粒子群算法提前跳出

‘壹’ 粒子群算法的优缺点

优点：PSO同遗传算法类似，是一种基于迭代的优化算法。系统初始化为一组随机解，通过迭代搜寻最优值。同遗传算法比较，PSO的优势在于简单容易实现，并且没有许多参数需要调整。

缺点：在某些问题上性能并不是特别好。网络权重的编码而且遗传算子的选择有时比较麻烦。最近已经有一些利用PSO来代替反向传播算法来训练神经网络的论文。

(1)粒子群算法提前跳出扩展阅读：

注意事项：

基础粒子群算法步骤较为简单。粒子群优化算法是由一组粒子在搜索空间中运动，受其自身的最佳过去位置pbest和整个群或近邻的最佳过去位置gbest的影响。

对于有些改进算法，在速度更新公式最后一项会加入一个随机项，来平衡收敛速度与避免早熟。并且根据位置更新公式的特点，粒子群算法更适合求解连续优化问题。

‘贰’ 什么是粒子群算法

粒子群算法介绍（摘自http://blog.sina.com.cn/newtech）
优化问题是工业设计中经常遇到的问题,许多问题最后都可以归结为优化问题. 为了解决各种各样的优化问题,人们提出了许多优化算法,比较着名的有爬山法、遗传算法等.优化问题有两个主要问题:一是要求寻找全局最小点,二是要求有较高的收敛速度. 爬山法精度较高,但是易于陷入局部极小. 遗传算法属于进化算法( Evolutionary Algorithms) 的一种,它通过模仿自然界的选择与遗传的机理来寻找最优解. 遗传算法有三个基本算子:选择、交叉和变异. 但是遗传算法的编程实现比较复杂,首先需要对问题进行编码,找到最优解之后还需要对问题进行解码,另外三个算子的实现也有许多参数,如交叉率和变异率,并且这些参数的选择严重影响解的品质,而目前这些参数的选择大部分是依靠经验.1995 年Eberhart 博士和kennedy 博士提出了一种新的算法;粒子群优化(Partical Swarm Optimization -PSO) 算法 . 这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视,并且在解决实际问题中展示了其优越性.

粒子群优化(Partical Swarm Optimization - PSO) 算法是近年来发展起来的一种新的进化算法( Evolu2tionary Algorithm - EA) .PSO 算法属于进化算法的一种,和遗传算法相似,它也是从随机解出发,通过迭代寻找最优解,它也是通过适应度来评价解的品质. 但是它比遗传算法规则更为简单,它没有遗传算法的“交叉”(Crossover) 和“变异”(Mutation) 操作. 它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优 .

粒子群算法

1. 引言

粒子群优化算法(PSO)是一种进化计算技术(evolutionary computation)，有Eberhart博士和kennedy博士发明。源于对鸟群捕食的行为研究

PSO同遗传算法类似，是一种基于叠代的优化工具。系统初始化为一组随机解，通过叠代搜寻最优值。但是并没有遗传算法用的交叉(crossover)以及变异(mutation)。而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。详细的步骤以后的章节介绍

同遗传算法比较，PSO的优势在于简单容易实现并且没有许多参数需要调整。目前已广泛应用于函数优化，神经网络训练，模糊系统控制以及其他遗传算法的应用领域

2. 背景: 人工生命

"人工生命"是来研究具有某些生命基本特征的人工系统. 人工生命包括两方面的内容

1. 研究如何利用计算技术研究生物现象
2. 研究如何利用生物技术研究计算问题

我们现在关注的是第二部分的内容. 现在已经有很多源于生物现象的计算技巧. 例如, 人工神经网络是简化的大脑模型. 遗传算法是模拟基因进化过程的.

现在我们讨论另一种生物系统- 社会系统. 更确切的是, 在由简单个体组成的群落与环境以及个体之间的互动行为. 也可称做"群智能"(swarm intelligence). 这些模拟系统利用局部信息从而可能产生不可预测的群体行为

例如floys 和 boids, 他们都用来模拟鱼群和鸟群的运动规律, 主要用于计算机视觉和计算机辅助设计.

在计算智能(computational intelligence)领域有两种基于群智能的算法. 蚁群算法(ant colony optimization)和粒子群算法(particle swarm optimization). 前者是对蚂蚁群落食物采集过程的模拟. 已经成功运用在很多离散优化问题上.

