『壹』 幾種經典演算法回顧
今天無意中從箱子里發現了大學時學演算法的教材《演算法設計與分析》，雖然工作這么幾年沒在什麼地方用過演算法，但演算法的思想還是影響深刻的，可以在系統設計時提供一些思路。大致翻了翻，重溫了一下幾種經典的演算法，做一下小結。
分治法是一種基本演算法設計技術。其基本思想是將一個問題分解為多個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立並與原問題解決方法相同。遞歸解這些子問題，然後將這些子問題的解合並得到原問題的解。分治法適用於該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決，該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質，且該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的。
動態規劃也是一種基本演算法設計技術。其基本思想是將待求解問題分解成若干個子問題，但是經分解得到的子問題往往不是互相獨立的，如果能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，就可以避免大量重復計算。動態規劃適用於最優子結構，在遞歸計算中，許多子問題被重復計算多次。
貪心演算法總是作出在當前看來最好的選擇。也就是說貪心演算法並不從整體最優考慮，它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優選擇。貪心演算法適用於具有貪心選擇性質和最優子結構性質的問題。步驟包括不斷尋找局部最優解。
回溯法是一種系統地搜索問題解的方法。在問題的解空間樹中，按深度優先策略，從根結點出發搜索解空間樹。演算法搜索至解空間樹的任意一點時，先判斷該結點是否包含問題的解。如果肯定不包含，則跳過對該結點為根的子樹的搜索，逐層向其祖先結點回溯；否則，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜索。
分支限界法是一種系統地搜索問題解的方法。分支限界法常以廣度優先或以最小耗費（最大效益）優先的方式搜索問題的解空間樹。在分支限界法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點。活結點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優解的兒子結點被舍棄，其餘兒子結點被加入活結點表中。此後，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，並重復上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解或活結點表為空時為止。
這些演算法在實際問題中有著廣泛的應用。例如，分治法的核心演算法MapRece在Google的核心演算法中就有應用。動態規劃可以應用於找硬幣、哈夫曼編碼、單源最短路徑、最小生成樹等問題。貪心演算法可以應用於單源最短路徑問題，分支限界法則可以應用於N皇後問題。
在有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權。這個問題可以通過多種演算法來解決，包括但不限於最短路徑演算法、最小生成樹演算法等。這些演算法的具體實現和優化方法，是演算法設計與分析中的重要內容。
『貳』 經典優化演算法之分治法（Divide-and-Conquer Algorithm）
經典優化演算法中的分治法，即Divide-and-Conquer策略，是一種強大的問題解決技巧，通過將復雜問題分解為更小的、相似的子問題，再逐個解決並合並結果。它在眾多高效演算法中占據核心地位，如排序（如快速排序和歸並排序）和信號處理（如快速傅立葉變換）。
舉個通俗的例子，尋找100枚硬幣中重量不同的假幣，傳統方法可能需要多次比較，而分治法通過不斷分割問題（100→33+33+34），每次縮小規模，最終只需5次就能找出假幣。這種策略的流程可分解為：劃分、遞歸求解子問題和合並子問題的解。
分治法的運作遵循一個通用模式：在n規模的問題上，先遞歸地解決規模為n/b的子問題，再合並子問題的解。通過時間復雜度公式，如歸並排序，我們能看到其在解決規模問題上的效率。分治法適用於問題規模縮小後易於處理，且子問題獨立且無重疊的場景。
例如，歸並排序是分治法的經典應用，其將排序問題分解為多個子問題，通過遞歸解決並合並結果。在漢諾塔問題中，通過分治法，將大問題分解為小規模的子問題，再逐層遞歸解決，最終找到最優解。
總之，分治法是一種遞歸解決問題的方法，關鍵在於找到問題的最小規模解決方案，並構建遞歸函數處理不同規模的問題。如果你對文章內容有任何疑問，可以聯系秦虎老師或相關團隊成員進行交流。
『叄』 分治演算法——漢諾塔問題
一、分治演算法概念
「分而治之」，就是把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題，直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合並。
這個技巧是很多高效演算法的基礎，如排序演算法(快速排序，歸並排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換) 。
任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。
二、分治法的設計思想
將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
三、分治策略
對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然後將各子問題的解合並得到原問題的解。這種演算法設計策略叫做分治法。
四、分治法實現步驟
