k維向量計演算法

① 空間向量計算方法

空間向量作為新加入的內容，在處理空間問題中具有相當的優越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。
如把立體幾何中的線面關系問題及求角求距離問題轉化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標系，找到所論證的平行垂直等關系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關鍵．
立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。
以下用向量法求解的簡單常識：
1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得
或對空間一定點O有
2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：
（其中x＋y＋z=1），則四點P、A、B、C共面．
3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量
（k∈R）．
4、利用向量證在線a⊥b，就是分別在a，b上取向量
．
5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取
，求：
的問題．
6、利用向量求距離就是轉化成求向量的模問題：
．
7、利用坐標法研究線面關系或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．

② 向量怎麼計算！

你好
向量怎麼計算！
解：設a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
a+b=(x+x'，y+y')。
2、向量的減法
a=(x,y)b=(x',y')
則a-b=(x-x',y-y')
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ>0時，λa與a同方向
當λ<0時，λa與a反方向；
向量的數乘
當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
註：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。
有什麼不懂請追問，我會為您詳細解答，望採納，謝謝！

③ 平面向量計算方法

向量的運算

加法運算
向量加法的定義
已知向量a、b，在平面上任意取一點A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，則向量AC叫做a與b的和，記做a+b，即a+b=AB+BC=AC
AB+BC=AC，這種計演算法則叫做向量加法的三角形法則。（首尾相連，連接首尾，指向終點) 同樣，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，連接DC，因為AD∥BC，且AD=BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形，AC叫做a與b的和，表示為：AC=a+b.這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則。（共起點，對角連）。
已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計演算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。 對於零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a-b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算
AB-AC=CB，這種計演算法則叫做向量減法的三角形法則。（共起點，連終點，方向指向被減向量）
與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。

數乘運算
實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同，當λ < 0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa= 0。
設λ、μ是實數，那麼：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a± b) = λa± λb（4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。
向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。

坐標運算
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2）
則a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。
同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。
這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等於這兩個向量相應坐標的和與差。
由此可以得到：
一個向量的坐標等於表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標。
根據上面的結論又可得
若a=(x,y),則λa=(λx,λy)
這就是說，實數與向量的積的坐標等於用這個實數乘原來向量的相應坐標。

向量的數量積
向量數量積定義：
（1）向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點做向量OA=a，向量OB=b，則角AOB=θ叫做向量a與b的夾角。
（2）已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cos θ叫做a與b的數量積或內積，記作a·b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數量積為0。
a·b的幾何意義：數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
兩個向量的數量積等於它們對應坐標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2 向量的數量積的性質
(1)a·a=∣a∣^2≥0
(2)a·b=b·a
(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
(4)a·(b+c)=a·b+a·c
(5)a·b=0<=>a⊥b
（6）a=kb<=>a//b
（7）e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ

向量的混合積
定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合積具有下列性質：
1、三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）
2、上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4、(a×b)·c=a·(b×c)

④ 向量的計演算法則

1、向量的加法

向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

向量的減法
AB-AC=CB. 即「共同起點，指向被

向量的減法減」
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；

向量的數乘
當λ＜0時，λa與a反方向；

向量的數乘當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
註：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。
4、向量的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的數量積的運算律
a·b=b·a（交換律）；
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的數量積的性質
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這里並不是乘號，只是一種表示方法，與「·」不同，也可記做「∧」）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
註：向量沒有除法，「向量AB/向量CD」是沒有意義的。
6、三向量的混合積

向量的混合積
定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，

向量的混合積所得的數叫做三向
量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合積具有下列性質：
1、三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）
2、上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4、(a×b)·c=a·(b×c)

⑤ 向量的加減乘除運演算法則是什麼

向量的減法：如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0OA-OB=BA.即「共同起點，指向被減」，例如：a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。

向量的乘法：實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。當λ>0時，λa的方向與a的方向相同。

向量加法的運算律：

1、交換律：a+b=b+a；

2、結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

3、加減變換律：a+(-b)=a-b

4、向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運演算法則。

⑥ 向量計算公式

    定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
      定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。
      向量的數量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。
      向量的數量積的運算律
      a?b=b?a（交換律）；
      (λa)?b=λ(a?b)(關於數乘法的結合律)；
      （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
      向量的數量積的性質
      a?a=|a|的平方。
      a⊥b 〈=〉a?b=0。
      |a?b|≤|a|?|b|。
      向量的數量積與實數運算的主要不同點
      1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
      2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c。
      3、|a?b|≠|a|?|b|
      4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
      
      
      2、向量的向量積
      
      
      定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
      向量的向量積性質：
      ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
      a×a=0。
      a‖b〈=〉a×b=0。
      向量的向量積運算律
      a×b=-b×a；
      （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
      （a+b）×c=a×c+b×c.
      註：向量沒有除法，「向量AB/向量CD」是沒有意義的。
      
      
      3、向量的三角形不等式
      
      
      1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
      ① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號；
      ② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
      2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
      ① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號；
      ② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
      
      
      4、定比分點
      
      
      定比分點公式（向量P1P=λ?向量PP2）
      設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同於P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
      若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
      OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）
      x=(x1+λx2)/(1+λ),
      y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）
      我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
      5、三點共線定理
      若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
      三角形重心判斷式
      在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
      向量共線的重要條件
      若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。
      a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
      零向量0平行於任何向量。
      向量垂直的充要條件
      a⊥b的充要條件是 a?b=0。
      a⊥b的充要條件
希望對你有用，望採納。

