麻省理工算法公式

1. 天才少女中的数学公式叫什么

天才少女中的数学公式叫N-S方程。

N-S方程全称“纳维－斯托克斯方程”，原始形式在1827年被Navier提出，经过发展，在1845年由Stokes提出最终的形式。剧中外婆伊芙琳凭借探视权带玛丽去了麻省理工，让教授出题考玛丽，她要亲自确认玛丽是否真的是数学天才，就出了这个题目，最终玛丽解出了题。

N-S方程的影响及意义：

N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。

它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解；但在部分情况下，可以简化方程而得到近似解。

例如当雷诺数时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。在计算机问世和迅速发展以来，N-S方程的数值求解才有了较大的发展。

2. 用RSA对下列数据实现加密和解密:

拜托:老大,你的家庭作业也来问?
你自己学吧:下面是课文^
RSA加密算法
该算法于1977年由美国麻省理工学院MIT(Massachusetts Institute of Technology)的Ronal Rivest，Adi Shamir和Len Adleman三位年轻教授提出，并以三人的姓氏Rivest，Shamir和Adlernan命名为RSA算法。该算法利用了数论领域的一个事实，那就是虽然把两个大质数相乘生成一个合数是件十分容易的事情，但要把一个合数分解为两个质数却十分困难。合数分解问题目前仍然是数学领域尚未解决的一大难题，至今没有任何高效的分解方法。与Diffie-Hellman算法相比，RSA算法具有明显的优越性，因为它无须收发双方同时参与加密过程，且非常适合于电子函件系统的加密。

RSA算法可以表述如下：

(1) 密钥配制。假设m是想要传送的报文，现任选两个很大的质数p与q，使得：

(12-1)；

选择正整数e，使得e与(p－1)(q－1)互质；这里(p－1)(q－1)表示二者相乘。再利用辗转相除法，求得d，使得：

(12-2)；

其中x mod y是整数求余运算，其结果是x整除以y后剩余的余数，如5 mod 3 = 2。

这样得：

(e，n)，是用于加密的公共密钥，可以公开出去；以及

(d，n)，是用于解密的专用钥匙，必须保密。

(2) 加密过程。使用(e，n)对明文m进行加密，算法为：

(12-3)；

这里的c即是m加密后的密文。

(3) 解密过程。使用(d，n)对密文c进行解密，算法为：

(12-4)；

求得的m即为对应于密文c的明文。

RSA算法实现起来十分简捷，据说英国的一位程序员只用了3行Perl程序便实现了加密和解密运算。

RSA算法建立在正整数求余运算基础之上，同时还保持了指数运算的性质，这一点我们不难证明。例如：

(12-5)；

(12-6)。

RSA公共密钥加密算法的核心是欧拉(Euler)函数ψ。对于正整数n，ψ(n)定义为小于n且与n互质的正整数的个数。例如ψ(6) = 2，这是因为小于6且与6互质的数有1和5共两个数；再如ψ(7) = 6，这是因为互质数有1，2，3，5，6共6个。

欧拉在公元前300多年就发现了ψ函数的一个十分有趣的性质，那就是对于任意小于n且与n互质的正整数m，总有mψ(n) mod n = 1。例如，5ψ(6) mod 6 = 52 mod 6= 25 mod 6 =1。也就是说，在对n求余的运算下，ψ(n)指数具有周期性。

当n很小时，计算ψ(n)并不难，使用穷举法即可求出；但当n很大时，计算ψ(n)就十分困难了，其运算量与判断n是否为质数的情况相当。不过在特殊情况下，利用ψ函数的两个性质，可以极大地减少运算量。

性质1：如果p是质数，则ψ(p) = (p－1)。

性质2：如果p与q均为质数，则ψ(p·q) = ψ(p)·ψ(q) = (p－1)(q－1)。

RSA算法正是注意到这两条性质来设计公共密钥加密系统的，p与q的乘积n可以作为公共密钥公布出来，而n的因子p和q则包含在专用密钥中，可以用来解密。如果解密需要用到ψ(n)，收信方由于知道因子p和q，可以方便地算出ψ(n) = (p－1)(q－1)。如果窃听者窃得了n，但由于不知道它的因子p与q，则很难求出ψ(n)。这时，窃听者要么强行算出ψ(n)，要么对n进行因数分解求得p与q。然而，我们知道，在大数范围内作合数分解是十分困难的，因此窃密者很难成功。

