需的总时间，t为分段轨迹算起的时间，令

若在时间间隔〔0，t〕内，机器人完成一个给定的工作，整个工作轨迹上需计算的采样点数：
N0＝Int(t／T)。
姿态旋量时应的对偶空间中的点假设沿着一连续轨迹运动

是λ(t)的对偶函数，写成对偶坐标形式。
(1)
式中Ωxi,Ωyi,Ωzi为姿态坐标分量，的Plücker坐标(Ωi，Soi，用坐标分量的纯量形式表示为(Ωxi,Ωyi,Ωzi,S0xi,S0yi,S0zi)
姿态矢量Ωi为瞬时转动轴上的自由矢量，只有当Pi点位置确定后，它才在轴线上唯一定位。Ωi在空间的定位可通过瞬时转动轴线上Pi的位置矢量rip给定，于此S0i＝rip×Ωi〔5〕，将式(1)改写成行列式形式的参数方程为
(2)
式中，xpi,ypi,zpi为夹持器姿态矢量Ωi在轴线上Pi点相对于基系的坐标，式(2)就是机器人位姿的姿态旋量表示。由Ωxi，Ωyi,Ωzi确定机器人夹持器的姿态轨迹，由xpi,ypi,zpi导出其位置轨迹，设定理想位置及姿态轨迹为
(3)
(4)
代入式(2)便可确定机器人在对偶空间的姿态旋量。机器人在进行焊接或切割工作，圆弧曲线轨迹运动中姿态的变化，需要按式(2)求出每一采样时刻的姿态角。

2 机器人运动螺旋方程
设为终端速度旋量，为姿态角速度向量，vpi为终端位置速度，基旋量，
(5)
(6)
于端夹持器的瞬时运动螺旋方程为
(7)
螺旋轴线Plücker坐标为

3 关节运动速度
设固联于机器人各可动件上的附件参考系原点O′i放在运动副关节处，相邻运动副轴线之间的合法线长度为a12，a23，……；相邻两杆之间的偏距分别为d1，d2，…；相邻轴线之间的扭向角为v12，v23，…；运动副相对回转角为θ1，θ2，…。
定义函数

令
取第i关节的转角θi，或滑移距离zi作为广义坐标，qi＝(1－μi)zi＋μiθi(i＝1，2，…，n)
将螺旋运动旋量方程(7)作转换后可得
(8)
或表示为
(9)
式中，J1，J2，J3是雅可比矩阵J的三个3×3子阵，这里注意到六关节机器人决定姿态的关节4、5、6的变量没有影响vx,vy,vz的移动，可将式(9)分解写成
(10)
(11)
由上式可知终端执行器移动线速度和转动角速度与各关节角速度的关系由雅可比矩阵联系，它由机器人各杆件的位姿矩阵和旋转矩阵组合给出。
根据工作过程的需要，规划终端执行器的位姿轨迹及速度必需与末端的实际测定的数值一致。然而，机器人各杆件的弹性变动，关节间隙，重力负载及杆件离心效应等因素的影响致使机器人位姿动态精度形成误差。设为期望轨迹上的速度旋量，为机器人末端测定的实际速度旋量，由传感器可获得实际位姿轨迹与期望作业偏差为

机器人的位置和姿态误差分别小于给定误差R及G的概率〔6〕。为使误差收敛反回轨迹，以消除误差的累积效果，需使位置及姿态误差得到校正补偿，式(10)，(11)改写为
(12)
(13)
式(12)、(13)适用于J满秩的情况，当机器人具有冗余自由度时，对应的有无穷多解，对此可取能量损失为最小，选取最优解
(14)
为寻求满足式(14)使损失函数N()，为最小，应用拉格朗日算子解
(15)
W为n×n对称正定矩阵，λ为Lagrange乘子，满足最优解的必要条件是

即
(16)
(17)
在式(16)，(17)中消去λ，得最优解。
(18)
考虑到使误差得到收敛，式(18)改写成
(19)
其中均为正定阵。式(19)适用于有冗余自由度时的规划。要求关节运动速度不应达到边界位置极限速度，设M为允许的最大速度，必需使＜M，以适应电机最大转速的要求。

