取余數演算法

1. 余數的計算方法

「余數= 被除數 - 除數 x 商。余數是一個數學用語。在整數的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時,就產生余數,如7÷3 = 2餘1。數學(mathematics或maths,來自希臘語,「máthēma」;經常被縮寫為「math」),是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科,從某種角度看屬於形式科學的一種。數學家和哲學家對數學的確切范圍和定義有一系列的看法。」

2. 余數的計算方法

余數的計算是一個「取整」和「取余」的計算。規則是：整數（商）部分的符號，與商相同。余數部分（注意：不是小數點以後的商！）的符號與被除數（分子）相同。
例如：
10/3＝3餘1
10/（-3）＝（-3）餘1
（-10）/3＝（-3）余（-1）
需要注意的是：10/3、10/（-3）、（-10）/3都可以看作是數（分數），但是3餘1、（-3）餘1、（-3）余（-1）卻不能看作是數！互相之間不能運算！不能認為：10/（-3）與（-10）/3的「余數表達式」有什麼相同或者不相同。
要還原成數，必須按照乘法規則化去余數，得到完整的商，才能是數！如：
3餘1，除數是3，可化為：3+（1/3）＝3.33……
（-3）餘1，除數是（-3），可化為：（-3）+1/（-3）＝-3.33……
（-3）余（-1），除數是3，可化為：（-3）+（-1）/3＝-3.33……

3. C/C++中取余數運算%是如何實現的

對於整型數a，b來說，取余運算的%方法是：

1.求整數商： c = a/b;

2.計算模或者余數： r = a - c*b.

求模運算和求余運算在第一步不同: 取余運算在取c的值時，向0 方向舍入；而取模運算在計算c的值時，向負無窮方向舍入。

所謂向0方向舍入，就是以小數點為界限，直接將小數部分去掉。如（Int）-1.324=-1（亦叫截斷法）；

而向負無窮方向舍入，就是最終結果比真實值更小。如（Int）-1.324=-2；（Int此處是強制轉換數據類型）注意c是指商;

時間復雜度 ：

在剛才提到的時間頻度中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什麼規律。為此，我們引入時間復雜度概念。

拓展資料

1. 余數，數學用語。在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生余數，取余數運算：a mod b = c(b不為0） 表示整數a除以整數b所得余數為c，如：7÷3 = 2 ······1。

2. 余數指整數除法中被除數未被除盡部分，且余數的取值范圍為0到除數之間（不包括除數）的整數。例如：27除以6，商數為4，余數為3。

3. 一個數除以另一個數，要是比另一個數小的話，商為0，余數就是它自己。例如：1除以2，商數為0，余數為1；2除以3，商數為0，余數為2。

4. 求取余數的演算法

請問你是要計算機的方法嗎，直接在excel表格中輸入=MOD（9566651128+11616，3199）+6000001，然後按下enter鍵即可
就可以得出這個結果了

5. C語言取余的原理是怎麼回事 比如 int X，Y X-X/Y*Y=x%y

取余實際上就是模運算

基本理論
基本概念：
給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式 n = kp + r ；
其中k、r是整數，且 0 ≤ r < p，稱呼k為n除以p的商，r為n除以p的余數。
對於正整數p和整數a,b，定義如下運算：
取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余數。
模p加法：(a + b) % p ，其結果是a+b算術和除以p的余數，也就是說，(a+b) = kp +r，則(a + b) % p = r。
模p減法：(a-b) % p ，其結果是a-b算術差除以p的余數。
模p乘法：(a * b) % p，其結果是 a * b算術乘法除以p的余數。
說明：
1. 同餘式：正整數a，b對p取模，它們的余數相同，記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
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基本性質
（1）若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
（3）對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)
（4）傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)
運算規則
模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
ab % p = ((a % p)b) % p （4）
結合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
交換率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）
重要定理：若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有ac≡ bc (%p)； （13）
編輯本段
基本應用