粒子群优化算法(PSO) 也是起源对简单社会系统的模拟. 最初设想是模拟鸟群觅食的过程. 但后来发现PSO是一种很好的优化工具.

3. 算法介绍

如前所述，PSO模拟鸟群的捕食行为。设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物。在这个区域里只有一块食物。所有的鸟都不知道食物在那里。但是他们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么呢。最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。

PSO从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。我们称之为“粒子”。所有的例子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索

PSO 初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过叠代找到最优解。在每一次叠代中，粒子通过跟踪两个"极值"来更新自己。第一个就是粒子本身所找到的最优解。这个解叫做个体极值pBest. 另一个极值是整个种群目前找到的最优解。这个极值是全局极值gBest。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分最为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。

在找到这两个最优值时, 粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置

v[] = v[] + c1 * rand() * (pbest[] - present[]) + c2 * rand() * (gbest[] - present[]) (a)
present[] = persent[] + v[] (b)

v[] 是粒子的速度, persent[] 是当前粒子的位置. pbest[] and gbest[] 如前定义 rand () 是介于（0， 1）之间的随机数. c1, c2 是学习因子. 通常 c1 = c2 = 2.

程序的伪代码如下

For each particle
____Initialize particle
END

Do
____For each particle
________Calculate fitness value
________If the fitness value is better than the best fitness value (pBest) in history
____________set current value as the new pBest
____End

____Choose the particle with the best fitness value of all the particles as the gBest
____For each particle
________Calculate particle velocity according equation (a)
________Update particle position according equation (b)
____End
While maximum iterations or minimum error criteria is not attained

在每一维粒子的速度都会被限制在一个最大速度Vmax，如果某一维更新后的速度超过用户设定的Vmax，那么这一维的速度就被限定为Vmax

4. 遗传算法和 PSO 的比较

大多数演化计算技术都是用同样的过程
1. 种群随机初始化
2. 对种群内的每一个个体计算适应值(fitness value).适应值与最优解的距离直接有关
3. 种群根据适应值进行复制
4. 如果终止条件满足的话，就停止，否则转步骤2

从以上步骤，我们可以看到PSO和GA有很多共同之处。两者都随机初始化种群，而且都使用适应值来评价系统，而且都根据适应值来进行一定的随机搜索。两个系统都不是保证一定找到最优解

但是，PSO 没有遗传操作如交叉(crossover)和变异(mutation). 而是根据自己的速度来决定搜索。粒子还有一个重要的特点，就是有记忆。

与遗传算法比较, PSO 的信息共享机制是很不同的. 在遗传算法中，染色体(chromosomes) 互相共享信息，所以整个种群的移动是比较均匀的向最优区域移动. 在PSO中, 只有gBest (or lBest) 给出信息给其他的粒子，这是单向的信息流动. 整个搜索更新过程是跟随当前最优解的过程. 与遗传算法比较, 在大多数的情况下，所有的粒子可能更快的收敛于最优解

5. 人工神经网络 和 PSO

人工神经网络(ANN)是模拟大脑分析过程的简单数学模型，反向转播算法是最流行的神经网络训练算法。进来也有很多研究开始利用演化计算(evolutionary computation)技术来研究人工神经网络的各个方面。

演化计算可以用来研究神经网络的三个方面：网络连接权重，网络结构(网络拓扑结构，传递函数)，网络学习算法。

不过大多数这方面的工作都集中在网络连接权重，和网络拓扑结构上。在GA中，网络权重和/或拓扑结构一般编码为染色体(Chromosome)，适应函数(fitness function)的选择一般根据研究目的确定。例如在分类问题中，错误分类的比率可以用来作为适应值

演化计算的优势在于可以处理一些传统方法不能处理的例子例如不可导的节点传递函数或者没有梯度信息存在。但是缺点在于：在某些问题上性能并不是特别好。2. 网络权重的编码而且遗传算子的选择有时比较麻烦

最近已经有一些利用PSO来代替反向传播算法来训练神经网络的论文。研究表明PSO 是一种很有潜力的神经网络算法。PSO速度比较快而且可以得到比较好的结果。而且还没有遗传算法碰到的问题

