壓縮感知sp演算法

Ⅰ 壓縮感知的基本知識

現代信號處理的一個關鍵基礎是 Shannon 采樣理論：一個信號可以無失真重建所要求的離散樣本數由其帶寬決定。但是Shannon 采樣定理是一個信號重建的充分非必要條件。在過去的幾年內，壓縮感知作為一個新的采樣理論，它可以在遠小於Nyquist 采樣率的條件下獲取信號的離散樣本，保證信號的無失真重建。壓縮感知理論一經提出，就引起學術界和工業界的廣泛關注。
壓縮感知理論的核心思想主要包括兩點。第一個是信號的稀疏結構。傳統的Shannon 信號表示方法只開發利用了最少的被采樣信號的先驗信息，即信號的帶寬。但是，現實生活中很多廣受關注的信號本身具有一些結構特點。相對於帶寬信息的自由度，這些結構特點是由信號的更小的一部分自由度所決定。換句話說，在很少的信息損失情況下，這種信號可以用很少的數字編碼表示。所以，在這種意義上，這種信號是稀疏信號（或者近似稀疏信號、可壓縮信號）。另外一點是不相關特性。稀疏信號的有用信息的獲取可以通過一個非自適應的采樣方法將信號壓縮成較小的樣本數據來完成。理論證明壓縮感知的采樣方法只是一個簡單的將信號與一組確定的波形進行相關的操作。這些波形要求是與信號所在的稀疏空間不相關的。
壓縮感知方法拋棄了當前信號采樣中的冗餘信息。它直接從連續時間信號變換得到壓縮樣本，然後在數字信號處理中採用優化方法處理壓縮樣本。這里恢復信號所需的優化演算法常常是一個已知信號稀疏的欠定線性逆問題。

Ⅱ 什麼是「壓縮感知」

壓縮感知， 也成為壓縮采樣。英文為Compressed Sampling 或者是 Compressive Sening。於2006年被提出，並被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。
經典的采樣定理為香農/乃奎斯特采樣，即要保證信號的完全恢復，至少要有2倍的信號頻率采樣。但是這種采樣當中，其實信息是冗餘的。壓縮感知告訴我們，如果知道信號是稀疏的，那麼可以用遠低於乃奎斯特采樣率，一樣可以很好的恢復信號。
壓縮感知的核心：信號是稀疏的（即其中有K個為非零元素，其他的元素都為0），采樣矩陣和稀疏基是不相關的。
相關內容較多，網路知道裡面一下介紹不清楚。
如果有興趣可以參考 http://dsp.rice.e/cs 。這里前17篇是壓縮感知的綜述，看完後就對概念、模型、求解演算法、應用有個整體的了解。網頁中間的那麼多文獻是針對壓縮感知理論在各個領域的運用。在最後的部分，是網上現有的針對該問題的求解工具箱，大多數是基於Matlab的。只要分析後自己的模型，可以套用工具箱求解，非常方便。

Ⅲ 壓縮感知過時了嗎

沒有過時，依然是主流暢談的話題，使用度依舊廣泛。

壓縮感知的核心點在於，其不遵從奈奎斯特采樣定理。而這原因在於，壓縮感知的采樣是隨機的，不等間距的，故不用管奈奎斯特。不過壓縮感知也是有要求的，它需要保證信號是稀疏的。

一旦信號不稀疏，進行違背奈奎斯特的隨機非等間距采樣時，頻域上的交疊會導致難以恢復原始信號。在壓縮感知過程中，如果將采樣頻率降低，使得其很小，那麼采樣的時域間隔就會相對很大，加上一定方式的隨機采樣，此時采樣得到的數據量就會很小，從而實現了一種壓縮。

壓縮感知與傳統的采樣+壓縮的模式不同的是，它首先不遵從奈奎斯特采樣定理，其次，它並沒有分為采樣和壓縮，應該說，壓縮感知的采樣就是壓縮。采樣之後將采樣的數據直接傳輸，之後在接收端便可以通過適當的重構演算法進行重構。