1.判別奇偶數
奇偶數的判別是模運算最基本的應用，也非常簡單。易知一個整數n對2取模，如果余數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。
C++實現功能函數：
/*
函數名：IsEven
函數功能：判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數，否則為奇數
輸入值：int n，整數n
返回值：bool，若整數n是偶數，返回true，否則返回false
*/
bool IsEven(int n)
{
return (n % 2 == 0);
}
2.判別素數
一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。例如 2，3，5，7 是質數，而 4，6，8，9 則不是，後者稱為合成數或合數。
判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法：用比該自然數的平方根小的正整數去除這個自然數，若該自然數能被整除，則說明其非素數。
C++實現功能函數：
/*
函數名：IsPrime
函數功能：判別自然數n是否為素數。
輸入值：int n，自然數n
返回值：bool，若自然數n是素數，返回true，否則返回false
*/
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子
for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)
{
if (n % i == 0) //n能被i整除，則說明n非素數
{
return false;
}
}
return true;
}
3. 最大公約數
求最大公約數最常見的方法是歐幾里德演算法（又稱輾轉相除法），其計算原理依賴於定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
C++實現功能函數：
/*
函數功能：利用歐幾里德演算法，採用遞歸方式，求兩個自然數的最大公約數
函數名：Gcd
輸入值：unsigned int a，自然數a
unsigned int b，自然數b
返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數
*/
unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
{
if (b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
/*
函數功能：利用歐幾里德演算法，採用迭代方式，求兩個自然數的最大公約數 函數名：Gcd
輸入值：unsigned int a，自然數a
unsigned int b，自然數b
返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數
*/
unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
{
unsigned int temp;
while (b != 0)
{
temp = a % b;
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
4．模冪運算
利用模運算的運算規則，我們可以使某些計算得到簡化。例如，我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來，那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555（%10），所以問題就簡化了。
根據運算規則（4）ab % p = ((a % p)b) % p ，我們知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由於3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。
根據運算規則（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由於5555 = 4 * 1388 + 3，我們得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（1 * 7）（%10）= 7。
計算完畢。
利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的演算法是將result初始化為1，然後重復將result乘以X，每次乘法之後應用%運算符（這樣使得result的值變小，以免溢出），執行N次相乘後，result就是我們要找的答案。
這樣對於較小的N值來說，實現是合理的，但是當N的值很大時，需要計算很長時間，是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的演算法。
如果N是偶數，那麼X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇數，那麼X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；
其中[N]是指小於或等於N的最大整數。
C++實現功能函數：
/*
函數功能：利用模運算規則，採用遞歸方式，計算X^N(% P)
函數名：PowerMod
輸入值：unsigned int x，底數x
unsigned int n，指數n
unsigned int p，模p
返回值：unsigned int，X^N(% P)的結果
*/
unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)
{
if (n == 0)
{
return 1;
}
unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //遞歸計算（X*X）^[N/2]
if ((n & 1) != 0) //判斷n的奇偶性
{
temp = (temp * x) % p;
}
return temp;
}
5.《孫子問題(中國剩餘定理)》
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：
「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」意思是，「一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2.求適合這個條件的最小數。」
這個問題稱為「孫子問題」.關於孫子問題的一般解法，國際上稱為「中國剩餘定理」.
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《演算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：