这里用一个简单的例子说明PSO训练神经网络的过程。这个例子使用分类问题的基准函数(Benchmark function)IRIS数据集。(Iris 是一种鸢尾属植物) 在数据记录中，每组数据包含Iris花的四种属性：萼片长度，萼片宽度，花瓣长度，和花瓣宽度，三种不同的花各有50组数据. 这样总共有150组数据或模式。

我们用3层的神经网络来做分类。现在有四个输入和三个输出。所以神经网络的输入层有4个节点，输出层有3个节点我们也可以动态调节隐含层节点的数目，不过这里我们假定隐含层有6个节点。我们也可以训练神经网络中其他的参数。不过这里我们只是来确定网络权重。粒子就表示神经网络的一组权重，应该是4*6+6*3=42个参数。权重的范围设定为[-100，100] (这只是一个例子，在实际情况中可能需要试验调整).在完成编码以后，我们需要确定适应函数。对于分类问题，我们把所有的数据送入神经网络，网络的权重有粒子的参数决定。然后记录所有的错误分类的数目作为那个粒子的适应值。现在我们就利用PSO来训练神经网络来获得尽可能低的错误分类数目。PSO本身并没有很多的参数需要调整。所以在实验中只需要调整隐含层的节点数目和权重的范围以取得较好的分类效果。

6. PSO的参数设置

从上面的例子我们可以看到应用PSO解决优化问题的过程中有两个重要的步骤: 问题解的编码和适应度函数
PSO的一个优势就是采用实数编码, 不需要像遗传算法一样是二进制编码(或者采用针对实数的遗传操作.例如对于问题 f(x) = x1^2 + x2^2+x3^2 求解, 粒子可以直接编码为 (x1, x2, x3), 而适应度函数就是f(x). 接着我们就可以利用前面的过程去寻优.这个寻优过程是一个叠代过程, 中止条件一般为设置为达到最大循环数或者最小错误

PSO中并没有许多需要调节的参数,下面列出了这些参数以及经验设置

粒子数: 一般取 20 – 40. 其实对于大部分的问题10个粒子已经足够可以取得好的结果, 不过对于比较难的问题或者特定类别的问题, 粒子数可以取到100 或 200

粒子的长度: 这是由优化问题决定, 就是问题解的长度

粒子的范围: 由优化问题决定,每一维可是设定不同的范围

Vmax: 最大速度,决定粒子在一个循环中最大的移动距离,通常设定为粒子的范围宽度,例如上面的例子里,粒子 (x1, x2, x3) x1 属于 [-10, 10], 那么 Vmax 的大小就是 20

学习因子: c1 和 c2 通常等于 2. 不过在文献中也有其他的取值. 但是一般 c1 等于 c2 并且范围在0和4之间

中止条件: 最大循环数以及最小错误要求. 例如, 在上面的神经网络训练例子中, 最小错误可以设定为1个错误分类, 最大循环设定为2000, 这个中止条件由具体的问题确定.

全局PSO和局部PSO: 我们介绍了两种版本的粒子群优化算法: 全局版和局部版. 前者速度快不过有时会陷入局部最优. 后者收敛速度慢一点不过很难陷入局部最优. 在实际应用中, 可以先用全局PSO找到大致的结果,再有局部PSO进行搜索.

另外的一个参数是惯性权重, 由Shi 和Eberhart提出, 有兴趣的可以参考他们1998年的论文(题目: A modified particle swarm optimizer)

‘叁’ 我利用粒子群算法工具箱求解最优值时陷入了局部最优该如何解决

粒子群陷入局部最优在所难免，建议可以采取加大权重因子的方法，或者一些改进的粒子群算法会提出对收敛的种群进行干扰，从而产生新的种群，另外可以采用量子粒子群算法，在局部最优问题上解决的还算可以

