矢量运算法教学

1. 矢量与矢量运算

为了表达思维，人类创造发明了语言、文字、图形图像、音乐等。

人们用语言表达概念，用不同的词语描述不同的景物，使丰富多彩的自然规律能够被彼此相互清晰而方便地理解和思考。为了使复杂系统中各种参照系内物体随时间变化产生的空间位置关系的改变，能够准确而简洁地被表述，一些新词和法则不断地被人们创造出来。矢量和矢量运算即是这种性质的产物之一。

1.矢量

当人们发现自然界中大量存在一种大小和方向同时随时间或位置变化的量时，矢量一词诞生了。矢量所描述的是既有方向又有大小的量。矢量又称向量。

尽管矢量是既有大小和方向的量，但并不是自然界中所有的既有大小和方向的量都是矢量。

有大小而无方向的量，人们称为标量，矢量的数值就是标量。

虽然一个矢量可以指的是由某一特定点所确定的量，但矢量却是无需限定位置的。即使两个矢量所量度的是在不同时间和不同空间位置的物理量，它们仍然是可以比较的。

位移是矢量，速度是矢量，角速度是矢量，作用力也是矢量。

判断一个量是否是矢量的两个条件：它必须满足矢量相加的平行四边形法则；它必须具有与坐标系的选择无关的一个数值和一个方向。

2.矢量运算

矢量运算分矢量加法和矢量乘积、矢量微商。这里只将本书中将要用到的部分作简单介绍。

2.1矢量加法

矢量的加法符合平行四边形法则。即将一矢量a平移到尾端与另一矢量a的首端重合。然后从a矢量的尾端到b矢量的首端画一矢量，所得矢量即为矢量a与b的和a+b。

矢量加法遵从交换律，即：a+b=b+a。

矢量加法遵从结合律，即：a+（b+c）＝（a+b）＋c。

标量乘矢量遵从分配律，即：k（a+b）=ka+kb。

2.2矢量乘积

物理学中矢量的乘法分为两种，一种叫“点乘”，其乘积是标量，故又称“标积”；一种叫“叉乘”，其乘积在很多场合下是矢量，故又称“矢积”。

a和b的标积被称为一个数，是a的数值乘以b的数值，再乘以两者夹角的余弦。用符号表示为：

a·b=abcos（a,b）

在标积的定义中不涉及坐标系。

标积满足交换律，即：a·b=b·a。

一个数被一个矢量除是一种毫无意义的、不确定的运算，所以，标积乘法没有逆运算。即：如果a·x=b，则x没有惟一的解。

矢量的标积在很多方面得到应用，如：余弦定律、平面的方程、电磁波中的电矢量和磁矢量、功率、单位时间内扫过的体积等。本书中应用了矢量标积的余弦定律。

两个矢量的叉乘在物理学中也有广泛的应用，矢积a×b在某种限定意义下是矢量，这个矢量的方向垂直于a和b的平面，而数值为ab|sin（a,b）。

判断矢积方向的方法被约定为右手螺旋法则，即：以展开的右手四指的指尖指向作为前一矢量的方向，顺着两矢量的最小夹角方向，将四指指尖转向后一矢量，卷曲四指，那么，大拇指的指向为两矢量矢积的方向。