⑦ 什麼向量 如何計算

空間中具有大小和方向的量叫做空間向量。向量的大小叫做向量的長度或模（moius)。
規定，長度為0的向量叫做零向量，記為0.
模為1的向量稱為單位向量。
與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量。記為-a
方向相等且模相等的向量稱為相等向量。
第一步：
按照圖形建立三維坐標系o-xyz
之後，將點的坐標帶進去，求出所需向量的坐標。
第二步：
求平面的法向量：
令法向量n=（x,y,z）
因為法向量垂直於此平面
所以n垂直於此面內兩相交直線（其方向向量為a，b)
可列出兩個方程
n·a=0,n·b=0
兩個方程，三個未知數
然後根據計算方便
取z（或x或y）等於一個數（如：1，√2等）
代入即可求出面的一個法向量n的坐標了.
會求法向量後
1.斜線與平面所成的角就是求出斜線的方向向量與平面的法向量n的夾角，所求角為上述夾角的餘角或者夾角減去π/2.
2.點到平面的距離就是求出該面的法向量n在平面上任取(除被求點在該平面的射影外）一點，
求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量，記為a
點到平面的距離就是法向量n與a的數量積的絕對值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.
3.二面角的求法就是求出兩個平面的法向量
可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數量積除以兩向量模的乘積
：cos
=|n·m|/(|n||m|)
那麼二面角就是上面求的兩法向量的夾角或者它的補角。
4.設直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α,β的法向量分別為μ,ν
則
線線平行
l∥m<=>a∥b
<=>
a=kb
線面平行
l∥α<=>a⊥μ
<=>a·μ=0
面面平行
α∥β<=>μ∥ν
<=>μ=kν
線線垂直
l⊥m<=>a⊥b
<=>a·b=0
線面垂直
l⊥α
<=>a∥μ
<=>
a=kμ
面面垂直
α⊥β<=>
μ⊥ν
<=>μ·ν=0
5.向量的坐標運算：設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則
1.|a|=√（x1²+y1²)
2.a+b=(x1+x2,y1+y2)
3.a-b=(x1-x2,y1-y2)
4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)
5.a·b=x1x2+y1y2
6.a∥b<=>
x1y2=x2y1(一般寫為：x1y2-x2y1=0)
7.a⊥b<=>
a·b=0<=>x1x2+y1y2=0
8.cos
=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2)
/
[
√(x1²+y1²)·√(x2²+y2²)
]
註：x1中的1為下標，以此類推

⑧ ijk向量叉乘計算公式怎麼記

將向量用坐標表示（三維向量），若向量a=(a1，b1，c1)，向量b=(a2，b2，c2)，則向量a×向量b=|ijk||a1b1c1||a2b2 c2|=(b1c2-b2c1，c1a2-a1c2，a1b2-a2b1)（i、j、k分別為空間中相互垂直的三條坐標軸的單位向量）。
叉乘，也叫向量的外積、向量積。顧名思義，求下來的結果是一個向量，記這個向量為c。
向量c的方向與a，b所在的平面垂直，且方向要用「右手法則」判斷（用右手的四指先表示向量a的方向，然後手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。
因此向量的外積不遵守乘法交換率，因為向量a×向量b=-向量b×向量a在物理學中，已知力與力臂求力矩，就是向量的外積，即叉乘。
一般我們在解決立體幾何題目時會選擇建立坐標系，因為這樣做比較保險也有固定套路。很多時候這些題目要求你計算某一個面的法向量(normal vector)，這在高中階段也是有固定方法的，我們這里想要介紹的是一種更高級也更迅速的方法，也就是引入向量叉乘(cross proct，「向量」同物理中的「矢量」概念，一直想不通為啥數學和物理用不一樣的名字，英文都是vector)這一概念。

我們都學過向量的標量積，也就是所謂的點乘(dot proct)，兩個向量做標量積後得到的是一個標量。我們這里定義一種新的向量運算，也就是向量積或者叫叉乘:

其運算結果仍是一個向量，我們記之為向量c，它的模定義為：

其中θ為向量a和向量b的夾角，如下圖所示，c的模即以a和b為兩條邊的平行四邊形的面積。

⑨ 向量的加減乘除怎麼算

1、向量的加法：滿足平行四邊形法則和三角形法則，即

(9)k維向量計演算法擴展閱讀：

一、向量加法的運算律：

1、交換律：a+b=b+a；

2、結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

3、加減變換律：a+(-b)=a-b

4、向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運演算法則。

二、向量的數乘規律：

1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。

2、向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

參考資料來源：網路--向量

⑩ ijk向量叉乘計算公式

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>

叉乘，也叫向量的外積、向量積。顧名思義，求下來的結果是一個向量，記這個向量為c。

向量c的方向與a,b所在的平面垂直，且方向要用「右手法則」判斷（用右手的四指先表示向量a的方向，然後手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因此向量的外積不遵守乘法交換率，因為向量a×向量b= -向量b×向量a在物理學中，已知力與力臂求力矩，就是向量的外積，即叉乘。

將向量用坐標表示（三維向量），若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，則向量a×向量b=

| i j k |

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分別為空間中相互垂直的三條坐標軸的單位向量）。

(10)k維向量計演算法擴展閱讀

方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）

也可以這樣定義（等效）：

向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。

*運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的坐標系中c可能不同。