‘肆’ 分析标准粒子群算法的不足及改进的方法

一个以上的目标，以优化
相对传统的多目标优化方法在解决多目标问题，PSO具有很大的优势。首先，PSO算法和高效的搜索功能，有利于在这个意义上，多目标的最优解;其次，PSO代表了整个解决方案的人口集固有的并行性，同时搜索多个非劣解，所以容易搜索多个Pareto最佳的解决方案;此外，PSO通用的适合处理所有类型的目标函数和约束条件，PSO容易与传统相结合的方法，和然后提出了有效的方法来解决一个具体的问题。 PSO本身，为了更好地解决多目标优化问题，必须解决的问题的全局最优粒子和个人选择的最优粒子。为全局最优粒子的选择，一方面，该算法具有更好的收敛速度，另一方面帕累托边界分散体的溶液中。如果在最佳的单个颗粒的选择，需要较少的计算复杂性，并且是仅由较少数量的比较非
劣解更新。迄今为止，基于PSO的多目标优化，主要有以下
思路：
（1）向量法和加权方法。文献[20]的固定权重法，自适应权重法和向量评估方法的第一次，PSO解决MO问题。然而，对于一个给定的优化问题，权重的方法通常是很难获得一组合适的权重向量评价方法MO的问题是，往往无法得到满意的解决方案。
（2）基于Pareto方法。 [21]帕累托排序机制和PSO相结合，处理的问题，多目标优化，Pareto排序方法来选择一组的精英，和轮盘赌选择全局最优粒子。虽然轮盘赌选择机制，使所有的帕累托个人选择的概率是一样的，但实际上只有少数人的选择的概率就越大，因此不利于保持种群多样性;文献[22]通过引入在PSO帕累托竞争机制，选择全局最优粒子的颗粒知识基础。候选个人随机选自人口比较集进行比较，以确定非劣解，该算法的成功取决于比较集的大小的参数设置。如果这个参数是太小了，选择的过程，从人口的非劣效性个人可能是太小了，如果这个参数是太大，它可能会出现过早收敛。
（3）距离的方法。 [23]，被分配的各个的当前的解决方案之间的距离的基础上Pa2reto的解决方案，其适应值，以便选择全局最优粒子。随着距离的方法需要被初始化潜在的解决方案，如果初始电位值太大，不同的解决方案，以适应不同的值并不显着。这将导致在选择压力太小或个别均匀分布，导致在PSO算法收敛速度非常慢。
（4）附近的“。文献[24]提出了动态邻域的选择策略，为优化目标的定义，目标，和其他所有的目标定义的目标附近，然后选择全局最优粒子的动态邻域的策略，但该方法更敏感的目标函数的优化目标选择和附近的排序。
（5）多组法。文献[25]的人口划分成多个子群，以及每个子群PSO算法，通过搜索Pareto最优解的各种子群之间的信息交流。然而，由于需要增加的粒子的数量增加的计算量。
（6）非排名的方法。 [26]使用非主导的排序选择全局最优的粒子。整个人口，粒子的个人最好成绩粒子和它的后代，有利于提供一个适当的选择压力，小生境技术，以增加种群多样性。比较所有粒子的个人最好成绩颗粒在整个人群遗传给后代，但是，由于其本身的性质是不利于人口的多样性，容易形成早熟。此外，文献[27]最大最小策略，博弈论引入PSO解决多MO。最大最小策略，以确定粒子的适应值，可以判断帕累托最优的解决方案，而不需要集群和小生境技术。
2约束优化
在最近几年也取得了一些进展，PSO算法在约束最优化。基于PSO-的约束优化工作分为两种类型：①罚函数法;②设计特定的进化操作或约束修正系数。 [28]采用罚函数法，采用非固定多段映射罚函数将约束的优化问题，然后利用PSO解决问题的转换后，模拟结果表明，该算法相对进化策略和遗传算法的优势，但罚函数的设计过于复杂，不利于解决;文献[29]，一个可行的解决方案，保留策略处理约束，即，一方面要更新所有的颗粒的存储区域中到只保留可行的解决方案，在另一方面在初始化阶段的所有的颗粒从一个可行的解决方案的空间值？初始的可行的解决方案空间，然而，是难以确定的很多问题，文献[30 ]提出的多层信息共享策略粒子群与约束原则来处理，根据约束矩阵多层Pareto排序机制的微粒，从而一些微粒，以确定个人的搜索方向的其余。
3离散优化为离散优化解决方案空间是离散点的集合，而不是连续PSO解决离散优化问题，必须予以纠??正的速度和位置更新公式，或变形。基于PSO的离散优化可分为以下三类：
速度（1）的位置变化的概率。 [31]首先提出了离散二进制PSO。二进制粒子的位置编码器，Sigmoid函数，速度约束在[0，1]，代表粒子的概率立场;法[32] [31]在文献
提高的地址更换安排。安排更换颗粒，速度是指根据两个粒子的相似性，以确定粒子的位置变化也引入突变操作，以防止陷入局部极小的最优粒子的概率。
（2）重新定义的PSO的操作。 [33]通过重新定义粒子的位置，速度，和他们的加法和减法乘法运算，提出了一种新的离散粒子群，并为解决旅行商问题。虽然该算法是有效的，但它提供了一种新的思维方式求解组合优化问题。
（3）连续PSO离散的情况下。 [34]采用连续PSO，解决分布式计算机任务的分配问题。于实数被转换为一个正整数，和符号的实数部分和小数部分的
分除去。结果表明，在溶液中的质量和速度的方法的算法是优于遗传算法。
4动态优化
在许多实际工程问题，优化环境是不确定的，或动态。因此，优化算法必须有能力与环境的动态变化做出相应的调整，以最佳的解决方案，该算法具有一定的鲁棒性。 [35]首次提出了PSO跟踪动态系统[36]提出了自适应PSO自动跟踪动态系统的变化，种群粒子检测方法和粒子重新初始化PSO系统变化的跟踪能力增强;文献[37]迅速变化的动态环境中，在粒子速度更新公式的变化条目的增加，消除了需要在环境中的变化来检测，可以跟踪环境处理。虽然该研究少得多，但不容质疑的，是一个重要的研究内容。

