Ⅰ 完備性計算復雜度中的完備性
在計算機科學的理論框架中，復雜度理論探討了問題解決的效率與難度。其中，一個核心概念是完備性，它涉及到問題在特定復雜度類中的地位。如果一個問題P屬於復雜度類C，並且C中的任何問題，只要藉助特定的歸約方法，都可以轉化為P的問題，那麼我們說P在這個復雜度類C中是完備的。
以NP完全問題為例，它在NP復雜度類中佔有重要位置。NP表示那些可以通過多項式時間驗證的決策問題，而NP完全性則進一步強調，任何在NP類中的問題，如果存在一種多對一的歸約方法，都可以被轉換為一個NP完全問題，比如旅行商問題或3-SAT問題。這意味著，如果NP完全問題在多項式時間內能得到解決，那麼所有的NP問題都能在同樣時間內得到解決，反之亦然。
完備性概念的重要性在於，它揭示了復雜性類之間的相對關系，有助於我們理解哪些問題可能需要超乎尋常的資源才能解決，哪些問題則可能隱藏著意想不到的簡化方法。對完備性的研究，對於理論計算機科學的發展以及實際問題的演算法設計都有著深遠影響。
在數學及其相關領域中，一個對象具有完備性，即它不需要添加任何其他元素，這個對象也可稱為完備的或完全的。
Ⅱ Sound（可靠）和Complete（完備）
在探討邏輯學中的概念時，我們發現 'sound' (可靠) 和 'complete' (完備) 是兩個重要術語，分別在演繹推理、形式系統與演算法中有著深遠的意義。
首先，對於演繹邏輯，'soundness' (可靠) 是一個論點的兩個關鍵特性之一：一個 sound 的論點是有效（valid）的，並且所有前提都是真的，因此結論也必然是真的。具體而言，演繹系統 soundness 的條件是，可證明的任何命題在所有的語義解釋中都是真的。
舉例說明，一個經典的三段論 '所有男人都是凡人。蘇格拉底是男人。因此，蘇格拉底是凡人。' 這個論點既有效又可靠，前提是真的，所以結論也是真的。相反， '所有鳥都會飛。企鵝是鳥。因此，企鵝會飛。' 雖然這個論點在邏輯上有效，但在現實中，前提不真實，所以整體不被認為是 sound。
接下來，我們轉向語義完備的探討，即在形式系統中的 'completeness'。語義完備意味著形式系統包含的所有語義上有效的（semantically valid）公理都是其證明可得的（theorems）。換句話說，系統內部包含的所有 truth （事實）都可通過其理論證明出來。例如，在邏輯中，重言式（tautology）因其在任何解釋下的真值都是真的，因此在形式系統中被視為語義完備的組成部分。
哥德爾完備性定理是這一概念的重要里程碑，它指出在一階邏輯中，任何語義上真實的命題都有對應的證明形式。這意味著，為了證明某個理論的完備性，僅需確認該理論所有已知 'model'（模型）的真實性即可。
同樣，在演算法領域，'soundness' (可靠性) 指出，一個演算法產生的輸出總是正確的，盡管並非保證演算法會終止運行。例如，排序演算法的輸出總是有序序列。
而 'completeness' (完備性) 則涉及到演算法對於所有輸入情況的處理。一個 complete 演算法保證無論輸入為何，都能給出正確的輸出。這種完整性是演算法設計中追求的重要特性之一。
綜上所述，'sound' (可靠) 和 'complete' (完備) 的概念不僅在邏輯學、數學以及演算法設計中具有基礎性作用，它們分別探討了有效性、語義真值與輸出正確性之間的關鍵關系。