Ⅳ 什麼是「壓縮感知」（壓縮感測、compressed/compressive sensing）

壓縮感知（Compressive Sensing, or Compressed Sampling，簡稱CS），是近幾年流行起來的一個介於數學和信息科學的新方向，由Candes、Terres Tao等人提出，挑戰傳統的采樣編碼技術，即Nyquist采樣定理。
壓縮感知技術-理論
壓縮感知理論為信號採集技術帶來了革命性的突破，它採用非自適應線性投影來保持信號的原始結構，以遠低於奈奎斯特頻率對信號進行采樣，通過數值最優化問題准確重構出原始信號。
壓縮感知技術-概念特徵
壓縮感知從字面上看起來，好像是數據壓縮的意思，而實則出於完全不同的考慮。經典的數據壓縮技術，無論是音頻壓縮（例如 mp3），圖像壓縮（例如 jpeg），視頻壓縮（mpeg），還是一般的編碼壓縮（zip），都是從數據本身的特性出發，尋找並剔除數據中隱含的冗餘度，從而達到壓縮的目的。這樣的壓縮有兩個特點：第一、它是發生在數據已經被完整採集到之後；第二、它本身需要復雜的演算法來完成。相較而言，解碼過程反而一般來說在計算上比較簡單，以音頻壓縮為例，壓制一個 mp3 文件的計算量遠大於播放（即解壓縮）一個 mp3 文件的計算量。 稍加思量就會發現，這種壓縮和解壓縮的不對稱性正好同人們的需求是相反的。在大多數情況下，採集並處理數據的設備，往往是廉價、省電、計算能力較低的便攜設備，例如傻瓜相機、或者錄音筆、或者遙控監視器等等。而負責處理（即解壓縮）信息的過程卻反而往往在大型計算機上進行，它有更高的計算能力，也常常沒有便攜和省電的要求。也就是說，人們是在用廉價節能的設備來處理復雜的計算任務，而用大型高效的設備處理相對簡單的計算任務。這一矛盾在某些情況下甚至會更為尖銳，例如在野外作業或者軍事作業的場合，採集數據的設備往往曝露在自然環境之中，隨時可能失去能源供給或者甚至部分喪失性能，在這種情況下，傳統的數據採集-壓縮-傳輸-解壓縮的模式就基本上失效了。 壓縮感知的概念就是為了解決這樣的矛盾而產生的。既然採集數據之後反正要壓縮掉其中的冗餘度，而這個壓縮過程又相對來說比較困難，那麼我們為什麼不直接「採集」壓縮後的數據？這樣採集的任務要輕得多，而且還省去了壓縮的麻煩。這就是所謂的「壓縮感知」，也就是說，直接感知壓縮了的信息。
壓縮感知技術-應用影響
在大量的實際問題中，人們傾向於盡量少地採集數據，或者由於客觀條件所限不得不採集不完整的數據。如果這些數據和人們所希望重建的信息之間有某種全局性的變換關系，並且人們預先知道那些信息滿足某種稀疏性條件，就總可以試著用類似的方式從比較少的數據中還原出比較多的信號來。到今天為止，這樣的研究已經拓展地非常廣泛了。 但是同樣需要說明的是，這樣的做法在不同的應用領域里並不總能滿足上面所描述的兩個條件。有的時候，第一個條件（也就是說測量到的數據包含信號的全局信息）無法得到滿足，例如最傳統的攝影問題，每個感光元件所感知到的都只是一小塊圖像而不是什麼全局信息，這是由照相機的物理性質決定的。為了解決這個問題，美國Rice大學的一部分科學家正在試圖開發一種新的攝影裝置（被稱為「單像素照相機」），爭取用盡量少的感光元件實現盡量高解析度的攝影。有的時候，第二個條件（也就是說有數學方法保證能夠從不完整的數據中還原出信號）無法得到滿足。這種時候，實踐就走在了理論前面。人們已經可以在演算法上實現很多數據重建的過程，但是相應的理論分析卻成為了留在數學家面前的課題。 但是無論如何，壓縮感知所代表的基本思路：從盡量少的數據中提取盡量多的信息，毫無疑問是一種有著極大理論和應用前景的想法。它是傳統資訊理論的一個延伸，但是又超越了傳統的壓縮理論，成為了一門嶄新的子分支。它從誕生之日起到現在不過五年時間，其影響卻已經席捲了大半個應用科學。
復制的。。。。。