粒子群算法的MATLAB程序

初始化粒子群;

对于每个粒子
计算他们的身体健康;
如果（健身优于粒子的历史最好值）
历史最好的个人裨锡更新;

如果选择当前粒子群粒子;（当前的最优粒子比历史最好粒子组）
与目前最好的粒子更新PG组;对于每个粒子

更新粒子类型①速度;
更新的位置粒子类型②;
完
虽然还没有达到最大迭代次数，或不符合的最小误差。

‘伍’ 关于粒子群算法的目标函数优化，优化函数如下图

function main()
clc;clear all;close all;
tic; %程序运行计时
E0=0.001; %允许误差
MaxNum=100; %粒子最大迭代次数
narvs=1; %目标函数的自变量个数
particlesize=30; %粒子群规模
c1=2; %每个粒子的个体学习因子，也称为加速常数
c2=2; %每个粒子的社会学习因子，也称为加速常数
w=0.6; %惯性因子
vmax=0.8; %粒子的最大飞翔速度
x=-5+10*rand(particlesize,narvs); %粒子所在的位置
v=2*rand(particlesize,narvs); %粒子的飞翔速度
%用inline定义适应度函数以便将子函数文件与主程序文件放在一起，
%目标函数是：y=1+(2.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2))
%inline命令定义适应度函数如下：
fitness=inline('1/(1+(2.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2)))','x');
%inline定义的适应度函数会使程序运行速度大大降低
for i=1:particlesize
for j=1:narvs
f(i)=fitness(x(i,j));
end
end
personalbest_x=x;

‘陆’ 关于粒子群算法的问题

粒子群的版本甚多，常用的是加有惯性权重w的
v[] = w * v[] + c1 * rand() * (pbest[] - present[]) + c2 * rand() * (gbest[] - present[])
一般选择惯性权重在迭代过程中线性下降，目的是在迭代的初期，以比较大的权重分配给粒子的原速度，而防止粒子过早的倾向于其本身的局部最优与全局最优，此时的全局搜索能力是可以的。但粒子群是基于牛顿力学的，随着w的减小，速度v的作用会在更新中弱化，对应的是，pbest和gbest的作用得到了加强，这也就意味着，粒子会更加趋向于pbest和gbest的方向移动。这个时候粒子就特别容易陷入局部最优了。

其实陷入局部最优不只是粒子群的问题，进化类的算法都存在这个问题，只不过有些算法随机性强一些，收敛速度慢一些，所以更加容易跳出局部最优（但不是绝对避免）

‘柒’ 粒子群算法

传统的多目标优化方法是将多目标问题通过加权求和转化为单目标问题来处理的，而粒子算法主要是解决一些多目标优化问题的（例如机械零件的多目标设计优化），其优点是容易实现，精度高，收敛速度快，你可以参照http://ke..com/view/1531379.htm，对它产生的背景，原理，数学描述和流程都写的很清楚，当然最主要的还是结合你的优化对象编写程序。