有了关于ψ函数的认识，我们再来分析RSA算法的工作原理：

(1) 密钥配制。设m是要加密的信息，任选两个大质数p与q，使得 ；选择正整数e，使得e与ψ(n) = (p－1)(q－1)互质。

利用辗转相除法，计算d，使得ed mod ψ(n) = ，即ed = kψ(n) +1，其中k为某一正整数。

公共密钥为(e，n)，其中没有包含任何有关n的因子p和q的信息。

专用密钥为(d，n)，其中d隐含有因子p和q的信息。

(2) 加密过程。使用公式(12-3)对明文m进行加密，得密文c。

(3) 解密过程。使用(d，n)对密文c进行解密，计算过程为：

cd mod n = (me mod n)d mod n

= med mod n

= m(kψ(n) + 1) mod n

= (mkψ(n) mod n)·(m mod n)

= m

m即为从密文c中恢复出来的明文。

例如，假设我们需要加密的明文代码信息为m = 14，则：

选择e = 3，p = 5，q = 11；

计算出n = p·q = 55，(p－1)(q－1) = 40，d = 27；

可以验证：(e·d) mod (p－1)(q－1) = 81 mod 40 = 1；

加密：c = me mod n = 143 mod 55 = 49；

解密：m = cd mod n = 4927 mod 55 = 14。

关于RSA算法，还有几点需要进一步说明：

(1) 之所以要求e与(p－1)(q－1)互质，是为了保证 ed mod (p－1)(q－1)有解。

(2) 实际操作时，通常先选定e，再找出并确定质数p和q，使得计算出d后它们能满足公式(12-3)。常用的e有3和65537，这两个数都是费马序列中的数。费马序列是以17世纪法国数学家费马命名的序列。

(3) 破密者主要通过将n分解成p·q的办法来解密，不过目前还没有办法证明这是唯一的办法，也可能有更有效的方法，因为因数分解问题毕竟是一个不断发展的领域，自从RSA算法发明以来，人们已经发现了不少有效的因数分解方法，在一定程度上降低了破译RSA算法的难度，但至今还没有出现动摇RSA算法根基的方法。

(4) 在RSA算法中，n的长度是控制该算法可靠性的重要因素。目前129位、甚至155位的RSA加密勉强可解，但目前大多数加密程序均采用231、308甚至616位的RSA算法，因此RSA加密还是相当安全的。

据专家测算，攻破512位密钥RSA算法大约需要8个月时间；而一个768位密钥RSA算法在2004年之前无法攻破。现在，在技术上还无法预测攻破具有2048位密钥的RSA加密算法需要多少时间。美国Lotus公司悬赏1亿美元，奖励能破译其Domino产品中1024位密钥的RSA算法的人。从这个意义上说，遵照SET协议开发的电子商务系统是绝对安全的。

3. de=1modφ(n)是什么意思

在RSA算法中，de=1modφ(n)是指de与1关于φ(n)同余。

对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。

假如有人找到一种快速因数分解的算法的话，那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。

只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。

(3)麻省理工算法公式扩展阅读：

由于RSA算法基于大数分解（无法抵抗穷举攻击），因此在未来量子计算能对RSA算法构成较大的威胁。

一个拥有N量子比特的量子计算机，每次可进行2^N次运算，理论上讲，密钥为1024位长的RSA算法，用一台512量子比特位的量子计算机在1秒内即可破解。

1983年麻省理工学院在美国为RSA算法申请了专利。这个专利2000年9月21日失效。由于该算法在申请专利前就已经被发表了，在世界上大多数其它地区这个专利权不被承认。

4. RSA算法详解

总括： 本文详细讲述了RSA算法详解，包括内部使用数学原理以及产生的过程。

相濡以沫。到底需要爱淡如水。

之前写过一篇文章 SSL协议之数据加密过程 ，里面详细讲述了数据加密的过程以及需要的算法。SSL协议很巧妙的利用对称加密和非对称加密两种算法来对数据进行加密。这篇文章主要是针对一种最常见的非对称加密算法——RSA算法进行讲解。其实也就是对私钥和公钥产生的一种方式进行描述。首先先来了解下这个算法的历史：