4 算 例
设斯坦福机械手在拟定轨迹中通过空间3个已知点P1(50，0，118)，P2(110.5，50，84)，P3(50.2，100，50)，并在三点保持姿态为Ω1(0，0，1.57)T，Ω2（0，－0.045，0)T，Ω3(0，0，1.57)T。P1，Ω1状态相对应的关节坐标及其相应的正弦和余弦值如表1，试规划其运动和位姿轨迹。
表1

关节坐标

坐 标 数 值 正 弦 余 弦
θ1 0° 0 1

θ2 90° 1 0

θ3 ／ ／
θ4 0° 0 1
θ5 90° 1 0
θ6 90° 1 0

解 设机械手终端以圆弧轨迹规划，其位置坐标函数及姿态坐标函数为
xp＝f1〔λ(t)〕＝60.5sin(2.9966°t)＋50，
yp＝f2〔λ(t)〕＝－50.03cos(2.9966°t)＋50，
zp＝f3〔λ(t)〕＝34cos(2.9966°t)＋84，
Ωx＝ζ1〔λ(t)〕＝－0.05cos2(2.9966°t)＋0.05sin(2.9966°t)＋0.05，
Ωy＝ζ2〔λ(t)〕＝－0.065sin(2.9966°t)＋0.02cos2(2.9966°t)＋0.02，
Ωz＝ζ3〔λ(t)〕＝0.0012cos2(2.9966°t)－1.57sin(2.9966°t)＋1.569。
设运动总时间为T＝60s，据式(2)当t＝40s时终端夹持器的位置，姿态为

据式(5)、(6)可求得t＝40s终端的位姿速度值，

斯坦福机械手雅可比矩阵的三个子阵为

其中，
J11＝－d2〔C2(C4C5C6－S4S6)－S2S5C6〕＋S2d3(S4C5C6＋C4S6)，
J21＝－d2〔－C2(C4C5C6＋S4S6)＋S2S5S6〕＋S2d3(－S4C5S6＋C4C6)，
J31＝－d2(C2C4S5＋S2C5)＋S2d3(S4S5)，
J12＝d3(C4C5C6－S4S6)，J13＝－S5C6，
J22＝－d3(C4C5S6＋S4C6)，J23＝S5S6,
J32＝d3C4S5，J33＝C5。
d2＝－t6041S1＋t6042C1，
d3＝S2(t6041C1＋t6042S1)＋t6043C2，
Ci＝cosθi，Si＝sinθi，(i＝1，2，…，6)，
t6041＝102.5，t6042＝25.09，t6043＝67.07，
可得d2＝25.09，d3＝102.5。
据测定手部位姿误差统计值为Δx＝0.08465，Δy＝0.1269，Δz＝0.1050，Δφx＝0.0022，Δφy＝0.0025，Δφz＝0.0041。取

据式(12)，(13)可得关节速度

5 结 论
1)本文用对偶映射原理来描述机器人的姿态旋量，用Plücker线坐标表达机器人位姿。
2)在机器人轨迹规划中，利用旋量方法时描述瞬时姿态具有直观、简便的独特优点，比较全面地表达了终端执行器的位置和姿态的轨迹生成，且计算量较少。
3)根据实际工作轨迹进行规划，提高了操作器运行精确性，并使非线性优化问题化为线性优化问题，利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系，免去了求解逆运动学方程，并适合于具有冗余自由度的操作器。■

基金项目：福建省自然科学基金资助项目
作者单位：林瑞麟(华侨大学机电工程系，福建泉州362011)

参考文献：

〔1〕Paul R P. Manipulator cartesian path contor〔J〕. IEEE Transaction on Systems,Man, and Cybernetics,1979,9(11)：702～711.
〔2〕Taylor R H. Planning and execution of straight line trajectories〔J〕. IBM Journal of Research and Development,1979,23：424～436.
〔3〕Lin C S, Chang P R, Luh JYS. Formulation and optimization of cubic polynomial joint trajectories for instrial robots〔J〕. IEEE Jransaction on Automatic Control,1983,28(12)：1066～1073.
〔4〕Luh J Y S, Lin C S. Approximate join trajectories for control of instrial robots along cartesian paths〔J〕. IEEE Trans System, Man and Cybernetico，1984，14(3)：444～450.
〔5〕林瑞麟，蒋少茵，林碧. 旋量法在机器人动力学分析中的应用〔J〕.应用数学和力学，1996，17(1)：75～80.
〔6〕徐卫良，张启先. 机器人误差分析的蒙特卡洛方法〔J〕.机器人，1988，2(4)：1～5.