‘捌’ 粒子群算法的介绍

粒子群算法，也称粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization），缩写为 PSO， 是近年来由J. Kennedy和R. C. Eberhart等1开发的一种新的进化算法(Evolutionary Algorithm - EA)。PSO 算法属于进化算法的一种，和模拟退火算法相似，它也是从随机解出发，通过迭代寻找最优解，它也是通过适应度来评价解的品质，但它比遗传算法规则更为简单，它没有遗传算法的“交叉”(Crossover) 和“变异”(Mutation) 操作，它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，并且在解决实际问题中展示了其优越性。粒子群算法是一种并行算法。

‘玖’ 一种更简化而高效的粒子群优化算法 怎么样

针对基本粒子群优化(basic particle swarm optimization,简称bPSO)算法容易陷入局部极值、进化后期的收敛速度慢和精度低等缺点,采用简化粒子群优化方程和添加极值扰动算子两种策 略加以改进,提出了简化粒子群优化(simple particle swarm optimization,简称sPSO)算法、带极值扰动粒子群优化(extremum disturbed particle swarm optimization,简称tPSO)算法和基于二者的带极值扰动的简化粒子群优化(extremum disturbed and simple particle swarm optimization,简称tsPSO)算法.sPSO去掉了PSO进化方程的粒子速度项而使原来的二阶微分方程简化为一阶微分方程,仅由粒子位置控 制进化过程,避免了由粒子速度项引起的粒子发散而导致后期收敛变慢和精度低问题.tPSO增加极值扰动算子可以加快粒子跳出局部极值点而继续优化.对几个 经典测试函数进行实验的结果表明,sPSO能够极大地提高收敛速度和精度;tPSO能够有效摆脱局部极值点;以上两种策略相结合,tsPSO以更小的种群 数和进化世代数获得了非常好的优化效果,从而使得PSO算法更加实
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‘拾’ 粒子群优化的算法原理

PSO算法是基于群体的，根据对环境的适应度将群体中的个体移动到好的区域。然而它不对个体使用演化算子，而是将每个个体看作是D维搜索空间中的一个没有体积的微粒（点），在搜索空间中以一定的速度飞行，这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整。第i个微粒表示为Xi = (xi1, xi2, …, xiD)，它经历过的最好位置（有最好的适应值）记为Pi = (pi1, pi2, …, piD)，也称为pbest。在群体所有微粒经历过的最好位置的索引号用符号g表示，即Pg，也称为gbest。微粒i的速度用Vi = (vi1, vi2, …, viD)表示。对每一代，它的第d维(1 ≤ d ≤ D)根据如下方程进行变化：
vid = w∙vid+c1∙rand()∙(pid-xid)+c2∙Rand()∙(pgd-xid) (1a)
xid = xid+vid
其中w为惯性权重(inertia weight)，c1和c2为加速常数(acceleration constants)，rand()和Rand()为两个在[0,1]范围里变化的随机值。
此外，微粒的速度Vi被一个最大速度Vmax所限制。如果当前对微粒的加速导致它的在某维的速度vid超过该维的最大速度vmax,d，则该维的速度被限制为该维最大速度vmax,d。
对公式(1a)，第一部分为微粒先前行为的惯性，第二部分为“认知(cognition)”部分，表示微粒本身的思考；第三部分为“社会(social)”部分，表示微粒间的信息共享与相互合作。
“认知”部分可以由Thorndike的效应法则(law of effect)所解释，即一个得到加强的随机行为在将来更有可能出现。这里的行为即“认知”，并假设获得正确的知识是得到加强的，这样的一个模型假定微粒被激励着去减小误差。
“社会”部分可以由Banra的替代强化(vicarious reinforcement)所解释。根据该理论的预期，当观察者观察到一个模型在加强某一行为时，将增加它实行该行为的几率。即微粒本身的认知将被其它微粒所模仿。
PSO算法使用如下心理学假设：在寻求一致的认知过程中，个体往往记住自身的信念，并同时考虑同事们的信念。当其察觉同事的信念较好的时候，将进行适应性地调整。 a). 初始化一群微粒（群体规模为m），包括随机的位置和速度；
b). 评价每个微粒的适应度；
c). 对每个微粒，将它的适应值和它经历过的最好位置pbest的作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置pbest；
d). 对每个微粒，将它的适应值和全局所经历最好位置gbest的作比较，如果较好，则重新设置gbest的索引号；
e). 根据方程(1)变化微粒的速度和位置；
f). 如未达到结束条件（通常为足够好的适应值或达到一个预设最大代数Gmax），回到b)。