Ⅳ 請問研究壓縮感知需要學哪些相關知識比如，數字信號處理數字圖像處理請明白人指點迷津！謝謝啦！

我個人覺得，數字信號處理和數字圖像處理是針對具體的應用領域做基礎知識學習。而你說的壓縮感知是一種高於具體應用領域的智能演算法，壓縮感知可以用於數字信號方面，同樣也可以應用與數字圖像處理。確切的說數字信號處理包含了數字圖像處理，只是數字圖像處理後來發展了跟多深入的知識，所以又把其獨立成一門課程。比如Mallat的《信號處理的小波導引:稀疏方法(原書第3版)》這本書上的內容，就大部分說的應用時數字圖像。
總之，數字信號處理、數字圖像處理肯定是要學的，否則你學了壓縮感知也不知道用在什麼領域，要具體學習壓縮感知方面的知識，再去看看IEEE里的一些論文還有一些博士論文。

Ⅵ 奈奎斯特采樣定理與壓縮感知

姓名：蘇彥愷

學號：14020150008

【嵌牛導讀】：傳統的奈奎斯特采樣定律隨著數字信號處理技術的發展，其缺陷以及應用上的不便日漸凸顯，壓縮感知技術應運而生。本文依據《數字信號處理》課程所學，對奈奎斯特采樣定理進行了原理以及上的概述，同時在本文的後半部分，對壓縮感知這一新式的信號處理技術進行了簡單介紹。在本文的末尾，依據奈奎斯特采樣定理與壓縮感知原理上的異同進行了優缺點的分析，同時對壓縮感知的發展進行了展望。

【嵌牛鼻子】：數字信號處理；奈奎斯特采樣定理；壓縮感知；稀疏矩陣

【嵌牛提問】：什麼是壓縮感知？與傳統的奈奎斯特采樣定理相比，壓縮感知有什麼樣的特點和優勢？

【嵌牛正文】：

奈奎斯特采樣定理部分

一、概述

在數字信號處理領域中，采樣定理是連續時間信號（通常稱為「模擬信號」）和離散時間信號（通常稱為「數字信號」）之間的基本橋梁。該定理說明采樣頻率與信號頻譜之間的關系，是連續信號離散化的基本依據。 它為采樣率建立了一個足夠的條件，該采樣率允許離散采樣序列從有限帶寬的連續時間信號中捕獲所有信息

二、基本原理 :

在進行模擬/數字信號的轉換過程中，當采樣頻率fs.max大於信號中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>=2fmax)，采樣之後的數字信號完整地保留了原始信號中的信息，一般實際應用中保證采樣頻率為信號最高頻率的5～10倍；采樣定理又稱奈奎斯特定理。

要使實信號采樣後能夠不失真還原，采樣頻率必須大於信號最高頻率的兩倍。

當用采樣頻率F對一個信號進行采樣時,信號中F/2以上的頻率不是消失了,而是對稱的映象到了F/2以下的頻帶中,並且和F/2以下的原有頻率成分疊加起來,這個現象叫做「混疊」(aliasing).

消除混疊的方法有兩種:

1.提高采樣頻率F,即縮小采樣時間間隔.然而實際的信號處理系統不可能達到很大的采樣頻率,處理不了很多的數據.另外,許多信號本身可能含有全頻帶的頻率成分,不可能將采樣頻率提高到無窮大.所以,通過采樣頻率避免混疊是有限制的.

2.採用抗混疊濾波器.在採用頻率F一定的前提下,通過低通濾波器濾掉高於F/2的頻率成分,通過低通濾波器的信號則可避免出現頻率混疊.

