确定算法的基本操作次数

A. 时间复杂度(计算方法,如果计算,及其解释)

时间复杂度1. 算法复杂度分为 时间复杂度和空间复杂度。
作用： 时间复杂度是度量算法执行的时间长短；而空间复杂度是度量算法所需存储空间的大小。
2. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））
分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
3. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，在找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））
例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的平方 次
for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的三次方 次
}
}
则有 T（n）= n的平方+n的三次方，根据上面空号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级
则有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n的三次方）

B. 关于算法时间复杂度分析的疑问

谁跟你说的分析时间复杂度是用比较次数来衡量的？
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n)，因此，算法的时间复杂度记做：T(n)=O(f(n))
分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f(n)的增长率成正比，所以f(n)越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T(n)的同数量级(它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！)，找出后，f(n)=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n)=O(f(n))

一般情况时间复杂度是以你算法中最复杂的那个循环来看的，
比如有个
for(i = 0;i < n;i ++)
{
for(j = 0;j < n;j ++)
{
...

}
}
后面不管他有多少个单独的
for(i = 0;i < n;i ++)
{
...

}
他的时间复杂度都是O(n2)
不会是O(n2) + O(n) + O(n) + O(2n)...这样的

C. 如何计算时间复杂度

如何计算时间复杂度

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

“大 O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;

以 上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交换i和j的内容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
sum++； （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解： 语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).

O(n)

2.3.
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b;③
b=a;④
a=s;⑤
}
解： 语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

O(log2n )

2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )

O(n^3)

2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解： 当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).

我 们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。
下面是一些常用的记法：

访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法 如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。
指数时间算法通常来源于需要 求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如着名 的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

D. 一个算法的基本操作执行次数为(3n2+2nlog2n+4n-7)/(5n)，则其时间复杂度表示为

算法的时间复杂度是看基本操作的次数，但是基本操作在具体的程序分析时可能不一样，有的在意元素之间比较的次数，有的在意元素插入或移位的次数，答案为O（n^1/2）可能是因为指定了某种特定的操作作为基本操作。
但是如果给定的基本操作次数为(3n2+2nlog2n+4n-7)/(5n)，则时间复杂度应该为O（n）
个人理解，如有不对，请批评指正

E. 一个算法的运行时所消耗的时间是如何测出来的

在忽略机器性能的基础上我们用算法时间复杂度来计算算法执行的时间
1.时间频度
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
2.计算方法
1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n）） 分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。 2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n）） 例：算法： for（i=1;i<=n;++i） { for(j=1;j<=n;++j) { c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的平方 次 for(k=1;k<=n;++k) c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的三次方 次 } } 则有 T（n）= n的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级 则有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c 则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n的三次方）
3.分类
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有： 常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk), 指数阶O(2n) 。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

F. 数据结构中评价算法的两个重要指标是什么

数据结构中评价算法的两个重要指标是时间复杂度和空间复杂度。

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

1、时间复杂度：

算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。一般来说，计算机算法是问题规模n 的函数f(n)，算法的时间复杂度也因此记做。

2、空间复杂度：

算法的空间复杂度是指算法需要消耗的内存空间。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。

(6)确定算法的基本操作次数扩展阅读：

评估算法效率的方法：

1、事后统计方法

这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

2、事前分析估算方法

在计算机程序编写前，依据统计方法对算法进行估算。经过总结，可以发现一个高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：算法采用的策略、编译产生的代码质量、问题的输入规模、机器执行指令的速度。

参考资料来源：网络-算法

G. 时间复杂度怎么计算

1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））
分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））
例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的平方 次
for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的三次方 次
}
}
则有 T（n）= n的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级
则有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n的三次方）

H. 数据结构：数据结构在讲算法效率的度量中提到基本操作和原操作，想问一下什么叫做基本操作什么叫做原操

度量算法的效率：时间复杂度、空间复杂度。
时间复杂度，一般情况，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的一个函数f(n)，算法的时间度量记做T(n)=O(f(n))，他表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称做算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度。
插入一个概念：语句的频度指的是该语句重复执行是次数。
我们在计算时间复杂度的时候，
先要找出算法的基本操作，并根据基本操作语句计算出其执行次数。
再找出其同数量级。。。T(n)=O(f(n)=数量级)。
例如：
[cpp] view plain
for(i=1; i<=n; ++i)
{
for(j=1; j<=n; ++j)
{
c[i][j]=0;//该步骤属于基本操作执行次数：n的平方次
for(k=1; k<=n; ++k)
c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];//该步骤属于基本操作执行次数：n的三次方次
}
}

我们可以看到，其中的基本操作语句就只有两个，一个c[i][j]=0，一个c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]，可以知道前一个的执行次数为n^2，后一个的执行次数为n^3。所以T(n)=O(n^3)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),
线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，
k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上诉的时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O(n)，二重则为O(n^2)，依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。

对于实际计算中，我们知道，对于相同的程序，对于其运行的时间，影响的因素有很多。
1.程序的算法优劣。
2.问题的规模。
3.书写程序的语言。
4.编译程序产生的机器代码在质量。
5.机器执行指令的速度。。。等等。

空间复杂度，一个程序的空间复杂度是指运行完一个程序所需内存的大小。利用程序的空间，可以对程序的运行所需要的内存多少有个预先估计。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。程序执行时所需存储空间包括以下两部分。
（1）固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间（即代码空间）、数据空间（常量、简单变量）等所占的空间。这部分属于静态空间。
（2）可变空间，这部分空间的主要包括动态分配的空间，以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。
一个算法所需的存储空间用f(n)表示。
S(n)=O(f(n))
其中n为问题的规模，S(n)表示空间复杂度。

I. 确定下列算法中语句的执行次数，并给出算法的时间复杂度

int n=10,cout=0; 执行1次 ,时间复杂度Tn=O(1),
for(int i=1;i<=n;i++) 执行（n+1）次，原操作时间复杂度Tn=O(n) ，
for(int j=1;j<=i;j++) 执行1+2+3+...+n=1/2(n²+n)次， 原操作时间复杂度Tn=O(n²) ,
for(int k=1;k<=j;k++) 执行1+(1+2)+(1+2+3)+...+[1/2(n²+n)]=1/6(n³+3n²+2n)次，n的最高次幂是3，原操作时间复杂度Tn=O(n³)，
cout ++;（原操作） 执行1+(1+2)+(1+2+3)+...+[1/2(n²+n)]=1/6(n³+3n²+2n)次，原操作时间复杂度Tn=O(n³)

J. 数据结构的时间复杂程度是怎么算的啊

时间复杂度
1.时间频度
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
2.计算方法
1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n）） 分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。 2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））
例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的平方 次
for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的三次方 次
}
} 则有 T（n）= n的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级
则有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n的三次方）
3.分类
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有： 常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk), 指数阶O(2n) 。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。