(汤任基推荐)
收稿日期：1998-02-05

修订日期：1999-10-30

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‘拾’ 高数怎么运用到生活中

第一：高等数学，这门课通用性之广可能是你所想不到的，举个例子（因为我是机电专业，故而例子大部分是机电设计）：
PID控制器，P是比例，I是积分，D是微分，PID控制器可以模拟电路，也可以是数字系统来模拟的电路，例如用单片机来模拟，但无论哪种方法，都涉及到系统的参数设定，顾名思义，PID需要比例参数，积分参数，微分参数，这三者的确定以及之后的运算，均是在高等数学的基础上的。
液压伺服阀，对于液压方面的计算，其实原理应用均为“流体力学”，对于流体力学，你们日后大概会接触到，通用公式，基本上都是需要高数基础来推导的。详情请去图书馆借阅《液体力学》

第二：线性代数，这门课，说实话，更是牛B，我想您在高中时代肯定学过坐标系的转换，例如坐标平移，极坐标转换等等，那你现在想一个问题，给你一个两关节机械手，你如何控制这个机械手的运动问题，我如何控制各个伺服电机来决定这些机械的运动位置与力的大小呢？这些问题在《机器人运动学》与《机器人动力学》中有详细的探讨，如果让我告诉你，他们运用到的知识，可以这么说，用的是“矩阵”，我想通过线代的学习，你应该对他不会陌生，对矩阵的运算，如求逆阵啦，伴随阵啦，都需要。这只是在我了解的领域内知道的线代应用。

第三：概率与统计，我想这个不用我多说了，古典概率不必多讲，生活中用到他的情况比比皆是，还有一些实例，我想在课本上应该有所涉及，如医学上，用概率论来判断一种新型药物是否有效。统计呢，这个…………以后你到公司里，不能一涉及到账单就找财务吧，那财务还不忙死……还有很多问题账务也处理不了，因为如果涉及到工业工程，学经济的财务还真不一定懂，你可以看一下《工程经济学》，这里面有很多统计方面的应用。

第四：几何学，对于一些经典的几何模型，其实我们每天都在用到，例如求圆周长，面积，求一些标准体的体积等等，只不过我们把这些知识划归了常识，而现代文明仅仅是这些基本的几何知识是远远不够的，所以我们要用很多高等数学的知识来解决一些几何问题，例如几何学中的一个重要的分支——解析几何，工程中常用的Pro/E三维软件，只要你构建了一个几何体，无论它有多么的不规则，只需要点一下求体积的按键，它就能给你算出来，如何实现呢？电脑运算快，但不智能，所以算法要你来写，用程序写出来，这些算法，其实就是高等数学中的解析几何啦，当然，不会那么简单，其中定然还要用到一些更高深的数学，例如一些有限元的算法之类的。（没有深入了解过Pro/E中的求体积算法，如若有误还请见谅）

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如@陈然所说，这些课的学习能让你用一种区别于普通人的眼光来审视这个世界，你会惊奇的发现，这个世界其实是由数学构成的，（学美术的会认为世界是由颜色构成的，学文学的会认为世界是由思想汇聚的，学经济的会认识世界是由货币铸成的。）你可以更抽象地去认识这个世界，了解他的前因后果。 陈然的答案很棒，我也很赞同，不过我想，还是补充一些关于现实生活中能看到的“活生生”的例子比较好。

我在此作出这个解答的原因，也是希望大家知道，这些东西并不是所谓的一无所用，它们功用之大，超乎我们的想象，如果没有高等数学，你连一台普通机床都做不出来，更不必说什么数控系统了~

其实随着你学习的深入你会发现，其实就你们学的这点儿高等数学，都不够用，如果你以后要自己做工程，肯定还要补习一些拉氏变换，傅氏变换，Z变换，更有甚者要学一些专门领域才用到"专业“的数学，如《数值分析》，系统变式等，不过那时候，我想，你已经深入地了解到数学的意义了。