三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出余數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的余數，用21乘以用5除的余數，用15乘以用7除的余數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的余數就是滿足題目要求的最小正整數解。
根據剩餘定理，我把此種解法推廣到有n(n為自然數）個除數對應n個余數，求最小被除數的情況。輸入n個除數（除數不能互相整除）和對應的余數，計算機將輸出最小被除數。
C++實現功能函數：
/*
函數名：ResieTheorem
函數功能：運用剩餘定理，解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數（除數不能互相整除）和對應的余數，返回最小被除數
輸入值：unsigned int devisor[]，存儲了n個除數的數組
unsigned int remainder[]，存儲了n個余數的數組
int length，數組的長度
返回值：unsigned int， 最小被除數
*/
unsigned int ResieTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)
{
unsigned int proct = 1; //所有除數之乘積
for (int i=0; i<length; i++)//計算所有除數之乘積
{
proct *= devisor[i];
}
//公倍數數組，表示除該元素（除數）之外其他除數的公倍數
unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);
for (int i=0; i<length; i++)//計算除該元素（除數）之外其他除數的公倍數
{
commonMultiple[i] = proct / devisor[i];
}
unsigned int dividend = 0; //被除數，就是函數要返回的值
for (int i=0; i<length; i++)//計算被除數，但此時得到的不是最小被除數
{
unsigned int tempMul = commonMultiple[i];
//按照剩餘理論計算合適的公倍數，使得tempMul % devisor[i] == 1
while (tempMul % devisor[i] != 1)
{
tempMul += commonMultiple[i];
}
dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除數得到的余數乘以其他除數的公倍數
}
delete []commonMultiple;
return (dividend % proct); //返回最小被除數
}
6. 凱撒密碼
凱撒密碼（caeser）是羅馬擴張時期朱利斯o凱撒（Julius Caesar）創造的，用於加密通過信使傳遞的作戰命令。
它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用，z的後面可以堪稱是a。
例如，當密匙為k = 3，即向後移動3位時，若明文為」How are you!」，則密文為」Krz h btx!」。
凱撒密碼的加密演算法極其簡單。其加密過程如下：
在這里，我們做此約定：明文記為m，密文記為c，加密變換記為E(key1,m)（其中key1為密鑰），
解密變換記為D(key2,m)（key2為解密密鑰）（在這里key1=key2,不妨記為key）。
凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換：c≡m+key (mod n） （其中n為基本字元個數）
同樣，解密過程可表示為：m≡c+key (mod n） （其中n為基本字元個數）
C++實現功能函數：
/*
函數功能：使用凱撒密碼原理，對明文進行加密，返回密文 函數名：Encrypt
輸入值：const char proclaimedInWriting[]，存儲了明文的字元串
char cryptograph[]，用來存儲密文的字元串
int keyey，加密密匙，正數表示後移，負數表示前移
返回值：無返回值，但是要將新的密文字元串返回
*/
void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)
{
const int NUM = 26; //字母個數
int len = strlen(proclaimedInWriting);
for (int i=0; i<len; i++)
{
if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')
{//明碼是大寫字母，則密碼也為大寫字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';
}
else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')
{//明碼是小寫字母，則密碼也為小寫字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';
}
else
{//明碼不是字母，則密碼與明碼相同
cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];
}
}
cryptograph[len] = '\0';
}
/*
函數功能：使用凱撒密碼原理，對密文進行解密，返回明文 函數名：Decode
輸入值：char proclaimedInWriting[]，用來存儲明文的字元串
const char cryptograph[]，存儲了密文的字元串
int keyey，解密密匙，正數表示前移，負數表示後移（與加密相反）
返回值：無返回值，但是要將新的明文字元串返回
*/
void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)
{
const int NUM = 26; //字母個數
int len = strlen(cryptograph);
for (int i=0; i<len; i++)
{
if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')
{//密碼是大寫字母，則明碼也為大寫字母，為防止出現負數，轉換時要加個NUM
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';
}
else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')
{//密碼是小寫字母，則明碼也為小寫字母
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';
}
else
{//密碼不是字母，則明碼與明密相同
proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];
}
}
proclaimedInWriting[len] = '\0';
}