交换两矢量的位置，其矢积结果大小相等，方向相反，即：a×b=-b×a。

矢积不满足交换律。

矢积遵从分配律，即：a×（b+c）=a×b+a×c。

矢积的应用表现在：平行四边形面积、平行六面体的体积、正弦定律、力矩、磁场中带电粒子所受的力等计算上。

2.3矢量微商

如果矢量r能被看成是标量t这一变量的函数（矢量函数），则在不同的时刻t₁、t₂，矢量r（t₂）、r（t₁）之差△r也是一个矢量，

△r=r（t₂）-r（t₁）

对于△r与两时刻的时间差△t=t₂-t₁之比值

，可以看成是数值为△r数值的

的共线矢量。

当△t→0时，

趋近于矢量

，

地球动力与运动

矢量

称为矢量r的时间微商，即人们常称的速度矢量，它是质点位置随时间的变化率。

根据微商的定义和级数展开方法等数学变换，可得，当△t→0时

地球动力与运动

式中，

表示单位矢量方向的变化率。该式是取标量a（t）和矢量b（t）的乘积的微商所依从的普遍法则

地球动力与运动

的一个实例，说明速度的变化表现在两方面，一是方向的改变，一是大小的改变。

在本书中我们要用到速度的表达式转换，所以在此将另一种形式的速度表达式一并介绍，其中利用的是径向单位矢量f和垂直于它的称为

的单位矢量。

随着△t→0时，从而△θ也相应地趋于零，△f的数值

｜△f|=|f｜△θ＝△θ（|f|=1）

于是，矢量△f和比值

各自变为

地球动力与运动

取△t→0的极限，得矢量f的时间微商

地球动力与运动

于是，速度的表达式可以表示成

地球动力与运动

在圆周运动或轨道近于圆的运动中，上式等号右端的第一项等于或近似等于零。

在本书中，我们采用的表示方式为

地球动力与运动

2. 矢量的计算方法

矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。A-B=A+（-B）。矢量的乘法。

矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。M=r×F，F=qv×B。

3. 物理上的矢量有哪些,它们的运算规则是怎样的.

物理矢量有：位移，速度，加速度，力，动量，冲量，电场强度，磁感应强度（初中——高中）

矢量运算时既要考虑大小，又要考虑方向。（例如，一个力10N向左拉物体，另一个力10N向右拉物体，那么这个物体合外力等于0，相当于“不受力”）。如果某个东西有两个矢量作用，那么为了方便运算需要运用平行四边形定理找到这两个矢量的合矢量，从而做到把两个矢量等效成一个矢量。如果某个东西受到三个以上矢量作用，适用于正交分解法来把各个矢量分为竖直和水平分矢量（不是绝对的竖直和水平，两个方向垂直即可）。

（平行四边形定理就是，把两个矢量的起点A移在一起，两个矢量箭头的长度作为平行四边形ABCD的两条邻边，那么这个平行四边形对角线的长度就是合矢量的大小，这个合矢量的方向由A指向C）

4. 求助：矢量运算法则全部

：
定义1 设 、 ，以 与 为边作一平行四边形 ，取对角线矢量 ，记 ，如图1-3，称 为 与 之和，并记作

这种用平行四边形的对角线矢量来规定两个矢量之和的方法称作矢量加法的平行四边形法则.
如果矢量 与矢量 在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个矢量：
若 与 的指向相同时，和向量的方向与原来两矢量相同，其模等于两矢量的模之和（图1-4）.

若 与 的指向相反时，和矢量的模等于两矢量的模之差，其方向与模值大的矢量方向一致（图1-5）.

由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两矢量的和矢量：
定义2 作 ，以 的终点为起点作 ，联接 （图1-6）得
. （1.2-1）
该方法称作矢量加法的三角形法则.

矢量加法的三角形法则的实质是：
将两矢量的首尾相联，则一矢量的首与另一矢量的尾的连线就是两矢量的和矢量.
据矢量的加法的定义，可以证明矢量加法具有下列运算规律：
定理 矢量的加法满足下面的运算律：
1、交换律 , （1.2-2）
2、结合律 . （1.2-3）
证 交换律的证明从矢量的加法定义即可得证，结合律的证明从图1-7可得证.

二 矢量的减法

定义3 若 ，则我们把 叫做 与 的差，记为
显然， ,
特别地， .
由三角形法则可看出：要从 减去 ，只要把与 长度相同而方向相反的矢量 加到矢量 上去.由平行四边形法则，可如下作出矢量 （图1-8）.

例1 设互不共线的三矢量 、 与 ，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零矢量.
证 必要性 设三矢量 、 、 可以构成三角形 （图1-9），
即有
，
那么，
即 .

充分性 设 ，作 那么 ，所以 ，从而 ，所以 、 、 可以构成三角形 .
例2 用矢量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证 设四边形 的对角线 、
交于 点且互相平分（图1-10）
因此从图可看出：
，
所以， ‖ ，且 ，
即四边形 为平行四边形.