RSA是1977年由 罗纳德·李维斯特 （Ron Rivest）、 阿迪·萨莫尔 （Adi Shamir）和 伦纳德·阿德曼 （Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在 麻省理工学院 工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

但实际上，在1973年，在英国政府通讯总部工作的数学家 克利福德·柯克斯 （Clifford Cocks）在一个内部文件中提出了一个相同的算法，但他的发现被列入机密，一直到1997年才被发表。

所以谁是RSA算法的发明人呢？不好说，就好像贝尔并不是第一个发明电话的人但大家都记住的是贝尔一样，这个地方我们作为旁观者倒不用较真，重要的是这个算法的内容：

RSA算法用到的数学知识特别多，所以在中间介绍这个算法生成私钥和公钥的过程中会穿插一些数学知识。生成步骤如下：

随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=p*q;

什么是质数?我想可能会有一部分人已经忘记了，定义如下：

比如2，3，5，7这些都是质数，9就不是了，因为3*3=9了

r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1) 。

这里的数学概念就是什么是欧拉函数了，什么是欧拉函数呢？

欧拉函数 的定义：

互质 的定义：

例如： φ(8) = 4 ，因为 1,3,5,7 均和 8 互质。

推导欧拉函数:

（1）如果 n = 1 , φ(1) = 1 ；(小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)；

（2）如果 n 为质数， φ(n) = n - 1 ；因为质数和每一个比它小的数字都互质。比如5，比它小的正整数1,2,3,4都和他互质；

(3) 如果 n 是 a 的 k 次幂，则 φ(n) = φ(a^k) = a^k - a^(k-1) = (a-1)a^(k-1) ；

(4) 若 m , n 互质，则 φ(mn) = φ(m)φ(n)

证明： 设 A , B , C 是跟 m , n , mn 互质的数的集，据 中国剩余定理 (经常看数学典故的童鞋应该了解，剩余定理又叫韩信点兵，也叫孙子定理)， A * B 和 C 可建立双射一一对应)的关系。（或者也可以从初等代数角度给出 欧拉函数积性的简单证明 ） 因此的φ(n)值使用 算术基本定理 便知。（来自维基网络）

选择一个小于r并与r互质的整数e，求得e关于r的模反元素，命名为 d （ ed = 1(mod r) 模反元素存在，当且仅当e与r互质）， e 我们通常取65537。

模反元素：

比如 3 和 5 互质， 3 关于 5 的模反元素就可能是2，因为 3*2-1=5 可以被5整除。所以很明显模反元素不止一个，2加减5的整数倍都是3关于5的模反元素 {...-3, 2,7,12…} 放在公式里就是 3*2 = 1 (mod 5)

上面所提到的欧拉函数用处实际上在于欧拉定理：

欧拉定理：

欧拉定理就可以用来证明模反元素必然存在。

由模反元素的定义和欧拉定理我们知道， a 的 φ(n) 次方减去1，可以被n整除。比如，3和5互质，而 5 的欧拉函数 φ(5) 等于4，所以 3 的 4 次方 (81) 减去1，可以被 5 整除（ 80/5=16 ）。

小费马定理：

此时我们的 (N , e) 是公钥， (N, d) 为私钥，爱丽丝会把公钥 (N, e) 传给鲍勃，然后将 (N, d) 自己藏起来。一对公钥和私钥就产生了，然后具体的使用方法呢？请看： SSL协议之数据加密过程详解

我们知道像RSA这种非对称加密算法很安全，那么到底为啥子安全呢？
我们来看看上面这几个过程产生的几个数字：

N 和 e 我们都会公开使用，最为重要的就是私钥中的 d ， d 一旦泄露，加密也就失去了意义。那么得到d的过程是如何的呢？如下:

所以得出了在上篇博客说到的结论，非对称加密的原理：

将a和b相乘得出乘积c很容易，但要是想要通过乘积c推导出a和b极难。即对一个大数进行因式分解极难

目前公开破译的位数是768位，实际使用一般是1024位或是2048位，所以理论上特别的安全。

RSA算法的核心就是欧拉定理，根据它我们才能得到私钥，从而保证整个通信的安全。