公式：C = B * log2 N ( bps )

三、應用

采樣定理通常針對單個變數的函數進行公式化。因此，定理可直接適用於時間相關的信號，並且通常在該上下文中公式化。然而，采樣定理可以以直接的方式擴展到任意多個變數的函數。

灰度圖像通常表示為代表位於行和列采樣位置的交叉處的像素（圖像元素）的相對強度的實數的二維陣列（或矩陣）。因此，圖像需要兩個獨立變數或索引，以指定每個像素唯一一個用於行，一個用於列。

彩色圖像通常由三個單獨的灰度圖像的組合構成，一個代表三原色（紅色，綠色和藍色）或簡稱RGB中的每一個。對於顏色使用3向量的其他顏色空間包括HSV，CIELAB，XYZ等。諸如青色，品紅色，黃色和黑色（CMYK）的一些顏色空間可以通過四維表示顏色。所有這些都被處理為二維采樣域上的向量值函數。

類似於一維離散時間信號，如果采樣解析度或像素密度不足，圖像也可能遭受混疊。例如，具有高頻率（換句話說，條紋之間的距離小）的條紋襯衫的數碼照片可以在襯衫被照相機的圖像感測器采樣時導致襯衫的混淆。對於這種情況，在空間域中采樣的「解決方案」將是更靠近襯衫，使用更高解析度的感測器，或者在用感測器採集圖像之前對圖像進行光學處理

壓縮感知部分

一、概述

壓縮感知（Compressed sensing），也被稱為壓縮采樣（Compressivesampling）或稀疏采樣（Sparse sampling），是一種尋找欠定線性系統的稀疏解的技術。壓縮感知被應用於電子工程尤其是信號處理中，用於獲取和重構稀疏或可壓縮的信號。這個方法利用訊號稀疏的特性，相較於奈奎斯特理論，得以從較少的測量值還原出原來整個欲得知的訊號。MRI就是一個可能使用此方法的應用。這一方法至少已經存在了四十年，由於David Donoho、Emmanuel Candès和陶哲軒的工作，最近這個領域有了長足的發展。近幾年，為了因應即將來臨的第五代移動通信系統，壓縮感知技術也被大量應用在無線通訊系統之中，獲得了大量的關注以及研究。

二、基本原理

為了更好的說明壓縮感知的基本原理，在這里引入奈奎斯特采樣進行比較說明。

如圖2.1所示， 圖b、d為三個餘弦函數信號疊加構成的信號，在頻譜圖（圖a）中只有個峰值。 如果對其進行8倍於全采樣的等間距亞采樣（圖b下方的紅點），則頻域信號周期延拓後，就會發生混疊（圖c），無法從結果中復原出原信號。

而如果採用隨機亞采樣（圖2.2b上方的紅點），那麼這時候頻域就不再是以固定周期進行延拓了，而是會產生大量不相關的干擾值。如圖2.2c，最大的幾個峰值還依稀可見，只是一定程度上被干擾值覆蓋。這些干擾值看上去非常像隨機雜訊，但實際上是由於三個原始信號的非零值發生能量泄露導致的（不同顏色的干擾值表示它們分別是由於對應顏色的原始信號的非零值泄露導致的）。得到如圖2.2d的頻譜圖後，再採用匹配追蹤的演算法，就可以對信號進行恢復。以上就是壓縮感知理論的核心思想——以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進行隨機亞采樣，由於頻譜是均勻泄露的，而不是整體延拓的，因此可以通過特別的追蹤方法將原信號恢復。

三、應用

1、全息成像

全息成像是一種記錄被攝物體反射（或透射）光波中全部信息（振幅、相位）的照相技術，而物體反射或者投射的光線可以通過記錄膠片完全重建，通過不同方位和角度觀察照片，可以看到被拍攝的物體的不同的角度，因此記錄得到的想可以使人產生立體視覺。然而全息圖記錄的立體信息非常龐大，在滿足傳統的香農采樣定理進行采樣時很難達到的帶寬及存儲和傳輸這些信息成為限制全息術發展的難題。

壓縮感知技術為傳統的信息采樣傳輸帶來了革命性的突破，為信號的計算和傳輸節省了很大資源。利用壓縮感知可以去掉大量沒有實際意義的信息采樣，通過遠低於傳統采樣樣本點就可以重構出原始信號，解決了全息術在數據存儲和傳輸方面的限制。

2、核磁共振成像

核磁共振成像作為一種極其重要的醫學成像技術，具有對病灶診斷精確、對人體安全性高等優點，但是較長的數據採集時間成為其廣泛應用的瓶頸。因此，在保證成像質量的前提下，探索一種新的快速成像方法迫在眉睫。壓縮感知作為一種全新的信號采樣理論，針對稀疏信號或可壓縮信號，可以在采樣數量遠少於傳統采樣方式的情況下精確地恢復出原始信號，這就為核磁共振圖像的快速獲取提供了一種新的思路。

