元角换算法

A. 点集的Delaunay三角剖分方法

3.2.1.1 基本理论

B.Delaunay于1934年提出了Delaunay三角网格的概念，它是Voronoi图(简称V图)的几何对偶图，具有严格的数学定义和完备的理论基础。

图3.1 Voronoi图(虚线)及对应的Delaunay三角剖分(实线)

3.2.1.1.1 Voronoi图

假设V={v₁，v₂，…，v_N}，N≥3是欧几里得平面上的一个点集，并且这些点不共线，四点不共圆。用d(v_i，v_j)表示点v_i与v_j间的欧几里得距离。

设x为平面上的点，则:

区域V_(i)={x∈E²d(x，v_i)≤d(x，v_j)，j=1，2，…，N，j≠i}称为Voronoi多边形，也称为该点的邻域。点集中所有点的Voronoi多边形组成Voronoi图，如图3.1所示。

平面上的Voronoi图可以看做是点集V中的每个点作为生长核，以相同的速率向外扩张，直到彼此相遇为止而在平面上形成的图形。除最外层的点形成开放的区域外，其余每个点都形成一个凸多边形。

3.2.1.1.2 Delaunay三角剖分

Delaunay三角形网格为V图的几何对偶图。在二维平面中，点集中若无四点共圆，则该点集V图中每个顶点恰好是3个边的公共顶点，并且是3个Voronoi多边形的公共顶点;上述3个Voronoi多边形所对应的点集中的点连成的三角形称为与该Voronoi顶点对应的Delaunay三角形，如图3.1所示。如果一个二维点集中有四点共圆的情况，此时，这些点对应的Voronoi多边形共用一个Voronoi顶点，这个公共的Voronoi顶点对应多于3个Voronoi多边形，也就是对应于点集中多于3个的点;这些点可以连成多于一个的三角形。此时，可以任意将上述几个点形成的凸包划分为若干三角形，这些三角形也称为和这个Voronoi顶点对应的Delaunay三角形。

所有与Voronoi顶点对应的Delaunay三角形就构成了Delaunay三角剖分。当无退化情况(四点共圆)出现时，点集的Delaunay三角剖分是唯一的。

3.2.1.1.3 Delaunay三角剖分的特性

Delaunay三角剖分具有两个重要特性:

(1)最小角最大化特性:即要求三角形的最小内角尽量最大，具体地说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，6个内角的最小角不再增大，并且使三角形尽量接近等边。

(2)空外接圆特性:即三角形的外接圆中不包含其他三角形的顶点(任意四点不能共圆)，该特性保证了最邻近的点构成三角形，使三角形的边长之和尽量最小。

3.2.1.2 常用算法

Delaunay三角剖分方法是目前最流行的通用的全自动网格生成方法之一。比较有效的Delaunay三角剖分算法有分治算法、逐点插入法和三角网生长法等(Tsai，1993)，其中逐点插入法由于其算法的简洁性且易于实现，因而获得广泛的应用。其主要思路是先构建一个包含点集或区域的初始网格，再依次向初始网格中插入点，最后形成Delaunay三角剖分。

采用逐点插入法建立Delaunay三角网的算法思想最初是由Lawson于1977年提出的(Lawson，1977)，Bowyer和Watson等先后对该算法进行了发展和完善(Bowyer，1981;Watson，1981)。目前涌现出的大量逐点插入法中，主要为以Lawson算法代表的对角线交换算法和以Bowyer-Watson算法代表的空外接圆法。

3.2.1.2.1 Lawson算法

Lawson算法的主要思想是将要插入的数据点逐一插入到一个已存在的Delaunay三角网内，然后再用局部优化算法(Local Optimization Procere，LOP)优化使其满足Delau-nay三角网的要求，其主要步骤如下:

图3.7 Bowyer-Watson算法剖分实例