①分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；②解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；③合並：將各個子問題的解合並為原問題的解。
它的一般的演算法設計模式如下： Divide-and-Conquer(P) 1. if |P|≤n0 2. then return(ADHOC(P)) 3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,…,Pk 4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 遞歸解決Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合並子問題 7. return(T)
五、可使用分治法求解的一些經典問題 （1）二分搜索
（2）大整數乘法
（3）Strassen矩陣乘法
（4）棋盤覆蓋
（5）合並排序
（6）快速排序
（7）線性時間選擇
（8）最接近點對問題
（9）循環賽日程表
（10）漢諾塔
『肆』 程序員都應該精通的六種演算法，你會了嗎
對於一名優秀的程序員來說，面對一個項目的需求的時候，一定會在腦海里浮現出最適合解決這個問題的方法是什麼，選對了演算法，就會起到事半功倍的效果，反之，則可能會使程序運行效率低下，還容易出bug。因此，熟悉掌握常用的演算法，是對於一個優秀程序員最基本的要求。
那麼，常用的演算法都有哪些呢？一般來講，在我們日常工作中涉及到的演算法，通常分為以下幾個類型：分治、貪心、迭代、枚舉、回溯、動態規劃。下面我們來一一介紹這幾種演算法。
一、分治演算法
分治演算法，顧名思義，是將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治演算法一般分為三個部分：分解問題、解決問題、合並解。
分治演算法適用於那些問題的規模縮小到一定程度就可以解決、並且各子問題之間相互獨立，求出來的解可以合並為該問題的解的情況。
典型例子比如求解一個無序數組中的最大值，即可以採用分治演算法，示例如下：
def pidAndConquer(arr,leftIndex,rightIndex):
if(rightIndex==leftIndex+1 || rightIndex==leftIndex){
return Math.max(arr[leftIndex],arr[rightIndex]);
}
int mid=(leftIndex+rightIndex)/2;
int leftMax=pidAndConquer(arr,leftIndex,mid);
int rightMax=pidAndConquer(arr,mid,rightIndex);
return Math.max(leftMax,rightMax);
二、貪心演算法
貪心演算法是指在對問題求解時，總是做出在當前看來是最好的選擇。也就是說，不從整體最優上加以考慮，他所做出的僅是在某種意義上的局部最優解。
貪心演算法的基本思路是把問題分成若干個子問題，然後對每個子問題求解，得到子問題的局部最優解，最後再把子問題的最優解合並成原問題的一個解。這里要注意一點就是貪心演算法得到的不一定是全局最優解。這一缺陷導致了貪心演算法的適用范圍較少，更大的用途在於平衡演算法效率和最終結果應用，類似於：反正就走這么多步，肯定給你一個值，至於是不是最優的，那我就管不了了。就好像去菜市場買幾樣菜，可以經過反復比價之後再買，或者是看到有賣的不管三七二十一先買了，總之最終結果是菜能買回來，但搞不好多花了幾塊錢。
典型例子比如部分背包問題：有n個物體，第i個物體的重量為Wi，價值為Vi，在總重量不超過C的情況下讓總價值盡量高。每一個物體可以只取走一部分，價值和重量按比例計算。
貪心策略就是，每次都先拿性價比高的，判斷不超過C。
三、迭代演算法
迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法，它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令(或一定步驟)進行重復執行，在每次執行這組指令(或這些步驟)時，都從變數的原值推出它的一個新值。最終得到問題的結果。
迭代演算法適用於那些每步輸入參數變數一定，前值可以作為下一步輸入參數的問題。
典型例子比如說，用迭代演算法計算斐波那契數列。
四、枚舉演算法
枚舉演算法是我們在日常中使用到的最多的一個演算法，它的核心思想就是:枚舉所有的可能。枚舉法的本質就是從所有候選答案中去搜索正確地解。
枚舉演算法適用於候選答案數量一定的情況。
典型例子包括雞錢問題，有公雞5，母雞3，三小雞1，求m錢n雞的所有可能解。可以採用一個三重循環將所有情況枚舉出來。代碼如下：
五、回溯演算法
回溯演算法是一個類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就「回溯」返回，嘗試別的路徑。
許多復雜的，規模較大的問題都可以使用回溯法，有「通用解題方法」的美稱。
典型例子是8皇後演算法。在8 8格的國際象棋上擺放八個皇後，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇後都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問一共有多少種擺法。
回溯法是求解皇後問題最經典的方法。演算法的思想在於如果一個皇後選定了位置，那麼下一個皇後的位置便被限制住了，下一個皇後需要一直找直到找到安全位置，如果沒有找到，那麼便要回溯到上一個皇後，那麼上一個皇後的位置就要改變，這樣一直遞歸直到所有的情況都被舉出。
六、動態規劃演算法
動態規劃過程是：每次決策依賴於當前狀態，又隨即引起狀態的轉移。一個決策序列就是在變化的狀態中產生出來的，所以，這種多階段最優化決策解決問題的過程就稱為動態規劃。
動態規劃演算法適用於當某階段狀態給定以後，在這階段以後的過程的發展不受這段以前各段狀態的影響，即無後效性的問題。
典型例子比如說背包問題，給定背包容量及物品重量和價值，要求背包裝的物品價值最大。