四、奈奎斯特和壓縮感知的對比

從采樣的角度來看，壓縮感知和基於奈奎斯特采樣定理的傳統信號採集是兩種不同形式的信號採集方式。（壓縮感知打破了傳統信號處理中對於奈奎斯特采樣要求的限制）

1.采樣率：在壓縮感知理論下，信號的采樣率不再取決於信號的帶寬，而是取決於信息在信號中的結構與內容（稀疏性）。關於采樣率的計算方式，壓縮感知是從少量離散測量數據恢復離散數字信號，其計算方式為采樣率=測量值的大小/恢復信號的大小；而傳統信號採集是從離散采樣數據中恢復模擬信號。

2.信號採集方式：傳統采樣理論是通過均勻采樣獲取數據；壓縮感知則通過計算信號與一個觀測函數之間的內積來獲得觀測數據。

3.恢復信號形式：傳統采樣定理關注的對象是無限長的連續信號；壓縮感知是有限維觀測向量空間的向量即離散信號。

4.恢復信號方式：傳統采樣恢復是在奈奎斯特采樣定理的基礎上，通過采樣數據的sinc函數線性內插獲得，而壓縮感知採用的是利用信號的稀疏性，從線性觀測數據中通過求解一個非線性的優化問題來恢復信號的方法。

5.壓縮感知的核心思想：壓縮和采樣合並進行，並且測量值遠小於傳統采樣方法的數據量，突破香農采樣定理的瓶頸，使高解析度的信號採集成為可能。

總結

奈奎斯特采樣定理一直是信號處理領域的金科玉律，但其性能仍沒法滿足諸如全息成像、核磁共振等產生龐大數據的技術的信息恢復。然而在數字信號處理領域進入二十一世紀以後，壓縮感知技術帶來了顛覆性的改變，以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進行隨機亞采樣，通過特別的追蹤方法將原信號恢復，使得用於恢復信號的數據量遠少於傳統采樣所需要的數據量。壓縮感知理論的誕生已經對計算科學、信號處理、電子信息等領域產生重大的影響，其理論具有廣闊的應用前景，但仍然不夠完善，希望在今後的研究中能彌補壓縮感知現有的不足，展現其強大的生命力，為更多難題提供新的解決方法。

Ⅶ 壓縮感知的歷史背景

盡管壓縮感知是由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和D. L. Donoho 等科學家於2004 年提出的。但是早在上個世紀，相關領域已經有相當的理論和應用鋪墊，包括圖像處理、地球物理、醫學成像、計算機科學、信號處理、應用數學等。
可能第一個與稀疏信號恢復有關的演算法由法國數學家Prony 提出。這個被稱為的Prony 方法的稀疏信號恢復方法可以通過解一個特徵值問題，從一小部分等間隔采樣的樣本中估計一個稀疏三角多項式的非零幅度和對應的頻率。而最早採用基於L1范數最小化的稀疏約束的人是B. Logan。他發現在數據足夠稀疏的情況下，通過L1范數最小化可以從欠采樣樣本中有效的恢復頻率稀疏信號。D. Donoho和B.Logan 是信號處理領域採用L1范數最小化稀疏約束的先驅。但是地球物理學家早在20 世紀七八十年代就開始利用L1范數最小化來分析地震反射信號了。上世紀90 年代，核磁共振譜處理方面提出採用稀疏重建方法從欠采樣非等間隔樣本中恢復稀疏Fourier 譜。同一時期，圖像處理方面也開始引入稀疏信號處理方法進行圖像處理。在統計學方面，使用L1范數的模型選擇問題和相關的方法也在同期開始展開。
壓縮感知理論在上述理論的基礎上，創造性的將L1范數最小化稀疏約束與隨機矩陣結合，得到一個稀疏信號重建性能的最佳結果。
壓縮感知基於信號的可壓縮性, 通過低維空間、低解析度、欠Nyquist采樣數據的非相關觀測來實現高維信號的感知，豐富了關於信號恢復的優化策略,極大的促進了數學理論和工程應用的結合 。它是傳統資訊理論的一個延伸，但是又超越了傳統的壓縮理論，成為了一門嶄新的子分支。它從誕生之日起到現在不過五年時間，其影響卻已經席捲了大半個應用科學。

