⑴ 經典演算法思想2——分治(Divide-and-Conquer)
經典演算法思想——分治(Divide-and-Conquer)
分治法，字面意思是「分而治之」，即將一個復雜的問題分成兩個或多個相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題，直到最後子問題可以簡單地直接求解。原問題的解即子問題的解的合並。這個思想是很多高效演算法的基礎，例如排序演算法（快速排序、歸並排序）、傅里葉變換（快速傅里葉變換）等。
一、分治法的基本思想
分治法的基本思想是將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。這種思想通過遞歸或迭代的方式，將問題不斷分解，直到達到可以直接求解的規模，然後再將各個子問題的解合並，得到原問題的解。
二、分治策略
對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如規模n較小），則直接解決；否則，將其分解為k個規模較小的子問題。這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解決這些子問題，然後將各個子問題的解合並得到原問題的解。
如果原問題可以分割成k個子問題，1<k<=n，且這些子問題均可解並且利用這些子問題的解可以求出原問題的解，那麼分治方法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術提供了方便。反復應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。
三、分治法使用場景
分治法適用於以下場景：
四、分治法的基本步驟
分治法的基本步驟包括：
五、分治法的復雜性分析
一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n/m的子問題去解。設分解閾值n0=1，且最小子解規模為1的問題消耗一個單位時間。設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合並為原問題的解需用f(n)個單位時間，用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間：
T(n)=kT(n/m)+f(n)
六、可以使用分治法求解的一些經典問題
二分搜索：二分搜索法，又叫做二分查找、折半查找，是一種效率較高的查找方法。它適用於有序表，通過逐步縮小查找范圍，直到找到或找不到該記錄的位置。
步驟：
先確定中間位置middle=(left+right)/2；
將待查找的key值與data[middle].key的值比較，相等則查找成功並返回該位置；
如果data[middle].key大於key，則新的查找區間在middle左邊的子表中；
如果data[middle].key小於key，則新的查找區間在middle右邊的子表中。
（註：由於Markdown格式限制，無法直接插入具體圖片，但上述鏈接為示意性描述，實際使用時可用具體二分搜索圖替換）
大整數乘法：對於非常大的整數，直接相乘可能會導致溢出或計算效率低下。分治法可以將大整數分成較小的部分，分別相乘，然後再合並結果。
Strassen矩陣乘法：Strassen演算法是一種比傳統矩陣乘法更高效的演算法，它利用分治法將矩陣分成小塊，通過減少乘法次數來提高效率。
棋盤覆蓋：棋盤覆蓋問題是一個經典的組合數學問題，可以使用分治法來解決。例如，用L型骨牌覆蓋一個2^k×2^k的棋盤，使其留下一個空格。
合並排序：合並排序是一種基於分治法的排序演算法，它將數組分成兩半，分別排序，然後合並結果。
快速排序：快速排序也是一種基於分治法的排序演算法，它通過選擇一個基準元素，將數組分成兩部分，一部分小於基準，一部分大於基準，然後遞歸地對這兩部分進行排序。
線性時間選擇：線性時間選擇演算法可以在線性時間內找到一個無序數組中的第k小元素。
最接近點對問題：在二維平面上給定n個點，找到距離最近的一對點。這個問題可以通過分治法來解決。
循環賽日程表：在循環賽中，每個參賽者都要與其他參賽者比賽一次。分治法可以用來生成這樣的日程表。
漢諾塔：漢諾塔是一個經典的遞歸問題，也可以使用分治法來解決。它將n個盤子從一個柱子移動到另一個柱子，同時遵循一定的規則。
七、總結
分治法是一種重要的演算法思想，它通過將復雜問題分解成較小的子問題來求解，從而降低了問題的難度。分治法在排序、搜索、矩陣乘法等領域有著廣泛的應用，是許多高效演算法的基礎。掌握分治法不僅有助於理解這些演算法的工作原理，還能培養解決問題的思維方式。
⑵ 經典優化演算法之分治法（Divide-and-Conquer Algorithm）
經典優化演算法中的分治法，即Divide-and-Conquer策略，是一種強大的問題解決技巧，通過將復雜問題分解為更小的、相似的子問題，再逐個解決並合並結果。它在眾多高效演算法中占據核心地位，如排序（如快速排序和歸並排序）和信號處理（如快速傅立葉變換）。
舉個通俗的例子，尋找100枚硬幣中重量不同的假幣，傳統方法可能需要多次比較，而分治法通過不斷分割問題（100→33+33+34），每次縮小規模，最終只需5次就能找出假幣。這種策略的流程可分解為：劃分、遞歸求解子問題和合並子問題的解。
分治法的運作遵循一個通用模式：在n規模的問題上，先遞歸地解決規模為n/b的子問題，再合並子問題的解。通過時間復雜度公式，如歸並排序，我們能看到其在解決規模問題上的效率。分治法適用於問題規模縮小後易於處理，且子問題獨立且無重疊的場景。
例如，歸並排序是分治法的經典應用，其將排序問題分解為多個子問題，通過遞歸解決並合並結果。在漢諾塔問題中，通過分治法，將大問題分解為小規模的子問題，再逐層遞歸解決，最終找到最優解。
總之，分治法是一種遞歸解決問題的方法，關鍵在於找到問題的最小規模解決方案，並構建遞歸函數處理不同規模的問題。如果你對文章內容有任何疑問，可以聯系秦虎老師或相關團隊成員進行交流。
⑶ 什麼是分治演算法
分治演算法是一種將一個復雜問題分解成多個相對簡單的獨立子問題進行求解的演算法策略，綜合所有子問題的解可以得到原復雜問題的解。以下是分治演算法的一些關鍵點：
示例：快速排序演算法是分治演算法的一個典型例子。它通過將一個大數組分成兩個較小的子數組，然後遞歸地對這兩個子數組進行排序，最終合並得到完全有序的數組。
分治演算法因其高效性和易於理解的特點，在計算機科學中得到了廣泛應用。
⑷ 分治演算法——漢諾塔問題
一、分治演算法概念
「分而治之」，就是把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題，直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合並。
這個技巧是很多高效演算法的基礎，如排序演算法(快速排序，歸並排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換) 。
任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。
二、分治法的設計思想
將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
三、分治策略
對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然後將各子問題的解合並得到原問題的解。這種演算法設計策略叫做分治法。
四、分治法實現步驟
①分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；②解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；③合並：將各個子問題的解合並為原問題的解。
它的一般的演算法設計模式如下： Divide-and-Conquer(P) 1. if |P|≤n0 2. then return(ADHOC(P)) 3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,…,Pk 4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 遞歸解決Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合並子問題 7. return(T)
五、可使用分治法求解的一些經典問題 （1）二分搜索
（2）大整數乘法
（3）Strassen矩陣乘法
（4）棋盤覆蓋
（5）合並排序
（6）快速排序
（7）線性時間選擇
（8）最接近點對問題
（9）循環賽日程表
（10）漢諾塔