5. 矢量如何计算

矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。A-B=A+(-B)。矢量的乘法。矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积

6. 矢量运算的法则是什么

（1）定义或解释：有些物理量，既要由数值大小(包括有关的单位)，又要由方向才能完全确定。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。这样的量叫做物理矢量。有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。这样的量叫做物理标量。

（2）说明：①矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。A-B=A+(-B)。矢量的乘法。矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。M=r×F，F=qv×B。②物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是学习物理学的有用工具。

7. 矢量相乘法则

矢量相乘有两种形式：

1、数量积

数量积也叫点积，它是向量与向量的乘积，其结果为一个标量（非向量）。几何上，数量积可以定义如下：

设a、b为两个任意向量，它们的夹角为θ，则他们的数量积为a·b=|a|·|b|sinθ，即a向量在b向量方向上的投影长度（同方向为正反方向为负号），与b向量长度的乘积。

2、向量积：

向量积也叫叉积，外积，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。

设有向量

(7)矢量运算法教学扩展阅读：

矢量运算，矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。

矢量（也称向量）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量。

向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量，即只有大小、绝大多数情况下没有方向（电流是特例）、不满足平行四边形法则的量。

向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量。

向量之间可以如数字一样进行运算。常见的向量运算有：加法，减法，数乘向量以及向量之间的乘法（数量积和向量积）。

参考资料：网络-矢量运算

8. 进行矢量运算遵循什么规律常用的方法是什么

答案： 解析： 平行四边形定则；正交分解法．

9. 关于物理中的矢量相加法则

对矢量和标量的学习是高中物理学习的重要标志，也是学生从初中物理向高中物理跨越的一大障碍。如何组织好有关矢量方面的教学是高一物理教学中一个重要课题。矢量对高一学生来讲是个全新的概念，对于矢量及矢量的运算没有任何感性认识，也没有任何生活经验可借鉴。正是基于这点，新教材编者对矢量教学的编排富有层次，因此教师要领会编者的编排思想，对矢量教学要有一个统筹的安排，使学生有一个逐步加深、步步提高的过程。下面对新教材各部分的矢量教学的要求作一些探索，对高一物理矢量教学提一些建议。一、初识矢量，感知矢量运算在第一章《运动的描述》第二节《时间和位移》中，高一学生第一次接触矢量——位移。课本中给出其定义：在物理学中用一个叫做位移的物理量表示物体（质点）的位置变化。我们从初位置到末位置作一条有向线段，用这条有向线段表示位移。课本中通过北京到重庆的交通图，让学生结合生活实际理解位移的概念，然后介绍了矢量和标量的特征：在物理学中，象位移这样的物理量叫矢量，它既有大小又有方向，而温度、质量这些物理量叫标量，它们只有大小，没有方向。并且说明矢量相加和标量相加遵从不同的法则。课本中并没有给矢量下严格的定义，在教学中只要求学生初步认识矢量，而不能力图一次认识到位。关于矢量运算要求学生知道矢、标量运算的法则不同。矢量运算的基本法则是平行四边形定则，而实际解题中大多数采用正交分解法，把矢量运算变换为代数运算。因此掌握一维坐标中的矢量运算是矢量教学的关键。为使后面的矢量运算教学能顺利进行，教师可以第二节教学中做两点准备：（1）进行直线运动的位置和位移教学中，可以安排同一直线上进行矢量运算的练习。