Ⅷ 壓縮感知的主要應用

認知無線電方向：寬頻譜感知技術是認識無線電應用中一個難點和重點。它通過快速尋找監測頻段中沒有利用的無線頻譜，從而為認知無線電用戶提供頻譜接入機會。傳統的濾波器組的寬頻檢測需要大量的射頻前端器件，並且不能靈活調整系統參數。普通的寬頻接收電路要求很高的采樣率，它給模數轉換器帶來挑戰，並且獲得的大量數據處理給數字信號處理器帶來負擔。針對寬頻譜感知的難題，將壓縮感知方法應用到寬頻譜感知中：採用一個寬頻數字電路，以較低的頻譜獲得欠采樣的隨機樣本，然後在數字信號處理器中採用稀疏信號估計演算法得到寬頻譜感知結果。
信道編碼：壓縮感測理論中關於稀疏性、隨機性和凸最優化的結論可以直接應用於設計快速誤差校正編碼, 這種編碼方式在實時傳輸過程中不受誤差的影響。在壓縮編碼過程中, 稀疏表示所需的基對於編碼器可能是未知的. 然而在壓縮感測編碼過程中, 它只在解碼和重構原信號時需要, 因此不需考慮它的結構, 所以可以用通用的編碼策略進行編碼. Haupt等通過實驗表明如果圖像是高度可壓縮的或者SNR充分大, 即使測量過程存在雜訊, 壓縮感測方法仍可以准確重構圖像。 波達方向估計：目標出現的角度在整個掃描空間來看，是極少數。波達方向估計問題在空間譜估計觀點來看是一個欠定的線性逆問題。通過對角度個數的稀疏限制，可以完成壓縮感知的波達方向估計。
波束形成：傳統的 自適應波束形成因其高解析度和抗干擾能力強等優點而被廣泛採用。但同時它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高問題將大大降低接收性能。為了改進Capon 波束形成的性能，這些通過稀疏波束圖整形的方法限制波束圖中陣列增益較大的元素個數，同時鼓勵較大的陣列增益集中在波束主瓣中，從而達到降低旁瓣水平同時，提高主瓣中陣列增益水平，降低角度失匹配的影響。例如，最大主瓣旁瓣能量比，混合范數法，最小全變差。 運用壓縮感測原理, RICE大學成功研製了單像素壓縮數碼照相機。 設計原理首先是通過光路系統將成像目標投影到一個數字微鏡器件(DMD)上, 其反射光由透鏡聚焦到單個光敏二極體上, 光敏二極體兩端的電壓值即為一個測量值y, 將此投影操作重復M次, 得到測量向量 , 然後用最小全變分演算法構建的數字信號處理器重構原始圖像。數字微鏡器件由數字電壓信號控制微鏡片的機械運動以實現對入射光線的調整。 由於該相機直接獲取的是M次隨機線性測量值而不是獲取原始信號的N(M，N)個像素值, 為低像素相機拍攝高質量圖像提供了可能.。
壓縮感測技術也可以應用於雷達成像領域, 與傳統雷達成像技術相比壓縮感測雷達成像實現了兩個重要改進: 在接收端省去脈沖壓縮匹配濾波器; 同時由於避開了對原始信號的直接采樣, 降低了接收端對模數轉換器件帶寬的要求. 設計重點由傳統的設計昂貴的接收端硬體轉化為設計新穎的信號恢復演算法, 從而簡化了雷達成像系統。 生物感測中的傳統DNA晶元能平行測量多個有機體, 但是只能識別有限種類的有機體, Sheikh等人運用壓縮感測和群組檢測原理設計的壓縮感測DNA晶元克服了這個缺點。 壓縮感測DNA晶元中的每個探測點都能識別一組目標, 從而明顯減少了所需探測點數量. 此外基於生物體基因序列稀疏特性, Sheikh等人驗證了可以通過置信傳播的方法實現壓縮感測DNA晶元中的信號重構。