數學奇跡神奇運演算法

① 為什麼說1-2+3-4+5-6=1/4

印度著名數學家拉曼努揚指出，如果把所有的自然數1、2、3、4等等，一直到無窮，加起來，你會發現，它等於-1/12。

首先，需要證明兩個同樣瘋狂的說法：

1. 1–1+1–1+1–1 = 1/2。

2. 1-2+3-4+5-6 =1/4。

這才是真正神奇的地方，事實上，沒有這個，其他兩個證明是不可能的。

我從一個級數A開始，它等於1-1 + 1-1 + 1-1重復了無數次。這樣寫：A= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1。

然後做一個小技巧，從1中減去A：1 - A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1)。

到目前為止都沒問題吧？魔法要開始了！如果我化簡方程的右邊，我得到一個非常奇怪的結果：1 - A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1。

在等式的右邊，是我們開始時的級數。所以我可以用A代替右邊，做一些代數運算，然後，就是見證奇跡的時刻：

1- A = A。

1-A + A = A + A。

1 = 2A。

1/2 = A。

這就是格蘭迪的級數，以義大利數學家、哲學家格蘭迪的名字命名。這就是這個級數的神奇之處，雖然它是我個人的最愛，但在這背後並沒有一個很酷的歷史或故事。然而，它確實為證明許多有趣的事情打開了大門，包括一個非常重要的量子力學方程，甚至弦理論。稍後再詳細講。現在，我們開始證明#2：1-2 + 3-4 + 5-6，= 1/4。

我們按照上面的方法開始，讓B= 1-2 + 3-4 + 5-6然後我們就可以開始玩了。這一次，我們不是用1減去B，而是用A減去B。從數學上講，我們得到：

A-B = (1–1+1–1+1–1) — (1–2+3–4+5–6)。

A-B = (1–1+1–1+1–1) — 1+2–3+4–5+6。

然後我們稍微改變一下，我們看到另一個有趣的模式出現了。

A-B = (1–1) + (–1+2) +(1–3) + (–1+4) + (1–5) + (–1+6)。

A-B = 0+1–2+3–4+5。

再一次，我們得到了開始時的級數，之前，我們知道A = 1/2，所以我們用一些更基本的代數來證明我們今天的第二個驚人的事實。

A-B = B。

A = 2B。

1/2 = 2B。

1/4 = B。

這個方程沒有一個花哨的名字，因為它多年來已經被許多數學家證明，同時又被貼上了一個矛盾方程的標簽。盡管如此，它還是在當時的學術界引發了一場爭論，甚至幫助擴展了歐拉在巴塞爾問題中的研究，並將其引向重要的數學函數，如雷曼澤塔函數。

我們更近一步，下面才是你一直期待的。再一次，我們通過C = 1+2+3+4+5+6來開始，你可能已經猜到了，我們將從B中減去C。B-C = (1–2+3–4+5–6)-(1+2+3+4+5+6)。

我們將重新排列一些數字的順序，在這里，我們得到的東西看起來很熟悉，但可能不是你懷疑的。

B-C = (1-2+3-4+5-6)-1-2-3-4-5-6。

B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6)。

B-C = 0-4+0-8+0-12。

B-C = -4-8-12。

如果你注意到，右邊的所有項都是-4的倍數，所以我們可以提出這個常數因子，我們得到了開始時的結果。

B-C = -4(1+2+3)。

B-C = -4C。

B = -3C。

因為我們已經證明B=1/4的值，我們只要把那個值代入就得到了神奇的結果：

1/4 = -3C。

1/-12 = C。

應用：

首先，它被用在弦理論中。不幸的是，不是斯蒂芬·霍金的版本，而是弦理論的原始版本。不幸的是，玻色子弦理論已經有點過時了，被稱為超對稱弦理論，但最初的理論在理解超弦上仍然有它的用處，它是前面提到的更新的弦理論的組成部分。

拉曼努揚求和在一般物理學領域也有很大的影響，特別是在解決被稱為卡西米爾效應的現象方面。亨德里克·卡西米爾預測，如果把兩塊不帶電的導電板放在真空中，由於量子漲落產生的虛粒子麵包的存在，它們之間就會產生引力。在卡西米爾的解決方案中，他使用了我們剛剛證明的來模擬板塊間能量總量的總和。這就是為什麼這個值如此重要的原因。

這就是20世紀初發現的拉曼努揚求和，它在物理學的許多不同分支上仍然影響了近100年。還在等什麼！告訴 你旁邊的女生，所有自然數之和是-1/12，然後證明給她看！