6. 余數公式是什麼

余數公式是：被除數÷除數=商……余數。

在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生余數，取余數運算：a mod b = c(b不為0） 表示整數a除以整數b所得余數為c，如：7÷3 = 2 ······1。

取余數運算：

a mod b = c 表示 整數a除以整數b所得余數為c。

余數的計算公式：c = a -⌊ a/b⌋ * b

其中，⌊ ⌋為向下取整運算符，向下取整運算稱為Floor，用數學符號⌊ ⌋表示

例：⌊ 3.476 ⌋=3，⌊6.7546⌋=6，⌊-3.14159⌋= -4

如 7 mod 3 = 7-⌊7/3⌋*3=7-2*3=1

(6)取余數演算法擴展閱讀：

被除數=除數×商+余數；

除數=（被除數-余數）÷商；

商=（被除數-余數）÷除數；

余數=被除數-除數×商。

例：被除數、除數、商與余數之和是2143，已知商是33，余數是52，求被除數和除數。

解：因為被除數=除數×商+余數=除數×33+52，

被除數=2143-除數-商-余數=2143-除數-33-52=2058-除數，

所以 除數×33+52=2058-除數，所以 除數=（2058-52）÷34=59，

被除數=2058-59=1999。

答：被除數是1999，除數是59。

7. 有餘數的除法算式中三個公式。

1、除數=(被除數-余數)÷商

2、商=(被除數-余數)÷除數

3、被除數=商x除數+余數。

沒余數的除法相關公式：

1、被除數÷除數=商

2、被除數÷商=除數

3、除數×商=被除數

(7)取余數演算法擴展閱讀：

整數的除法：

1、從被除數的高位除起；

2、除數是幾位數，就先看被除數的前幾位，如果不夠除，就要多看一位；

3、除到哪一位就要把商寫在哪一位上面；

4、每次除得的余數必須比除數小；

5、求出商的最高位後如果被除數的哪一位上不夠商1就在哪一位上寫0。

文字表達式：

加數+加數=和、一個加數=和-另一個加數。

被減數-減數=差、減數=被減數-差、被減數=差+減數。

因數×因數=積、一個因數=積÷另一個因數。

8. 什麼是取余函數

取余函數就是兩個數值表達式作除法運算後得余數一般用MOD表示，mod函數是一個求余函數，其格式為：
mod(nExp1,nExp2)，即是兩個數值表達式作除法運算後的余數。那麼：兩個同號整數求余與你所知的兩個正數求余完全一樣(即兩個負整數與兩個正整數的演算法一樣)，
即兩數取余後返回兩數相除的余數。示例：
MOD(3,
2)
等於
1
MOD(-3,
2)
等於1(與後面面的數的符號相同）
MOD(3,
-2)
等於
-1（與後面數的符號相同）MOD(-3,
-2)
等於
-1
算
法
一、兩個異號整數求余
1.函數值符號規律(余數的符號)
mod(負,正)=正
mod(正,負)=負
結論：兩個整數求余時，其值的符號為被除數的符號。
2.取值規律
先將兩個整數看作是正數，再作除法運算
①能整除時，其值為0
②不能整除時，其值=除數×(整商+1)-被除數
例：mod(36,-10)=-4
即：36除以10的整數商為3，加1後為4；其與除數之積為40；再與被除數之差為（40-36=4）；取除數的符號。所以值為-4。
二、兩個小數求余
取值規律：
被除數-(整商×除數)之後在第一位小數位進行四捨五入。
例：mod(9,1.2)=1
即：9除1.2其整商為7；7與除數1.2之積為8.4；8.4四捨五入之後為8；被除數9與8之差為1。故結果為1。
例：mod(9,2.2)=0
即：9除2.2其整商為4；4與除數2.2這積為8.8；8.8四捨五入之後
為9；被除數9與之差為0，故結果為0.

9. 取余運算究竟是怎麼算的

取余運算是將一個數除以另一個數，不夠除的部分就是余數，就是取余的結果。給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式 ：n = kp + r ；其中 k、r 是整數，且 0 ≤ r < p，則稱 k 為 n 除以 p 的商，r 為 n 除以 p 的余數。

(9)取余數演算法擴展閱讀：

1、若p｜（a－b），則a≡b（％p）。例如11≡4（％7），18≡4（％7）。

2、（a％p）＝（b％p）意味a≡b（％p）。a≡b（％p）等價於b≡a（％p）。

3、若a≡b（％p）且b≡c（％p），則a≡c（％p）。

4、若a≡b（％p），則對於任意的c，都有（a＋c）／≡（b＋c）（％p）。

5、若a≡b（％p），則對於任意的c，都有（a＊c）≡（b＊c）（％p）。

10. 兩整數求余數的演算法

C 忘光了，用VB 做個您看看，用減法，VB里沒有移位函數
Dim M As Integer '被除數

Dim N As Integer '除數

Dim K As Integer '余數

K = M

Do While K >= N

K = K - N

Loop

此時 K 即為余數