但是不明确告诉学生这就是进行矢量运算。这为后面进行一维坐标中的矢量运算，以及正方向选择后矢量取正、负值的物理意义的认识做前期准备。（2）利用教材中\\“思考与讨论”的内容，从实例入手让学生观察先后两个位移与合位移的关系，初步接触矢量并渗透矢量相加的三角形定则的方法，让学生感知矢量运算，但不要求学生掌握矢量合成的法则，为后面正式学习矢量运算做铺垫。在这里的矢量教学要求不能过高，关于矢量概念学生需要时间逐渐理解，但有一点必须明确告诉学生，今后学物理要养成习惯，了解所学的物理量是否具有方向性。具有方向性的物理量称为矢量，不具有方向性的物理量称为标量。二、进一步认识矢量，初步涉及一维坐标中矢量的运算问题在第一章《运动的描述》第三节《运动快慢的描述——速度》，学习另外一个矢量——速度，学生进一步认识矢量。新教材明确指出：速度也是矢量，既有大小，又有方向。如何让学生领会其矢量性？在教学中，可以引导学生比较初、高中学生对速度的定义，由于\\“位移”和\\“路程”不相同，高中与初中所学的进度也不相同，强调这一点，有利于学生对矢量的认识。另外在教学中我们经常强调速度的物理意义是运动快慢的描述。如果改为运动的快慢和方向的描述，则更能体现速度这个物理量的矢量性。这一节进行速度方向和位移方向关系的教学中，初步涉及同一直线矢量的运算问题，要让学生一开始处理矢量问题时，就认识到正、负值与方向关系的重要性，这又是为后面的学习做准备工作。三、深化认识矢量，加深学生对一维坐标系下矢量运算的认识。第一章第五节学习又一个重要的物理量——加速度，学生深化认识矢量。加速度是采用速度的变化量与发生这一变化所用的时间的比值来定义的。要理解加速度的方向性，必须先理解速度变化量的方向性。因为两者的方向是一致的。这一节里教材充分利用有向线段表示矢量的运算，让学生直观、形象地认识其运算规律。求速度变化量实际上是进行矢量减法。这可加深学生对一维坐标系下矢量运算的认识。用正、负号表示矢量方向，将同一直线上的矢量加减法变为标量的代数加减法，这对高一学生来说很新鲜，也很困难，教学要注意帮助学生在掌握方法的过程中树立自信心，磨炼学生征服困难的意志品质。教学中可列举生活、生产中常见的事例，通过数学讨论，直观作图等途径给予分析说明。同时在此基础上总结出\\“同一直线上的矢量运算”的法则。具体内容如下：（1）先任意假设一正方向，规定凡与此方向同向的矢量取正量，与此方向相反的矢量取负量。（2）把矢量运算转换为代数式加减问题，即将矢量式转为代数式。（3）若运算结果为正，说明矢量的方向与假设方向相同，若运算结果为负，说明矢量的方向与假设正方向相反。在第二章《匀变速直线运动的研究》中，运动学公式用矢量表述简洁、准确，求解具体问题时，我们都是选取适当的坐标系将矢量方程转化为标量方程求解。学生很容易出错，这是教学中的难点。教学中可这样处理：把矢量方程变为标量方程，先建立适当的坐标系，根据矢量方程中各矢量与坐标轴之间的关系确定它们的正负值，对于矢量方程中未知矢量可假设它的方向为正值，运算出来结果为正值，则假设方向正确，若结果为负值，则与假设方向相反。四、进一步完善对矢量和矢量运算法则的认识。新教材将运动部分内容调整为第一章和第二章，是为降低学生学习高中物理的台阶，目的之一是有利于矢量教学的循序渐进。直线运动相对而言更直观、更生活化，而力的作用更抽象，所涉及的矢量运算更复杂。关于矢量概念及矢量的运算教学教材充分体现了循序渐进的规律。通过前两章学习学生对矢量概念及矢量运算有一个初步认识。在此基础上，第三章《相互作用》第四节在《力的合成》一节中正式学习矢量运算法则——平行四边形。这个定则是矢量运算的工具。与传统教材不同，新教材将验证实验改为探究实验。这是很有道理的。学生对矢量运算是陌生的，让学生在探究过程中获得切身体验，强调学生对知识的自主学习和自我构建，有利于学生更深刻的理解矢量的合成法则。这一节的学习为矢量的完整定义打下基础。在第五节《力的分解》中，进行矢量相加的法则三角形定则教学之后，课本最终水到渠成引入矢量和标量的概念，强调矢量有方向并遵从平行四边形定则这两点。到此新教材中的矢量教学才完成，学生对矢量的学习，经过这几个台阶，又经过一段时间的磨合，学生对矢量就会有一个完整的认识。总的来说，高一物理的矢量教学很关键，这方面教学工作开展得好，将为学生以后的物理学习打下良好基础，所以教学中教师一定要统筹安排，循序渐进。

10. 矢量运算的法则是什么怎么运算

一般用平行四边行法则，以已知的两矢量为临边（将两矢量平移到一起首于首相交）做平行四边行，对角线为这两矢量和